向量組的線性相關(guān)性

1、例例1 1 求解方程組求解方程組 .2132, 13, 0432143214321xxxxxxxxxxxx解解:a施施行行初初等等行行變變換換對(duì)對(duì)增增廣廣矩矩陣陣 2132111311101111a21210014200011111420021210001111,00000212100211011程程組組為為且且是是無(wú)無(wú)窮窮個(gè)個(gè)解解，同同解解方方故故方方程程組組有有解解因因?yàn)闉?42)a(r)a(r .212,2143421xxxxx 因此此方程組的全部解為因此此方程組的全部解為為為任任意意常常數(shù)數(shù)），（其其中中，21242312211ccc.21c2 c,21ccxxxx 543xxx，例例

2、2 2 解線性方程組解線性方程組 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換對(duì)系數(shù)矩陣施行初等行變換 76513123115531234111a2622026220131103411100000000001311021201 ,5n2ar 因?yàn)橐驗(yàn)樗苑匠探M有無(wú)窮多解（有非零解）所以方程組有無(wú)窮多解（有非零解）將最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組寫出：將最簡(jiǎn)形矩陣對(duì)應(yīng)的方程組寫出： 0 xx3xx0 x2xx2x54325431即即 54325431xx3xxx2xx2x選取為選取為 為自由未知量，得方程組的

3、全部解為：為自由未知量，得方程組的全部解為：35241332123211cxcxcxcc3cxc2cc2x為為任任意意常常數(shù)數(shù)），（其其中中，21cc【例3】當(dāng)k為何值時(shí)，下面齊次方程組有非零解，并求其解0202021321321kxxxxkxxxx解：0212111kka所以，當(dāng)k=3或k=-2為時(shí)，該齊次方程組有非零解，且當(dāng)k=3時(shí)，003201230111a000002500023102500250011100000125000231得同解方程組：0250233221xxxx23212523xxxx取x2=c,得原方程組的解：cxcxcx2523321(c為任意常數(shù)）02131100kk

4、 6) 1(kk)2)(3(62kkkk-5-n 個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個(gè)稱為一個(gè) 或或 , 其中其中 稱為該行稱為該行(列列)向向量的第量的第 i 個(gè)個(gè). 行向量與列向量統(tǒng)稱為行向量與列向量統(tǒng)稱為. ia naaa21),(21naaa或或:所討論的向量如無(wú)說(shuō)明均指列向量所討論的向量如無(wú)說(shuō)明均指列向量,而行向量用列向量的轉(zhuǎn)置而行向量用列向量的轉(zhuǎn)置表示表示.向量的向量的運(yùn)算和運(yùn)算和運(yùn)算同矩陣的這兩種運(yùn)算一樣運(yùn)算同矩陣的這兩種運(yùn)算一樣.-6- 由若干個(gè)同維數(shù)的列由若干個(gè)同維數(shù)的列(行行)向量組成的集合稱為一個(gè)向量組成的集合稱為一個(gè). 如無(wú)特殊說(shuō)明如無(wú)特殊說(shuō)明,向量組總是指只含

5、有限個(gè)向量的向量組向量組總是指只含有限個(gè)向量的向量組.: 解的全體是一個(gè)含無(wú)窮多個(gè)解的全體是一個(gè)含無(wú)窮多個(gè) n 維列向量的向量組維列向量的向量組.)(0narxanm mnmmnnaaaaaaaaa212222111211 mnmmnnaaaaaaaaa212222111211:mn 的矩陣的矩陣 a 全體列向量是含全體列向量是含 n 個(gè)個(gè) m 維列向量的向量組維列向量的向量組, 簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 ; 全體行向量是含全體行向量是含 m 個(gè)個(gè) n 維的行向量組維的行向量組,簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 .-7-對(duì)于向量組對(duì)于向量組 , 表達(dá)式表達(dá)式ma ,:21)(2211rkkkkimm )(2211rimm 稱為向量組

6、稱為向量組 a 的一個(gè)的一個(gè)線性組合線性組合.又如果又如果 是向量組是向量組 a 的一個(gè)線的一個(gè)線性組合性組合, 即即 則稱向量則稱向量 可由向量組可由向量組 a 線性表示線性表示. .ab52b,52b,10,01:a2121線性表示線性表示能由向量組能由向量組，所以，所以因?yàn)橐驗(yàn)榧跋蛄考跋蛄肯蛄拷M向量組例例 -8-看看三維空間中的向量看看三維空間中的向量(如圖如圖)設(shè)設(shè) 可表為可表為22114 kk 4 421, , 說(shuō)明說(shuō)明321, 這三個(gè)向量任何一個(gè)都不能由其它兩個(gè)這三個(gè)向量任何一個(gè)都不能由其它兩個(gè)向量線性表示向量線性表示, 說(shuō)明它們是異面的說(shuō)明它們是異面的.這三個(gè)向量在一個(gè)平面內(nèi)這三

7、個(gè)向量在一個(gè)平面內(nèi)(共面共面).1 3 2 4 -9- 我們把上面這種向量之間的最基本的關(guān)系予以推我們把上面這種向量之間的最基本的關(guān)系予以推廣廣,并換一種叫法并換一種叫法.向量可由其余的向量線性表示向量可由其余的向量線性表示, 則稱該向量組則稱該向量組線性相關(guān)線性相關(guān);否則否則,如果任一向量都不由其余向量線性表示如果任一向量都不由其余向量線性表示, 則稱該向則稱該向量組量組線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)(或獨(dú)立或獨(dú)立).ma ,:21設(shè)向量組設(shè)向量組如果其中一個(gè)如果其中一個(gè) 該定義不是用數(shù)學(xué)式子表達(dá)的該定義不是用數(shù)學(xué)式子表達(dá)的,不便于理論推導(dǎo)不便于理論推導(dǎo).如何改成數(shù)學(xué)表達(dá)式如何改成數(shù)學(xué)表達(dá)式?-10-02

