新課標(biāo)高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式三教學(xué)設(shè)計 新人教A版必修5

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料（新課標(biāo)）高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式（三）教學(xué)設(shè)計 新人教a版必修5從容說課通過投影儀展示實際情景,回憶基本不等式： 的推導(dǎo)與證明過程,以及應(yīng)用的條件：一正、二定、三等.復(fù)習(xí)對基本不等式展開的一些簡單應(yīng)用,通過數(shù)與形的結(jié)合,讓學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟到基本不等式成立的條件是a0、b0.在應(yīng)用的過程中,讓學(xué)生對基本不等式的結(jié)構(gòu)特征達(dá)到充分認(rèn)識,并能夠靈活把握,為本節(jié)課基本不等式的實際應(yīng)用,打下堅實的基礎(chǔ).在本節(jié)課的教學(xué)過程中,仍強(qiáng)調(diào)不等式的現(xiàn)實背景和實際應(yīng)用,真正地把不等式作為刻畫現(xiàn)實世界中不等關(guān)系的工具.通過實際問題的分析解決,讓學(xué)生去體會基本不等式所具有的廣泛的實用價值,同

2、時,也讓學(xué)生去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值.本節(jié)課設(shè)置的具體例題會涉及與函數(shù)、方程、三角等許多數(shù)學(xué)本身的知識與方法的處理,重點是解決實際問題.對具體例題的分析和求解過程中,設(shè)置思考項,讓學(xué)生探究,層層鋪設(shè),從而激發(fā)學(xué)生去熱愛數(shù)學(xué)、研究數(shù)學(xué).而不是覺得數(shù)學(xué)只是一門枯燥無味的推理學(xué)科.在本節(jié)課的研究過程中,要求學(xué)生能用數(shù)學(xué)的眼光、觀點去看待現(xiàn)實生活中的許多問題,進(jìn)而構(gòu)建他們更完善的知識網(wǎng)絡(luò),培養(yǎng)與鍛煉他們的數(shù)學(xué)建模能力.根據(jù)本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容,應(yīng)用觀察、閱讀、歸納、邏輯分析、思考、合作交流、探究,對基本不等式展開實際應(yīng)用,進(jìn)行啟發(fā)、探究式教學(xué)并使用投影儀輔助.依據(jù)學(xué)生平時的學(xué)習(xí)興趣、習(xí)慣、方法、能力等,通過富

3、有現(xiàn)實意義的實際問題的解決,去培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的熱愛是本節(jié)課的重點之一,構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題.教學(xué)重點 1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題;2.讓學(xué)生探究用基本不等式解決實際問題;3.通過富有現(xiàn)實意義的實際問題的解決,去培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的熱愛.教學(xué)難點 1.學(xué)生探究用基本不等式解決實際問題;2.基本不等式應(yīng)用時等號成立條件的考察;3.通過富有現(xiàn)實意義的實際問題的解決,去培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的熱愛.教具準(zhǔn)備 實物投影儀、膠片、三角板、刻度尺三維目標(biāo)一、知識與技能1.構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題;2.讓學(xué)生探究用基本不等式解決實際問題;3.通過富有

4、現(xiàn)實意義的實際問題的解決,去培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)這門學(xué)科的熱愛.二、過程與方法1.采用探究法,按照觀察、閱讀、歸納、思考、交流、邏輯分析、抽象應(yīng)用的方法進(jìn)行啟發(fā)式教學(xué);2.教師提供問題、素材,并及時點撥,發(fā)揮老師的主導(dǎo)作用和學(xué)生的主體作用;3.設(shè)計較典型的具有挑戰(zhàn)性的問題,激發(fā)學(xué)生去積極思考,從而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣.三、情感態(tài)度與價值觀1.通過具體問題的解決,讓學(xué)生去感受、體驗現(xiàn)實世界和日常生活中存在著大量的不等量關(guān)系并需要從理性的角度去思考,鼓勵學(xué)生用數(shù)學(xué)觀點進(jìn)行類比、歸納、抽象,使學(xué)生感受數(shù)學(xué)、走進(jìn)數(shù)學(xué)、培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣和良好的思維習(xí)慣;2.學(xué)習(xí)過程中,通過對問題的探究思考,廣泛參

