重慶大學工程彈塑性力學-第一章

1、彈塑性力學彈塑性力學重慶大學重慶大學 土木工程學院土木工程學院緒論緒論0.1 課程研究對象、研究任務課程研究對象、研究任務0.2 基本假定基本假定0.3 幾個基本概念幾個基本概念0.4 參考書目參考書目0.1 彈塑性力學的研究對象和任務彈塑性力學的研究對象和任務彈塑性力學彈塑性力學: :研究可變形固體受到外荷載、溫度研究可變形固體受到外荷載、溫度變化及邊界約束變動等作用時、彈變化及邊界約束變動等作用時、彈塑性變形和應力狀態(tài)的科學。塑性變形和應力狀態(tài)的科學。固體力學的一個分支學科固體力學的一個分支學科研究對象研究對象: :對實體結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)、桿件的進對實體結(jié)構(gòu)、板殼結(jié)構(gòu)、桿件的進一步分析。一步

2、分析。PPP研究方法研究方法: :材料力學、結(jié)構(gòu)力學材料力學、結(jié)構(gòu)力學: :簡化的數(shù)學模型簡化的數(shù)學模型研究任務研究任務: :彈塑性力學彈塑性力學: :較精確的數(shù)學模型較精確的數(shù)學模型建立并給出用材料力學、結(jié)構(gòu)力學方建立并給出用材料力學、結(jié)構(gòu)力學方法無法求解的問題的理論和方法。法無法求解的問題的理論和方法。給出初等理論可靠性與精確度的度量。給出初等理論可靠性與精確度的度量。學習目的學習目的: :確定一般工程結(jié)構(gòu)的彈塑性變形與內(nèi)確定一般工程結(jié)構(gòu)的彈塑性變形與內(nèi)力的分布規(guī)律。力的分布規(guī)律。確定一般工程結(jié)構(gòu)的承載能力。確定一般工程結(jié)構(gòu)的承載能力。為研究一般工程結(jié)構(gòu)的強度、振動、為研究一般工程結(jié)構(gòu)的強

3、度、振動、穩(wěn)定性打下理論基礎(chǔ)。穩(wěn)定性打下理論基礎(chǔ)。0.2 基本假定基本假定1).1).假定固體材料是連續(xù)介質(zhì)假定固體材料是連續(xù)介質(zhì)連續(xù)性假定連續(xù)性假定2).2).物體為均勻的物體為均勻的各向同性各向同性的的3).3).物體的變形屬于物體的變形屬于小變形小變形4).4).物體原來是處于一種物體原來是處于一種無應力無應力的自然狀態(tài)的自然狀態(tài)0.3 幾個基本概念幾個基本概念張量的概念張量的概念只需指明其大小即足以被說明的物理量，稱為標量標量溫度、質(zhì)量、力所做的功除指明其大小還應指出其方向的物理量，稱為矢量矢量物體的速度、加速度在討論力學問題時，僅引進標量和矢量的概念是不夠不夠的如應力狀態(tài)、應變狀態(tài)、

4、慣性矩、彈性模量等張量張量關(guān)于三維空間，描述一切物理恒量的分量數(shù)目可統(tǒng)一地表示成： M=rn=3n標量標量:n=0,:n=0,零階張量零階張量矢量矢量:n=1,:n=1,一階張量一階張量應力應力, ,應變等應變等:n=2,:n=2,二階張量二階張量二階以上的張量已不可能在三維空間有明顯直觀的幾何意義。0.3 幾個基本概念幾個基本概念為了書寫上的方便，在張量的記法中，都采用下標字母符號來表示和區(qū)別該張量的所有分量。這種表示張量的方法，就稱為下標記號法下標記號法。123( , , )( ,(1,)2,3ix y zx x xx i 下標記號法下標記號法: :,(, ),xxxyxzyxyyyzzx

