巧用直線的參數(shù)方程解題方法

1、巧用直線的參數(shù)方程解題 摘要：我們都知道解析幾何在高考數(shù)學(xué)中的重要性，解析幾何常常讓考生感到 頭痛，特別是關(guān)于直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、求軌跡方程等類型的題目。這類型的題目所涉及的知識(shí)點(diǎn)多、覆蓋面廣、綜合性比較強(qiáng)。從而考察考生的運(yùn)算能力和綜合解題能力，不少學(xué)生常常因缺乏解題策略而導(dǎo)致解答過程繁難、運(yùn)算量大，甚至半途而廢。而想要比較簡(jiǎn)單的解決此類問題運(yùn)用直線的參數(shù)方程是較合適的方法，運(yùn)用直線的參數(shù)方程去解決一些解析幾何問題會(huì)比較簡(jiǎn)便。關(guān)鍵詞:直線的參數(shù)方程；平面；空間；弦長(zhǎng)。 1、引言 在解決的某一解析幾何的問題時(shí)，運(yùn)用直線的參數(shù)方程解題是非常合適的。運(yùn)用的直線的參數(shù)方程解題它的優(yōu)點(diǎn)在于能化繁為

2、簡(jiǎn)、減少計(jì)算過程，而它的缺點(diǎn)就是它的局限性，不是所有的題目都適合運(yùn)用直線的參數(shù)方程解決的。在平面幾何里，一些關(guān)于焦點(diǎn)弦長(zhǎng)、某點(diǎn)的坐標(biāo)、軌跡方程、等式證明等問題的題目我們可以考慮運(yùn)用直線的參數(shù)方程去解決。在空間幾何里用直線的參數(shù)方程可以解決的問題有求柱面和錐面的方程、空間中的一些軌跡方程、對(duì)稱點(diǎn)等相關(guān)問題。在平面中或是空間里的解析幾何問題，我們都可以考慮運(yùn)用直線的參數(shù)方程去解決，我們會(huì)舉相關(guān)的例題，運(yùn)用直線的參數(shù)方程去解題。 2.1 在平面中運(yùn)用直線的參數(shù)方程解題直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式：過點(diǎn)傾斜角為的直線參數(shù)方程為 (t為參數(shù),為直線的傾斜角)t的幾何意義是：t表示有向線段的數(shù)量，為直線上任意一

3、點(diǎn)。2.1.1 用直線的參數(shù)方程求弦長(zhǎng)相關(guān)問題 如果知道過某點(diǎn)的某一直線與一個(gè)圓錐曲線相交，要求求直線被截的弦長(zhǎng)。我們把這一直線的參數(shù)方程代入圓錐曲線的方程里，然后韋達(dá)定理和參數(shù)t的幾何意義得出弦長(zhǎng)。 例1 過點(diǎn)有一條傾斜角為的直線與圓相交，求直線被圓截 得的弦的長(zhǎng)。 分析: 1、考慮點(diǎn)P在不在圓上； 2、這個(gè)題目如果用一般方 法解就要寫出直線方程， 然后代入圓方程，要想 求出弦長(zhǎng)過程比較復(fù)雜、 計(jì)算量大； 3、適合運(yùn)用直線的參數(shù)方 程進(jìn)行求解。 解： 把點(diǎn)代入圓的方程，得 所以點(diǎn)P不在圓上，在圓內(nèi) 可設(shè)直線與圓的交點(diǎn)分別為A、B兩點(diǎn) 由題意得直線的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)） 代入圓的方程，得

4、 整理后得 因?yàn)? 設(shè)的兩根為 ，即對(duì)應(yīng)交點(diǎn)A、B的參數(shù)值，由韋達(dá)定理得 ； 由t的幾何意義，得弦長(zhǎng) 評(píng)注: 此類求弦長(zhǎng)的問題，一般方法得求出直線與二次曲線的兩個(gè) 交點(diǎn)坐標(biāo)，然后用兩點(diǎn)間的距離公式求出弦長(zhǎng)，這樣計(jì)算量 會(huì)比較大，而運(yùn)用直線的參數(shù)方程參數(shù)方程去解，根據(jù)參數(shù)t 的幾何意義和韋達(dá)定理就能比較簡(jiǎn)捷的求出弦長(zhǎng)。 小結(jié)：我們?cè)谶\(yùn)用直線的參數(shù)方程解決求弦長(zhǎng)問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)在解決例1 此類題型時(shí)有一定的規(guī)律，這個(gè)規(guī)律在解決此類問題時(shí)可以當(dāng) 公式來用，對(duì)解題速度很有幫助的。下面我對(duì)這個(gè)規(guī)律進(jìn)行闡述：?jiǎn)栴}1 求二次曲線 截直線 （t是參數(shù)，為直線的傾斜角） 所得的弦的長(zhǎng)。 解： 有和消去整理后，若能得

