管理決策模擬控制大氣污染問題剖析

1、案例實驗一控制大氣污染問題【實驗目的與要求】培養(yǎng)從實際管理問題中歸納建立線性規(guī)劃模型的能力，熟練使用計算機軟件求解線性規(guī)劃模型，并利用模型結(jié)果對現(xiàn)實問題進行分析。通過實驗掌握線性規(guī)劃模型的求解方法，了解影子價格、最優(yōu)域、可行域、靈 敏參數(shù)等概念的經(jīng)濟含義，以及其在現(xiàn)實管理中的作用。獨立完成實驗，并得到 正確的結(jié)果?！緦嶒瀮?nèi)容與數(shù)據(jù)】N&L公司是一家全球著名的鋼鐵制造廠商，位于鋼鐵之城。該公司目前雇傭了 50,000名員工，是當?shù)氐闹饕獎趧恿蛡蛘撸虼苏麄€城市都因這家公司而繁榮 與發(fā)展起來，這里的人們也一直都認為凡是對公司有利的必然對整個城市有利。 但是現(xiàn)在人們的觀點發(fā)生了一定的變化：

2、公司鍋爐中排放出的氣體因未加治理， 正破壞著城市的風貌并日益危及著城市居民的身體健康。最近的公司一次股民選舉產(chǎn)生了一個較為英明的新董事會，其中的董事會成員與城市官員和居民討論如何處理空氣污染的問題，他們一起制定出了很嚴格的大 氣排放質(zhì)量標準。所排放的氣體中，三種主要的成分是：大氣微塵、氧化硫和碳 氫化合物。新制定的排放氣體質(zhì)量標準要求公司降低這些污染氣體的排放量，具 體要求如表1-1所小。表1-1政府要求每年污染排放減少量（百萬鎊）污染物要求每年排放減少量大氣微塵60氧化硫150碳氫化合物125董事會已經(jīng)指示公司的管理人員召集工程人員， 用最經(jīng)濟的方法降低污染氣體 的排放量。公司的污染氣體主要

3、來自兩個方面，一是鑄生鐵的鼓風爐，一是煉鋼的敞口式反射爐。在這兩方面，工程師都認為最有效的降低污染的方法是：增 加煙囪的高度，在煙囪中加入過濾裝置，在燃料中加入清潔的高級燃料。三 種方法都有其技術(shù)限制（例如，煙囪可增加的高度是有限的），但可以考慮在各自 的技術(shù)限制內(nèi)，采取一定程度的措施。 表1-2顯示了在技術(shù)允許的范圍內(nèi)，最大 限度地使用各種方法可以降低兩個爐子污染氣體的排放量。為了方便分析，假設各種方法也可以在技術(shù)允許的范圍內(nèi)，采取一部分程度 的實施，從而達到一定程度的減少污染氣體的效果。止匕外，各種方法在兩個爐子 上的實施比例可以不同，且在效果上也是互不影響的。在分析了上面的數(shù)據(jù)之后， 可

4、以發(fā)現(xiàn)沒有一種方法可以實現(xiàn)全部的降污要求，而另一方面，在兩個爐子上都 同時最大限度的使用各種方法的組合，會超額完成降污任務，但這樣做的費用是 昂貴的，不利于公司的產(chǎn)品保持競爭力。因此，工程師認為，應該在考慮各種方 法的成本與效益的基礎上合理的組合各種方法。止匕外，因為兩個爐子的情況并不 相同，所以針對兩個爐子的治理方法也將不同。表1-2 運用各種降污方法最大限度可減少的每種污染氣體的年排放量（百萬鎊）污染氣體增加煙囪局度加入過濾裝置加入高級燃料鼓風爐反射爐鼓風爐反射爐鼓風爐反射爐大氣微塵12925201713氧化硫354218315649碳氫化合物375328242920實施分析每種方法的一年

5、總成本，該成本包括運營和維護費用，以及因為使用 降污方法而致使生產(chǎn)效率降低，進而減少了的收入。止匕外，最大的成本是安裝設 備的啟動成本。為了使一開始的啟動成本與今后的年成本可以相互比較，必須考 慮貨幣的時間價值，將年成本折現(xiàn)。這樣可以生成下面的數(shù)據(jù)表，表1-3表示的是最大限度的使用各種方法估計的年成本。并且，各種方法的使用成本與可獲得的降污能力是成比例的，也就是說，要取得一定比例的降污效果，所實施方法的 成本在總成本中占同樣的比例。表1-3最大限度的使用各種方法估計的年成本（百萬美元）各種降污方法鼓風爐反射爐增加煙囪局度810加入過濾裝置76加入高級燃料119【階段性實驗步驟一】現(xiàn)在，我們可以

