高中數(shù)學(xué)選修2-1第二章課后習(xí)題解答編輯版

1、新課程標準數(shù)學(xué)選修 21第二章課后習(xí)題解答第二章圓錐曲線與方程2. 1曲線與方程練習(xí)(P37)2、 a32251、是.容易求出等腰三角形 ABC的邊BC上的中線AO所在直線的方程是x 0.18253、解：設(shè)點A, M的坐標分別為(t,0) , (x, y).(1)當t 2時，直線CA斜率kcA所以，kcB1 t 2 kCA Ft 2由直線的點斜式方程，得直線 CB的方程為y 2 "(x 2). 2令x 0,得y 4 t ,即點B的坐標為(0,4 t).t 4 t由于點M是線段AB的中點，由中點坐標公式得 x -,y t22, t 一一 4 t由x二得t 2x,代入y 土， 22一 4

2、 2x 一得y 4,即x y 2 0d 2(2)當t 2時，可得點A,B的坐標分別為(2,0) , (0,2)此時點M的坐標為(1,1),它仍然適合方程由(1) (2)可知，方程是點 M的軌跡方程，它表示一條直線.習(xí)題2.1 A組(P37)1、解：點 A(1, 2)、C(3,10)在方程x2 xy 2y 1 0表示的曲線上；點B(2, 3)不在此曲線上c 12、解：當c 0時，軌跡方程為x 二；當c 0時，軌跡為整個坐標平面.23、以兩定點所在直線為x軸，線段AB垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，得點 M的軌 跡方程為x2 y2 4. 224、解法一：設(shè)圓x y 6x 5 0的圓心為C ,則點

3、C的坐標是(3,0).由題意，得CMAB,則有kCMkAB1.所以,1 (x 3,x 0)化簡得x23x0 (x 3,x 0)當x 3時,0,點（3,0）適合題意；當x 0時，y 0 ,點（0,0）不合題意.解方程組2 x2 x2 y2 y3x 06x 5 05，得 x 3,y2，. 53所以，點M的軌跡方程是x2y2 3x 0x 3.解法二：注意到 OCM利用勾股定理,是直角三角形，得 x2 y2 （x3)29,即 x2 y2 3x0.其他同解法習(xí)題2.1 B組（P37）1、解：由題意，設(shè)經(jīng)過點 P的直線l的方程為1. 一3 4因為直線l經(jīng)過點P（3,4），所以3 a b因此，ab 4a 3

4、b 0由已知點M的坐標為（a,b）,所以點M的軌跡方程為xy 4x 3y 0.2222則有,CFAEMEMF2、所以，16(3x y)2 4 (3x y)21010化簡得，xy 10.因此，動圓圓心的軌跡方程是 xy 10 .2. 2橢圓練習(xí)（P42）1、14.提示：根據(jù)橢圓的定義,2、(1)162y21; 1y6PFi3、解：由已知，a 5, b 4,所以c(1) AFB 的周長 AF1 AF2由橢圓的定義，得AF1PF220,因為 PR21；(3)36BF1 BF2 .6,所以PF2 14.AF2所以，AFB的周長 4a 20.2a,BF12 y16BF2（2）如果AB不垂直于x軸，AFB

5、的周長不變化.這是因為兩式仍然成立,AF1B的周長 20,4、解：設(shè)點M的坐標為（x,y）,由已知,直線AM的斜率直線BM的斜率kBMyx 1yx 1(x(x由題意，得所以一x 11)；1)；21,或 y-3621.162a.這是定值.3(y 0)2、(1)化簡，得x焦點坐標為（8,0） , （8,0）;（2）焦點坐標為（0,2）,(0, 2).3、(1)2 x362 y321；2-252 x164、(1)2 y642或10021.645、(1)橢圓9x236的離心率是2叵，3橢圓2 x162 y12，一1 11的離心率是，2因為2.231 一 ，,一 x 二所以，橢圓 2162 y121更圓

