高考數(shù)學(xué)理科一輪【學(xué)案64】排列與組合含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5學(xué)案64排列與組合導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解排列、組合的概念.2.能利用計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式.3.能解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問題自主梳理1排列的定義：_，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列排列數(shù)的定義：_，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)a表示2排列數(shù)公式的兩種形式：(1)an(n1)(nm1)，(2)a，其中公式(1)(不帶階乘的)主要用于計(jì)算；公式(2)(階乘形式)適用于化簡(jiǎn)、證明、解方程說明：n！_，叫做n的階乘；規(guī)定0！_；當(dāng)mn時(shí)的排列叫做全排列，全排列數(shù)a_.3組合的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素合成一組，叫做_從

2、n個(gè)不同元素中取出m(mn)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的_，用_表示4組合數(shù)公式的兩種形式：(1)c；(2)c，其中公式(1)主要用于計(jì)算，尤其適用于上標(biāo)是具體數(shù)且m的情況，公式(2)適用于化簡(jiǎn)、證明、解方程等5cc_，m、kn，nn*.6組合數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：(1)c_，(2)c_.自我檢測(cè)1(20xx·北京)8名學(xué)生和2位老師站成一排合影，2位老師不相鄰的排法種數(shù)為()aaa bac caa dac2(20xx·廣州期末七區(qū)聯(lián)考)20xx年上海世博會(huì)某國展出5件藝術(shù)作品，其中不同書法作品2件、不同繪畫作品2件、標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)1件，在展臺(tái)上將這

3、5件作品排成一排，要求2件書法作品必須相鄰，2件繪畫作品不能相鄰，則該國展出這5件作品的不同方案有()a24種 b48種 c72種 d96種3從4臺(tái)甲型與5臺(tái)乙型電視機(jī)中任選3臺(tái)，其中至少要有甲、乙型電視機(jī)各一臺(tái)，則不同的取法共有()a140種 b84種 c70種 d35種4(20xx·煙臺(tái)期末)2008年9月25日晚上4點(diǎn)30分，“神舟七號(hào)”載人飛船發(fā)射升空，某校全體師生集體觀看了電視實(shí)況轉(zhuǎn)播，觀看后組織全體學(xué)生進(jìn)行關(guān)于“神舟七號(hào)”的論文評(píng)選，若三年級(jí)文科共4個(gè)班，每班評(píng)出2名優(yōu)秀論文(其中男女生各1名)依次排成一列進(jìn)行展覽，若規(guī)定男女生所寫論文分別放在一起，則不同的展覽順序有()

4、a576種 b1 152種 c720種 d1 440種5(20xx·全國)將標(biāo)號(hào)為1,2,3,4,5,6的6張卡片放入3個(gè)不同的信封中，若每個(gè)信封放2張，其中標(biāo)號(hào)為1,2的卡片放入同一信封，則不同的方法共有()a12種 b18種 c36種 d54種6(20xx·重慶)某單位擬安排6位員工在今年6月14日至16日(端午節(jié)假期)值班，每天安排2人，每人值班1天若6位員工中的甲不值14日，乙不值16日，則不同的安排方法共有()a30種 b36種 c42種 d48種探究點(diǎn)一含排列數(shù)、組合數(shù)的方程或不等式例1(1)求等式3中的n值；(2)求不等式<中n的解集變式遷移1(1)解方

5、程：a140a；(2)解不等式：a>6a.探究點(diǎn)二排列應(yīng)用題例2(20xx·莆田模擬)六人按下列要求站一排，分別有多少種不同的站法？(1)甲不站兩端；(2)甲、乙必須相鄰；(3)甲、乙不相鄰； (4)甲、乙之間恰間隔兩人；(5)甲、乙站在兩端； (6)甲不站左端，乙不站右端變式遷移2用1,2,3,4,5,6組成六位數(shù)(沒有重復(fù)數(shù)字)，要求任何相鄰兩個(gè)數(shù)字的奇偶性不同，且1和2相鄰，求這樣的六位數(shù)的種數(shù)探究點(diǎn)三組合應(yīng)用題例3男運(yùn)動(dòng)員6名，女運(yùn)動(dòng)員4名，其中男女隊(duì)長(zhǎng)各1名，選派5人外出比賽，在下列情形中各有多少種選派方法？(1)男運(yùn)動(dòng)員3名，女運(yùn)動(dòng)員2名；(2)至少有1名女運(yùn)動(dòng)員；

6、(3)隊(duì)長(zhǎng)中至少有1人參加；(4)既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員變式遷移312名同學(xué)合影，站成前排4人后排8人，現(xiàn)攝影師從后排8人中抽2人調(diào)整到前排，若其他人的相對(duì)順序不變，則不同調(diào)整方法總數(shù)是()aca bcacca dca1解排列、組合應(yīng)用題應(yīng)遵循兩個(gè)原則：一是按元素的性質(zhì)進(jìn)行分類；二是按事件發(fā)生的過程進(jìn)行分步2對(duì)于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個(gè)途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素；(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置；(3)先不考慮附加條件，計(jì)算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)3關(guān)于排列組合問題的求解，應(yīng)掌握

7、以下基本方法與技巧：(1)特殊元素優(yōu)先安排；(2)合理分類與準(zhǔn)確分步；(3)排列組合混合問題先選后排；(4)相鄰問題捆綁處理；(5)不相鄰問題插空處理；(6)定序問題排除法處理；(7)分排問題直排處理；(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部；(9)構(gòu)造模型；(10)正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2009·湖南)從10名大學(xué)畢業(yè)生中選3人擔(dān)任村長(zhǎng)助理，則甲、乙至少有1人入選，而丙沒有入選的不同選法的種數(shù)為()a85 b56 c49 d282(20xx·全國)某校開設(shè)a類選修課3門，b類選修課4門，一位同學(xué)從中共選3門若要求兩類課程中各至