5、ijzyzzi jx y z不重復出現(xiàn)的下標符號,在其變程N(關(guān)于三維空間N3)內(nèi)分別取數(shù)1，2，3，N重復出現(xiàn)的下標符號稱為啞標號,取其變程N內(nèi)所有分量，然后再求和，也即先羅列所有各分量，然后再求和。自由標號自由標號: :啞標號啞標號: :0.3 幾個基本概念幾個基本概念當一個下標符號在一項中出現(xiàn)兩次時，這個下標符號應理解為取其變程N中所有的值然后求和，這就叫做求和約定求和約定。求和約定求和約定: :1 122331122331 12 23 3( :1,2,3( :,1,2,3iiiiNiij jiiia xa xa xa xiiSlllliji j啞標，）自由下標，啞標，）d dij記號記

6、號：Kroneker-delta記號記號1001,0100,001ijijijijdd張量表示：0.3 幾個基本概念幾個基本概念凡是同階的兩個或兩個以上的張量可以相加(減），并得到同階的一個新張量，法則為：張量的計算張量的計算: :ijkijkijkABC1 、張量的加減第一個張量中的每一個分量乘以第二個張量中的每一個分量，從而得到一個新的分量的集合新張量，新張量的階數(shù)等于因子張量的階數(shù)之和。2 、張量的乘法ijklijkla bC張量導數(shù)就是把張量的每個分量都對坐標參數(shù)求導數(shù)。3 、張量函數(shù)的求導312,123ii iiuuuuuxxxx2222,yixzi jkjkjkjkjkuuuuux

7、xxxxxxx 0.4 主要參考書目主要參考書目Foundations of Solid Mechanics1 、Y.C.Fung(馮元楨)2 、楊桂通3 、徐秉業(yè)A first course in continuum mechanics 固體力學導論固體力學導論連續(xù)介質(zhì)力學導論連續(xù)介質(zhì)力學導論彈塑性力學彈塑性力學應用彈塑性力學應用彈塑性力學第一章第一章 彈塑性力學基礎(chǔ)彈塑性力學基礎(chǔ)1.1 應力張量應力張量1.2 偏量應力張量偏量應力張量1.3 應變張量應變張量1.4 應變速率張量應變速率張量1.5 應力、應變應力、應變 Lode參數(shù)參數(shù)0limnnApA 1.1 應力張量力學的語言力學的語言

8、yxzOnnA0limsnApA C過過C點可以做無點可以做無窮多個平面窮多個平面K不同的面上的應不同的面上的應力是不同的力是不同的到底如何描繪一到底如何描繪一點處的應力狀態(tài)點處的應力狀態(tài)? ?1).1).一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)yxzOyxyzyyxyzyzxzyzxyxzxxyxzxzxzyzPABCxxyxzijyxyyzzxzyz1.1 應力張量一點的應力狀態(tài)一點的應力狀態(tài)可由過該點的微小可由過該點的微小正平行六面體上的應力分量來確定。正平行六面體上的應力分量來確定。應力張量應力張量數(shù)學上，在坐標變換時，服從一數(shù)學上，在坐標變換時，服從一定坐標變換式的九

9、個數(shù)所定義的定坐標變換式的九個數(shù)所定義的量叫做量叫做。111213212223313233ij用張量下標記號法下標下標1、2、3表示坐標表示坐標x1、x2、x3即即x、y、z方向方向(1.1)(1.2)1.1 應力張量2).2).一點斜面上的應力一點斜面上的應力( (不計體力不計體力) )112233cos( ,)cos( ,)cos( ,)n xln xln xli ：自由下標；j為求和下標（同一項中重復出現(xiàn)）。3111 112 213 3113221 122 223 3213331 132 233 331Nj jjNj jjNj jjSllllSllllSllll斜截面外法線斜截面外法線n