6、，橢圓9x236更扁;(2)橢圓x2 9y2 36的離心率是2&32橢圓-62 y101的離心率是叵,56、(D習(xí)題2.2因為空3(3,芻;51更圓，橢圓x2109y2 36更扁.A 組(P49)(2) (0,2)；(3)(48 70、37, 37)7、8571、解：由點 M(x, y)滿足的關(guān)系式 “(y 3)2 xx(y 3)210以及橢圓的定義得,點M的軌跡是以F1(0, 3),F2(0,3)為焦點，長軸長為10的橢圓.它的方程是2 y2521.162、(1)2 x362 y32(2)2 y252 x 1;92(3)-49 402 x 1. 403、(D2,4表示的區(qū)域的公共部分

7、;(2)不等式 2 510310y 10表示的區(qū)域的公共部分.3圖略.4、(1)長軸長2a8,短軸長2b4,離心率e -, 2焦點坐標分別是(2Q,0) , (2石,0),頂點坐標分別為(4,0) , (4,0)(0, 2), (0,2)；(2)長軸長2a2218,短軸長2b 6,離心率e3焦點坐標分別是(0, 6&) , (0,6向，頂點坐標分別為(0, 9), (0,9)(3,0) , (3,0).QA這個方程根的判別式36m2 36（2m2 18）(1)由 0,得 3& m 342.當這組直線在y軸上的截距的取值范圍是（3M3揚時,直線與橢圓相交（2）設(shè)直線與橢圓相交得到

8、線段 AB ,并設(shè)線段AB的中點為M （x,y）.則 xm.23因為點M在直線y 3x m上，與x m聯(lián)立，消去m,得3x 2y 0.23這說明點M的軌跡是這條直線被橢圓截下的弦（不包括端點），這些弦的中點在一條直線上.9、2 x2 2521Yi.92 x6、解：由已知，橢圓的焦距F1F22.yp1,解得yp1.QOQAQOQPOPr.根據(jù)橢圓的定義，點Q的軌跡是以O(shè),A為焦點,r為長軸長的橢圓. 一 38、解：設(shè)這組平行線的方程為 y -x 2m.,3，、一 一、一 x2把y 3x m代入橢圓方程2427 1，得9x226mx 2m 18 0.5、(1)82 x1;92 x2 y1,2或上

9、811 ；92 x2 y9因為PF1F2的面積等于1,所以, 15所以點P的坐標是（三，1）,共有4個.又因為點A在圓內(nèi)，所以O(shè)AOP（第7題）2y5122代入橢圓的方程，得- 51 ,解得x27、解：如圖，連接QA.由已知，得QAQP*Ol143.525221 2.875210、地球到太陽的最大距離為1.5288 108km,最下距離為1.4712 108 km.習(xí)題2.2 B組(P50)1、解：設(shè)點M的坐標為(x, y),點P的坐標為(X0,y0), 則x %, y 3y0.所以X。 x, y0 2y.2322-因為點P(X0,y°)在圓上，所以X0 y 4. 22將代入，得點M

10、的軌跡方程為x2 4 y2 4,即二上1949所以，點M的軌跡是一個橢圓與例2相比可見，橢圓也可以看作是由圓沿某個方向壓縮或拉伸得到.2、解法一：設(shè)動圓圓心為 P(x,y),半徑為R,兩已知圓的圓心分別為 O1,O2.分別將兩已知圓的方程x2 y2 6x 5 0 , x2 y2 6x 91 0配方，得(x 3)2 y2 4 , (x 3)2 y2 100當eP與eO1： (x 3)2 y2 4外切時，有OF R 2當eP與eO2： (x 3)2 y2 100內(nèi)切時，有102P 10 R兩式的兩邊分別相加，得 01P 02 P 12即，J(x 3)2 y2 J(x 3)2 y2 12 化簡方程.