5、到一個(gè)關(guān)于參數(shù)t的二元 一次方程： 則當(dāng)有=，截得的弦長(zhǎng)為 （公式一） 證明：設(shè)為的兩個(gè)實(shí)根，根據(jù)韋達(dá)定理有 又設(shè)直線與二次曲線的兩個(gè)交點(diǎn)為，則 ， 根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，由，得弦長(zhǎng) （證畢） 上述公式適用于已知直線的傾斜角，那如果已知直線的斜率呢？ 問題2 求二次曲線 截直線 ，（t是參數(shù)，直線的斜率為） 所得的弦的長(zhǎng)。 解： 有和消去整理后，若能得到一個(gè)關(guān)于參數(shù)t的二元 一次方程： 則當(dāng)有=，截得的弦長(zhǎng)為 （公式二） 利用上述公式我再舉個(gè)例 例2 若拋物線截直線所得的弦長(zhǎng)是，求的值。 解：由直線的方程，得 直線的斜率k=2，且直線恒過點(diǎn) 該直線的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)） 把參數(shù)方程代入拋物

6、線方程，整理后得 因?yàn)閠是實(shí)數(shù)，所以= 由公式二，有 解得 評(píng)注：我們通過運(yùn)用直線的參數(shù)方程得到了公式一和公式二，在 解決關(guān)于弦長(zhǎng)問題時(shí)運(yùn)用公式一或者公式二解題就會(huì)更加 方便。如果題目已知的是直線的傾斜角，就應(yīng)該考慮用公 式一；如果題目已知的是直線的斜率，就應(yīng)該先考慮用公 式二。 2.1.2 運(yùn)用直線的參數(shù)方程解中點(diǎn)問題 例3 已知經(jīng)過點(diǎn)，斜率為的直線和拋物線相交于A,B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M坐標(biāo)。 解：設(shè)過點(diǎn)的傾斜角為，則， 則， 可設(shè)直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)）把參數(shù)方程代入拋物線方程中，整理后得 設(shè)為方程的兩個(gè)實(shí)根，即為A,B兩點(diǎn)的對(duì)應(yīng)參數(shù)，根據(jù)韋達(dá)定理 由M為線段AB的中點(diǎn)，

7、根據(jù)的幾何意義可得 所以中點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為,將此值代入直線的參數(shù)方程里，得 M的坐標(biāo)為 即 評(píng)注：在直線的參數(shù)方程中，當(dāng)時(shí)，則的方向向上；當(dāng) 時(shí)，則的方向向下，所以AB中點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的參數(shù)t的值是， 這與求兩點(diǎn)之間的中點(diǎn)坐標(biāo)有點(diǎn)相似。 2.1.3 運(yùn)用直線的參數(shù)方程求軌跡方程 運(yùn)用直線的參數(shù)方程，我們根據(jù)參數(shù)t的幾何意義得出某些線段的數(shù)量關(guān)系，然后建立相關(guān)等式，最后可得出某動(dòng)點(diǎn)的軌跡。 例4 過原點(diǎn)的一條直線，交圓于點(diǎn),在直線上取一 點(diǎn),使到直線的距離等于,求當(dāng)這條直線繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí)點(diǎn) 的軌跡。 解：設(shè)該直線的方程為 ，t為參數(shù)，為直線的傾斜角把直線方程代入圓方程，得 即 根據(jù)公式一，可得 ， 可

8、設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，起對(duì)應(yīng)的參數(shù)值為t，則有， 因?yàn)?所以易知，點(diǎn)到直線的距離是，即; 由題意有 = 等式兩邊同時(shí)平方，化簡(jiǎn)后得 解得 或 當(dāng)時(shí)，軌跡的一支為； 當(dāng)時(shí)，從而得另一支軌跡 即；因此所求軌跡系是由圓和直線組成。評(píng)注：遇到此類題目，考慮運(yùn)用直線的參數(shù)方程先把弦長(zhǎng)求出來， 在根據(jù)題意建立相關(guān)等式，根據(jù)等式消元化簡(jiǎn)得出結(jié)果，本 題的關(guān)鍵主要是建立等式=。 2.1.4 運(yùn)用直線的參數(shù)方程證明相關(guān)等式 運(yùn)用直線的參數(shù)方程，根據(jù)參數(shù)t的幾何意義，我們可以得到一些 線段的數(shù)量關(guān)系，對(duì)證明一些幾何等式很有幫助。例5 設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于B、C,求證： 證明：設(shè)過點(diǎn)的直線的參數(shù)方程為 （t為參數(shù)，為直線的

9、傾斜角） 因?yàn)橹本€與拋物線交B、C兩點(diǎn)，故。 把直線參數(shù)方程代入拋物線方程，整理后得 設(shè)為兩根，即點(diǎn)B、C的對(duì)應(yīng)參數(shù)值，根據(jù)韋達(dá)定理得 ; 根據(jù)參數(shù)t的幾何意義有AB=，AC=，所以 評(píng)注：在證明一些相關(guān)等式問題時(shí)，引用直線的參數(shù)方程輔助證明， 會(huì)讓證明思路更加清晰易懂，在證明過程中根據(jù)參數(shù)t的幾何 意義，用參數(shù)t去替換其它變量，把所要證的等式化繁為簡(jiǎn)。 2.2 在空間中用直線的參數(shù)方程解題 在空間中過點(diǎn)，方向向量為的直線的坐標(biāo)式參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)） 直線標(biāo)準(zhǔn)方程為：。 2.2.1 用空間直線的參數(shù)方程求柱面和錐面方程 已知柱面、錐面的準(zhǔn)線方程，可以根據(jù)母線的參數(shù)方程或者標(biāo)準(zhǔn)方程很方便的

