西安交大高數(shù)21

1、第四節(jié)第四節(jié) 隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確隱函數(shù)及由參數(shù)方程所確 定的函數(shù)的導數(shù)定的函數(shù)的導數(shù) 相關變化率相關變化率 一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù) 二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法 三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) 四、相關變化率四、相關變化率 五、小結(jié)五、小結(jié) 思考題思考題一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù)定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數(shù)求導法

2、則隱函數(shù)求導法則: :用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數(shù)的導數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.,)23,23(,333線通過原點線通過原點在該點的法在該點的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點點上上求過求過的方程為的方程為設曲線設曲線ccxyyxc 解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對xyx

3、yyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.例例3 3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設設yyxyx 解解求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導得求導得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法觀察函數(shù)觀察函數(shù)

4、.,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)方法求出導數(shù).-對數(shù)求導法對數(shù)求導法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設例例5 5解解.),0(sinyxxyx

5、求求設設等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)三、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù).,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關系間的函數(shù)關系

6、與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設函數(shù)設函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx 且且都可導都可導再設函數(shù)再設函數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt dtdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx ,)()(二階可導二階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22

7、dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即例例7 7解解.)2(;)1(,21sin,cos,002000的速度大小的速度大小炮彈在時刻炮彈在時刻的運動方向的運動方向炮彈在時刻炮彈在時

8、刻求求其運動方程為其運動方程為發(fā)射炮彈發(fā)射炮彈發(fā)射角發(fā)射角以初速度以初速度不計空氣的阻力不計空氣的阻力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv

9、時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020sin2tggtvv 例例8 8解解.sincos33表示的函數(shù)的二階導數(shù)表示的函數(shù)的二階導數(shù)求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 四、相關變化率四、相關變化率.,)()(變化率稱為相關變化率變化率稱為相關變化率這樣兩個相互依賴的這樣兩個相互依賴的之間也存在一定關系之間也存在一定關系與與從而它們的變化率從而它們的變化率之間存在某種

10、關系之間存在某種關系與與而變量而變量都是可導函數(shù)都是可導函數(shù)及及設設dtdydtdxyxtyytxx 相關變化率問題相關變化率問題: :已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率已知其中一個變化率時如何求出另一個變化率?例例9 9解解?,500./140,500率是多少率是多少觀察員視線的仰角增加觀察員視線的仰角增加米時米時當氣球高度為當氣球高度為秒秒米米其速率為其速率為上升上升米處離地面鉛直米處離地面鉛直一汽球從離開觀察員一汽球從離開觀察員則則的仰角為的仰角為觀察員視線觀察員視線其高度為其高度為秒后秒后設氣球上升設氣球上升, ht500tanh 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhdtd

11、 5001sec2 ,/140秒秒米米 dtdh2sec,5002 米時米時當當h)/(14. 0分分弧度弧度 dtd 仰角增加率仰角增加率 米米500米米500例例1010解解?,20,120,4000,/803水面每小時上升幾米水面每小時上升幾米米時米時問水深問水深的水槽的水槽頂角為頂角為米米形狀是長為形狀是長為水庫水庫秒的體流量流入水庫中秒的體流量流入水庫中米米河水以河水以則則水庫內(nèi)水量為水庫內(nèi)水量為水深為水深為設時刻設時刻),(),(tvtht234000)(htv 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對tdtdhhdtdv 38000,/288003小時小時米米 dtdv小時小時米米/10

12、4. 0 dtdh水面上升之速率水面上升之速率0604000m,20米時米時當當 h五、小結(jié)五、小結(jié)隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: : 直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導;對數(shù)求導法對數(shù)求導法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導法則求導導法則求導;參數(shù)方程求導參數(shù)方程求導: 實質(zhì)上是利用復合函數(shù)求導法則實質(zhì)上是利用復合函數(shù)求導法則;相關變化率相關變化率: : 通過函數(shù)關系確定兩個相互依賴的通過函數(shù)關系確定兩個相互依賴的變化率變化率; ; 解法解法: : 通過建立兩者之間的關系通過建立兩者之間的關系, , 用鏈用鏈式求導法求解式求導法求解. .思考題思考題設設

13、)()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，對對嗎嗎？思考題解答思考題解答不對不對 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 一、一、 填空題填空題： 1 1、 設設01552223 yxyyxx確定了確定了y是是x的函的函數(shù)，則數(shù)，則)1 , 1(dxdy=_=_， 22dxyd_._. 2 2、 曲線曲線733 xyyx在點（在點（1 1，2 2）處的切線方程）處的切線方程是是_._. 3 3、 曲線曲線 ttyttxsincos在在2 t處的法線方處的法線方程程_._. 4 4、 已知已知 teytexttsincos, ,則則d

14、xdy=_=_；3 tdxdy=_.=_. 5 5、 設設yxexy , ,則則dxdy=_.=_. 練練 習習 題題二、二、 求下列方程所確定的隱函數(shù)求下列方程所確定的隱函數(shù) y y 的二階導數(shù)的二階導數(shù)22dxyd：1 1、 yxey 1；2 2、 )tan(yxy ；3 3、 yxxy )00( yx，. .三、三、 用對數(shù)求導法則求下列函數(shù)的導數(shù)：用對數(shù)求導法則求下列函數(shù)的導數(shù)：1 1、 2xxy ；2 2、 54)1()3(2 xxxy；3 3、 xexxy 1sin. .四、四、 求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù)求下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù)22dxyd：1 1、 tby

15、taxsincos ；2 2、 )()()(tftf tytfx 設設)(tf 存在且不為零存在且不為零 . .五、五、 求由參數(shù)方程求由參數(shù)方程 ttytxarctan)1ln(2所確定的函數(shù)的所確定的函數(shù)的 三階導數(shù)三階導數(shù)33dxyd . .六、設六、設)(xf滿足滿足xxfxf3)1(2)( ，求，求)(xf . .七七 在中午十二點正甲船的在中午十二點正甲船的 6 6 公里公里/ /小時的速率小時的速率向東行駛， 乙船在甲船之北向東行駛， 乙船在甲船之北 1616 公里， 以公里， 以 8 8 公里公里/ /小時的速率向南行駛， 問下午一點正兩船相距小時的速率向南行駛， 問下午一點正兩船相距的速率為多少？的速率為多少？ 八八 水注入深水注入深 8 8 米， 上頂直徑米， 上頂直徑 8 8 米的正圓錐形容米的正圓錐形容器中，其速率為每分鐘器中，其速率為每分鐘 4 4 立方米，當水深為立方米，當水深為 5 5米時，其表面上升的速率為多少？米時，其表面上升的速率為多少？ 一、一、1 1、34, ,5210)(102084622 xxyyxyyyxxyx； 2 2、02311 yx 3 3、022 yx； 4 4、32,sincoscossin tttt； 5 5、yxyxexye . .二、二、1 1、32)2()3(yyey ； 2 2、- -)(tan)(csc232