流體力學第三流體靜力學

1、流流 體體 力力 學學 退 出中國科學文化出版社第三章 流體靜力學 作用于流體上的力 靜止流場中的應力 靜止流體的基本微分方程 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體 對物面的作用力 重力場中靜止氣體的壓力分布 非慣性坐標系中的靜止流體 表面張力與毛細現(xiàn)象 流體靜壓力的測量原理 第一節(jié)第二節(jié)第三節(jié)第四節(jié)第五節(jié)第六節(jié)第七節(jié)第八節(jié)退 出返 回第三章 流體靜力學 退 出返 回 第一節(jié) 作用于流體上的力 第第1頁頁 流體靜力學研究處于靜止狀態(tài)的流體（簡稱靜止流體）應遵循的規(guī)律，它主要討論靜止流體的壓力以及靜止流體與它的邊界之間的作用力。當流體處于靜止狀態(tài)時，流體內(nèi)部沒有相對運動，根據(jù)牛頓內(nèi)摩擦定律，靜止流體

2、的切應力為零，顯然，這時流體也不呈現(xiàn)粘性。因此流體靜力學所得出的結論對理想流體（ ）或?qū)嶋H流體（ ）都是適用的。 00一、表面力與流體應力通過與流體表面接觸而作用于接觸表面上的力稱為表面力，又稱面積力或接觸力。作用于流體單位面積上的表面力稱為流體應力。如圖3.1所示，流場中任取一體積為 、表面積為a的流體微團。外法線單位向量為 的面積a上受到外界作用的表面力為 ，當a縮小為一個點時，a表面上的流體應力 為n 圖 3.1 作用于流體上的力afpn作用于流體上的力分為兩類，即表面力與體積力。npnpananpp0lim（3.1）n第三章 流體靜力學 退 出返 回第一節(jié) 作用于流體上的力 第第2頁頁

3、外界作用于該流體微團上的表面力為 。流體應力不僅與點的位置有關，而且與通過該點的截面方位有關，也就是說，通過一點可以有不同的流體應力。例如在直角坐標系中，某點的應力 分別為通過該點外法線單位向量為 截面上的應力。anadpzyxppp,kji,二、體積力與單位質(zhì)量的體積力直接作用于流體體積上的力稱為體積力。這種力的作用與該流體微團周圍有無流體無關。體積力又稱質(zhì)量力。流體力學中經(jīng)常采用的是單位質(zhì)量的體積力，用 表示。如作用于 體積上的體積力為 ， 體積中的流體密度為 ，則ffff0lim（3.2）外界作用于該團流體上的體積力為 。絕大多數(shù)流體力學問題中，流體是處于重力場中，令 為重力加速度，則d

4、fggf （3.3）第三章 流體靜力學 退 出返 回 第二節(jié) 靜止流場中的應力 第第1頁頁靜止流體保持恒定的變形，不存在任何方向的變形速率，所以沒有用以抵抗不斷變形的切向應力，流體表面的作用力只有法向應力。由于流體除承受很小的表面張力外，不能承受拉應力，所以法向應力只能是壓應力，于是靜止流體的應力只有法向的壓應力。取微元四面體建立力的平衡方程，可以得到結論：通過一點的各個截面上的壓應力的值都是相等的，于是靜止流體的應力可表示為式中 定義為靜止流體的壓力( )，它就是經(jīng)典熱力學中的平衡態(tài)壓力。在流體力學中，壓力是空間位置點與時間的函數(shù)，即 。pnnpp0p),(tzyxpp （3.4）第三章 流

5、體靜力學 退 出返 回 第三節(jié) 靜止流體的基本微分方程 第第1頁頁一、靜止流體基本微分方程如圖3.1所示，靜止流體中任意流體微團 所受的合力為零，即式中 為作用于微元體積 上的合力。因為 是任意的，被積函數(shù) 是連續(xù)的，所以要滿足上式，只可能 處處為零。于是有0d)(ddddpapaaanfnfpf)(pfd)(pf)(pffp（3.5）式（3.5）即為靜止流體基本微分方程。流場中任取一段微元線段點 積式（3.5），則有式中 表示沿 線段的壓力增量。在直角坐標系中l(wèi)dlf ddppdldzfyfxfpzyxdddd（3.6）（3.7）重力場中， ，即 ，這里z為某一參考水平面鉛垂方向上的坐標值，