6、制定出降污規(guī)劃的大致框架了， 即這一規(guī)劃必須確定在兩個爐 子上，使用哪幾種方法，每種方法的實施程度。假設，你被任命為管理科學小組 的組長，管理層要求你以 最小的成本實現(xiàn)降低各種污染氣體的年排放量要求。1 .建立線性規(guī)劃模型。2 .利用計算機軟件求最優(yōu)解?！倦A段性實驗步驟二】現(xiàn)在，管理層希望能夠在你的幫助下，進行一些深層次分析。因為管理層對這 幾種治理方法都沒有經(jīng)驗，所以使用各種方法的成本只是一個大致的估計，實際 值可能在10%勺范圍內(nèi)變動。止匕外，表1-2中的數(shù)據(jù)還存在一些不確定性，盡管這 些不確定性或許比表1-3中的要小一些。表1-1中的數(shù)據(jù)是政策標準，但是，這 些數(shù)據(jù)是在不知道成本的情況下

7、確定的一些暫時性的數(shù)值，公司與政府的官員都 認為，應該在成本與收益分析的基礎上來確定最終的決策。政府官員估算出如果 將第一張表中的政策標準增加 10%對整個城市的價值是$3,500萬美元。因此政 府決定，公司每提高10%勺降污標準（表1-1中的所有數(shù)據(jù)，直到50%,可將獲 得$350萬的降稅。最后，管理層對政策標準中各種污染氣體的相對值還存在一點分歧，如表 1-1 所示，要求減少的大氣微塵的數(shù)量還不到其他兩種的一半，因此，有些人提出， 是否減少這一差距。而另一些認為應該增大差距，因為氧化硫和碳氫化合物的危 害比大氣微塵大得多。最后，人們同意在獲得最優(yōu)的成本收益平衡解之后，再對 這一點進行探討，

8、增加一種污染氣體的數(shù)量同時減少另一種污染氣體的數(shù)量，看看會有怎樣的影響。1 .判斷線性規(guī)劃模型中哪些成本參數(shù)是敏感系數(shù)，應該作進一步精確的估計。注：在本案例中，若某成本參數(shù)最優(yōu)域的下限大于該參數(shù)值的0.9倍，則該參數(shù)稱為下限敏感系數(shù)；若某成本參數(shù)最優(yōu)域的上限小于該參數(shù)值的1.1倍，該參數(shù)稱為上限敏感系數(shù)，下限和上限敏感系數(shù)均稱為敏感系數(shù)。2 .對于每一種污染氣體，求排放量減少一單位所引起的成本變化量。排放量 在多大的范圍內(nèi)變動，該成本變化量會保持不變。3 .在保持總成本不變的前提下，政策中大氣微塵標準的每一單位的變動，可 能會引起氧化硫排放標準多大的變動，又或者會引起碳氫化合物排放標準多大幅

9、度的變動？如果氧化硫和碳氫化合物同時因此而變動，且兩者變動的幅度相同， 該變動的幅度又是多少？【階段性實驗步驟三】1 .假設以9表示表1-1中標準的增加百分比，9 = 10, 20, 30,40, 50,分別求出該修正的線性規(guī)劃問題的最優(yōu)解?？紤]稅收上的優(yōu)惠，管理者將會選擇哪一個 0 ?2 .根據(jù)上面計算出的9 ,生成靈敏度報告，并重復【階段性實驗步驟二】中 2 和3問題的分析?！緦嶒瀳蟾妗俊倦A段性實驗步驟一】1.1 建立線性規(guī)劃模型設六個決策變量Xj (j=1,2,3,4,5,6),表示三種方法在不同爐子上的實施比例，且(0<xj <1)0降污方法鼓風爐反射爐增加煙囪局度xx2加

10、入過濾裝置乂3x4加入高級燃料乂5x目標是總成本最小，目標函數(shù):Min z =8x1 10x2 7x3 6x4 11x5 9x6約束條件的確立：排放減少量約束：12x1 9x2 25x3 20x4 17x5 13x6 - 6035整42x218x331x456x549凡-15037x153x228x324x429x5206 -125技術(shù)約束:xj E 1 , j=1,2 ,非負約束:xj >0, j=1,2,，6故建立的線性規(guī)劃模型為：Min z =8x1 10x2 7x3 6x4 11x5 9x612xi +9x2 +25x3 +20x4 +17x5 + 13x6 >6035xi

11、 +42x2 +18x3 +31x4 +56x5 +49x6 之 150 st37x1 +53x2 +28x3 +24x4 +29x5 +20% >125 xj <1 j =123,4,5,6 xj -0 j =1,2,3,4,5,61.2 利用QSBa件對線性規(guī)劃模型進行求解，得到如下結(jié)果:最優(yōu)值：Min z= 32.1546變量x1x2乂3x4x5x6最優(yōu)解1.00000.62270.34351.00000.04761.0000所以，增加煙囪高度、加入過濾裝置、加入高級燃料在鼓風爐、反射爐上的實 施比例分別為 100%、62.27%、34.35%、100%、4.76%、100%

12、,才能使總成本最 小為32.1546百萬美元。【階段性實驗步驟二】2.1靈敏度分析：最優(yōu)域和靈敏參數(shù):變量XX2X3X4XX參專我81076119最優(yōu)域允許增 量0.33620.42940.38161.81612.97520.0442允許減 量M0.66702.0115M0.0445M靈敏Z參數(shù)010000由表可知，Xi、X3、X6具有上限敏感系數(shù)，X5具有下限敏感系數(shù)，X2同時具 有上下限敏感系數(shù)。2.2可行域和影子價格:約束123參數(shù)60150125可行域上限74.2971170.4531127.0417下限52.5200148.3103103.3080影子價格0.11100.12680.