11、先移項，再兩邊分別平方，并整理，得2j(x 3)2y2 12 x將兩邊分別平方，并整理，得 3x2 4y2 108 0 22將常數(shù)項移至方程的右邊，兩邊分別除以108,得人工136 27由方程可知，動圓圓心的軌跡是橢圓，它的長軸和短軸長分別為12, 6J3.解法二：同解法一，得方程 J(x 3)2 y2 J(x 3)2 y2 12由方程可知，動圓圓心 P(x,y)到點01( 3,0)和點02(3,0)距離的和是常數(shù)12,所以點P的軌跡方程是焦點為(3,0)、(3,0),長軸長等于12的橢圓.并且這個橢圓的中心與坐標原點重合，焦點在x軸上，于是可求出它的標準方程因為 2c 6, 2a 12,所以

12、 c 3, a 6所以 b2 36 9 27.22于是，動圓圓心的軌跡方程為 -L 1.MF36 273、解：設(shè)d是點M到直線x 8的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合 P(x 2)2 y21由此得空、'-8 x|222將上式兩邊平方，并化簡，得 3x2 4y2 48,即上 L 116 12所以，點M的軌跡是長軸、短軸長分別為 8, 473的橢圓.4、解:如圖，由已知，得 E(0, 3), F(4,0) , G(0,3) , H( 4,0).因為R,S,T是線段OF的四等分點,R,S,T是線段CF的四等分點,所以，R(1,0),S(2,0),T(3,0);9 .33R(4,9),S(4,

13、-),T (4,3).424直線ER的方程是y 3x 3 ;，,，、， 一 3直線GR的方程是y x 3.16 .一32聯(lián)立這兩個方程，解得x 3-,y174517.32 45所以，點L的坐標是(32,生).17 17. .16 9 96 21同樣，點M的坐標是(一,一)，點N的坐標是(一,一)5 525 2522由作圖可見，可以設(shè)橢圓的方程為 得 4 1(m 0,n 0) m n把點L,M的坐標代入方程，并解方程組，得132 .22所以經(jīng)過點L, M的橢圓方程為 -1.169x2y21962 1212把點N的坐標代入匕工，得,(96)2 1 (且)2 1,169162592522所以，點N在

14、土上1上.16922因此，點L,M,N都在橢圓y- 1±.1692. 3雙曲線練習(xí)（P55）1、（1）162 x2 1 .3（3）解法一：因為雙曲線的焦點在 y軸上所以，可設(shè)它的標準方程為,.、 一 254將點（2, 5）代入方程，得25三 a b又 a2 b2 361 ,即 a2b2 4a2 25b2解方程組2. 22 2 _a b 4a 25b022a2 b2 36令m a2,n b2,代入方程組，得mn 4m 25n 0m n 36m 20 m 45解得,或n 16 n 9第二組不合題意，舍去，得 a2 20,b2 1622所求雙曲線的標準方程為L*120 16解法二：根據(jù)雙曲

15、線的定義，有 2a “（ 5 6）2 "（ 5 6）24石.所以，a 2、52又 c 6 ,所以 b 36 20 16由已知，雙曲線的焦點在y軸上，所以所求雙曲線的標準方程為20 162、提示：根據(jù)橢圓中a2 b2 c2和雙曲線中a2 b2 c2的關(guān)系式分別求出橢圓、雙曲線的焦點坐標.3、由(2 m)(m 1) 0 ,解得 m練習(xí)（P61）1、（1）實軸長2a8.2,虛軸長2b 4;頂點坐標為（4匹,0）,（ 4V2,0）焦點坐標為(6,0),( 6,0)；十、乃 3.2離心率e 4(2)實軸長2a6,虛軸長2b 18;頂點坐標為（3,0）,（ 3,0）;焦點坐標為（3氏0）,（3加

16、,0）；離心率e 屈.(3)實軸長2a4 ,虛軸長2b 4;頂點坐標為（0,2）,（0, 2）；焦點坐標為(0,2 .2),(0,2 72）；離心率e V2.(4)實軸長2a10,虛軸長2b 14;頂點坐標為(0,5),(0, 5);焦點坐標為(0-74),(0,774）；離心率e,7452、(1)2 x16(2)2 y3621.2823、 32/ x4、182 y181 ,漸近線方程為y5、(D習(xí)題2.3142(6,2),(-,-)33A 組(P61)(2)251、把方程化為標準方程,221.因為a64 168,由雙曲線定義可知,占八、P到兩焦點距離的差的絕對值等于16.因此點P到另一焦點的