6、 為重力加速度的數(shù)值，于是（3.7）式變?yōu)椋篻fffzyx, 0, 0zgddlfgzgpdd（3.8）第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第2頁頁第三節(jié) 靜止流體的基本微分方程 （3.8）式中含有兩個變量函數(shù) 和 ，但只有一個微分方程，所以（3.8）式本身是不封閉的，為此必須引入補充假定。對于密度相同的不可壓縮流體充滿的流場（簡稱不可壓流場），可引入 。對于可壓縮流體，則引入正壓流場假定。二、正壓流場流場中流體密度只是壓力的單值函數(shù)，即 ，則這種流場稱為正壓流場，正壓流場具有以下主要性質(zhì)：pconst)(p（1） 流場中存在壓力函數(shù) ， 定義為 ；（2） ；（3） 等壓面就是等密度面。完全氣

7、體均溫場（ ）和標準大氣場為流體力學中常見的正壓流場。)(p)(p)(dpppppddconstp第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第3頁頁第三節(jié) 靜止流體的基本微分方程 三、靜止流體的基本特征由靜止流體基本微分方程 可得到靜止流場的基本特性：（1） 靜止流場中質(zhì)量力必滿足 ，否則流場不會處于靜止。（2） 質(zhì)量力有勢的靜止流場必是正壓或不可壓流場，其等壓面必是等勢面。如有幾種不同密度流體組成的流場，其交界面（又稱自由面）必是等壓面。（3） 重力場（ ）中的靜止流體，除具有上述性質(zhì)外，不同介質(zhì)形成的自由面必是水平面。同一介質(zhì)連通的水平面必是等壓面。 fp0ffgf第三章 流體靜力學 退 出返

8、回 第第1頁頁第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力 一、壓力公式重力場是最典型的質(zhì)量力場。在重力場中， ，若使直角坐標軸 與地面的外法線重合，則重力場可寫成由（3.8）式嚴格說來，式中 可以是 的函數(shù)，但當所討論的問題的時間和空間范圍不大時， 可視為常數(shù)。液體的可壓縮性很小，如果在整個流場中壓力差別不是非常大，則可視液體為不可壓縮流體，即 。積分式（3.9）可得式中 ，它可以是時間 的函數(shù)。 gfzgkfzgpddgtzyx,gconstgzpp000zppt（3.9）（3.10）例題例題3.1 有一差壓測壓管，連接方式如圖3.2所示。測得 值，且已知測壓管內(nèi)兩種流體的密度分

9、別為 和 ，求1-1和2-2截面上壓力差 的值。 cba,0121pp 第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第2頁頁解解：因同一介質(zhì)連通的水平面為等壓面，作3-3和4-4水平面，由（3.10）式可得 合并上兩式即可得到gcpgapp14013 圖3.2 差壓測壓管22113344acbgbpp024)(0121abggcpp01二、重力場中靜止流體對物面的作用力和力矩在實際工程問題中，往往需要確定液體與固體接觸面之間的作用力。既然靜止液體中的壓力分布規(guī)律已經(jīng)知道，則流場邊界面上的壓力分布規(guī)律也是已知的，故不難確定固體任意邊界面a上所受的力為agzpapaad)(d0nnf（3.11）第四節(jié) 重

10、力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力式中a為物體與流體的接觸面； 為物面外法線方向單位向量； 為物體表面所受的流體壓力； 為流體壓力對參考點 的力矩； 為參考點到物面點的向徑； 為參考點 到合力作用線 上任意一點的向徑，如圖3.3所示，合力作用線上的任意一點都可稱為壓力中心，但通常把該線與物面的交點 稱為壓力中心。 第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第3頁頁 圖 3.3 壓力中心 cc固體任意邊界面a上所受的力矩為agzpapaoaood)(d0nrnrmomf如果 ，則壓力中心即固體任意邊界面a上所受力的合力作用線的位置可由下式確定0omfocmfrcronpomoorocrocc

11、c（3.12）（3.13）第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第4頁頁（一）豎放平壁面上所受的力流場的某部分邊界為豎放平壁面，如圖3.4所示，試確定面積a上所承受的由于靜液引起的作用力。為討論方便起見，將坐標原點放在自由面上，并使 軸與豎面相垂直，于是豎面的法線 與 一致。由公式（3.11），液體作用在面積a上的合力為即xniagzpaad)(nfaghpaad)(iaaxahgapfd（3.14）可見，作用力由兩部分組成：一部分是氣壓對壁面的作用力 ，另一部分是液體對壁面的作用力 。 apaaahgd上述分析同樣適合于求液體內(nèi)部任意放置的

