第8動量定理與動量矩定理

1、第第8 8章章 動量定理與動量矩定理動量定理與動量矩定理即即 cpmv8.1 8.1 動量動量s/mkg 單位單位 1niiipmv 質(zhì)點系的動量質(zhì)點系的動量 ddddciiiirrmmmvtt i icmrrmimm質(zhì)心質(zhì)心 ，mv質(zhì)點的動量質(zhì)點的動量 單位單位： nsift常力的沖量常力的沖量ddif t 變力的元沖量變力的元沖量 21dttif t在在 內(nèi)的沖量內(nèi)的沖量 1t2t8.2 8.2 沖量沖量2121dttmvmvf ti8.3 8.3 動量定理動量定理8.3.1 8.3.1 質(zhì)點的動量定理質(zhì)點的動量定理d()dmvftd()dmvf t或或稱為稱為質(zhì)點動量定理的微分形式質(zhì)點動

2、量定理的微分形式,即質(zhì)點動量的增量等于作即質(zhì)點動量的增量等于作用于質(zhì)點上的力的元沖量用于質(zhì)點上的力的元沖量.1t2t1v2v在在 內(nèi)內(nèi), 速度由速度由 , 有有稱為稱為質(zhì)點動量定理的積分形式質(zhì)點動量定理的積分形式,即在某一時間間隔內(nèi)即在某一時間間隔內(nèi),質(zhì)點動質(zhì)點動量的變化等于作用于質(zhì)點的力在此段時間內(nèi)的沖量量的變化等于作用于質(zhì)點的力在此段時間內(nèi)的沖量.8.3.2 8.3.2 質(zhì)點系的動量定理質(zhì)點系的動量定理( )eif( ) iif外力外力: , 內(nèi)力內(nèi)力: 內(nèi)力性質(zhì)內(nèi)力性質(zhì):( )0iif（1）( )()0ioimf（2）( )d0iift（3）( )( )d()ddeii iiimvftf

3、t質(zhì)點質(zhì)點:( )( )d()ddeii iiimvftft 質(zhì)點系質(zhì)點系:( )( )dddeeiipfti 得得( )ddeipft 或或稱為稱為質(zhì)點系動量定理的微分形式質(zhì)點系動量定理的微分形式, ,即質(zhì)點系動量的增量即質(zhì)點系動量的增量等于作用于質(zhì)點系的外力元沖量的矢量和等于作用于質(zhì)點系的外力元沖量的矢量和; ;或質(zhì)點系動或質(zhì)點系動量對時間的導數(shù)等于作用于質(zhì)點系的外力的矢量和量對時間的導數(shù)等于作用于質(zhì)點系的外力的矢量和. .)(ddexxftp)(ddeyyftp)(ddezzftp稱為稱為質(zhì)點系動量定理的積分形式質(zhì)點系動量定理的積分形式,即在某一時間間隔內(nèi)即在某一時間間隔內(nèi),質(zhì)點質(zhì)點系動

4、量的改變量等于在這段時間內(nèi)作用于質(zhì)點系外力沖量系動量的改變量等于在這段時間內(nèi)作用于質(zhì)點系外力沖量的矢量和的矢量和.動量定理微分形式的投影式動量定理微分形式的投影式 動量定理積分形式的投影式動量定理積分形式的投影式)(12exxxipp)(12eyyyipp)(12ezzzipp( )211neiippi 1t2t1p2p在在 內(nèi)內(nèi), 動量動量 有有例例8-1 8-1 電動機外殼固定在水平基礎上電動機外殼固定在水平基礎上, ,定子和外殼定子和外殼的質(zhì)量為的質(zhì)量為 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)量為轉(zhuǎn)子質(zhì)量為 . .定子和機殼質(zhì)心定子和機殼質(zhì)心 , ,轉(zhuǎn)子質(zhì)轉(zhuǎn)子質(zhì)心心 , , ,角速度角速度 為常量為常量. .求基

5、礎的水平及鉛直求基礎的水平及鉛直約束力約束力. .1m2m1o2oeoo21temgmmfycos)(2221temfxsin22得得emp2tempxcos2tempysin2解解: :12ddyypfm gm gtddxxpft由由xtemsin22方向方向: :動約束力動約束力 - - 靜約束力靜約束力 = = 附加動約束力附加動約束力本題的附加動約束力為本題的附加動約束力為ytemcos22方向方向: :電機不轉(zhuǎn)時電機不轉(zhuǎn)時, , , , 稱稱靜約束力靜約束力; ;電機轉(zhuǎn)動時的約束力稱電機轉(zhuǎn)動時的約束力稱動約束力動約束力, ,上面給出的是動約束上面給出的是動約束力力. .0 xfgmm