10、 n的方向余弦的方向余弦: :Niij jSl令斜截面令斜截面ABCABC的面積為的面積為1 11122331 cos( ,)1 cos( ,)1 cos( ,)OBCOACOABSn xlSn xlSn xl (1.3)(1.4)1.1 應力張量斜截面斜截面OABC上的正應力上的正應力:1 12 23 322211 122 233 312 1 223 2 331 3 1222NNNNS lSlSlllll ll ll l斜截面斜截面OABC上的剪應力上的剪應力:2222123NNNNNSSS(1.5)(1.6)1.1 應力張量3).3).主應力及其不變量主應力及其不變量112233NNNSl

11、SlSl主平面主平面: :剪應力等于零的截面剪應力等于零的截面主應力主應力-: :主平面上的正應力主平面上的正應力111 112 213 3221 122 223 3331 132 233 3NNNSlllSlllSlll代入代入11112 213 321 122223 331 132 2333()0()0()0lllllllll采用張量下標記號采用張量下標記號()0iijjjldKroneker delta記號(1.7)(1.8)(1.9)1.1 應力張量d dij記號：記號：Kroneker-delta記號記號1,0,ijijijd方向余弦滿足條件：方向余弦滿足條件：2221231lll1

12、00010001ijd采用張量表示采用張量表示1i ill 聯(lián)合求解聯(lián)合求解 l1,l2,l3：11112 213 321 122223 331 132 2333222123()0()0()01lllllllllllll1,l2,l3不全等于不全等于0 01112132122233132330(1.10)(1.11)(1.12)(1.13)1.1 應力張量聯(lián)合求解聯(lián)合求解 l1,l2,l3：行列式展開后得：行列式展開后得：1112233kkJ112233122331213213133122233211122133()()()()()()0 簡化后得簡化后得321230JJJ(1.14)2223

13、3331111222122323313111()2iikkikkiJ 1112133212223313233ijJ(1.15)式中式中:是關(guān)于是關(guān)于的三次方程，它的三個根，即為三個主的三次方程，它的三個根，即為三個主應力，其相應的三組方向余弦對應于三組主平面。應力，其相應的三組方向余弦對應于三組主平面。主應力大小與坐標選擇無關(guān)，故主應力大小與坐標選擇無關(guān)，故J J1 1,J,J2 2,J,J3 3也必與坐標選擇無關(guān)。也必與坐標選擇無關(guān)。123,:JJJ應力不變量1.1 應力張量若坐標軸選擇恰與三個主坐標重合：若坐標軸選擇恰與三個主坐標重合：1123J2122331()J 3123J (1.16

14、)233112123,222主剪應力面：平分兩主平面夾角的平面，數(shù)值為：主剪應力面：平分兩主平面夾角的平面，數(shù)值為：(1.17)主剪應力主剪應力面面( 1 )213121311.1 應力張量最大最小剪應力：最大最小剪應力：取取主方向為坐標軸取向主方向為坐標軸取向, ,則一點處任一截面上的剪應力的計算式則一點處任一截面上的剪應力的計算式: :2222222222221231 12 23 31 12 23 3()()()()NNNNNSSSllllll2221231lll消去消去l3：2222222222213123231312323()()()()Nllll22113131232131()()(

15、)()02lll22223131232231()()()()02lll由極值條件由極值條件1200nnll及1.1 應力張量最大最小剪應力：最大最小剪應力：22113131232131()()()()02lll22223131232231()()()()02lll1200ll及12322;0;22lll 第一組解：第一組解：1200ll及第二組解：第二組解：2l消去第三組解：第三組解：13132 23232 12122 123220 ;22lll 12322;022lll 它們分別作用它們分別作用在與相應主方在與相應主方向成向成4545的斜截的斜截面上面上123max13min2 因為：因為：