12、豎平面上的作用力。例題例題3.2 若在液體流場中有豎壁面 ，如圖3.5所示，試求此壁面所承受來自液體的作用力。)(1212yyhha第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第5頁頁aghpapaaad)(diifhyghhypaaaddddii21212121ddddyyhhyyhhayhhgyhpii)(2)(2122121212hhyyghhyypaii解解:（二）平放平壁面上所受的力流場的某部分邊界為平放平壁面，試確定面積a上所承受的由于靜液引起的作用力。為討論方便起見，將坐標原點放在自由面上，壁面單位法線向量 與 重合（即壁面上部有液體

13、），如圖3.6(a)所示，則液體作用在深度為 的平面a上的合力為即nkhagzpaad)(nfaghpa)(kaghpfaz)(（3.15）第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第6頁頁 pahzyxnhfnpafh(a) 壁面向上 (b) 壁面向下 圖3.6 平放平壁面所受的力 o可見，作用力由兩部分組成：一部分是氣壓對壁面的作用力 ，另一部分是液體對壁面的作用力 ，它相當于面積a上所承受的液體總重。若壁面法線向量 與 相反，如圖3.6(b)所示，則液體作用于面積a上的力為即apaghankagzpaad)(nfaghpa)( kaghpf

14、az)(可見，作用力方向向上（指向作用面）。（三）任意曲面上所受的力若流場的某部分邊界壁面為曲面，如圖3.7所示，試確定面積a上所承受的力。第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力如圖3.7(a)所示，若將坐標原點放在自由表面上，則壓力公式可寫成 。由于曲面上各點的法線向量并不相同，故應對每個微元面積進行分析。在曲面上任取微元面積 ，其法向單位向量為 ，式中， ， ， 。第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第7頁頁ghppaadzyxnnnkjin),cos(xnxn),cos(ynyn),cos(znzn微元面受力為由幾何關系可知，微元面 在坐標面上的投影為 ， ， 。于是受力

15、公式可寫成azpaypaxpapd),cos(d),cos(d),cos(ddnknjninfadaxaxd),cos(dnayayd),cos(dnazazd),cos(dnzyxapapapddddkjifzzyyxxapfapfapfdd,dd,dd即整個曲面 上的受力可由上式積分求得aaaxaxxaghpapfd)(daayayyaghpapfd)(daazazzaghpapfd)(d（3.18）（3.17）（3.16）第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第8頁頁 (a) (b) (c) (d) napahzyxhpaxazhxx1

16、pah1h2azxpa ahh圖3.7 曲面受力oooa式中 為曲面各點的深度。由式（3.16）、（3.17）可見，水平方向的力與式（3.14）的形式一樣，但積分域為曲面分別在兩個豎坐標面上的投影。因此曲面的側(cè)向受力與豎放平壁面?zhèn)认蚴芰ο嗤皇前亚嬖趥?cè)面上的投影作為豎平壁面處理。若曲面如圖3.7(b)所示，有一部分曲面在豎坐標面上有正反兩個投影，而它們又處于同一水平面上，它們的作用力大小相等，方向相反，故可相互抵消。 h式（3.18）雖然與式（3.15）形式相同，但是式中 為變量。 h第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第9頁頁式（3.

17、18）又可寫成顯然，上式右側(cè)第一項為氣壓對曲面的作用，第二項為曲面上液體的總重量。例題例題3.3 試求圖3.7(c)中單位寬度的斜面所承受的作用力 ，斜面方程為),(yxhh azazyxyxhgapfdd),(zfxxhhhh/ )(1121（3.19）解解：若曲面如圖3.7(d)所示，上下兩部分曲面在 平面上的投影面方向相反。但是同一垂線上的壓力并不相等，所以對于有相重投影的那部分曲面上的力應分別積分112111210011)(2dd)(1xhhgxpyxxxhhhgxpfaxaz xyd dahgapahgapfazaazaz式中， 為下部曲面a的深度， 為上部曲面 的深度， 和 分別為

18、下部曲面及上部曲面在 坐標面上的投影。 h h azazaxoy第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第10頁頁若 ，則上式可寫成可見，上式為上、下曲面之間所包含的液體重量。（四）物體浮力浸于液體中的物體所受到的液體對它的作用力的合力即為物體的浮力。物體表面也是曲面，浸于液體中的物體表面為封閉曲面，如圖3.8(a)所示，作用在封閉曲面上的合力為zzaa zazahhgfzd) ( axaaxxaghpapfd)(dayaayyaghpapfd)(dazaazzaghpapfd)(d由于物面為封閉曲面，物面在豎坐標面上的兩個投影面大小相等方向相

