【北師大版】數(shù)學(xué)必修四：3.3二倍角的三角函數(shù)2課件

1、精 品 數(shù) 學(xué) 課 件2019 屆 北 師 大 版 3 二倍角的三角函數(shù)（二）1.:兩角和與差的正弦、余弦、正切公式sin() sincoscossincos()coscossinsintantantan()1tantan 2.2.二倍角公式二倍角公式22222sin2 2sincos ;cos2cossin12sin2cos12tantan21tan 這些公式是否還有其他的變形，請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)課的這些公式是否還有其他的變形，請(qǐng)進(jìn)入本節(jié)課的學(xué)習(xí)！學(xué)習(xí)！1 1. .能夠由倍角公式推導(dǎo)出半角公式能夠由倍角公式推導(dǎo)出半角公式. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）2 2. .能較熟練地運(yùn)用半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明能較

2、熟練地運(yùn)用半角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)、求值、證明, ,了解公式的各種變形，并能夠熟練應(yīng)用了解公式的各種變形，并能夠熟練應(yīng)用. .（重點(diǎn)）（重點(diǎn)）3 3. .能夠運(yùn)用半角公式解決一些實(shí)際問(wèn)題能夠運(yùn)用半角公式解決一些實(shí)際問(wèn)題. .（難點(diǎn)）（難點(diǎn)）1cossin221coscos221costan21cossin1cos1cos.sin 例例1 1 利用二倍角公式證明：利用二倍角公式證明：2222cos212sincos22cos1cos12sin;22cos2cos1;21cossin;221coscos;22 在在二二倍倍角角公公式式 中中，用用代代替替 得得 由由此此證證明明 得得 1costan.21

3、cos用用上上面面兩兩個(gè)個(gè)公公式式兩兩邊邊分分別別相相除除，可可得得： sinsin2cossin222tan21coscoscos2cos222sinsin2sin1cos222tan.2sincoscos2sin222 ；又根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得：又根據(jù)正切函數(shù)的定義，可得：這樣我們就得到另外兩個(gè)公式：這樣我們就得到另外兩個(gè)公式：sintan21cos1costan.2sin ；以上我們得到的五個(gè)有關(guān)半角三角函數(shù)的公式，以上我們得到的五個(gè)有關(guān)半角三角函數(shù)的公式，稱之為稱之為半角公式半角公式. .122322.4（ ）左左邊邊角角是是右右邊邊角角的的一一半半. .（ ）左左邊邊是是的的三三

4、角角函函數(shù)數(shù)一一次次式式，右右邊邊是是含含有有 的的三三角角函函數(shù)數(shù)的的根根式式. .（ ）根根號(hào)號(hào)前前面面的的符符號(hào)號(hào)由由所所在在象象限限相相應(yīng)應(yīng)的的三三角角函函數(shù)數(shù)值值的的符符號(hào)號(hào)確確定定，如如果果所所在在象象限限無(wú)無(wú)法法確確定定，則則應(yīng)應(yīng)保保留留根根號(hào)號(hào)前前面面的的正正、負(fù)負(fù)兩兩個(gè)個(gè)符符號(hào)號(hào)（ ）有有理理式式，余余弦弦和和式式在在分分母母，差差式式在在分分子子. . 1.1.半角公式的特征與記憶：半角公式的特征與記憶：2.2.半角公式的作用：半角公式的作用：（1 1）半角公式的作用在于用單倍角的三角）半角公式的作用在于用單倍角的三角函數(shù)來(lái)表達(dá)半角的三角函數(shù)，它適用于單倍函數(shù)來(lái)表達(dá)半角的三

5、角函數(shù)，它適用于單倍角與半角的三角函數(shù)之間的互化問(wèn)題角與半角的三角函數(shù)之間的互化問(wèn)題. .（2 2）半角公式是從二倍角公式中，將）半角公式是從二倍角公式中，將 用用 代替推導(dǎo)出來(lái)的，記憶時(shí)可聯(lián)想相應(yīng)的二倍代替推導(dǎo)出來(lái)的，記憶時(shí)可聯(lián)想相應(yīng)的二倍角公式角公式. .2 3 3、關(guān)于公式的幾個(gè)說(shuō)明：、關(guān)于公式的幾個(gè)說(shuō)明：（1 1）正弦和余弦函數(shù)的半角公式對(duì)任意角均）正弦和余弦函數(shù)的半角公式對(duì)任意角均成立，對(duì)于正切的半角公式成立，對(duì)于正切的半角公式 21().kkz 半半角角公公式式不不僅僅可可運(yùn)運(yùn)用用于于將將作作為為 的的半半角角的的情情況況，還還可可以以運(yùn)運(yùn)用用于于諸諸如如將將作作為為的的半半角角；

6、將將 作作為為的的半半角角; ;將將作作為為的的半半角角；將將作作為為的的半半角角（等等情情況況）等等式式中中的的 “半半角角”的的意意義義是是相相對(duì)對(duì)的的，如如：. .2242334222 例例2 2已已知知，求求的的值值73cos,2252sin,cos,tan.222 33,2.224711cos325sin2225 因因?yàn)闉椋使?，運(yùn)運(yùn)用用半半角角公公式式，解解有有，711cos425cos22253sin352tan.424cos25 點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：看清角的取值范圍，記住公式的結(jié)構(gòu)形式看清角的取值范圍，記住公式的結(jié)構(gòu)形式. .2221cossin,221coscos,221costan