16、1.1 應力張量4).4).八面體上的應力八面體上的應力 1 2 3沿主應力方向取坐標軸，與坐標軸等傾角的沿主應力方向取坐標軸，與坐標軸等傾角的八個面組成的圖形，稱為八個面組成的圖形，稱為八面體八面體。1231/3lll(1.19)八面體的法線方向余弦：八面體的法線方向余弦：八面體平面上應力在三個坐標軸上的投影分別為：八面體平面上應力在三個坐標軸上的投影分別為：123lll2221231lll八面體（每個坐標象限1個面）123arccos( )arccos( )arccos( )54 44lll或或11 1122 2233 33/3,/3,/3PlPlPl(1.20)1.1 應力張量4).4)

17、.八面體上的應力八面體上的應力 1 2 3八面體面上八面體面上的正應力的正應力為為:22281 12 23 31 12 23 3123111()33PlPlPllllJ八面體面上的剪應力為：八面體面上的剪應力為：八面體（每個坐標象限1個面）22222288812312322221223311211()()3912()()()333FJJ(1.23)(1.21)八面體面上的應力矢量為：八面體面上的應力矢量為：222222281231 12 23 3222123()()()1()3FPPPlll(1.22)平均正應力平均正應力1.1 應力張量例題例題: :已知一點的應力狀態(tài)由以下一組應力分量所確定

18、已知一點的應力狀態(tài)由以下一組應力分量所確定, 即即 x3, y0, z0, xy1 , yz 2, zx 1, 應力單位為應力單位為MPa。試求該點的主應力值。試求該點的主應力值。 代入式(1.14)后得:解解: :11122333003J2223333111122212232331311(3 0 1 1)(0 02 2)(0 3 1 1)6J 11121332122233132333 0 01 2 1 1 2 1 1 0 12 2 3 1 1 08J 323680(4)(1)(2)0解得主應力為解得主應力為:1234;1;2; 1.2 應力偏量張量1).1).應力張量分解應力張量分解物體的變

19、形物體的變形ij(1.32)體積改變體積改變形狀改變形狀改變由各向相等的應力狀態(tài)引起的由各向相等的應力狀態(tài)引起的材料晶格間的移動引起材料晶格間的移動引起的的球應力狀態(tài)球應力狀態(tài)/靜水壓力靜水壓力彈性性質(zhì)彈性性質(zhì)塑性性質(zhì)塑性性質(zhì)ijdijS球形應力張量球形應力張量偏量應力張量偏量應力張量1.2 應力偏量張量1).1).應力張量分解應力張量分解000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzSd(1.31)球形應力張量球形應力張量偏量應力張量偏量應力張量1122331111()333kkJ其中其中:平均正應力平均正應力/靜水壓力靜水壓力1.2 應力偏量張量2).2).主偏量應力和不變量主偏

20、量應力和不變量000000 xxyxzijijijyxyyzzxzyzSd(1.31)二階對稱張量二階對稱張量1231123S其中其中:剪應力分量始剪應力分量始終沒有變化終沒有變化123000000 xxyxzijyxyyzzxzyzSSSSSSS主偏量應力主偏量應力2132223S3123323S(1.33)1.2 應力偏量張量ijSij例例:設(shè)原應力狀態(tài) 主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)得證明：證明：ij123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyznlllllllll顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(a)中的任意兩式和l12+l22+l3

21、2=1所確定。(a)若設(shè)偏應力狀態(tài) 主方向的方向余弦為l1,l2,l3，則由式(1.9)同樣得：ijS123123123()0()0()0 xnxyxzyxynyzzxzyznSS lS lS lS lSS lS lS lS lSS l顯然，方向余弦l1,l2,l3將由式(b)中的任意兩式和l12+l22+l3 2=1所確定。(b)()()xnxmnmxnSS由于:()()ynymnmynSS()()znzmnmznSSl1=l1; l2=l2 ; l3= l3 可見式(a)與式(b)具有相同的系數(shù)，且已知l12+l22+l32= l12+l22+l3 2=11.2 應力偏量張量2).2).主

