考研數(shù)學高等數(shù)學強化習題-定積分(應用)

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2、條切線,使該曲線與切線及直線所圍成的平面圖形面積最小. 6、計算拋物線與直線所圍成的圖形面積。7、求橢圓所圍成圖形的面積。8、求下列各曲線圍成的圖形的面積（1） （2） 二簡單幾何體的體積9、曲線及直線圍成的圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的體積是（ ） 10、設曲線方程為（1）把曲線軸、y軸和直線所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周，得一旋轉(zhuǎn)體，求此旋轉(zhuǎn)體體積求滿足的(2)在此曲線上找一點，使過該點的切線與兩個坐標軸所夾平面圖形的面積最大，并求出該面積.11、設拋物線過原點，當時又已知該拋物線與x軸及直線所圍圖形的面積為試確定使此圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體的體積V最小.12、過坐標原點作曲線的切線，該切線與

3、曲線以及軸圍成的向軸負向無限延伸的平面圖形記為（1）求的面積（2）求饒直線所成旋轉(zhuǎn)體體積13、設曲線（）與曲線交于點,過坐標原點和點的直線與曲線圍成一平面圖形（1）求饒軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積（2）求的值使為最大14、在曲線上某點A處作切線，使之與曲線及x軸所圍圖形的面積為試求：（1）切點A的坐標；（2）過切點A的切線方程；（3）由上述所圍平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體的體積。15、過原點作曲線的切線，該切線與曲線以及圍成平面圖形（1）求的面積（2）求繞直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積16、求曲線與軸圍成的封閉圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積.17、設曲線及直線所圍成圖形繞軸旋轉(zhuǎn)的體積。三曲線弧

4、長（*數(shù)學一、數(shù)學二）18、曲線，從到的弧長為（） 19、計算曲線上相應于的一段弧長。20、求對數(shù)螺旋線，相應于的一段弧長。21、求曲線，相應于的一段弧長。22、求心形線的全長。23、求拋物線，被圓所截下的有限部分弧長。四旋轉(zhuǎn)曲面面積（*數(shù)學一、數(shù)學二）24、已知擺線的參數(shù)方程為，其中，常數(shù)，設擺線一拱的弧長的數(shù)值等于該弧段饒軸旋轉(zhuǎn)一周所圍成的旋轉(zhuǎn)曲面面積的數(shù)值，求25、設有曲線,過原點作其切線,求由此曲線、切線及軸圍成的平面圖形繞 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的表面積.26、由曲線段繞軸的旋轉(zhuǎn)面面積.五物理應用（*數(shù)學一、數(shù)學二）27、曲線，的質(zhì)心為 28、半徑為的球沉入水中，球的上部與水面相切

5、，球的密度與水相同，現(xiàn)將球從水中取出，需要多少功？ 29、一圓柱形的貯水桶高為，底圓半徑為，桶內(nèi)盛滿水，試問要把桶內(nèi)的水全部吸出來需要做多少的功。30、用鐵錘將一鐵釘擊入木板，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘入木板的深度成正比，在擊第一次時，將鐵釘擊入木板。如果鐵錘每次錘擊鐵釘所作的功相等，問鐵錘第二次時，鐵釘又擊入多少？ 31、等腰梯形的閘門，它的兩條底邊各長和，高為，較長的底邊與水面相齊，計算閘門的一側(cè)所受的水壓力(重力加速度按計算)。32、一底為，高為的等腰三角形片，鉛直的沉入到水中，頂在上，底在下且與水面平行，而頂離水面，試求它的每面所受的壓力(重力加速度按計算)。33、求下列平面圖形的形心坐

6、標：（1）平面區(qū)域：；（2）曲線：；（3）平面區(qū)域：.參考答案一平面圖形的計算1、2、【解析】：（1）的斜漸近線為 所以斜漸近線方程為：（2）若，即如果，無論均有這與的面積為有限值矛盾，所以當時，0，此時3、【答案】【解析】O2先解出兩條曲線在平面的交點,即令,解得和,故所圍成的平面圖形如右圖所示:所求面積為 4、【解析】先求出曲線和的交點,然后利用定積分求出平面圖形面積和,如圖： 由 得 所以 , .又因為,所以,即,解得5、【解析】過曲線上已知點的切線方程為,其中當存在時,.O2如圖所示,設曲線上一點處的切線方程為,化簡即得 .面積 ,其一階導數(shù) .令解得唯一駐點,而且在此由負變正,即在單

7、調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,在此過程中在時取極小值也是最小值,所以將代入先前所設的切線方程中,得所求切線方程為.6、答案：7、答案：8、（1）答案：（2）答案：二簡單幾何體的體積9、10、【解析】：（1）要即得（2）設切點為則切線方程為令得令得切線與坐標軸所夾面積令得由于當時，當時，故當時，面積S有極大值，即最大值。所求切點為最大面積11、【解析】：曲線過原點，由題設有即及令得代入b的表達式得又因及實際情況，知當12、【解析】：設切點為，于是曲線在點的切線斜率為 故切線方程為：此切線經(jīng)過點，所以，再由即切線方程為：（1）易得：（2）饒直線旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體積13、【解析】：的交點，直線的方程為（1）

8、旋轉(zhuǎn)體體積 （2）在時得的唯一駐點當時，當時，故為的唯一極大值點，為最大值點14、【解析】：設切點A的坐標為則過A點的切線的斜率為切線方程為即切線與x軸的交點為曲線、x軸及切線所圍圖形面積為由題設因此于是，切點A的坐標為過切點的切線方程為旋轉(zhuǎn)體的體積為15、【解析】： (1) 設切點的橫坐標為，則曲線y=lnx在點處的切線方程是 由該切線過原點知 ，從而 所以該切線的方程為 平面圖形D的面積 （2） 切線與x軸及直線x=e所圍成的三角形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的圓錐體積為 曲線y=lnx與x軸及直線x=e所圍成的圖形繞直線x=e旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體體積為 ，因此所求旋轉(zhuǎn)體的體積為 16、O2【解析】如右圖所示,曲線左右對稱,與軸的交點是.只計算右半部分即可.作垂直分割,相應于的小豎條的體積微元：,于是 .17、三曲線弧長（*數(shù)學一、數(shù)學二）18、19、答案：20、答案：21、答案：22、答案：23、答案：四旋轉(zhuǎn)曲面面積（*數(shù)學一、數(shù)學二）24、【解析】：擺線一拱弧長 擺線一拱饒軸旋轉(zhuǎn)一周所生產(chǎn)的旋轉(zhuǎn)曲面面積為按題意，25、1 2 x(2,1)Oy1【解析】先求切線方程：處的切線為.以代入切線方程,解得,切線方程為.(見右圖)由曲線段繞軸的旋轉(zhuǎn)面面積由此,旋轉(zhuǎn)體的表面積為26、五物理應用（*數(shù)學一、數(shù)學二）27、