6、fy)(218.3.3 8.3.3 質(zhì)點系動量守恒定律質(zhì)點系動量守恒定律( )0ef若若 , 則則 = 恒矢量恒矢量pxp若若 , 則則 = 恒量恒量0)(exf1 10a babpppp1111()()bba ba baapppp11bbaappd ()vbaqt vv解解:d:dt t 內(nèi)流過截面的質(zhì)量及動量變化為內(nèi)流過截面的質(zhì)量及動量變化為例例8-2 8-2 流體在變截面彎管中流動流體在變截面彎管中流動, ,設流體不可壓縮設流體不可壓縮, ,且是且是定常流動定常流動. .求管壁的附加動約束力求管壁的附加動約束力. .流體受外力如圖流體受外力如圖, ,由動量定理由動量定理, ,有有ff 為

7、靜約束力為靜約束力; ; 為附加動約束力為附加動約束力0abpfff由于由于 ()vbafqvv得得d ()()dvbaabqt vvpffft()vbaabqvvp fff即即 fff設設8.4 8.4 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理8.4.1 8.4.1 質(zhì)量中心質(zhì)量中心mxmxiicmymyiicmzmziic, , ,iicmrrmimm , ,例例8-3 8-3 已知已知: : 為常量為常量, ,均質(zhì)桿均質(zhì)桿oa = = ab = ,= ,兩桿質(zhì)量皆兩桿質(zhì)量皆為為 , ,滑塊滑塊 b 質(zhì)量質(zhì)量 . . l1m2m求求: :質(zhì)心運動方程、軌跡及系統(tǒng)動量質(zhì)心運動方程、軌跡及系統(tǒng)動量. .解解:

8、 :設設 ，質(zhì)心運動方程為，質(zhì)心運動方程為t消去消去t 得軌跡方程得軌跡方程1)2/()2/()(2221122121mmlmymmlmmxcctlmmmmtmmlmlmlmxccos2)(2cos22232212121211tlmmmtmmlmycsin2sin222211211tlmmxmmvpccxxsin)(221tlmymmvpccyycos1tmtmmlpppyx221222122cossin)(4系統(tǒng)動量沿系統(tǒng)動量沿x, y軸的投影為軸的投影為: :系統(tǒng)動量的大小為系統(tǒng)動量的大小為: : 內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動內(nèi)力不影響質(zhì)心的運動, ,只有外力才能改變質(zhì)心的運動只有外力才能改變質(zhì)心

9、的運動. .8.4.2 8.4.2 質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理( )1d()dneciimvft 由由( )1ddneciivmft 得得( )1neciimaf 或或稱為稱為質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理, ,即即: :質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積質(zhì)點系的質(zhì)量與質(zhì)心加速度的乘積等于作用于質(zhì)點系外力的矢量和等于作用于質(zhì)點系外力的矢量和. .)(excxfma)(eycyfma)(ezczfma)(2encfvm)(ddetcftvm)(0ebf在直角坐標軸上的投影式為在直角坐標軸上的投影式為:在自然軸上的投影式為在自然軸上的投影式為:例例8-4 8-4 均質(zhì)曲柄均質(zhì)曲柄ab長為長為r, ,質(zhì)量為質(zhì)量

10、為m1, ,假設受力偶作用假設受力偶作用以不變的角速度以不變的角速度轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動, ,并帶動滑槽連桿以及與它固連的活并帶動滑槽連桿以及與它固連的活塞塞d, ,如圖所示如圖所示. .滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為滑槽、連桿、活塞總質(zhì)量為m2, ,質(zhì)心在點質(zhì)心在點c . .在活塞上作用一恒力在活塞上作用一恒力f f . .不計摩擦及滑塊不計摩擦及滑塊b的質(zhì)量的質(zhì)量, ,求求: :作用作用在曲柄軸在曲柄軸a a處的最大水平約束力處的最大水平約束力fx . .tmmmmrtxaccxcos2dd2121222tmmrffxcos2212212max2mmrff顯然顯然,最大水平約束力為最大水平約束力為應用質(zhì)心運

