數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)論文 待定函數(shù)法在解微分方程中的應(yīng)用

1、本科學(xué)生畢業(yè)論文（設(shè)計）題 目 待定函數(shù)法在解微分方程中的應(yīng)用待定函數(shù)法在解微分方程中的應(yīng)用摘要：待定函數(shù)法是求非齊次線性方程一種基本方法，也適用于變系數(shù)線性方程。本文討論待定 函數(shù)法在解一階線性方程以及二階常系數(shù)線性方程中的應(yīng)用，給出了待定函數(shù)法求解一階線性方程和 二階常系數(shù)線性方程的自然過程，并推出了一階線性方程和二階常系數(shù)線性方程的通解公式，還舉出 了相應(yīng)的示例，并且利用類似方法，可以求解三階或三階以上的常系數(shù)線性方程。關(guān)鍵詞：待定函數(shù)法；一階線性方程；二階常系數(shù)線性方程the application of method undetermined function insolving d

2、ifferential equationshen ting-gui(the department of mathematics of institute of shaoyang, shaoyang hunan 422000)abstract : undetermined function law to ask homogeneous linear equation one basic method non- , meet on linear equation of coefficient of turning into too. this text to discuss and undeter

3、mined function law in solve one steps linear equation and two steps often coefficient application of the equation, provide and undetermined function law ask and solve one steps linear equation and two steps often coefficient natural course of equation, and has put out a steps of linear equations and

4、 two stepses of generals solution formula of the coefficient equation frequently, still put out corresponding giving a demonstration, and utilize the similar method , can ask and solve often coefficient equation of three steps or more than three steps .keyword: method of undetermined function; first

5、 order differential equation ;second order linear differential equation§ 1引言待定函數(shù)法不僅在解常微分方程中有用武之地，就是在解某些偏微分方程時，也少不 了用待定函數(shù)法。對于一般的線性方程是沒有普遍的解法，我們在解一階線性方程以及二 階常系數(shù)線性方程時，用初等變換法、積分因子法、分離變量法求解，有時會有一定的困 難，但我們用待定函數(shù)法去求解時理論上簡單明了，計算簡捷。§ 2一階非齊次線性方程dy p(x) = q(x)ihhi (1.1)dx其中p(x) 、q(x)為已知函數(shù)，(1.1 )所對應(yīng)的齊次

6、方程為dy p(x)=0|i"l(1.2) dx方程(1 .2 )是變量可分離的方程，其通解為_ p(x)dxy =ge 111111(1.3)這里ci為任意常數(shù)下面討論用待定函數(shù)法求非齊次線性方程(1.1 )的通解。不難看出，(1.2)是(1.1)的特殊情形，兩者既有聯(lián)系又有差別，因此可以設(shè)想它們的解也應(yīng)該有一定的聯(lián)系，而又有差別，那么可以利用方程(1.2)的通解(1.3)的形式去求出方程(1.1 )的通解。顯然，如果(1.3)中g(shù)包保持常數(shù)，它必不可能是(1.1 )的解，因此可以設(shè)想在(1.3)中將常數(shù)g變易為x的待定函數(shù)v (x),使它滿足方程(1.1 ),從而求出v(x),

7、為此令y =v(x)e(x)dxjl|hi (1.4)為(1.1)的通解，由(1.4)有dy dv( x)- p(x)dxp(x)dx一 二e - p(x)v(x)e(1.5)dx dx將(1.4)、(1.5)代入(1.1 )得dv(x) dv( x) - p(x)dx一 p(x) dx一 p(x)dxe - p(x)v(x)e + p(x)v(x)edx dx=q(x)即dv(x) 一 p(x)dx"dx e= q(x)積分之，可求得p(x)dxv(x)= q(x)e c式中c為積分常數(shù)。把求出的v(x)代入(1.4)就得到(1.1 )的通解 |p(x)dx .|p(x) dxy

8、= e (q(x)e c)例1求方程(x+1) dy-ay =ex(x+1)a +的通解，這里a為常數(shù)。dx解：將方程改寫為,y - a y=ex(x+1)a(1)dx x 1首先求線性方程dy a 八-y =0dx x 1的通解，從dy =3dx dy x 1得到齊線性方程的通解y = c(x 1)a其次應(yīng)用待定函數(shù)法求非齊次線性方程的通解，為此，在上式中把c看成為x的待定函數(shù)c(x), 即得y = c(x)(x+1)a(2)微分之，得到 dy = dc(a(x+1)a+(x+1)a/c(x) (3)dx dx把(2)及(3)代入(1),得到dc(x) xdx積分之，即可求得c(x) = e

