61基本概念62可分離

1、微分方程 第六章yxfy求已知, )( 積分問題積分問題 yy求及其若干階導(dǎo)數(shù)的方程已知含, 微分方程問題微分方程問題 推廣 幾何問題幾何問題物理問題物理問題來源：引例引例1. 一曲線通過點(diǎn)(1,2) ,在該曲線上任意點(diǎn)處的解解: 設(shè)所求曲線方程為 y = y(x) , 則有如下關(guān)系式:xxy2ddxxyd2cx 2(c為任意常數(shù))由 得 c = 1,.12 xy因此所求曲線方程為21xy由 得切線斜率為 2x , 求該曲線的方程 . 引例引例2. 列車在平直路上以sm20的速度行駛, 制動(dòng)時(shí)獲得加速度,sm4 . 02a求制動(dòng)后列車的運(yùn)動(dòng)規(guī)律.解解: 設(shè)列車在制動(dòng)后 t 秒行駛了s 米 ,已

2、知4 . 0dd22ts,00ts200ddtts由前一式兩次積分, 可得2122 . 0ctcts利用后兩式可得0,2021cc因此所求運(yùn)動(dòng)規(guī)律為tts202 . 02說明說明: 利用這一規(guī)律可求出制動(dòng)后多少時(shí)間列車才能停住 , 以及制動(dòng)后行駛了多少路程 . 即求 s = s (t) .常微分方程偏微分方程含未知函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的方程叫做微分方程微分方程 .方程中所含未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)的最高階數(shù)叫做微分方程(本章內(nèi)容)0),()(nyyyxf),() 1()(nnyyyxfy( n 階顯式微分方程)微分方程的基本概念微分方程的基本概念一般地 , n 階常微分方程的形式是的階階.分類或,00ts200d

3、dtts引例24 . 022ddxy 使方程成為恒等式的函數(shù).通解通解 解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程) 1(00) 1(0000)(,)(,)(nnyxyyxyyxy 確定通解中任意常數(shù)的條件.n 階方程的初始條件初始條件( (或初值條件或初值條件) ):的階數(shù)相同.特解特解xxy2dd21xy引例1 cxy22122 . 0ctcts通解:tts202 . 0212 xy特解:微分方程的解解 不含任意常數(shù)的解, 定解條件定解條件 其圖形稱為積分曲線積分曲線. .例例1. 驗(yàn)證函數(shù)是微分方程tkctkcxsincos2122ddtx的解,0axt00ddttx的特解 . 解解: 22dd

4、txt kkcsin22)cossin(212t kct kckxk2這說明tkctkcxsincos21是方程的解 . 是兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù),21,cc),(21為常數(shù)cct kkccos2102xk利用初始條件易得: ,1ac 故所求特解為tkaxcos,02c故它是方程的通解.并求滿足初始條件 轉(zhuǎn)化 可分離變量的微分方程、齊次方程 第二節(jié)解分離變量方程解分離變量方程 xxfyygd)(d)(一、可分離變量方程一、可分離變量方程 )()(dd21yfxfxy0 )(d )(11xnxxmyynymd)( )(22分離變量方程的解法分離變量方程的解法:xxfyygd)(d)(設(shè) y (x)

5、是方程的解, xxfxxxgd)(d)()(兩邊積分, 得 yygd)(xxfd)(cxfyg)()(則有恒等式 )(yg)(xf當(dāng)g(y) 與f(x) 可微且 g(y) g(y)0 時(shí), 說明由確定的隱函數(shù) y(x) 是的解. 則有稱為方程的隱式通解, 或通積分.同樣,當(dāng)f(x)= f (x)0 時(shí),上述過程可逆,由確定的隱函數(shù) x(y) 也是的解. 例例1. 求微分方程yxxy23dd的通解.解解: 分離變量得xxyyd3d2兩邊積分xxyyd3d2得13lncxycxylnln3即13cxey31xcee3xecy 1cec令( c 為任意常數(shù) )或說明說明: 在求解過程中每一步不一定是

6、同解變形, 因此可能增、減解.( 此式含分離變量時(shí)丟失的解 y = 0 )例例2. 解初值問題0d)1(d2yxxyx 分離變量得xxxyyd1d2兩邊積分得cxyln11lnln2即cxy12由初始條件得 c = 1,112xy( c 為任意常數(shù) )故所求特解為 1)0(y解解: 顯然顯然y=0不是該問題的解，不是該問題的解，. 0 y(1)d1uuueeue.dd的通解求方程yxexy解法解法 1 分離變量xeyexyddceexy即01)(yxece( c 0 )解法解法 2, yxu令yu1則故有ueu1積分cxeuu1dcxeuu)1 (ln( c 為任意常數(shù) )所求通解:cyeyx

7、)1(ln22()d()d0 xxyxx yyy的通解. 練習(xí)：求微分方程提示提示: 分離變量xxxyyyd1d122例例3.二、齊次方程二、齊次方程形如)(ddxyxy的方程叫做齊次方程齊次方程 .令,xyu ,xuy 則代入原方程得,ddddxuxuxy)(dduxuxuxxuuud)(d兩邊積分, 得xxuuud)(d積分后再用xy代替 u, 便得原方程的通解.解法:分離變量: 例例1. 解微分方程.tanxyxyy解解:,xyu 令,uxuy則代入原方程得uuuxutan分離變量xxuuuddsincos兩邊積分xxuuuddsincos得,lnlnsinlncxuxcu sin即故原

8、方程的通解為xcxysin( 當(dāng) c = 0 時(shí), y = 0 也是方程的解)( c 為任意常數(shù) )例例2. 解微分方程.0dd)2(22yxxyxy解解:,2dd2xyxyxy方程變形為,xyu 令則有22uuuxu分離變量xxuuudd2積分得,lnln1lncxuuxxuuudd111即代回原變量得通解即cuux )1(ycxyx)(說明說明: 顯然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在(c 為任意常數(shù))求解過程中丟失了. yxyxdxdy 解解: :xyxydxdy 11令令xyu 則則dxduxudxdy 代入化簡(jiǎn)代入化簡(jiǎn) 并分離變量并分離變量dxxduuu1112 兩邊積分兩邊積分cxuulnln)1ln(21arctan2 換回原變量換回原變量cxxyxylnln)1ln(21arctan22 或或22arctanyxcexy 例例3. 解微分方程解微分方程內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 微分方程的概念微分方程;定解條件;2. 可分離變量方程的求解方法:說明