17、距離是17.2、(1)22x y . 1. 20 162-253、(D焦點坐標為 F1( 5,0), F2(5,0),離心率(2)焦點坐標為F1（0,5),F2(0,5)，離心率53544、(1)221.25 16(2)2116(3)解：因為e c 6,所以c22a2,因此b222 c 22c a 2a a22設(shè)雙曲線的標準方程為當,a a將(5,3)代入上面的兩個方程，得25 a1,或以25 1.a a解得16 (后一個方程無解)所以,2所求的雙曲線方程為 16 162匕1.5、解:連接QA,由已知，得QA |QP .所以，|QA QOQP QOOP又因為點A在圓外，所以O(shè)A OP .r為實

18、軸長的雙曲線.根據(jù)雙曲線的定義，點 Q的軌跡是以O(shè), A為焦點,26、-8習(xí)題2.3B 組(P62)1、2 x162、解:由聲速及A, B兩處聽到爆炸聲的時間差，可知 A,B兩處與爆炸點的距離的差,因此爆炸點應(yīng)位于以A,B為焦點的雙曲線上.使A,B兩點在x軸上，并且原點O與線段AB的中點重合，建立直角坐標系 xOy .設(shè)爆炸點P的坐標為(x, y),則II PA PB| 3403 1020.即 2a 1020, a 510.3、4、解:又 AB 1400,所以 2c 14002因此，所求雙曲線的方程為 2601002 b12700, b22y2299001.a2 229900.設(shè)點 A(x1,

19、 y1), B(x2,y2)在雙曲線上，且線段 AB的中點為M (x, y).設(shè)經(jīng)過點P的直線l的方程為y 1 k(x 1),即y kx 1 k把y kx1 k代入雙曲線的方程x2(222_k )x 2k(1 k)x2,2、(1 k ) 2 0 (2 k 0)所以，x由題意，得Xx22 k(1 k)k(1 k)2 k2當k 2時,根的判別式2 k21,解得k 2.方程成為2x2 4x 30.16 248 0,方程沒有實數(shù)解.所以，不能作一條直線l與雙曲線交于A,B兩點，且點P是線段AB的中點.2. 4拋物線練習(xí)(P67)1、(D22y 12x;(2) y x ;(3)2222y 4x, y 4

20、x, x 4y, x 4y.2、(1)焦點坐標F(5,0),準線方程x5;1(2)焦點坐標F(0,-),選線萬程y8(3)5、一焦點坐標F( 5,0),準線方程8(4)焦點坐標F(0, 2),準線方程2；3、(1)(6,6、. 2)(6,6.2)提示：由拋物線的標準方程求出準線方程由拋物線的定義，點 M到準線的距離等于9,所以6, y6、,2.練習(xí)(P72)21、(D y165 * '(2)(3) y216x;(4)x232y.2、圖形見右，x的系數(shù)越大，拋物線的開口越大.3、解：過點M (2,0)且斜率為1的直線l的方程與拋物線的方程y24x聯(lián)立4x解得x1y14 2.32 2 3x

21、2y22 32、3設(shè) A(x1，y1)B(x2,y2),則AB.(x2 x1)2 (y2 y)2(4.'3)2 (4.3)246.4、解：設(shè)直線AB的方程為x a (a 0).將x a代入拋物線方程y2 4x ,得y2 4a ,即y 2* .因為 AB 2 y 2 2Ta 4p 473,所以，a 3因此，直線AB的方程為x 3.習(xí)題2.4 A組(P73) 1 11、(1)焦點坐標F(0,),選線萬程y ;22(2)焦點坐標F(0, 3),準線方程y 3; 16161 1(3)焦點坐標F(二0),準線方程x 1; 883、3(4)焦點坐標F(3,0),準線方程x 3. 222、(1) y