11、動定理應用質(zhì)心運動定理,解得解得ffammxcx2121211coscos2mmbrmrmxc解解:如圖所示如圖所示8.4.3 8.4.3 質(zhì)心運動守恒定律質(zhì)心運動守恒定律質(zhì)心運動守恒定律質(zhì)心運動守恒定律( )0ef若若 則則 常矢量常矢量 cv 0)(exf若若則則 常矢量常矢量 cxv求求: :電機外殼的運動電機外殼的運動. .例例 8-5 8-5 地面水平地面水平, ,光滑光滑, ,已知已知 , , , , ,初始靜止初始靜止, , 常量常量. .1m2me2121)sin()(2mmseamsamxcaxc1解解: :設設由由 , ,21ccxxsin212emmms得得8.5 8.5

12、 動量矩定理動量矩定理8.5.1 8.5.1 質(zhì)點的動量矩質(zhì)點的動量矩對點對點o的動量矩的動量矩()ommvrmv對對 z z 軸的動量矩軸的動量矩()()zoxymmvmmv 代數(shù)量代數(shù)量,從從 z 軸正向看軸正向看, 逆時針為正逆時針為正,順時針為順時針為 負負.()()ozzmmvmmv1()nooiiilmmv 1()nzziiilmmv 單位單位:kgm2/s 8.5.2 8.5.2 質(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系的動量矩 對點的動量矩對點的動量矩 對軸的動量矩對軸的動量矩ozzlloxyzll il jl k 即即 iiiiizzrvmvmml)(2iiiiirmrrm2iizrmjzzjl

13、 （1 1） 剛體平移剛體平移.可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心可將全部質(zhì)量集中于質(zhì)心,作為一個質(zhì)點來計算作為一個質(zhì)點來計算.()zzclm mv()ooclm mv,（2 2） 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動剛體繞定軸轉(zhuǎn)動 轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量dd()()ddommvrmvttdd()ddrmvrmvtt 8.5.3 8.5.3 動量矩定理動量矩定理 1 1）質(zhì)點的動量矩定理）質(zhì)點的動量矩定理設設o為定點為定點,有有0vmvd()dmvft其中其中:ddrvt （o為定點）為定點）d()( )dxxmmvmftd()( )dyymmvmftd()( )dzzmmvmft投影式投影式:d()( )doommvmft因此因此

14、 稱為稱為質(zhì)點的動量矩定理質(zhì)點的動量矩定理:質(zhì)點對某定點的動量矩對質(zhì)點對某定點的動量矩對時間的一階導數(shù)時間的一階導數(shù),等于作用力對同一點的矩等于作用力對同一點的矩.ddd()()dddooi ioi ilm mvm mvttt( )d()deooilmft 得得稱為稱為質(zhì)點系的動量矩定理質(zhì)點系的動量矩定理:質(zhì)點系對某定點質(zhì)點系對某定點o的動量矩對時間的導數(shù)的動量矩對時間的導數(shù),等于作用于質(zhì)點系的等于作用于質(zhì)點系的外力對于同一點的矩的矢量和外力對于同一點的矩的矢量和.( )( )d()()()dieoiioioimmvmfmft( )( )d()()()dieoi ioioimmvmfmft2

15、2）質(zhì)點系的動量矩定理）質(zhì)點系的動量矩定理 由于由于 ( )()0ioimf( )d()dexxilm ft( )d()dyeyilmft 投影式投影式:( )d()dezzilmft 內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩內(nèi)力不能改變質(zhì)點系的動量矩.rmgmmeosin)(rmgmmvrjtsindd22sinmrjmgrmra例例8-6 8-6 已知：已知： , ,小車不計摩擦小車不計摩擦. .,mjrma求求:小車的加速度小車的加速度 .rvmjlo解解:rvatvdd由由 , ， 得得3 3）動量矩守恒定律）動量矩守恒定律若若 , ( )()0eomf若若 , 則則 常量。常量。( )()0ezm