5、與,培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣,主動、積極的學(xué)習(xí)品質(zhì),從而提高學(xué)習(xí)質(zhì)量;3.通過對富有挑戰(zhàn)性問題的解決,激發(fā)學(xué)生頑強(qiáng)的探究精神和嚴(yán)肅認(rèn)真的科學(xué)態(tài)度,同時去感受數(shù)學(xué)的應(yīng)用性,體會數(shù)學(xué)的奧秘,數(shù)學(xué)的簡潔美,數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)謹(jǐn)美,從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.教學(xué)過程導(dǎo)入新課師 前兩節(jié)課我們已經(jīng)復(fù)習(xí)了解不等式及簡單不等式的證明.復(fù)習(xí)了簡單線性規(guī)劃問題的解法與一元二次不等式表示的區(qū)域和二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的聯(lián)系.進(jìn)而鞏固簡單線性規(guī)劃問題的解法的步驟和過程,并展開一些應(yīng)用.本節(jié)課我們將復(fù)習(xí)構(gòu)建基本不等式解決函數(shù)的值域、最值問題及繼續(xù)探究用基本不等式解決實際問題.請同學(xué)們回憶下,用基本不等式時的注意點是什么？

6、生 （齊聲）應(yīng)用時要注意條件：一正、二定、三等.很好.看出同學(xué)們對基本不等式掌握的非常好,下面我們就來研究基本不等式的應(yīng)用.(此時,老師用投影儀陸續(xù)給出問題)推進(jìn)新課【例1】當(dāng)0x2時,求函數(shù)y=x（2-x）的最大值.師 函數(shù)y=x（2-x）是積的形式,求最大值實質(zhì)是要做什么樣的轉(zhuǎn)化？生 可以使用平均值定理把積的形式轉(zhuǎn)化成和的形式.師 平均值定理是對正數(shù)而言的,由于x,2-x都是正數(shù),所以y=x(2-x)()2在什么條件下“”取“=”？生 當(dāng)且僅當(dāng)x=2-x,即x=1時,取等號.此時,y的最大值為1.師 把積的形式化為和的形式,這個和應(yīng)該為定值才行.通過這個例題,請同學(xué)們回憶下如何用基本不等式

7、求最值？（教師板演）生 運(yùn)用平均值定理求函數(shù)的最值時,必須要有和的定值或積的定值出現(xiàn),即當(dāng)a,br+,a+b=k(定值)時,ab()2= (定值).當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”.不等式可以在求函數(shù)的最大值時使用.當(dāng)a,br+,ab=m(定值)時,a+b2ab=2m(定值).當(dāng)且僅當(dāng)a=b時,取“=”.不等式可以在求函數(shù)的最小值時使用.師 這位同學(xué)講得非常好,講得很全面.請繼續(xù)思考下面的問題.合作交流【例2】若正數(shù)x,y滿足6x+5y=36,求xy的最大值.（教師可以先讓學(xué)生進(jìn)行討論,然后再請一位同學(xué)上黑板板演）師 已知是兩正數(shù)和的等式.要求兩數(shù)積的最大值,該如何轉(zhuǎn)化用基本不等式呢？生 已知是兩正

8、數(shù)和的等式.要求兩數(shù)積的最大值,可以由,得到,即可解出xy的最大值.（板演）解：因為x,y為正數(shù),則6x,5y也是正數(shù),所以.當(dāng)且僅當(dāng)6x=5y時,取“=”.因為6x+5y=36,則,即.所以xy的最大值為.（教師結(jié)合學(xué)生的板演,作及時點撥）師 函數(shù)式中含有根式,不容易看出定積是否存在,用什么方法解決這個問題？生 可以先用換元法把根式去掉,再把函數(shù)式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.師 很好.大家不妨用換元法來嘗試下.設(shè),則2x=u2-3,所以y=u2+ -3=u2+ + -33 -3=9.當(dāng)且僅當(dāng),即u = 2時,取“=”.當(dāng)u = 2時,.所以當(dāng)時,y有最小值9.師 換元法是常用的數(shù)學(xué)思想方法,能幫助我們把復(fù)雜問