22、2 8x;(2) (4,4 物，或(4, 4揚3、解：由拋物線的方程y2 2Px (p 0),得它的準線方程為x-p.2根據(jù)拋物線的定義，由|MF| 2p,可知，點M的準線的距離為2P.設(shè)點M的坐標為(x,y),則x 2p,解得x 3p. 22將x 3p代入y2 2Px中，得y73P.2因此，點M的坐標為(迎,V3p), (3p, V3p). 224、(1) y2 24x, y224x;(2) x212y (圖略)5、解：因為 xFM 60 ,所以線段FM所在直線的斜率k tan 60s/3.因此，直線FM的方程為y V3(x 1)與拋物線y2 4x聯(lián)立，得y . 3(x 1)2y 4x將代入

23、囪得，3x2 10x 3 0,解得，x1 1 , x2 332.32.31把x1 1, x2 3分別代入得y13由第5題圖知(1, 述)不合題意，所以點M的坐標為(3,2 J3). 33因此，F(xiàn)M | J(3 1)2 (273 0)246、證明：將y x 2代入y2 2x中，得(x 2)2 2x ,化簡得x2 6x 4 0,解得 x 3 45貝 ij y 3 .,5 2 1 5 5因為koB1 .5 35所以 koB 服 j,5 1 ，5 1-53 .53 .5 9 5所以O(shè)A OB7、這條拋物線的方程是x2 17.5y8、解：建立如圖所示的直角坐標系，設(shè)拱橋拋物線的方程為x22py,因為拱橋

24、離水面2 m,水面寬4 m所以 222 P（ 2） , p 1y*4（第8題）因此，拋物線方程為x2 2y水面下降1 m,則y3 ,代入式，得x22 ( 3), x76.這時水面寬為2.6 m.習(xí)題2.2 B組（P74）1、解：設(shè)垂線段的中點坐標為（x,y）,拋物線上相應(yīng)點的坐標為（、，乂）.根據(jù)題意，Xi x , y1 2y ,代入y； 2px1，得軌跡方程為y2 - px.2由方程可知，軌跡為頂點在原點、焦點坐標為（R,o）的拋物線.82、解：設(shè)這個等邊三角形 OAB的頂點A,B在拋物線上，且坐標分別為（不，%）, （X2,y2）,則 y； 2 px1 , y2 2 px2.又 OA OB

25、 ,所以 x2 y； x2 y22 2 2 2即 x1 x2 2 px1 2px2 0, (x1 x2) 2p(x1 x2) 0因此，(x1 x2)(x1 x2 2p) 0因為 x10, x20,2 p 0 ,所以 x1x2由此可得lyj y2|,即線段AB關(guān)于x軸對稱.因為X軸垂直于AB,且AOx30 ,所以* tan30 Xi2因為 x11，所以 y12'73P ,2p因此AB2y 43P.3、解：設(shè)點M的坐標為（x, y）由已知，得直線AM的斜率kAM直線BM的斜率kBM(x(x1).由題意，得kAM kBM 2 ,所以，y-x 1第二卓 復(fù)習(xí)參考題A組（P80）x 1 yx 1

26、1).2(x1),化簡，得x2(y 1)(x1)1、解：如圖，建立直角坐標系，使點A,B,F2在x軸上，F(xiàn)2為橢圓的右焦點（記Fi為左焦點）.222RI2、解:a由題意，得a12因此衛(wèi)星軌道的離心率解此方程組,3、(1)4、(1)D；當 0（2） B.時，方程表7K圓.(2)90時，方程化成r212R r1 r22yr 1.方程表示焦點在y軸上的橢圓.cos(3)當 90時，x2 1,即x 1,方程表示平行于y軸的兩條直線.當90180時，因為cos0,所以x2 y2 cos1表示雙曲線，其焦點在x軸上.而當180時，方程表示等軸雙曲線.5、解：將y kx 1代入方程x2 y2 4得 x2 k

