“雞兔同籠”問題探討(張冬梅)

1、“雞兔同籠”問題探討（靖邊第六小學(xué)張冬梅）中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)組織部分?jǐn)?shù)學(xué)家于2000年8月27日在北京師范大學(xué)召開了中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)中小學(xué)數(shù)學(xué)教育改革研討會(huì)，香港科技大學(xué)項(xiàng)武義教授在會(huì)上指出：“現(xiàn)在小學(xué)應(yīng)用題的教法不對(duì)。如雞兔同籠完全可以采取新的教法，運(yùn)用列舉來解決?！保ㄒ姅?shù)學(xué)通報(bào)2000,11 ）一、什么是“雞兔同籠”問題今有雞兔若干，它們共有 50個(gè)頭和140只腳。問雞兔各有多少只？這類問題就是“雞兔同籠”問題。解答“雞兔同籠”問題需要知道兩個(gè)常識(shí)：每只雞 有2只 腳，每只兔有4只腳?！半u兔同籠”問題是中國(guó)古算題，由于其思維訓(xùn)練的價(jià)值，一直流傳到今。二、“雞兔同籠”問題的各種解法今有雞兔若干，它們共有

2、50個(gè)頭和140只腳。問雞兔各有多少只？解法1列舉法。雞兔總腳數(shù)分析2525150150>140，需要減少兔的只數(shù)。2624148繼續(xù)減少兔的只數(shù)。2723146繼續(xù)減少兔的只數(shù)。2822144繼續(xù)減少兔的只數(shù)。2921142繼續(xù)減少兔的只數(shù)。3020140恰好。雞有30只，兔有20只。解法2砍腳法。如果砍掉每只雞、每只兔的2只腳，則還剩140 50 2 40 （只）腳。此時(shí)每只雞已無腳，每只兔還有 4 2 2 （只）腳，故知兔有 40十2 = 20 （只），雞有50 20=30 （只）。解法3 安腳法。如果給每只雞安裝上 2只假腳，這樣每只雞和每只兔都有4只腳，可知一共安裝了4x 50

3、 140 = 60 （只）假腳，故知雞有 60- 2 = 30 （只），兔有50 30 = 20 （只）。解法4假定法。 假定50只都是雞，則應(yīng)有 2x 50 = 100 （只）腳，比實(shí)際少了 140100 = 40 （只）腳，而一只雞比一只兔相差4 2 2 （只）腳，用一只兔來?yè)Q一只雞，每換一次腳數(shù)就可以增加2只，交換多少次就可以增加40只呢？ 40- 2 = 20 （次）。交換20次就可以增加40只腳。故知兔有 20只，雞有50 20=30 （只）。 也可以假定 50只都是兔，則應(yīng)有 4x 50=200 （只）腳，比實(shí)際多出了 200 140 = 60 （只）腳，而一只雞比一只兔少4 2

4、2 （只）腳，用一只雞來?yè)Q一只兔，每換一次腳數(shù)就減少2只，交換多少次就可以減少60只呢？ 60- 2 = 30 （次）。交換30次就可以減少60只腳。故知雞有 30只，兔有50 30=20 （只）。解法5 長(zhǎng)方形圖法。依題意畫長(zhǎng)方形圖1 ,圖1中四邊形都是長(zhǎng)方形。由題意知，圖形 abehfgcda 的面積是140, ae = 50，長(zhǎng)方形aehd的面積是2x 50 =100 , 故知長(zhǎng)方形 hfgc的面積是140 100 = 40 。在長(zhǎng)方形 hfgc中知其面積為40,一 邊長(zhǎng)fh = 4 2 2,另一邊長(zhǎng) gf = 40十2 = 20 o而兔的只數(shù) =be = gf = 20 ,故知兔有20

5、只，雞有50 20=30（只）這一解法對(duì)解法2砍腳法及解法4假定法都是很好的幾何直觀解釋。gfhb|e矗亦殛一麗莎圖1也可依題意畫長(zhǎng)方形圖2,圖2中四邊形都是長(zhǎng)方形:gf 二 |c2ibib圖2由題意知，圖形 abefgcda的面積是140, ae = 50，長(zhǎng)方形aefh的面積是4x 50 = 200，故 知長(zhǎng)方形 cghd的面積是200 140 = 60 。在長(zhǎng)方形 cghd中知其面積為60,一邊 長(zhǎng)cg = 4 2 2,另一邊長(zhǎng) cd = 60十2 = 30。而兔的只數(shù) =ab = cd ,故知雞有 30只， 兔有50 30=20（只）。這一解法對(duì)解法2安腳法及解法4假定法都是很好的幾何