10、求出柱面或者錐面方程。例6 若柱面的母線的方向向量，準(zhǔn)線方程是 ，求柱面方程。 解：設(shè)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)的母線的參數(shù)方程為 ，（為參數(shù)）即 代入準(zhǔn)線方程得 消去參數(shù)t，可得到所求柱面方程 評(píng)注：此題假設(shè)準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，然后過此點(diǎn)寫出對(duì)應(yīng)的參數(shù)方程， 通過參數(shù)t的引入便可變形代入相關(guān)方程，最終消去參數(shù)t得 到所求柱面方程。例7 已知錐面頂點(diǎn)為，準(zhǔn)線為 ，求錐面的方程。 解：設(shè)為準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，連接點(diǎn)與頂點(diǎn)的 母線為 ， 將它們的比值記為，得 ， （t為參數(shù)） 代入所滿足的方程 ，得 消去t，由上式的第二式得 ，代入第一式，化簡(jiǎn)整理后得錐面的一般方程為 評(píng)注：此題的關(guān)鍵是母線方程的表示，然后引

11、入?yún)?shù)t，得到一個(gè)參數(shù)方程。 通過參數(shù)t代入化簡(jiǎn)得出所求的錐面方程。2.2.2 用空間直線的參數(shù)方程求空間軌跡 空間的點(diǎn)或者直線的軌跡的空間解析幾何的一個(gè)重要課題，是重點(diǎn) 也是難點(diǎn)，在求解過程中，通常非常復(fù)雜，但對(duì)于某些軌跡問題，運(yùn) 用直線的參數(shù)方程去解決會(huì)相對(duì)簡(jiǎn)單。例8 一直線分別交坐標(biāo)面于三點(diǎn)A、B、C，當(dāng)直線變動(dòng)時(shí)，直線上的三定點(diǎn)A、B、C也分別在三個(gè)坐標(biāo)面上變動(dòng)，另外直線上有第四個(gè)點(diǎn)P，它與A、B、C三點(diǎn)的距離分別為、b、c。當(dāng)直線按照這樣的規(guī)定（即保持A、B、C分別在三坐標(biāo)面上變動(dòng)），試求P點(diǎn)的軌跡。解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，直線的方向余弦為。則直線的參數(shù)方程為 ，（t為參數(shù)） 令，即的與

12、面的交點(diǎn)A，根據(jù)t的幾何意義，則。 同理可得，。 由以上三式可得 所以P點(diǎn)軌跡方程為，是一個(gè)橢球面。 評(píng)注：通過運(yùn)用直線的參數(shù)方程，然后根據(jù)t的幾何意義，用t去表示 點(diǎn)P的坐標(biāo)，通過觀察代入某式子得出軌跡方程。2.2.3 用空間直線的參數(shù)方程求對(duì)稱點(diǎn) 運(yùn)用空間直線的參數(shù)方程我們可以求出定點(diǎn)關(guān)于定平面、定直線對(duì) 稱的點(diǎn)的坐標(biāo)。例9 求定點(diǎn)關(guān)于定平面的對(duì)稱點(diǎn)。 分析：1、可設(shè)對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)； 2、點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離是相等的； 3、與平面是垂直的。 解：設(shè)是所求的對(duì)稱點(diǎn)，則平面到和的有向距離是等值異號(hào)，即 化簡(jiǎn)后得 （1） 又的一組方向向量為，由于與平面 垂直，故有 , (t為參數(shù)) 即， （2） 把（

13、2）代入（1），得 解得， t= 代入（2），得 ，即所求的對(duì)稱點(diǎn)為。 評(píng)注：此題的關(guān)鍵是根據(jù)與平面垂直引入?yún)?shù)t，然后用參數(shù)t表示 其它未知量，通過代入求出參數(shù)t的值，所求的未知量也就相應(yīng) 得出。 結(jié)語我們運(yùn)用直線的參數(shù)方程對(duì)以上例題進(jìn)行解答，在解題過程中，我們能體會(huì)到直線的參數(shù)方程的魅力所在，它使我們?cè)诮鉀Q某類問題時(shí)可以化繁為簡(jiǎn)、容易理解。從中我們還發(fā)現(xiàn)直線參數(shù)方程的參數(shù)t和韋達(dá)定理的和諧統(tǒng)一，這會(huì)讓我們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的一種美，從某種意義上說它是一種簡(jiǎn)潔美，它讓我們?cè)诮忸}過程中更加簡(jiǎn)單、更有效率。而且直線參數(shù)方程的加盟，為我們的解題帶來了無窮的想象空間和更為廣闊的解題思路，正是因?yàn)橹本€參數(shù)方程給我們帶來如此多的便捷和快樂，所以掌握用直線的參數(shù)方程解題的