22、偏量應力和不變量主偏量應力和不變量11;S22;S33S(1.33)ijSij滿足三次代數(shù)方程式：滿足三次代數(shù)方程式：321230JJJ1112233222211222233331112233122212331230()1()122iiijijijJSSSJS SS SS SSSSSSSJS S SSS SS (1.34)式中式中J1,J2,J3為不變量為不變量(1.35)1.2 應力偏量張量(1.40)利用利用J1=0，不變量不變量J2還可寫為還可寫為:22222221122331223311(222)21212ijijiiJSSSSSSS SS S(1.38)222211222233331

23、12221223312222222221223311()()()66()1()1()()()()66()6xyyzzxxyyzzxJSSSSSSSSS1.2 應力偏量張量(1.43)3).3).等效應力等效應力( (應力強度應力強度) )22281223311()()()322221223311()()() 6J8223J在彈塑性力學中，為了使用方便，將 乘以系數(shù) 后，稱之為等效應力等效應力83/2123,0, 故2228122331231()()()322J(1.41)簡單拉伸時簡單拉伸時: :“等效等效”的命名由此而來。各正應力增加或減少一個平均應力，等效應力的數(shù)值不變，這也說明等效應力與

24、球應力狀態(tài)無關(guān)1.2 應力偏量張量(1.42)4).4).等效剪應力等效剪應力( (剪應力強度剪應力強度) )222212233111()()()26ijijTJS S1230,0, T 例：純剪時，“等效等效”的命名由此而來。例題：例題：已知結(jié)構(gòu)內(nèi)某點的應力張量如已知結(jié)構(gòu)內(nèi)某點的應力張量如右式，試求該點的球形應力張量、偏右式，試求該點的球形應力張量、偏量應力張量、等效應力及主應力數(shù)值。量應力張量、等效應力及主應力數(shù)值。 100100100MPa10010ij101010 / 310 / 310 / 300010 / 30MPa0010 / 320 / 3010040 / 3:0MPa1002

25、0 / 3mijS平均正應力球形應力張量量（）偏量應力張1.2 應力偏量張量222222211222233331112233131()()()6()21400 400 0 6(0 0 100)70010 7 MPa2J 11122332222112222333311122331222311223312233111232213331210()( 100 100 100)00 100200|21000 1000000ijJJJ 等效應力等效應力: :1.2 應力偏量張量關(guān)于主應力的方程為關(guān)于主應力的方程為: 20)20,0,10(10)0 2221223311()()()

26、 21400 10090070010 7 MPa2由主應力求等效應力由主應力求等效應力: :1.2 應力偏量張量1.3 應變張量1).1).一點應變狀態(tài)一點應變狀態(tài)位移位移剛性位移剛性位移變形位移變形位移物體內(nèi)各點的位置雖然均有變化，但任意兩物體內(nèi)各點的位置雖然均有變化，但任意兩點之間的距離卻保持不變。點之間的距離卻保持不變。物體內(nèi)任意兩點之間的相對距離發(fā)生了改變。物體內(nèi)任意兩點之間的相對距離發(fā)生了改變。要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內(nèi)各要研究物體在外力作用下的變形規(guī)律，只需要研究物體內(nèi)各點的相對位置變動情況，也即研究點的相對位置變動情況，也即研究變形位移變形位移位移函數(shù)位移

27、函數(shù)( , , )( , , )( , , )uu x y zvv x y zww x y z位置坐標的單值連續(xù)函數(shù)1.3 應變張量微小六面體單元的變形微小六面體單元的變形當物體在一點處有變形時，小單元體的當物體在一點處有變形時，小單元體的尺寸尺寸(即單元體各棱邊的長度即單元體各棱邊的長度)及形狀及形狀(即即單元體各面之間所夾直角單元體各面之間所夾直角)將發(fā)生改變。將發(fā)生改變。由于變形很微小，可以認為兩由于變形很微小，可以認為兩個平行面在坐標面上的投影只個平行面在坐標面上的投影只相差高階微量，可忽略不計。相差高階微量，可忽略不計。1.3 應變張量微小六面體單元的變形微小六面體單元的變形B點位移