19、反，且深度相等，故側(cè)向合力為零， 即 。 0, 0yxff第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第11頁頁由于物面為封閉曲面，物面在水平面上的兩個投影面積數(shù)值相等，方向相反。但在同一條垂線上的上下兩個表面上的壓力差為 ， 故)(12hhgzaazaazaghpaghpfd)(d)(2121bzaagahhgd )()(1221或bpah2 h1zyxon1n2zyxo paawad (a) (b)圖3.8 物體的浮力式中a1和a2分別為朝上和朝下的物體表面， 為浸于液體中的物體的體積。故物體的浮力等于與物體同體積的液體的重量。（3.20）bz

20、a第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第12頁頁對于部分浸沒于液體的物體，如圖3.8(b)所示，顯然它所受到的水平方向的合力為零，如同完全浸沒的物體一樣。它所受到的垂直于水平面方向的合力為式中aw為濕表面，ad為干表面。右側(cè)第二項 與 等價，式中 為ad在水平面上的投影面，由于積分在投影面 上進行，而在該投影面上 ，故該項可改寫為于是式（3.21）可寫成zaazaazapaghpfdwdd)(zaaapddzaaapzdzaza0hzaazaazaaaghpapapzzdd )(ddzaazaazaghpaghpfzw)d(d)(d )(g

21、aghpzaaazw（3.21）（3.22）式中 組成了物體浸沒部分體積 的封閉曲面。可見，對于部分浸沒的物體，其浮力仍然等于和被浸沒的那部分物體同體積的液體的重量。zwaa第四節(jié) 重力場中靜止流體的壓力，靜止流體對物面的作用力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第1頁頁第五節(jié) 重力場中靜止氣體中的壓力分布 無論液體或氣體，在靜止狀態(tài)都應滿足重力場中的平衡方程（3.8）對于氣體而言，在整個流場中 const，故p、 均為待定函數(shù)。為求解函數(shù)p、 ，尚須補充一個方程。在許多實際問題中，氣體流場中的壓力與密度往往具有確定的關系，即p與 互為函數(shù)關系， 。具有這種關系的流場稱為正壓流場。正壓流場中最

22、有代表意義的流場為指數(shù)律流場，即zgpdd)(pp cpn（3.23）式中c，n為常數(shù)。例如，完全氣體的均溫流場，即在整個流場中溫度為常數(shù)的流場，滿足 ，這就是一種指數(shù)規(guī)律正壓流場，相當于n=1。下面將討論滿足指數(shù)律的正壓流場中的規(guī)律。 const/p第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第2頁頁第五節(jié) 重力場中靜止氣體中的壓力分布 一、正壓流場中的靜止氣體基本方程由式（3.8）及正壓條件（3.23）構成，由該兩式消去 可得積分上式可得式中c1為常數(shù)，它由具體問題的邊界條件來確定。若已知z=0處壓力為p0，密度為 ，即 ，于是正壓條件中的c可寫成 ，利用此條件可得到nnczgpp/1/1dd1/

23、1/ )1(1ccgzpnnnnn00000)(,)(zzppnpc00/nnpnnc/ )1(011（3.24）（3.25）代入式（3.25）可得)1/(00011nnpzgnnpp（3.26）第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第3頁頁第五節(jié) 重力場中靜止氣體中的壓力分布 此為指數(shù)律正壓流場中壓力分布公式。利用正壓條件式（3.23），由上式又可得到密度分布公式對于完全氣體，由于 ，由式（3.26）和式（3.27）可得到溫度分布公式式（3.26）是在 的條件下，由式（3.24）積分求得。若指數(shù)律正壓流場的指數(shù) ，即)1/(100011npzgnnrtp/00001111rtgznnpzgnn

24、tt1n1ncp/（3.27）（3.28）（3.29）則微分方程（3.8）可寫成此式的積分為式中c1為常數(shù)，由具體問題的邊界條件確定。czgppdd1lnczcgp（3.30）第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第4頁頁第五節(jié) 重力場中靜止氣體中的壓力分布 二、標準大氣大氣的真實狀況非常復雜，它不僅與地理位置有關，而且與季節(jié)乃至時辰有關。但就整個大氣的平均狀況來說，大氣層大致可分為下列幾個層次。海平面至11km高度為對流層，在此層中流動復雜，變化甚大。由11km高空至32km高空為平流層，在此層中存在大氣的水平流動，而且變化不大，溫度幾乎不變，故又稱同溫層。由32km高空到80km高空為高溫層