9、題簡單化.（教師結(jié)合學(xué)生的板書有漏洞或錯誤,可以邊糾正,邊點撥,邊總結(jié)應(yīng)用平均值定理求函數(shù)最值的步驟.這樣能真正突出學(xué)生學(xué)習(xí)的主體地位）師 應(yīng)用平均值定理求函數(shù)的最值,要注意的問題有：（）函數(shù)式中諸元素是否為正數(shù)；（）諸元素的和或積是否為定值；（）判斷“=”是否成立.師 請同學(xué)們繼續(xù)思考下面的問題.例題剖析【例3】為了保護(hù)環(huán)境,造福人類,某縣環(huán)保部門擬建一座底面積為200 m 2的長方體二級凈水處理池(如圖),池深度一定,池的外壁建造單價為每平方米400元,中間一條隔墻建造單價為每平方米100元,池底建造單價為每平方米60元.一般情形下,凈水處理池的長設(shè)計為多少米時,可使總造價最底?師 為了求

10、出此例中的最值我們可以先建目標(biāo)函數(shù),再求解.生 設(shè)凈水池長為xm,則寬為m,高為h m,則總造價f(x)=400(2x+2·)·h+100··h+60×200=800h(x+)+12 000(x0).當(dāng)且僅當(dāng) (x0),即x=15時上述不等式取到等號.故當(dāng)凈水池的長設(shè)計為15 m時總造價最低.師 這位同學(xué)解得非常好.對應(yīng)用問題的處理,關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題,列好函數(shù)關(guān)系式是求最值的基本保證.用基本不等式創(chuàng)設(shè)不等量關(guān)系也是經(jīng)常采用的方式方法,請同學(xué)們以后在解決有關(guān)最值問題是要注意這條解題思路的靈活應(yīng)用.課堂小結(jié)師 本節(jié)課我們復(fù)習(xí)了哪些知識

11、、方法？同學(xué)們用這些知識、方法解決了什么問題？通過本節(jié)課的復(fù)習(xí),同學(xué)們又有什么收獲呢？生 我們以基本不等式為基礎(chǔ),由具體問題,構(gòu)建基本不等式來解決有關(guān)函數(shù)的值域、最值問題.探究用基本不等式解決實際問題.掌握了解決實際應(yīng)用題的一般程序,即審題、建模、研究模,再回到實際問題驗證作答.師 同學(xué)們總結(jié)得很好.通過本節(jié)課的復(fù)習(xí),我們進(jìn)一步感受到,數(shù)學(xué)這門學(xué)科,它是來源于生活,又作用于生活,也是一門基礎(chǔ)科學(xué),同學(xué)們應(yīng)當(dāng)感受到數(shù)學(xué)對物理、化學(xué)等其他學(xué)科的作用,應(yīng)當(dāng)正視數(shù)學(xué)的地位和作用,并且能夠認(rèn)真地去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).布置作業(yè)復(fù)習(xí)參考題p115,組1、2.板書設(shè)計本章復(fù)習(xí)（三）復(fù)習(xí)引入 題組基本不等式 例 方法歸納

12、 方法引導(dǎo) 小結(jié)實例剖析（知識方法應(yīng)用）示范解題習(xí)題詳解（課本第115頁復(fù)習(xí)參考題）組1.2.化簡得a=x-2x3,b=xx-4或x2,所以ab=x2x3.3.當(dāng)k0時,一元二次不等式2kx2+kx-0對一切實數(shù)x都成立,即二次函數(shù)y=2kx2 +kx在x軸下方,k2-4(2k)( )0,解之,得 -3k0.當(dāng)k0時,二次函數(shù)y=2kx2+kx開口朝上,一元二次不等式2kx2+kx0不可能對一切實數(shù)x都成立.所以-3k0.4.不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)的整點坐標(biāo)是(-1,-1) .5.設(shè)每天派出型車x輛,型車y輛,成本為z,所以題目中包含的限制條件為目標(biāo)函數(shù)為z=160x+252y,把z=160

13、x+252y變形為,得到斜率為,在y軸上的截距為.隨z變化的一族平行線,在滿足可行域的整點中,點(7,1)使得x取得最小值.所以每天派出型車輛,型車輛,成本最小.答：電視臺每周應(yīng)播映連續(xù)劇甲次,播映連續(xù)劇乙次,才能獲得最高收視率.6.設(shè)扇形的半徑是x,扇形的弧長為y,因為xy,扇形的周長為z=2x+y2=4.當(dāng)2x=y,即x=,y=2時, z可以取到最小值,最小值為4.7.設(shè)扇形的半徑是x,扇形的弧長為y,因為p=2x+y,扇形的面積為.當(dāng)2x=y,即,時,可以取到z的最大值,半徑為時扇形面積最大值為.8.設(shè)汽車的運(yùn)輸成本為y,y=(bv2+a)×,當(dāng) sbv=,即v=c時,y有最小