28、分量點位移分量uudxxdxxD點位移分量點位移分量uudyydyyA點位移分量點位移分量uxOy的改變量的改變量:xy1.3 應變張量變形后變形后AB邊長度的平方邊長度的平方:222()()uA BdxdxdxxxM點沿點沿X方向上的方向上的線應變線應變:xA BABAB(1)(1)xxA BABdx(a)(b)22222xxuuxxx(c)代入代入(a)得得:xux略去高階微量略去高階微量yy同理，同理，M點沿點沿Y方向方向上的上的線應變線應變:1.3 應變張量tan1dxxxuudxdxxx同理同理:1,ux略去xuyxOy的改變量，即的改變量，即剪應變剪應變:xyuyx1.3 應變張量

29、122zuy ,uvyx同時存在12zuxy對角線對角線AC線的線的轉(zhuǎn)角轉(zhuǎn)角:122zvx剛性轉(zhuǎn)動剛性轉(zhuǎn)動1.3 應變張量(1.44)1).1).一點應變狀態(tài)一點應變狀態(tài)工程應變分量：工程應變分量：xyxyyzzzxuvuyxxvvwyzywwuzxz(幾何方程幾何方程/柯西幾何關(guān)系柯西幾何關(guān)系)1.3 應變張量(1.45)1).1).一點應變狀態(tài)一點應變狀態(tài)受力物體內(nèi)某點處所取無限多方向上的受力物體內(nèi)某點處所取無限多方向上的線應變線應變與與剪應變剪應變( (任意兩相任意兩相互垂直方向所夾直角的改變量互垂直方向所夾直角的改變量) )的的總和總和，就表示了該點的應變狀態(tài)。，就表示了該點的應變狀態(tài)

30、。定義定義: :,12iji jj iuu（）111213212223313233112211221122xxyxzijyxyyzzxzyz應變張量應變張量: :123, ,u v wu uu1111,11xxuux21122,11,21211()()22xyuuuuxx(1.46)1.3 應變張量2).2).主應變及其不變量主應變及其不變量由全微分公式由全微分公式: :, ,u v w uuududxdydzxyzM點的位移分量點的位移分量,udu vdv wdwN點的位移分量點的位移分量vvvdvdxdydzxyzwwwdwdxdydzxyz11221122uvuwdydzyxzuuvuw

31、dxdydzxxyxzx表示剛性轉(zhuǎn)動，不引起應表示剛性轉(zhuǎn)動，不引起應變，計算應變時可忽略。變，計算應變時可忽略。1.3 應變張量xxyxzdudxdydz在主應變空間中在主應變空間中: :yxyyzdvdxdydzzxzyzdwdxdydziijjdudxrxxyxzdudxdxdydzryxyyzdvdydxdydzrzxzyzdwdzdxdydz()0 xrxyxzdxdydz()0yxyryzdxdydz()0zxzyzrdxdydzrdrdudvdwrdxdydz;rrrdudx dvdy dwdz主平面法線方主平面法線方向的線應變向的線應變主應變主應變: :1.3 應變張量類似于應力

32、張量類似于應力張量: :111223312322221122223333111223311112133212223313233ijIII 其中其中: :(1.47)(1.48)1122331133kk（）平均正應變平均正應變: :1.3 應變張量偏量應變張量偏量應變張量: :(1.52)13ijijijijkkijed deij 的主軸方向與ij 的主方向一致，主值為: e1 1 ， e2 2 ， e3 3滿足三次代數(shù)方程式：321231231112233123222211 2222 3333 1112233122212331 2 30,0()1()2iiiijijeI eIeIIIIeIee