25、。在80km以上的高空為外層空間。作為一種共同比較大氣狀態(tài)的標準，人們規(guī)定一種大氣狀態(tài)（大致與北半球中緯度全年平均氣象條件相符合），并命名為標準大氣狀態(tài)。標準大氣的條件為(1) 設大氣為完全氣體，其狀態(tài)方程為 ，式中r=287pam3(kgk)。rtp/第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第5頁頁第五節(jié) 重力場中靜止氣體中的壓力分布 (2) 在海平面上，t0=288.15k，p0=1.013105pa。(3) 在對流層中，指數(shù)律正壓條件為n=1.238。根據(jù)上述條件，利用壓力、密度、溫度分布公式（3.26）、（3.27）、（3.28）可以得到對流層中壓力、密度和溫度分布公式202. 54238

26、. 0238. 1001039. 41238. 1238. 01zrtgzpp202. 44238. 01001039. 41238. 1238. 01zrtgz4001039. 41238. 1238. 01zrtgztt（3.33）（3.32）（3.31）在對流層的上邊界 m，其壓力、密度、溫度分別以 ， ，表示。 31011dzzdpddt第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第6頁頁第五節(jié) 重力場中靜止氣體中的壓力分布 pa10226. 0223. 01039. 41011150202. 5430pppd3000202. 4430kg/m36. 0298. 0298. 01039. 41

27、0111rtpdk74.21836. 028710226. 05dddrpt上述參數(shù)正是同溫層的下邊界條件，由此可以確定均溫流場中的壓力公式（3.30）中的c1及式（3.29）中的c故同溫層中壓力公式可寫成 利用式（3.29）可得dddddpcrtgzpc/ln14310)1011(56. 15e10226. 0ezrtzzgdddpp4310)1011(56. 1e36. 0ezrtzzgdddddpp（3.35）（3.34）第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第7頁頁第五節(jié) 重力場中靜止氣體中的壓力分布 例題例題3.4 已知海平面上條件為p0=101.3kpa，t0=15，0=1.285k

28、gm3。并已知海平面上空溫度對于高度的下降率為(71000)km，試計算z=3000m處的壓力和密度。解解: 由海平面上的條件，可以求出空氣的氣體常數(shù) 由正壓流場中的溫度公式（3.28）可知，對上式微分7 .27300tpr0011rtgznnttrgnnzt1ddpam3(kgk)即將已知條件 71000代入上式，則n=1.243。將n代入式（3.26）、（3.27）、（3.28）得到ztgrndd11zt d/d第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第8頁頁第五節(jié) 重力場中靜止氣體中的壓力分布 kpa57.6711)1/(3000003000nnzzrtgznnpp 3)1/(1300000

29、3000kg/m924. 011nzzrtgznn k2673000zt第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第1頁頁第六節(jié) 非慣性坐標系中的靜止流體 以上討論了慣性坐標系中的靜止流體?，F(xiàn)綜合慣性坐標系中質(zhì)量力為重力的靜止流體基本公式如下：const)(constconst)()(const0dd, 0gzupzpuppgzuupptngfnpww（等壓面即等勢面即水平面）（3.36）對于以 平移（ ， 為常數(shù)）， （ ）等速旋轉(zhuǎn)的非慣性坐標系，質(zhì)量力為重力的相對靜止流體基本公式如下： 0w0aw 0ae 第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第2頁頁第六節(jié) 非慣性坐標系中的靜止流體 式中r為空間

30、點位置（x, y, z）到旋轉(zhuǎn)軸的垂直距離?，F(xiàn)討論兩類最典型的非慣性坐標系，即直線等加速運動的坐標系和等角速度旋轉(zhuǎn)的坐標系。并研究這兩種非慣性坐標系中的靜止流體中的壓力分布規(guī)律。 const)(const2const) ()(21)(dd,22022000rgzupupprgzuupptnraerrraagfnpraawrww（3.37）有一盛液體的容器，沿直線作等加速運動，如圖3.9所示。加速度為 , 在此非慣性坐標系中，質(zhì)量力場由兩部分組成：重力場 及慣性力場 。sincosaakiaga一、直線等加速運動的坐標系第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第3頁頁第六節(jié) 非慣性坐標系中的靜止流體

31、 zax圖3.9 直線等加速運動的坐標系osincosarctgaga即 ， ，容器中液體相對于容器處于靜止狀態(tài)，由靜止流體平衡方程式 得：cosafx0yfsinagfzlf ddp)ddd(dzfyfxfpzyxzagxad)sin(d)cos(（3.38）由于 const，故上式可直接積分（3.39）式中c為積分常數(shù)。由此壓力分布公式不難證明，在直線等加速運動的坐標系中，靜止流體的等壓面、自由面、分界面均為與水平方向成 夾角的斜平面。 cagzxap)sin(cossincosarctgagasincosaagkikagf式中 分別為沿r， ，z軸的單位向量。積分上式可得第三章 流體靜力