16、fzl 例：面積速度定理例：面積速度定理有心力有心力：力作用線始終通過某固定點：力作用線始終通過某固定點, 該點稱該點稱力心力心.由于由于 ,有有( )0omf ()m mvrmv 常矢量常矢量ol 則則 常矢量；常矢量；d(2)drrmvrmbt常量ddrrt即即 常量常量d2drra由圖由圖, , ddat因此因此, 常量常量（1） 與與 必在一固定平面內(nèi)必在一固定平面內(nèi),即點即點m的運動的運動 軌跡是平面曲線軌跡是平面曲線.rv 稱面積速度稱面積速度.ddat 面積速度定理面積速度定理：質(zhì)點在有心力作用下其面積速度守恒：質(zhì)點在有心力作用下其面積速度守恒.求：剪斷繩后求：剪斷繩后, 角時的

17、角時的 .例例8-7 兩小球質(zhì)量皆為兩小球質(zhì)量皆為 ,初始角速度初始角速度m0020221maamalz2)sin(22lamlz時時,00 時時,202)sin(laa由由 , 得得12zzll解解： 8.6 8.6 繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩繞定軸轉(zhuǎn)動剛體對轉(zhuǎn)軸的動量矩12,nf ff主動力主動力:12,nnff約束力約束力:d()()()dizziznjmfmft ()zimf d()dzzijmft 即即:( )zzjmf 或或22d( )dzzjmft 或或轉(zhuǎn)動微分方程8.6.1 剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程剛體繞定軸轉(zhuǎn)動的微分方程例例8-8 已知已知: ，求，求 .12, ,r j

18、f frffj)(21jrff)(21解解:求微小擺動的周期求微小擺動的周期 .例例8-9 物理擺（復擺），已知物理擺（復擺），已知 ，ajmo,22dsindojmgat 解解：sin微小擺動時，微小擺動時，mgatjo22dd0dd22ojmgat即即：)sin(tjmgaoo通解為通解為 稱稱角振幅角振幅， 稱稱初相位初相位，由初始條件確定，由初始條件確定.omgajto2周期周期求：制動所需時間求：制動所需時間 .t例例8-10 已知：已知： ，動滑動摩擦系數(shù)，動滑動摩擦系數(shù) ，rfjno,0f000ddtonjff r t0onjtff rddonjfrf f rt解解：1111rf

19、mjt2222mrfjt2122112211ijjimm21121221,mmrrijj1例例8-11 已知已知 求：求： .解解：ttff 121221rri因因 ， ，得得21iinizrmj 單位：單位：kgm2 1. 1. 簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算簡單形狀物體的轉(zhuǎn)動慣量計算1)1)均質(zhì)細直桿均質(zhì)細直桿3d320lxxjlllz231mljzlml由由 ，得，得42)d2(402rrrrjarao222mrmrrmjiiz2 2）均質(zhì)薄圓環(huán)）均質(zhì)薄圓環(huán)aiiirrmd23 3）均質(zhì)圓板）均質(zhì)圓板2rma式中式中：221mrjo 或或4 4）慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑）慣性半徑（回轉(zhuǎn)半徑） mj

20、zz2zzmj或或2czzjjmd8.6.3 8.6.3 平行軸定理平行軸定理czdzz 式中式中 軸為過質(zhì)心且與軸為過質(zhì)心且與 軸平行的軸，軸平行的軸， 為為cz與與 軸之間的距離。軸之間的距離。即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過即：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量，等于剛體對于通過質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量質(zhì)心并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積與兩軸間距離平方的乘積.2211()czijm xy )(222yxmrmjiiz)(2121dyxmiiiimdymdyxm2121212)(01iicmymy證明證明：因為因為2czzjjmd

21、01ymi有有 ，得，得231mljzlm,例例8-12 均質(zhì)細直桿，已知均質(zhì)細直桿，已知 .cz求：對過質(zhì)心且垂直于桿的求：對過質(zhì)心且垂直于桿的 軸的轉(zhuǎn)動慣量。軸的轉(zhuǎn)動慣量。要求記住三個轉(zhuǎn)動慣量要求記住三個轉(zhuǎn)動慣量22mr（1） 均質(zhì)圓盤對盤心軸的均質(zhì)圓盤對盤心軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量32ml（2） 均質(zhì)細直桿對一端的均質(zhì)細直桿對一端的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量122ml（3） 均質(zhì)細直桿對中心軸均質(zhì)細直桿對中心軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量12)2(22mllmjjzzc則則z 對一端的對一端的 軸，有軸，有解：解：oj 求：求： .ld例例8-13 已知桿長為已知桿長為 質(zhì)量為質(zhì)量為 ，圓盤半徑為，圓盤半徑為