13、0693影子價格反映所要求排放量變化一單位所引起的成本變化量。通過上表可知，大氣微塵、氧化硫、碳氫化合物排放量三個約束對應的影子價 格分別為0.111R 0.1268、0.0693,所以，大氣微塵、氧化硫、碳氫化合物所要求 排放量減少一單位所引起的成本減少量分別為0.111R 0.1268、0.0693百萬美元。對于大氣微塵、氧化硫、碳氫化合物所要求排放量分別在52.520074.2971、148.310170.4531、103.3080127.0417（百萬磅）范圍內(nèi)變動，該成本變化量會保 持不變。2.32.3.1 大氣微塵和氧化硫每增加一單位大氣微塵的減排量，成本將增加0.1110百萬美元

14、。每減少一單位氧化硫的減排量，成本將減少0.1268百萬美元。所以，在總成本不變的前提下，每增加一單位大氣微塵的減排量，氧化硫的減 排量會減少0.1110/0.1268=0.8754單位。2.3.2 大氣微塵和碳氫化合物每增加一單位大氣微塵的減排量，成本將增加0.1110百萬美元。每減少一單位碳氫化合物的減排量，成本將減少0.0693百萬美元。所以，在總成本不變的前提下，每增加一單位大氣微塵的減排量，碳氫化合物 的減排量會減少 0.1110/0.0693=1.6017單位。2.3.3 大氣微塵和氧化硫與碳氫化合物每增加一單位大氣微塵的減排量，成本將增加0.1110百萬美元。每同時增加一單位的氧

15、化硫和大氣微塵減排量，成本會增加0.1268+0.0693=0.1961 百萬美元。所以，在總成本不變的前提下，每增加一單位大氣微塵減排量，氧化硫和大氣 微塵各減少0.1110/0.1961=0.566必位?！倦A段性實驗步驟三】3.1日的選擇e010%20%30%40%50%X11.00001.00001.00001.00001.00001.0000X20.62270.71880.81500.91111.00001.0000X30.34350.43600.52850.62100.70530.9491X41.00001.00001.00001.00001.00001.0000X50.04760.

16、21360.37960.54560.78161.0000X61.00001.00001.00001.00000.92930.8962z32.154635.589739.024842.460045.898249.7100降 稅03.57.010.51417.5F z32.154632.089732.024831.960031.898232.2100通過上表可以看出排放減少量的增加百分比0 =40%時，考慮到稅收上的優(yōu)惠，企業(yè)可以獲得最小的實際總成本，z' =31.8982百萬美元。3.23.2.1最優(yōu)解和靈敏度報告由上面的計算可知口 =40% 此時不等式約束右邊數(shù)變?yōu)槲廴練怏w要求每年排放

17、減少量（百 力磅）大氣微塵84氧化硫210碳氫化合物175利用QS瞅件對新的線性規(guī)劃問題進行求解，得到如下結(jié)果:最優(yōu)值： Min z =45.8982變量X1X2X3X4X5X6最優(yōu)解1.00001.00000.70531.00000.78160.9293所以，當排放減少量的增加百分比日=40%時，增加煙囪高度、加入過濾裝置、 加入高級燃料在鼓風爐、反射爐上的實施比例分別為100%、100%、70.53%、100%、78.16%、92.93%,才能使總成本最小為 45.8982百萬美元。靈敏度報告：最優(yōu)域和靈敏參數(shù):變量XX2X3X4XX參專我81076119最優(yōu)域允許增 量0.55270.4

18、2940.38161.78920.38440.0442允許減 量MM1.2924M0.04450.3719靈敏Z參數(shù)000011由表可知，Xi、X2、X3具有上限敏感系數(shù)，X5、X6同時具有上下限敏感系數(shù)可行域和影子價格:約束123參數(shù)84210175可行域上限84.2648211.1125175.8638下限83.1542203.7059174.7468影子價格0.09930.12400.08173.2.2通過上表可知，大氣微塵、氧化硫、碳氫化合物所要求排放量減少一單位所引起的成本減少量分別為0.0993、0.124R 0.0817百萬美元。對于大氣微塵、氧化硫、碳氫化合物所要求排放量分別在 83.154284.2648、203.7059211.112S174.7468175.8638(百萬磅)范圍內(nèi)變動，該成本變化量會保持不變。3.2.3(1)大氣微塵和氧化硫每增加一單位大氣微塵的減排量，成本將增加0.0993百萬美元。每減少一單位氧化硫的減排量，成本將減少0.1240百萬美元。所以，在總成本不變的前提下，每增加一單位大氣微塵的減排量，氧化硫的減排量會減少0.0993/0.1240=0.8008單位。(2)大氣微塵和碳氫化