8、211 mmkkk mkkk,21如果存在不全為零的數(shù)如果存在不全為零的數(shù)使得使得則稱該向量組則稱該向量組線性相關(guān)線性相關(guān). 否則否則,如果設(shè)如果設(shè)02211 mmkkk 便能推出便能推出021 mkkk則稱該向量組則稱該向量組線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān).-11-02211 nnxxx 存在不全為零的數(shù)存在不全為零的數(shù) 使使nxxx,21即即 ,021naax 有非零解有非零解.nar )(na ,:21向量組向量組線性相關(guān)線性相關(guān)(按定義按定義)(轉(zhuǎn)化為方程組轉(zhuǎn)化為方程組) 上面方程組有非零解上面方程組有非零解.(用矩陣的秩用矩陣的秩) ),(,),(,),(:742520111321 已已知知試討論

9、向量組試討論向量組 及向量組及向量組 的的321, 21, 線性相關(guān)性線性相關(guān)性.解：設(shè)解：設(shè)1122330 xxx即即123102012401570 xxx 系數(shù)行列式系數(shù)行列式1021240157 齊次線性方程組有非零解，所以向量齊次線性方程組有非零解，所以向量 線性相關(guān)線性相關(guān)123, 向量向量12, 對(duì)應(yīng)分量不成比例，所以線性無(wú)關(guān)。對(duì)應(yīng)分量不成比例，所以線性無(wú)關(guān)。例例1-13-,742,520,111321 問向量組問向量組,321 ,21 和和的線性相關(guān)性的線性相關(guān)性? 000220201751421201,321 r2,321 r,321 的線性相關(guān)的線性相關(guān).2,21 r,21

10、的線性無(wú)關(guān)的線性無(wú)關(guān).例例1方法2例例2: n維向量維向量 10001000121,neee討論它們的線性相關(guān)性討論它們的線性相關(guān)性. 12,nee ee 結(jié)論結(jié)論: 線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)解解:上述向量組又稱上述向量組又稱基本向量組基本向量組或或單位坐標(biāo)向量組單位坐標(biāo)向量組.問題問題: n=3時(shí)時(shí),321,eee分別是什么？分別是什么？-15-tttt), 3 , 1(,)3 , 2 , 1(,)1 , 1 , 1(321 t 取何值時(shí)取何值時(shí),下列向量組線性相關(guān)下列向量組線性相關(guān) ? ta31321111,321 記記03)(,321 aar線性相關(guān)線性相關(guān) 512021011131321111

11、 ttta當(dāng)當(dāng) t = 5 時(shí)時(shí), 上面向量組線性相關(guān)上面向量組線性相關(guān).例例2-16-(參見參見p90定理定理5)(3) “部分相關(guān)部分相關(guān),則整體相關(guān)則整體相關(guān).反之反之” 111,642,321321 觀察知觀察知 相關(guān)相關(guān), 從而從而 相關(guān)相關(guān).21, 321, 使用方便的一些推論使用方便的一些推論(2) 兩個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們的對(duì)應(yīng)分量成比例兩個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它們的對(duì)應(yīng)分量成比例; (1) 一個(gè)零向量線性相關(guān)一個(gè)零向量線性相關(guān), 一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)；一個(gè)非零向量線性無(wú)關(guān)；-17-(4) “個(gè)數(shù)大于維數(shù)必相關(guān)個(gè)數(shù)大于維數(shù)必相關(guān)” aa 的列組是的列組是 4 個(gè)個(gè) 3 維向

12、量維向量, 必相關(guān)必相關(guān).mnanm ,設(shè)設(shè)要證要證 a 的列組線性相關(guān)的列組線性相關(guān).nmar )(-18-(5) na ,:21 ,:21na無(wú)關(guān)無(wú)關(guān), 相關(guān)相關(guān)則則 可由可由 a 唯一表示唯一表示.(p106定理定理3.1) 這由這由1)|()( nararn nnxxx2211有唯一解有唯一解.narar )|()( 又說(shuō)明又說(shuō)明: 如果一個(gè)向量可用無(wú)關(guān)組表示如果一個(gè)向量可用無(wú)關(guān)組表示, 則表法必然是唯一的則表法必然是唯一的. 為以后引用方便為以后引用方便, 給它起個(gè)名子叫給它起個(gè)名子叫唯一表示定理唯一表示定理.-19-寫成矩陣乘積寫成矩陣乘積:)()()(aracrbr 從而從而(6) 向量向量 組組 b 可由向量組可由向量組 a 表示表示, 則則)()(arbr (后者的后者的 a, b是矩陣是矩陣)存在矩陣存在矩陣 c 使得使得 b = acmnnm ,2121 為以后引用方便為以后引用方便, 給它起個(gè)名子叫給它起個(gè)名子叫表示不等式表示不等式.-20-(7) 如果一個(gè)向量組能由向量個(gè)數(shù)比它少的向量組表示如果一個(gè)向量組能由向量個(gè)數(shù)比它少的向量組表示, 則必相關(guān)則必相關(guān).(