33、eeeeIe ee ee eeeeeeeIee e e 式中為 的三個不變量，(1.50)(1.51)222212233111()()() 26ijijIe eI I2 2應用較廣應用較廣, ,又可表達為又可表達為: :1.3 應變張量等效應變等效應變( (應變強度應變強度):):(1.54)2222122331123222()()()9331,2ijijIe e 例：簡單拉伸時，故等效剪應變等效剪應變( (剪應變強度剪應變強度):):222212233113222()()()2310,0,2ijijIe e 例：純剪時，故(1.55)1.4 應變速率張量一般來說物體變形時，體內(nèi)任一點的變形不

34、但與坐標有關(guān)，一般來說物體變形時，體內(nèi)任一點的變形不但與坐標有關(guān)，而且與時間也有關(guān)。如以而且與時間也有關(guān)。如以u、v、w表示質(zhì)點的位移分量，則表示質(zhì)點的位移分量，則:;xyzdudvdwVVVdtdtdt設(shè)設(shè)應變速率分量應變速率分量為為: :;xxyyzzVxVyVz;yxxyyzyzxzzxVVyxVVzyVVxziiduvdt質(zhì)點的運動速度分量質(zhì)點的運動速度分量1.4 應變速率張量xxyyzzzxyVduduxx dtdtxVdvdvyy dtdtyVdwdwzzdtdtzuxvywzyxxyyzyzxzzxyyzxVVdudvduvyxy dtx dtdtyxVVdvdwdvwzyz d

35、tydtdtzyVVdwduxzxduvyxvwytz dtzzxdwudtxzwuxz線應變速率線應變速率在在小變形情況小變形情況下，下，應變速率分量應變速率分量與與應變分量應變分量之間存在有簡單關(guān)系之間存在有簡單關(guān)系: :剪剪應應變變速速率率1.4 應變速率張量112211221122xxyxzijyzyyzzxzyz在在小變形情況小變形情況下的下的應變速率張量應變速率張量: :,1()2iji jj iuu,1()2iji jj iVV(1.56)可縮寫為可縮寫為在一般情況下，應變速率主在一般情況下，應變速率主方向與應變主方向不重合，方向與應變主方向不重合，且在加載過程中發(fā)生變化。且在加

36、載過程中發(fā)生變化。1.4 應變速率張量應變增量應變增量: :,1()2iji jj iddudu應變增量應變增量由位由位移增量微分得：移增量微分得：由于時間度量的絕對值對塑性規(guī)律沒有影響，因此由于時間度量的絕對值對塑性規(guī)律沒有影響，因此dt可不代可不代表真實時間，而是代表一個加載過程。因而表真實時間，而是代表一個加載過程。因而用應變增量張用應變增量張量來代替應變率張量量來代替應變率張量更能表示不受時間參數(shù)選擇的特點。更能表示不受時間參數(shù)選擇的特點。(1.57)應變微分應變微分由兩由兩時刻應變差得：時刻應變差得：,()()( )1()( )()( )2ijijijiijjjidtttu ttu

37、tu ttu t 22,22,1()111()2221()()22)ijiijjjiiii jjjjiddudududududududu泰勒級數(shù)展開泰勒級數(shù)展開高階微量高階微量()ijijdd忽略高階微量忽略高階微量1.5 應力和應變的Lode參數(shù)一一、應力莫爾圓應力莫爾圓（表示一點應力狀態(tài)的圖形）（表示一點應力狀態(tài)的圖形） : :任一斜面上應力任一斜面上應力位于陰影線內(nèi)位于陰影線內(nèi)m=Q2A/Q1A=(Q2Q3-Q1Q2)/Q1Q3AO312O3O2O1Q3Q2Q1如果介質(zhì)中某點的三個主應如果介質(zhì)中某點的三個主應力的大小為已知，便可以在力的大小為已知，便可以在 - - 平面內(nèi)繪出相應的應力圓