27、2x2 2kx 1 4 0即(1 k2)x2 2kx 5 02_2_4 24k 20(1 k ) 20 16k令 0,解得k逅，或k 22因為 0,方程無解，即直線與雙曲線沒有公共點，所以，k的取值范圍為k 旦或k立 226、提示：設(shè)拋物線方程為y2 2px ,則點B的坐標為(2p),點C的坐標為(上，p) 22設(shè)點P的坐標為(x, y),則點Q的坐標為(x,0).因為，PQ| |y J5px, |BC 2p,|OQ x.所以，PQ|2 |BC|OQ ,即|PQ是BC和OQ的比例中項.7、解：設(shè)等邊三角形的另外兩個頂點分別是A,B,其中點A在x軸上方.直線FA的方程為y (x £)

28、32與 y2 2Px 聯(lián)立，消去 x,得 y2 2>/3py p2 0解方程，得 y1 (73 2)p, V2 (73 2)p把 y(向 2)p 代入 y (x -),得 Xi (- 2«)p. 322把 y2 (V3 2) p 代入 y - (x -),得 x2 ( 2V3) p. 322所以，滿足條件的點 A有兩個A(722 -3) p,(、,32)p), A2(f 2GpM 2)p).根據(jù)圖形的對稱性，可得滿足條件的點B也有兩個B1(7 2后)p, (6 2)p),2B2(7 2.3) p, ( ,3 2)p)2所以，等邊三角形的邊長是AB| 2(逐 2)p,或者A2B2

29、 2(2 J3)p.8、解：設(shè)直線l的方程為y 2x m .把y 2x m代入雙曲線的方程2x2 3y2 6 0,得10x2 12mx 3m2 6 0. cc 2 c6m3m 6小xi x2，x#2 510x2) 4x1x2 16由已知，得(1 4)(xi,21032x且把代入，解得 m所以，直線l的方程為39、解：設(shè)點A的坐標為(”，乂)，點B的坐標為(x2,y2)，點M的坐標為(x, y).并設(shè)經(jīng)過點M的直線l的方程為y 1 k(x 2),即y kx 12k.2把y kx 1 2k代入雙曲線的方程x2上1,得2(2 k2)x2 2k(1 2k)x (1 2k)2 2 0 (2 k2 0).

30、d所以，xx1 x2k(1 2k)2由題意，得k(1 2k) 2 k22 k2當k 4時，方程成為14x2 56x 51 0根的判別式562 56 51 280 0,方程有實數(shù)解所以，直線l的方程為y 4x 7.10、解：設(shè)點C的坐標為(x, y).由已知，得直線AC的斜率kAC (x 5) x 5直線BC的斜率kBC -y(x 5)x 5由題意，得kACkBCm.所以,22化簡得25 25m 1(xx 5 x 55)m(x 5)當m 0時，點C的軌跡是橢圓（m 1）,或者圓（m1）,并除去兩點（5,0）,（5,0）;當m 0時，點C的軌跡是雙曲線，并除去兩點（5,0）,（5,0）;11、解：

31、設(shè)拋物線y2 4x上的點P的坐標為（x, y）,則y2 4x .點P到直線y x 3的距離dx y 3 |y2 4y 12 (y 2)2 824；24,2當y 2時，d的最小值是應(yīng).此時x 1,點P的坐標是（1,2）.*18 m(第12題)12、解：如圖，在隧道的橫斷面上，以拱 頂為原點、拱高所在直線為 y軸（向上），建立直角坐標系.設(shè)隧道頂部所在拋物線的方程為 x22 py因為點C（4, 4）在拋物線上所以 422p（ 4）解得2p 4所以，隧道頂部所在拋物線的方程 為 x24y.設(shè) EF h 0.5.則 F(3,h 5.5)把點F的坐標代入方程x24y,解得h 3.25.答：車輛通過隧道的限制高度為3.2 m.第二卓 復(fù)習(xí)參考題B組（P81）1、S PF1F224.3.2、解：由題意，得PFi x軸.把x c代入橢圓方程，解得 yb2.所以，點P的坐標是（b2直線OP的斜率ki一直線AB的斜率k2acb2由題意，得 acb,所以，b a由已知及所以(1所以,因此,FiAiWa c,得 a.10、,5.而,5,解得22橢圓的方程為二L i.I0 53、解：設(shè)點A的坐標（xi, yi）,點B的