32、學 退 出返 回 第第4頁頁第六節(jié) 非慣性坐標系中的靜止流體 二、等角速度旋轉(zhuǎn)坐標系盛有液體的容器，繞某一固定軸作等角速度轉(zhuǎn)動，如圖3.10所示。在旋轉(zhuǎn)坐標系中，各點的加速度為式中， 為柱坐標沿r方向的單位向量。在此非慣性坐標系中，質(zhì)量力場由兩部分組成，重力場g及慣性力場a。容器中的液體相對于容器處于平衡狀態(tài)，由靜止流體平衡方程式 知2rreare22rgrgrzreeekagflf ddp)ddd()(d2zrrrgpzrrzeeeee zx圖3.10 旋轉(zhuǎn)坐標系o)dd(2rrzg（3.40）（3.41）zreee,crgzp222（3.42）式中c為積分常數(shù)。第三章 流體靜力學 退 出返

33、 回 第第5頁頁第六節(jié) 非慣性坐標系中的靜止流體 同樣由上述壓力分布公式不難證明，在等角速旋轉(zhuǎn)的坐標系中，靜止液體的等壓面、自由面、分界面均為拋物面。r z o o x y a0 圖3.11 火車上的旋轉(zhuǎn)水桶中水的自由表面例題例題3.5 火車在水平軌道上以等加速 運動，車廂中有一半徑為r，盛水 的水桶繞鉛垂軸oz以 等角速轉(zhuǎn)動，足夠長時間后，水桶中的水達到相對靜止，如圖3.11所示，求自由面形狀 。ia00ahr2k),(yx),(yxz),(r解解：選取圖示柱坐標系，自由面就是等壓面 ， const，由（3.37）最后一式z0ppcrgrga22021cosdrd2cosd0202202 a

34、rrcgrrgaahr2424crrg第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第6頁頁第六節(jié) 非慣性坐標系中的靜止流體 例題例題3.6 一圓筒形密閉容器，如圖3.12所示，內(nèi)裝0.25m3的水，圓筒以 的等角速度繞鉛垂軸旋轉(zhuǎn)，達到相對靜止狀態(tài)，如自由面上的大氣壓力為pa，頂蓋質(zhì)量為5kg，試確定作用在頂蓋螺栓上的拉力。解解： 容器體積為 ，故容器內(nèi)有自由面。選取圖示坐標系。且已知在 處 ，由（3.42）式得2241rghc2202221cos41rgrgarghs /11025. 0352. 07 . 04 . 020, 0zzrapp 在自由面上 ，則假設自由面形狀如圖，即 ，則zr1z00.7

35、m0.4mro圖3.12 旋轉(zhuǎn)圓桶中水對頂蓋的作用力2202)(rzzgppaappz ,02221zrg4 . 0, 7 . 011rrz2210217 . 0rgz)4 . 0(7 . 0d2217 . 02125. 02120221221rrrrgrgr第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第7頁頁第六節(jié) 非慣性坐標系中的靜止流體 4 . 0m,1244. 0m,3359. 0101rzr4 . 07 . 018 . 95d)(rzaappfn1268 . 95d2217 . 04 . 03359. 0220rrrzg解得 ，與上述假設符合。所以第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第1頁頁

36、第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 (a) (b) (c)圖 3.13 表面張力現(xiàn)象 如果把一根棉線拴在鐵絲環(huán)上，然后把環(huán)浸到肥皂水里再拿出來，環(huán)上出現(xiàn)一層肥皂薄膜，如圖3.13(a)所示。如果用針刺破棉線左側(cè)的薄膜，則棉線會被右邊的薄膜拉向右彎，如圖3.13(b)所示。如果刺破右側(cè)，則棉線會被左邊的薄膜拉向左彎，如圖3.13(c)所示。液體表面的這種收縮趨勢是由使液體表面收縮的力表面張力所造成的。表面張力沿著液體的表面作用并且和液體的邊界垂直。一、表面張力第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第2頁頁第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 下面進一步分析上述現(xiàn)象的物理本質(zhì)。在靜止的流體中，每一個流體分子都受到周圍