14、值.y=sbv+ =2s,最小值為2s.當(dāng)c時,由函數(shù)y=sbv+的單調(diào)性可知v=c時y有最小值,最小值為sbv+.b組1.d2.(1)xx-2或-2x或x6；(2)x-1或x或x3.3.m=1.4.設(shè)生產(chǎn)褲子x條,裙子y條,收益為z.則目標(biāo)函數(shù)為z=20x+40y.所以約束條件為5.因為x2+y2是區(qū)域內(nèi)的點到原點的距離的平方,所以,當(dāng)即xa=2,ya=3時,(x2+y2)的最大值為3.當(dāng)即xc=1,yc=0時,(x2+y2)的最小值為1.6.按第一種策略購物.設(shè)第一次購物時的價格為p1,購物n kg,第二次購物時的價格為p2,仍購n kg,按這種策略購物時兩次購物的平均價格為.若按第二種策

15、略購物,第一次花m元錢,能購kg物品,第二次仍花m元錢,能購kg物品,兩次購物的平均價格為.比較兩次購物的平均價格：所以,第一種策略的平均價格高于第二種策略的平均價格,因而,用第二種策略比較經(jīng)濟(jì).一般地.如果是n次購買同一種物品,用第二種策略購買比較經(jīng)濟(jì).備課資料備用例題【例1】 已知0x,求函數(shù)y=x（1-3x）的最大值.分析一：原函數(shù)式可化為y=-3x2+x,利用二次函數(shù)求某一區(qū)間的最值.解法一：（利用二次函數(shù)法可獲得求解）（解略）分析二：挖掘隱含條件,3x+1-3x=1為定值,且0x,則1-3x0；可用均值不等式. 解法二：0x,1-3x0.y=x（1-3x）=·3x（1-3x

16、）（）2=.當(dāng)且僅當(dāng) 3x=1-3x,即時,.【例2】求y=sinx+的最小值,x（0,）.錯解:x（0,）,sinx0.y=sinx+25.ymix=25.錯因：y=25的充要條件是sinx=,即sin2x=5,這是不存在的.正解：x（0,）,sinx0.又y=sinx+,當(dāng)且僅當(dāng),即sinx=1時,取“=”,而此時也有最小值4,當(dāng)sinx=1時,ymin=6. 【例3】已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1,求的最小值.錯解:1=2x+y2,即.,即的最小值為.錯因：過程中兩次運(yùn)用了均值不等式中取“=”過渡,而這兩次取“=”的條件是不同的,故結(jié)果錯.正解一：2x+y=1,當(dāng)且僅當(dāng),即y=2x時,取

17、“=”.而,即此時ymin=3+2.正解二： (以下同一).小結(jié)：用均值不等式求最值時,要注意檢驗最值存在的充要條件,特別地,如果多次運(yùn)用均值不等式求最值,則要考慮多次“”（或者“”）中取“=”成立的諸條件是否相容.【例4】 已知正數(shù)x、y滿足xy=x+y+3,試求xy、x+y的范圍.解法一：由x0,y0,則xy=x+y+3xy-3=x+y2,即（）2-2+30.解得y-1(舍)或3,當(dāng)且僅當(dāng)x=y且xy=x+y+3,即x=y=3時取“=”,故xy的取值范圍是9,+).又x+y+3=xy()2(x+y)2-4(x+y)-120x+y-2(舍)或x+y6,當(dāng)且僅當(dāng)x=y且xy=x+y+3,即x=

18、y=3時取“=”,故x+y的取值范圍是6,+).解法二：由x0,y0,xy=x+y+3(x-1)y=x+3知x1,則,由y00x1,則,當(dāng)且僅當(dāng)x-1= (x0),即x=3,并求得y=3時取“=”,故xy的取值范圍是9,+). .當(dāng)且僅當(dāng)x-1= (x0),即x=3,并求得y=3時取“=”,故xy的取值范圍是9,+).點評：解法一具有普遍性,而且簡潔實用,易于掌握,解法二要求掌握構(gòu)造的技巧.總之,利用均值不等式求最值的方法多樣,而且變化多端,要掌握常見的變形技巧,掌握常見題型的求解方法,加強(qiáng)訓(xùn)練、多多體會,才能達(dá)到舉一反三的目的.【例5】 用一塊鋼錠燒鑄一個厚度均勻,且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖),設(shè)容器高為h米,蓋子邊長為a米,(1)