9、x c因此，以所求的c (x)代入(2)式得到y(tǒng) =(x+1)a(ex +c) (c 為任意常數(shù))§ 3二階非齊次常系數(shù)線性方程ay"(x)+by'(x)+cy(x) = f (x) (1.6)其中a、b、c為常數(shù),f(x)為已知函數(shù)，(1.6)所對應(yīng)的齊次方程為ay"(x) +by'(x) +cy(x) =0 (1.7 )方程(1.7)用求特征方程根的方法可求出通解，設(shè)(1.7)的通解是yc =g%(x)+c2y2(x) (1.8)這里g、q為兩個任意常數(shù)，y(x)、y2(x)為兩個線性無關(guān)的函數(shù)。為了求方程(1.6)的通解，也用待遇定函數(shù)法。即

10、把(1.8)中的c,、c2換為x的函數(shù)u(x)、v(x),令yp =u(x)y1(x)+v(x)yz(x) (1.9)為方程(1.6)的一個特解，其中u(x)、v(x)為兩個待定函數(shù) 由(1.9)有y'p =u'y1v' y2uy1'vy'2y"p = u"y1v"y22u'y12v'y2uy1"vy2"這樣，就在y"p中出現(xiàn)了 u"及v",為避免它們的出現(xiàn)可先假定u'yi+v'y2=0 (1.10)則有y' p = uy1'

11、vy2'y"p = u'y1' v'y2" uy1" vy2"將上兩式代入方程(1.6 )得a(u'yi' v'y2' uyi" vy2")，b(uyi'-vy2')-c(uyi，vy2)2 =f(x) -c(uyi，vy2)=f(x)整理后得a(u'yi'v'y2')u(ayibyi'cyi)v(ay2"by?'cy2)= f(x)因為yi、y2均為方程(i.7)的解，所以有ayj+by'

12、+cy =0 ay2"+by2'+cy2 =0 ( a# 0)故得u' y'i v' y2'=f(x)(i.ii )(i.i0)是事先假定的，現(xiàn)在應(yīng)考慮進(jìn)去，即考慮下列方程組。u' yi v'y2 = 0f (x)u' y1v' y2'二a設(shè)k(x)=刈蟲¥常數(shù)，即k'(x) #0y2(x)yi y2yi，則yi=ky2,yi' = k'y2 + ky2'于是，方程組的系數(shù)行列式=丫佻'-'丫2 =(ky2)y2'-(ky2)'y2

13、2_=ky2y2 -k y2 = k0 0因此方程有唯一組解0y2f (x),f (x)/ay2'ay y2f (x)u -y1 y2y1y2-yl'y2ak' (x)y2(x)yl'y2'(1.(12)y10,yi'f(x)/a v'y1 y2yl'y2'f(x)"a y1_ k'(x)f(x)yiy2'-y2yiak'(x)y2(x)(1.(13)分別對上兩式積分，就可得 u(x)、v(x),再代入(1.9)就得(1.6)的特解yp,最 后根據(jù)通解結(jié)構(gòu)理論2知(1.6)的通解為y =

14、yc+yp例2求方程2y"-4y'-6y-3e2(1)的通解。解：先求對應(yīng)齊次方程2y"_4y'_6y = 0(2)k'(x) = -4e"xy2(x)=e3x的通解。特征方程是：2入2-4入-6=0入 1 =-1 ,入 2=3(3)由于2入2-4入-6=2 (入+1)(入-3),故特征根 ,從而對應(yīng)齊次方程通解為-x3xy 二 gec2e為了求方程(1)的通解，用待定函數(shù)法，即把(3)中g(shù)、5換為x的函數(shù)u(x)、v(x), 令yp =u(x)e" +v(x)e3x為方程(1)的一個特解，其中u(x)、v(x)為兩個待定函數(shù)。設(shè)k(x)= " =e"x,其中 y1(x) =e«y2(x)根據(jù)（1.12）及（1.13）兩式得u'(x)=f(x)ak'(x)y2(x)3e2x= 3 3x2(4ex)e3x 二一g，-ejx3e2x3 一二 t4x 3x =一二 e2(4e"x)e8(5)(6)對(5)、(6)兩式分別積分得u(x)= -e3xdx 二-e3x883，3工v(x) = -e dx = 一-