22、 ，質(zhì)量為質(zhì)量為 .1m2m盤桿ooojjj231mljo桿2222)2()2(21dlmdmjo盤)83(222ldldm)83(3122221ldldmlmjo解解：21jjjz2222112121rmrm)(214241rrljz 解解：lrm222lrm211其中其中mrrl)(2221由由 ，得得)(212221rrmjz)(2122212221rrrrl21,rrm例例8-14 已知：已知： ，zj 求求 .o例：求對例：求對 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量.將曲柄懸掛在軸將曲柄懸掛在軸 o上，作微幅擺動上，作微幅擺動. .mgljt2由由lm,tj其中其中 已知已知, 可測得，從而求得

23、可測得，從而求得 .解解：均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量薄壁圓薄壁圓筒筒細直桿細直桿體積體積慣性半徑慣性半徑轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量簡簡 圖圖物體的物體的形狀形狀212lmjcz23lmjz32lcz3lz2mrjzrzrlh2薄壁空薄壁空心球心球空心圓空心圓柱柱圓柱圓柱)3(1221222lrmjjmrjyxz)3(121222lrryxzlr2)(222rrmjz)(2122rrz)(22rrl232mrjzrz32rh23圓環(huán)圓環(huán)圓錐體圓錐體實心球?qū)嵭那?52mrjzrz52343r)4(803103222lrmjjmrjyxz)4(80310322lrryxzlr23)43(22rrmj

24、z2243rrzrr222矩形薄矩形薄板板長方體長方體橢圓形橢圓形薄板薄板222244)(4bmjamjbamjyyz222122babayxzabh)(12)(12)(12222222cbmjcamjbamjyyz)(121)(121)(121222222cbcabayxzabc22221212)(12bmjamjbamjyyzbabayxz289. 0289. 0)(12122abh8-7 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理8.7.1 8.7.1 質(zhì)點系對任意點的動量矩質(zhì)點系對任意點的動量矩cciiiiilmmvrmv(0)i icmrrm 因有有ciiirlrmv由

25、于由于icirvvvciiciiirlrmvrmv得得( )0iiciicrmvmrv其中其中即：無論是以相對速度或以絕對速度計算質(zhì)點系對于即：無論是以相對速度或以絕對速度計算質(zhì)點系對于 質(zhì)心的動量矩其結果相同質(zhì)心的動量矩其結果相同.ociiiciiiiilrrmvrmvrmv,iiciiicmvm vrmvloccclrmvloccmmvl對任一點對任一點o的動量矩：的動量矩： ddddeoccciilrmvlrftt8.7.2 8.7.2 質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理 eeciiirfrfdd,0ddccccrrvmvtt由于由于ddddddcccccrlmvr

26、mvttt即即 ddecccirmvrft eecicirfrf質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩定理:質(zhì)點系相對于質(zhì)點系相對于質(zhì)心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系質(zhì)心的動量矩對時間的導數(shù)，等于作用于質(zhì)點系的外力對質(zhì)心的主矩的外力對質(zhì)心的主矩. ddeciilrft得得 d()deccilmft或或8.8 8.8 碰撞碰撞8.8.1 8.8.1 基本概念基本概念 碰撞是一種常見的力學現(xiàn)象。當物體在極短的時間間碰撞是一種常見的力學現(xiàn)象。當物體在極短的時間間隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時就發(fā)生碰撞。隔內(nèi)速度發(fā)生急劇的改變時就發(fā)生碰撞。塑料塑料碰撞過程的持續(xù)時間極短，通常用千分子一

27、秒或萬分碰撞過程的持續(xù)時間極短，通常用千分子一秒或萬分之一秒來度量。之一秒來度量。碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。碰撞的物體間產(chǎn)生巨大的碰撞力。碰撞的特征碰撞的特征 由于碰撞過程是一個十分復雜的物理過程，要研究碰撞過程的動由于碰撞過程是一個十分復雜的物理過程，要研究碰撞過程的動力學問題，必須進行適當?shù)暮喕?，略去次要因素，突出事物的本質(zhì)，力學問題，必須進行適當?shù)暮喕?，略去次要因素，突出事物的本質(zhì)，以獲得較簡單的力學模型。以獲得較簡單的力學模型。 1. 由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、彈性力由于碰撞力很大，是一般平常力（如重力、彈性力等）的幾百倍甚至幾千倍，等）的幾百倍甚至幾千倍， 故故平常力