6、直觀解釋。解法6波利亞法。美國(guó)數(shù)學(xué)大師gg波利亞的解法非常巧妙。不妨稱為波利亞法。假設(shè)出現(xiàn)下面的奇特現(xiàn)象，所有的雞都抬起一只腳，所有的兔只有后腳站立起來，顯然此時(shí)雞的腳數(shù)與頭數(shù)相等，而兔的腳數(shù)是頭的2倍，腳的總數(shù)為原來腳數(shù)的一半，所以現(xiàn)在腳的總數(shù)70減去頭數(shù)50所得的差20即為兔的數(shù)目。從而雞的數(shù)目為50 20=30。解法7方程組法。略。上述各種解法各有千秋?？衬_法、安腳法及長(zhǎng)方形圖法都較為直觀易懂，容易為學(xué)生接受。列舉法若將各種情況都一一列舉則顯得冗長(zhǎng)，若能從雞兔數(shù)目很接近開始考慮再加上分析則可減少列舉次數(shù)。假定法往往通過假定某種現(xiàn)象的存在（如看成兔），則發(fā)生了和題目條件不同的差異（如腳多了

7、），而每個(gè)單個(gè)事物造成的差異是固定的（如多算一兔就要多算2只腳），從而找出差異的原因（如實(shí)際有多少兔），使問題得到解決。實(shí)際上砍腳法、安腳法及波利亞法都是假定法的具體使用。方程組法雖通用但小學(xué)未學(xué)。三、“雞兔同籠”問題1. 一個(gè)籠子中裝有蛇和蜥蜴，若頭的總數(shù)是16, 足的總數(shù)是52 。問籠中有幾條蛇和幾條蜥蜴？10 只船，其中大2. “六一”兒童節(jié)，六年級(jí)一班46 名同學(xué)到公園去劃船，一共乘坐船每只坐 6 人，小船每只坐 4 人。大船和小船各有幾只？3. 用 25 根長(zhǎng)度分別為 8 米和 5 米的兩種規(guī)格的管子鋪一段170 米的管道，管子恰好用完。兩種管子各用了多少根？4. 松鼠媽媽采松子，晴

8、天每天可以采20 個(gè)，有雨的天每天只能采12 個(gè)，它一連幾天采了 112 個(gè)松子，平均每天采14 個(gè)。問這幾天當(dāng)中有幾天有雨？5. 一次智力測(cè)驗(yàn)有道判斷題，每答對(duì)一道得 3 分，每答錯(cuò)一道扣 2 分。小紅答完了 10道題，只得20 分。她答錯(cuò)了幾道題？6. 一個(gè)籠子中裝有雞和九頭鳥（九頭鳥是古代神話中的鳥，有九個(gè)頭兩只足） 。若頭的總數(shù)是 60 ，足的總數(shù)是40 ，問籠中有幾只雞和幾只九頭鳥？117. 金放在水里稱，重量減輕它的 ；銀放在水里稱，重量減輕它的 。有一塊金和1910銀的合金，重530 克，放在水里稱，減輕35 克。這塊合金里有金、銀各多少克？四、“雞兔同籠”問題的價(jià)值“雞兔同籠”

9、問題從古流傳至今，是由它的價(jià)值決定的1. 雞兔兩種動(dòng)物小學(xué)生十分喜愛，容易引起小學(xué)生的興趣。美國(guó)賓夕法尼亞州立大學(xué)教授楊忠道在解題雜談 （ 見數(shù)學(xué)教學(xué) 1988 年 2 期 ） 一文中寫道“過去學(xué)習(xí)四則運(yùn)算問題時(shí)， 都要學(xué)雞兔同籠問題。筆者對(duì)這問題頗有偏愛，原因是它曾激發(fā)起筆者對(duì)數(shù)學(xué)的興趣。可以說這是我數(shù)學(xué)工作的起始點(diǎn)。 ”2. 解決“雞兔同籠”問題的假定法，體現(xiàn)了試驗(yàn)、分析、調(diào)整這種解決問題策略的全過程，而試驗(yàn)、分析、調(diào)整的方法對(duì)解決非標(biāo)準(zhǔn)性問題很有用。各種實(shí)驗(yàn)科學(xué)離不開試驗(yàn)、 分析、調(diào)整策略。3. 很多應(yīng)用題可以化歸為“雞兔同籠”問題，所以解決“雞兔同籠”問題可以培養(yǎng)學(xué)生初步的“數(shù)學(xué)建模能力”。大連理工大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)研究所徐利治教授在談?wù)勎业囊恍┲螌W(xué)經(jīng)驗(yàn)（見數(shù)學(xué)通報(bào)2000 年 1 期）一文中寫道：“記得我上初級(jí)小學(xué)時(shí)，對(duì)算術(shù)一點(diǎn)興趣也沒有，速算測(cè)試成績(jī)也較差。到了高小階段，有一陣忽然對(duì)雞兔同籠等問題產(chǎn)生了好奇心。有一天我伯父把 聽來的一個(gè)怪題來考我： 100 個(gè)和尚分 100 個(gè)饅頭，大和尚一人分3 個(gè)，小和尚 3 人分 1 個(gè)。問有多少大和尚和小和尚？我利用雞兔同籠問題的推理方式，居然得出了有25個(gè)大和尚與75 個(gè)小和尚的正確答案，伯父很是贊許。自此以后，我就特別喜歡求解算術(shù)應(yīng) 用題，開始學(xué)到了用算術(shù)表達(dá)事物間簡(jiǎn)單數(shù)量關(guān)系的能力。 這種能