38、。平面內(nèi)繪出相應的應力圓。1.5 應力和應變的Lode參數(shù)一一、應力莫爾圓應力莫爾圓（表示一點應力狀態(tài)的圖形）（表示一點應力狀態(tài)的圖形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q12221 12 23 3lll222 23 22 21 12 23 3lll2221231lll222311213()()()()l223122321()()()()l221233132()()()()l(1.61)223()()0231()()0212()()01231.5 應力和應變的Lode參數(shù)一一、應力莫爾圓應力莫爾圓（表示一點應力狀態(tài)的圖形）（表示一點應力狀態(tài)的圖形） : :AO312O3O2O1Q3Q2Q1

39、222232311()()24(1.63)222313111()()24222121211()()24式(1.63)表明，當一點處于空間應力狀態(tài)時，過該點的任一斜截面上的一對應力分量、一定落在分別以(1-2)2、 (2-3)2 、 (3- 1)2為半徑的三個圓的圓周所包圍的陰影面積(包括三個圓周)之內(nèi)。1.5 應力和應變的Lode參數(shù)若在一應力狀態(tài)上再疊加一個球形應力狀態(tài)若在一應力狀態(tài)上再疊加一個球形應力狀態(tài)(各向等拉或各向等壓各向等拉或各向等壓)，則應力，則應力圓的三個直徑并不改變，只是整個圖形沿橫軸發(fā)生平移。圓的三個直徑并不改變，只是整個圖形沿橫軸發(fā)生平移。應力圓在橫軸上的整體位置取決于球

40、形應力張量；而各圓的大小應力圓在橫軸上的整體位置取決于球形應力張量；而各圓的大小(直徑直徑)則則取決于偏應力張量，與球形應力張量無關(guān)。取決于偏應力張量，與球形應力張量無關(guān)。 一點應力狀態(tài)中的主應力按同一比例縮小或增大一點應力狀態(tài)中的主應力按同一比例縮小或增大(應力分量的大小有改變，但應力分量的大小有改變，但應力狀態(tài)的形式不變應力狀態(tài)的形式不變)，則應力圓的三個直徑也按同一比例縮小或增大，即，則應力圓的三個直徑也按同一比例縮小或增大，即應力變化前后的兩個應力圓是相似的。這種情況相當于偏量應力張量的應力變化前后的兩個應力圓是相似的。這種情況相當于偏量應力張量的各分量的大小有了改變，但張量的形式保持

41、不變。各分量的大小有了改變，但張量的形式保持不變。 1.5 應力和應變的Lode參數(shù)二、二、應力應力Lode參數(shù)參數(shù): :幾何意義幾何意義: :應力圓上應力圓上Q Q2 2A A與與Q Q1 1A A之比，或兩內(nèi)圓直徑之比，或兩內(nèi)圓直徑之差與外圓直徑之比。之差與外圓直徑之比。球形應力張量對塑性變形沒有明顯影響，因而常球形應力張量對塑性變形沒有明顯影響，因而常把這一因素分離出來，而著重研究偏量應力張量。把這一因素分離出來，而著重研究偏量應力張量。為此，引進參數(shù)為此，引進參數(shù)Lode參數(shù)參數(shù)：132232312131313()()2212m Lode參數(shù)：表征參數(shù)：表征Q2在在Q1與與Q3之間的相對位置，反之間的相對位置，反映中間主應力對屈服的貢獻。映中間主應力對屈服的貢獻。AO312O3O2O1Q3Q2Q1(1.64)1.5 應力和應變的Lode參數(shù)應力應力Lode參數(shù)的參數(shù)的物理意義物理意義：1、與、與平均應力無關(guān)；平均應力無關(guān)；2 2、其、其值確定了應力圓的三個直徑之比；值確定了應力圓的三個直徑之比；3 3、如果兩個應力狀態(tài)的如果兩個應力狀態(tài)的Lode參數(shù)相等，