28、在碰撞過程中可以忽平常力在碰撞過程中可以忽略不計。略不計。兩個基本假設 2. 由于碰撞力隨時間而變化，瞬時值很難測定。由于碰撞力隨時間而變化，瞬時值很難測定。 因此，通常是用碰撞力在碰撞時間內(nèi)的沖量來表示碰撞因此，通常是用碰撞力在碰撞時間內(nèi)的沖量來表示碰撞的強弱。這個沖量稱為的強弱。這個沖量稱為碰撞沖量碰撞沖量。 若碰撞開始時，兩物體的質(zhì)心均在接觸點的公法線上，這種碰撞稱若碰撞開始時，兩物體的質(zhì)心均在接觸點的公法線上，這種碰撞稱為對心碰撞，如圖為對心碰撞，如圖a。兩物體的質(zhì)心不在接觸點的公法線上的碰撞，如圖兩物體的質(zhì)心不在接觸點的公法線上的碰撞，如圖b。碰撞的分類對心碰撞對心碰撞偏心碰撞偏心碰

29、撞c1c2nn(a)c1c2nn(b)在對心碰撞的情形下，若兩物體質(zhì)心的速度恰在公法線上的碰撞，如圖在對心碰撞的情形下，若兩物體質(zhì)心的速度恰在公法線上的碰撞，如圖c。在對心碰撞的情形下，質(zhì)心速度不在此公法線上的碰撞，如圖在對心碰撞的情形下，質(zhì)心速度不在此公法線上的碰撞，如圖d。對心正碰撞對心正碰撞對心斜碰撞對心斜碰撞c1c2nn(c)c1c2nn(d)1）沖量定理上式表示了碰撞時質(zhì)點系的沖量定理。即上式表示了碰撞時質(zhì)點系的沖量定理。即質(zhì)點系在碰撞過程中的動量變化，質(zhì)點系在碰撞過程中的動量變化，等于該質(zhì)點系所受的外碰撞沖量的矢量和等于該質(zhì)點系所受的外碰撞沖量的矢量和。 質(zhì)點系的動量可以用質(zhì)點系的

30、總質(zhì)量質(zhì)點系的動量可以用質(zhì)點系的總質(zhì)量m與質(zhì)心速度的乘積來計算，與質(zhì)心速度的乘積來計算，所以可以改寫為所以可以改寫為其中其中vc 1和和vc2分別是碰撞開始和結束時質(zhì)心分別是碰撞開始和結束時質(zhì)心c的速度。上式稱為的速度。上式稱為碰撞時的碰撞時的質(zhì)心運動定理質(zhì)心運動定理。 對于質(zhì)點系有對于質(zhì)點系有 )e(12immivvii)e(12imm ivvccxzyrimio 根據(jù)研究碰撞問題的基本假設，在碰撞過程中，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的位根據(jù)研究碰撞問題的基本假設，在碰撞過程中，質(zhì)點系內(nèi)各質(zhì)點的位移均可忽略，因此，可用同一矢移均可忽略，因此，可用同一矢 ri 表示質(zhì)點表示質(zhì)點 mi 在碰撞開始和結束時的位

31、在碰撞開始和結束時的位置。置?；蛘邔懗苫蛘邔懗?()()(ioioioimvmvmiimm全部內(nèi)碰撞沖量之矩的總和恒等于零，所以只剩下外碰撞沖量的矩。iiiovrvmiimm)(iimivimivi)()()()e(iimvmvmoioiomm2）沖量矩定理質(zhì)點對固定點的動量矩為質(zhì)點對固定點的動量矩為碰前：碰前：iiiiiiirvrvrmmiiiiovrvmiimm)(碰后：碰后：所以所以對于整個質(zhì)點系有對于整個質(zhì)點系有上面兩式分別表示了碰撞時質(zhì)點系對點（或?qū)S）的沖量矩定理，即上面兩式分別表示了碰撞時質(zhì)點系對點（或?qū)S）的沖量矩定理，即在在碰撞過程中，質(zhì)點系對任一點（或任一軸）的動量矩的變化