7、21cos 引申：公式變形：引申：公式變形：1.1.降冪升角公式降冪升角公式2.2.升冪降角公式升冪降角公式2221cos2sin,21cos2cos,21costan.1cos2 22332,2224125cos2- 1sin 211313511cos2313tan.12sin2213 因因?yàn)闉楣使适鞘堑牡囊灰话氚耄\(yùn)運(yùn)用用半半角角公公式式，有有，所所以以解解 例例 已已知知，求求1232sin22,tan.132 例例3 3例例4 4利利用用二二倍倍角角公公式式證證明明：，22222tan1tan2tan222sincostan.1tan1tan1tan222 2222sincos22si

8、n2sincos2212sincos2tan222sincos1tan222證證明明：， 22222222222cossin22coscossin221cossin1tan222cossin1 tan2222tan2tan.1tan2 = =，+ +該該組組公公式式又又叫叫萬(wàn)萬(wàn)能能公公式式，意意思思為為，均均可可以以用用來(lái)來(lái)表表示示 sincostantan.2 例例 已已知知 ，求求證證：5tantantantantantan.abckabcabc tan1tantantantan1tantantan證證左左邊邊明明：ababckcabc 2 (z)tan 21tantantantan1ta

9、ntantantan1tantantantantantan 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，左左邊邊右右邊邊. .kn nncabccabccabcabc 21(z)tan 21tantantantan1tantantantan1tantantantantantan 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，左左邊邊右右邊邊knnncabccabccabcabc 1.當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，有有，可可以以把把 , , ,看看作作是是一一個(gè)個(gè)點(diǎn)點(diǎn)三三評(píng)評(píng)：角角形形的的三三個(gè)個(gè)內(nèi)內(nèi)角角kabca b c 三角恒等式的證明三角恒等式的證明: :(1)(1)從一邊開始從一邊開始, ,證得它等于另一邊證得它等于另一邊, ,一般從繁到簡(jiǎn)一般從繁到簡(jiǎn). .(2)(2)左右歸

10、一，即證左右兩邊等于同一個(gè)式子左右歸一，即證左右兩邊等于同一個(gè)式子. .(3)(3)分析法分析法, ,從結(jié)論出發(fā)從結(jié)論出發(fā), ,推理之后即證一個(gè)顯然成推理之后即證一個(gè)顯然成立的式子或已知條件立的式子或已知條件. .(4)(4)也可證也可證 1 1或左右或左右0.0.(5)(5)在證明的過(guò)程中注意一些技巧的應(yīng)用在證明的過(guò)程中注意一些技巧的應(yīng)用: :公式逆用公式逆用, ,變形變形; ;角的變化角的變化; ;常值代換常值代換(1=tan45(1=tan45=sin=sin2 2x+cosx+cos2 2x);x);切化弦切化弦. .(6)(6)有些問(wèn)題需要分類給出證明有些問(wèn)題需要分類給出證明. .提

11、升總結(jié)提升總結(jié)左右變式練習(xí)：變式練習(xí)：證明證明22(1)cos(1tan)cos2 ;(2)sin (1cos2 )sin2 cos .22sin (1 2cos1)2sin cossin2 cos（2 2）左邊左邊右邊右邊,所以，等式成立所以，等式成立.22222sincos(1)cossincoscos2證明證明: :（1 1）左邊）左邊右邊右邊,所以，等式成立所以，等式成立.=1=cos=acosb 1.1.設(shè)設(shè)向向量量（，）與與向向量量（-1,2cos )-1,2cos )垂垂直直， 則則2 2（ ）a. b. c. d. 221201c cb b3.(20133.(2013新課標(biāo)全國(guó)

12、高考新課標(biāo)全國(guó)高考) ) 已知已知 ，則，則 （ ） a. b. c. a. b. c. d.d.2sin232cos ()413122316解解: :2211sin213cos ()4226所以所以21cos2()1cos(2)1sin242cos ()4222因?yàn)橐驗(yàn)閍cos20 cos40 cos60 cos80 ;sin10 sin30 sin50 sin70 .4 4. .化簡(jiǎn)：（化簡(jiǎn)：（1 1）（2 2）sin20 cos20 cos40 cos60 cos80sin201 sin40 cos40 cos60 cos802sin201 sin80 cos60 cos801sin16

13、0 cos604sin208sin20解解: :（1 1）原式）原式1 sin1601.16 sin2016sin10 cos10 cos20 sin30 cos40cos101 sin20 cos20 sin30 cos402cos101 sin40 sin30 cos404cos101sin80 sin301.8cos1016（2 2）原式）原式2tan()3sin22cos.4 5 5. .已已知知：，求求 的的值值 解法解法1 1： tan()34因因?yàn)闉?1tan,31tan 所所以以 1tan.2 解解得得 于于是是2sin22cossin2cos21 2222tan1tan11t

14、an1tan4341.555 例4的結(jié)論2222sin 22 cossin 2cos 211tan ()2 tan()4411tan ()1tan ()44192341.19195 解法解法2 2： 333sin3 coscos3 sinsin4 .46 6. .求證：求證：所以，原式成立所以，原式成立. .22sin3 coscoscos3 sinsin1 cos21 cos2sin3 coscos3 sin221(sin3 coscos3 sin )21cos2 (sin3 coscos3 sin )2113sin4cos2 sin2sin4224證明證明: :左邊左邊右邊右邊,1 1公公式式的的特特點(diǎn)點(diǎn)：尤尤其其是是 “倍倍角角”與與 “半半角角”的的意意義義是是相相對(duì)對(duì)的的，如如： 是是的的半半角角2 2熟熟悉悉 “半半角角”與與 “二二次次”的的關(guān)關(guān)系系（升升角角降降次次，降降角角升升次次）3