37、分子的吸引力的作用。分子間吸引力的作用半徑r約為 mm。流體內(nèi)部的任意一點，周圍分子對它的吸引力是相互抵消的，處于平衡狀態(tài)。但是對于液體表面附近的分子，受分子吸引力的情況就不同了。如圖3.14所示，m為距液面為h的一個分子，若以m為中心，以引力作用半徑r為半徑作一球面，可見在mn和mn平面之間的全部流體分子對m質(zhì)點的吸引力相互抵消，而mn平面以下的流體分子對m的吸引力無法平衡。因此m受到一個向下的拉力。顯然，只有當m點離液面的距離 時周圍分子對它的吸引力才能互相平衡，而在 的表面層內(nèi)的分子都受到大小不同、方向向下的拉力的作用。表面張力就是液體表面層內(nèi)的分子所受引力不平衡的表現(xiàn)，它把液體表面層的

38、分子緊緊地拉向液體內(nèi)部。571010rh rh 第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第3頁頁第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 圖3.14 表面張力產(chǎn)生的機理 rmmnmnhh如果把液面任意分開為兩部分，則這兩部分之間都有互相吸引的表面張力存在，并且垂直作用于二部分液體表面的分界線。液面分界線越長所表現(xiàn)出來的表面張力越大。常用作用于單位長度上的力來表示表面張力的大小并稱為表面張力系數(shù) ，也稱毛細常量。常用的單位為nm。在各種介質(zhì)之間，互不相溶的液體間或液體與氣體之間，分界面附近的分子都受到兩種介質(zhì)的分子力的作用。因此，通常所說的表面張力系數(shù)都是指流體對于某種介質(zhì)而言的。表3.1為實驗測得的293k時幾

39、種常用液體的表面張力系數(shù)。表面張力系數(shù)隨溫度的升高而稍有降低。表3.2在不同溫度下水對空氣的表面張力系數(shù)。 表面張力的影響在大多數(shù)工程實際中是被忽略的。但是在水滴和氣泡的形成，液體的霧化以及汽液兩相的傳熱與傳質(zhì)的研究中將是重要的不可忽略的因素。 表 3.1 幾種常用液體的表面張力系數(shù)介 質(zhì)表面張力系數(shù)/nm-1介 質(zhì)表面張力系數(shù)/nm-1水對于空氣72.810-3水銀對于水42710-3水銀對于空氣46510-3水對于煤油4810-3煤油對于空氣2710-3表面張力系數(shù)隨溫度的升高而稍有降低。表 3.2 在不同溫度下水對空氣的表面張力系數(shù)。表 3.2 表面張力系數(shù)隨溫度的變化c/nm-1c/n

40、m-1075.610-34069.610-31074.210-36066.210-32072.810-38062.610-33071.210-310058.910-3第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第4頁頁第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 p0psp0=p0+psp0psp0=p0-ps(a) (b)圖3.15 毛細壓力orcrdldf2df1df圖3.16 彎曲壓力與表面張力的關系由表面張力引起的彎曲液面兩側(cè)的壓力差，如圖3.15所示，稱為彎曲壓力或毛細壓力。設在液體表面取一塊微小面積，則沿小塊四周以外的表面對它作用有表面張力。力的方向與周界垂直而且沿周界處與表面相切。如果液面是彎曲的，那么表

41、面張力不是水平方向的。在這微小彎曲的法線方向就有一個表面張力的合力 。當液面凸起時 指向液體內(nèi)部，則液體平衡時，表面內(nèi)的壓力為 ，如圖3.15(a)所示。當液面下凹時， 指向液體外部，液體表面內(nèi)的壓力為 ，如圖3.15(b)所示。其中 就是彎曲壓力， 為液面外介質(zhì)的壓力。spspsppp0spsppp0sp0p二、彎曲壓力a下面對彎曲壓力 作進一步的分析。若取一塊面積為 的球面。其周界為一圓，如圖3.16所示。o為球心， 為球半徑， 為 周界圓的半徑。在 的周界上取一微小的線段 ，作用在 上的表面張力為 ，其方向與球面相切，即與球半徑 垂直，并指向外側(cè)。 可以分解為 和 。 指向液體內(nèi)部， 的

42、方向與oc半徑垂直。則沿 的周界表面張力在指向液體內(nèi)部方向上的分力的總和為沿 周界的積分，即第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第5頁頁第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 sparraaldl dlfddrf d1df2df1df2dflffdsinsindd1aallrlffsin2dsind11因為所以當 很小時，這個曲面可近似地看成是個平面，面積可近似地認為等于 ，即 。彎曲壓力應為rrsinrrf212a2 r2 ra rrrrafps22221（3.43）對肥皂泡，因為存在兩個液體表面，因此它的彎曲壓力應為由式（3.43）可見，彎曲應力的大小與表面張力系數(shù)成正比，而與曲面的曲率半徑成反比，曲