32、，等于該質(zhì)碰撞過程中，質(zhì)點系對任一點（或任一軸）的動量矩的變化，等于該質(zhì)點系所受到外碰撞沖量時對同一點（或同一軸）之矩的矢量和（或代數(shù)點系所受到外碰撞沖量時對同一點（或同一軸）之矩的矢量和（或代數(shù)和）和）。 由于碰撞過程中伴隨有機械能損失，因此研究碰撞問題一般不用由于碰撞過程中伴隨有機械能損失，因此研究碰撞問題一般不用動能定理。動能定理。)()()()e(ixixixmmmmmivv)()()()e(iiimmimvmvmooo把上式投影到任一軸上，例如把上式投影到任一軸上，例如ox上，則得上，則得xzyrimioiimivimivi 設質(zhì)量分別為設質(zhì)量分別為m1和和m2的兩個光滑球作平動，兩

33、球質(zhì)心的速度分別為的兩個光滑球作平動，兩球質(zhì)心的速度分別為v1和和v2，且，且v1v2，在某瞬時發(fā)生正碰撞。，在某瞬時發(fā)生正碰撞。 先以兩球為研究對象。考察先以兩球為研究對象?？疾煺麄€碰撞過程整個碰撞過程，因外，因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有22112211vvvvmmmm沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得22112211vmvmvmvm碰撞結束時，兩球仍作平動，其速度分別為碰撞結束時，兩球仍作平動，其速度分別為v1和和v2。nv1v2nv1v20)()(221121vvummmm沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得0)()(221121vmvmumm從

34、而求出從而求出212211mmvmvmu 考察碰撞的第一階段考察碰撞的第一階段變形階段變形階段。用用u表示表示變形結束時變形結束時兩球的公共速度。兩球的公共速度。以兩球為研究對象以兩球為研究對象nv1v2n因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有因外碰撞沖量等于零，故由沖量定理，有, 1111ivumm1222ivumm沿水平方向投影，得沿水平方向投影，得, 1111ivmum1222ivmum分別取兩球為研究對象分別取兩球為研究對象 考察碰撞的第一階段考察碰撞的第一階段變形階段變形階段。v1i1i1v2由沖量定理，有由沖量定理，有x, 2111iuvmm222iuv2mm沿水平方向投影，得沿水平

35、方向投影，得,2111iumvm2222iumvm 恢復階段恢復階段與與變形階段變形階段碰撞沖量碰撞沖量i2和和i1的大小的比值，可以用來度量的大小的比值，可以用來度量碰撞后變形恢復的程度，也反映了物體在碰撞中機械能的損失程度，碰撞后變形恢復的程度，也反映了物體在碰撞中機械能的損失程度，稱為稱為恢復系數(shù)恢復系數(shù)，用，用e表示。表示。 現(xiàn)在考慮碰撞的第二階段現(xiàn)在考慮碰撞的第二階段恢復階段恢復階段。i2i2v1v2利用沖量定理，有利用沖量定理，有x消去消去u，得，得1112vuuviie利用式利用式碰撞開始時相對速度時相對速度碰撞結束 211212vvvviie 恢復階段恢復階段與與變形階段變形階

36、段碰撞沖量碰撞沖量i2和和i1的大小的比值，可以用來度量的大小的比值，可以用來度量碰撞后變形恢復的程度，稱為碰撞后變形恢復的程度，稱為恢復系數(shù)恢復系數(shù)，用，用e表示。表示。, 1111ivmum1222ivmum,2111iumvm2222iumvm即即,22112211vmvmvmvm212211mmvmvmu22vuuv可以證明，對于一般碰撞，恢復系數(shù)可以證明，對于一般碰撞，恢復系數(shù)向相對速度碰撞開始時接觸點的法度時接觸點的法向相對速碰撞結束 e碰撞開始時相對速度時相對速度碰撞結束 211212vvvviie兩球正碰撞時的恢復系數(shù)為兩球正碰撞時的恢復系數(shù)為nnnnvvvviie211212

37、 大量的實驗表明，大量的實驗表明，恢復系數(shù)恢復系數(shù)主要與碰撞物體的材料主要與碰撞物體的材料性質(zhì)有關，可由實驗測定。性質(zhì)有關，可由實驗測定。 恢復系數(shù)一般都小于恢復系數(shù)一般都小于1而大于零而大于零（0e1），這時的碰撞稱為，這時的碰撞稱為彈彈性碰撞性碰撞。物體在彈性碰撞結束時，變形不能完全恢復，動能有損失。物體在彈性碰撞結束時，變形不能完全恢復，動能有損失。 理想情況理想情況e =1時，碰撞結束后，物體能完全恢復原來的形狀，這時，碰撞結束后，物體能完全恢復原來的形狀，這種碰撞稱為種碰撞稱為完全彈性碰撞完全彈性碰撞。 在另一極端情況在另一極端情況 e =0 時，說明碰撞沒有恢復階段，即物體的變時，