43、率半徑越小，彎曲壓力越大。 第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第6頁頁第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 rps4三、毛細現(xiàn)象在互不相混的液體間、液體和氣體間或液體和固體間，其分界面附近的分子都將受到兩種介質(zhì)分子的引力作用，表面的形狀將取決于相鄰的兩種物質(zhì)的特性。當液體與固體接觸時，液體分子間的引力大于液體分子和固體分子間的引力，則液體就自己抱成團與固體不浸潤，如玻璃板上放一滴水銀，則水銀縮成一個小球，這種現(xiàn)象稱為不浸潤現(xiàn)象。水銀對玻璃來說是不浸潤液體。當液體分子間的引力小于液體和固體分子間的引力，則液體就能浸潤固體表面。如把水滴在清潔的玻璃板上，水滴不但不能縮成小球，而且很快向四周擴展，這種現(xiàn)象稱

44、為浸潤現(xiàn)象，水對玻璃來說就是浸潤液體。 在毛細管中液面上升或下降的高度顯然與表面張力有關。圖3.18表示浸潤液體的毛細現(xiàn)象。如果管子很細，則管內(nèi)的液面可以近似地看作個球面。設r為球面的曲率半徑。根據(jù)式（3.43）曲面內(nèi)的彎曲壓力為 ， 的方向是向上的。曲面內(nèi)測液體 處的壓力為 。根據(jù)連通器的原理第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第6頁頁第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 把一根細管插入對它浸潤的液體中，管中液面就會比自由液面高，而且在細管中呈凹形自由液面，如圖3.17(a)所示。如果將細管插入對它不浸潤的液體中，則管中的液面要比自由液面低，而且在細管中呈凸形液面，如圖3.17(b)所示。這種在細管中

45、液面上升或下降的現(xiàn)象稱為毛細現(xiàn)象，能產(chǎn)生毛細現(xiàn)象的細管子稱為毛細管。 rps2spcspp 0ghppps00rghps2grh2（a）式中， 液體的密度。 第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第7頁頁第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 由圖3.18可得出式中， 毛細管內(nèi)孔半徑。將此關系代入式（a），得到式（3.44）亦可以用來計算不浸潤液體在細管中的下降高度。只是此時 ， 為負值，所以 也為負值，表示液面是下降的，如圖3.19所示。 圖3.19 不浸潤液體的毛細現(xiàn)象 rrcoscosrrrcos2grh2cosh（3.44）一般說來，水的 角在09范圍內(nèi)。而水銀的 角在130150范圍內(nèi)。毛細管很細

46、時可近似地把液面看作一個半球面，則浸潤液體的 角為0，不浸潤液體為 。式（3.44）可簡化為grh2（3.45）第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第8頁頁第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 毛細現(xiàn)象在日常生活和工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中都起著重要的作用。例如，煤油沿著燈芯上升；地下水份會沿著土壤中的毛細孔道上升到地表蒸發(fā)等。當用直徑很細的管子作測壓計時由于毛細現(xiàn)象會引起誤差，有時這種誤差可能很大。例題例題3.7 圖3.20為一液柱式壓差計，測壓計細管內(nèi)徑為2mm，若測得的液柱高 150mm水柱，試分析測量誤差（管內(nèi)液體對細管是浸潤的）。h解解: 根據(jù)連通器原理知道ab為等壓面，則（a）彎曲壓力 （b）式中 為由于

47、毛細現(xiàn)象液面上升的高度。將式（b）代入式（a）得到由式（3.45）ghppps21hgpsh 圖3.20 液柱式壓差計abhp1p1p2)(21hhgppgrh2第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第8頁頁第七節(jié) 表面張力與毛細現(xiàn)象 其中： 所以測量的相對誤差為實際的壓力差應為一般說來，當測壓管直徑大于20mm（對水）及15mm（對水銀）時可以不考慮對毛細現(xiàn)象產(chǎn)生的誤差進行修正。n/m108 .7233kg/m9983310199881. 9108 .722 hm1087.143%1187.1415087.14hhhohmm13.13587.141502hh第三章 流體靜力學 退 出返 回 第第1頁頁第八節(jié) 流體靜壓力的測量原理 流體靜壓力不僅可以用基本公式 來計算，而且還可以用各種儀表直接測定。這里主要介紹液柱式測壓計。一、單管測壓計ghpp0