38、說明碰撞沒有恢復階段，即物體的變形不能恢復，碰撞結束于變形階段，這種碰撞稱為形不能恢復，碰撞結束于變形階段，這種碰撞稱為非彈性碰撞非彈性碰撞或或塑塑性碰撞性碰撞?；謴拖禂?shù)測定恢復系數(shù)測定一種最簡單的測定恢復系數(shù)的方法如圖所示。一種最簡單的測定恢復系數(shù)的方法如圖所示。h1h2v1v1nacb,211ghv 212ghv 211212vvvviie1112vviie12hhe 表8-2 常見材料的恢復系數(shù)碰撞物體的材料 鐵對鋁 木對膠木木對木 鋼對鋼 玻璃對玻璃恢復系數(shù) 0.140.260.500.560.94 兩小球的質(zhì)量分別為兩小球的質(zhì)量分別為m1和和m2 ，碰撞開始時兩質(zhì)心的速，碰撞開始時兩

39、質(zhì)心的速度分別為度分別為v1和和v2 ，且沿同一直線，如圖所示。，且沿同一直線，如圖所示。c1c2例題例題8-1 圖示兩球能碰撞的條件是圖示兩球能碰撞的條件是 。設碰撞結束時，二者的速度分。設碰撞結束時，二者的速度分別為別為 和和 ，方向如圖所示。，方向如圖所示。21vv1v2v22112211vmvmvmvm由恢復系數(shù)定義有由恢復系數(shù)定義有2112vvvve聯(lián)立聯(lián)立（a）和和（b）二式，解得二式，解得)()1 (2121211vvmmmevv)()1 (2121222vvmmmevv（a）（b）c1c2（c）v1v2根據(jù)動量守恒，有根據(jù)動量守恒，有1）兩物體正碰后的速度）兩物體正碰后的速度可

40、見，當可見，當 時，時， ， 。21vv 22vv ,21212222111vmvmt22221122121vmvmt在碰撞過程中質(zhì)點系損失的動能為在碰撞過程中質(zhì)點系損失的動能為)(21)(21222222121121vvmvvmttt 以以t1和和t2分別表示此兩球組成的質(zhì)點系在碰分別表示此兩球組成的質(zhì)點系在碰撞過程開始和結束時的動能，則有撞過程開始和結束時的動能，則有),()1 (2121211vvmmmevv)()1 (2121222vvmmmevvc1c2v1v2（d）2）正碰時系統(tǒng)的動能損失）正碰時系統(tǒng)的動能損失（d）),()1 (2121211vvmmmevv)()1 (21212

41、22vvmmmevv考慮到考慮到2112vvvve于是有于是有2212212121)()1 ()(2vvemmmmttt)(21)(21222222121121vvmvvmttt 在理想情況下，在理想情況下，e = 1 , t = t2 t1 =0?？梢?，在完全彈性碰撞時，?？梢姡谕耆珡椥耘鲎矔r，系統(tǒng)動能沒有損失，即碰撞開始時的動能等于碰撞結束時的動能。系統(tǒng)動能沒有損失，即碰撞開始時的動能等于碰撞結束時的動能。221212121)()(2vvmmmmttt如果第二個物體在塑性碰撞開始時處于靜止，即如果第二個物體在塑性碰撞開始時處于靜止，即 v2=0， 則動能損失則動能損失為為21212121)(2vmmmmttt在塑性碰撞時，在塑性碰撞時，e = 0 ，動能損失為，動能損失為2212212121)()1 ()(2vvemmmmttt可見，可見，在在塑性碰撞塑性碰撞過程中的動能損失與兩物體的質(zhì)量比有關過程中的動能損失與兩物體的質(zhì)量比有關。 注意到注意到 上式可改寫為上式可改寫為 12112122111tmmtmmmttt2112122121)(vmmmmttt21212121)(2vmmmmttt上式可改寫為上式可改寫為 第二個物體在塑性碰撞開始時處于靜止，即第二個物體在塑性碰撞開始時處于