8、少選一門，則不同的選法共有()a30種 b35種c42種 d48種3(20xx·重慶)某單位安排7位員工在10月1日至7日值班，每天安排一人，每人值班1天若7位員工中的甲、乙排在相鄰兩天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，則不同的安排方案共有()a504種 b960種c1 008種 d1 108種4(20xx·濟(jì)寧月考)6條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為1,1,2,2,3,4，現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使這三條網(wǎng)線通過最大信息量的和大于等于6的方法共有()a13種 b14種 c15種 d16種5五人排成一排，甲與乙不相鄰，且甲與丙也不相鄰的不同排法數(shù)是()a24 b

9、36 c48 d60二、填空題(每小題4分，共12分)6(20xx·北京)用數(shù)字2,3組成四位數(shù)，且數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，這樣的四位數(shù)共有_個(gè)(用數(shù)字作答)78名世界網(wǎng)球頂級(jí)選手在上海大師賽上分成兩組，每組各4人，分別進(jìn)行單循環(huán)賽，每組決出前兩名，再由每組的第一名與另一組的第二名進(jìn)行淘汰賽，獲勝者角逐冠、亞軍，敗者角逐3、4名，則大師賽共有_場(chǎng)比賽8(20xx·馬鞍山調(diào)研)參加海地地震救援的中國救援隊(duì)一小組共有8人，其中男同志5人，女同志3人現(xiàn)從這8人中選出3人參加災(zāi)后防疫工作，要求在選出的3人中男、女同志都有，則不同的選法共有_種(用數(shù)字作答)三、解答題(共38分)9

10、(12分)(1)計(jì)算cc199200；(2)求cc的值；(3)求證：ccc.10(12分)有5個(gè)男生和3個(gè)女生，從中選出5人擔(dān)任5門不同學(xué)科的課代表，求分別符合下列條件的選法數(shù)(1)有女生但人數(shù)必須少于男生；(2)某女生一定擔(dān)任語文課代表；(3)某男生必須包括在內(nèi)，但不擔(dān)任語文課代表；(4)某女生一定要擔(dān)任語文課代表，某男生必須擔(dān)任課代表，但不擔(dān)任數(shù)學(xué)課代表11(14分)從1,3,5,7,9五個(gè)數(shù)字中選2個(gè)，0,2,4,6,8五個(gè)數(shù)字中選3個(gè)，能組成多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)？學(xué)案64排列與組合自主梳理1從n個(gè)不同元素中取出m (mn)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列從n個(gè)不同元素中取出m (mn

11、)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)2.n·(n1)··2·11n！3.從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合組合數(shù)c5.mk或mkn6.(1)c(2)cc自我檢測(cè)1a不相鄰問題用插空法，先排學(xué)生有a種排法，老師插空有a種方法，所以共有aa種排法2a2件書法作品看作一個(gè)元素和標(biāo)志性建筑設(shè)計(jì)進(jìn)行排列有a種不同排法，讓兩件繪畫作品插空有a種插法，兩件書法作品之間的順序也可交換，因此共有2aa24(種)3c從4臺(tái)甲型機(jī)中選2臺(tái)，5臺(tái)乙型機(jī)中選1臺(tái)或從4臺(tái)甲型機(jī)中選1臺(tái)，5臺(tái)乙型機(jī)中選2臺(tái)，有cccc70(種)選法4b女生論文有a種展覽順序，男生論文也有a種展覽順序，男

12、生與女生論文可以交換順序，有a種方法，故總的展覽順序有aaa1 152(種)5b先將1,2捆綁后放入信封中，有c種方法，再將剩余的4張卡片放入另外兩個(gè)信封中，有cc種方法，所以共有ccc18(種)方法6c若甲在16日值班，在除乙外的4人中任選1人在16日值班有c種選法，然后14日、15日有cc種安排方法，共有ccc24(種)安排方法；若甲在15日值班，乙在14日值班，余下的4人有ccc種安排方法，共有12(種)；若甲、乙都在15日值班，則共有cc6(種)安排方法所以總共有2412642(種)安排方法課堂活動(dòng)區(qū)例1解題導(dǎo)引(1)在解有關(guān)a、c的方程或不等式時(shí)要注意運(yùn)用nm且m、nn*的條件；(2

13、)凡遇到解排列、組合的方程式、不等式問題時(shí)，應(yīng)首先應(yīng)用性質(zhì)和排列、組合的意義化簡(jiǎn)，然后再根據(jù)公式進(jìn)行計(jì)算注意最后結(jié)果都需要檢驗(yàn)解(1)原方程可變形為1，cc，即·，化簡(jiǎn)整理得n23n540，解得n9或n6(不合題意，舍去)，n9.(2)由<，可得n211n12<0，解得1<n<12.又nn*且n5，n5,6,7,8,9,10,11變式遷移1解(1)根據(jù)原方程，x (xn*)應(yīng)滿足解得x3.根據(jù)排列數(shù)公式，原方程化為(2x1)·2x·(2x1)·(2x2)140x·(x1)·(x2)，因?yàn)閤3，兩邊同除以4x(x

14、1)，得(2x1)(2x1)35(x2)，即4x235x690，解得x3或x (xn*，應(yīng)舍去)所以原方程的解為x3.(2)根據(jù)原不等式，x (xn*)應(yīng)滿足故2<x8.又由a>6a，得>6×，所以>1，所以75<x<9.故2<x8，所以x3,4,5,6,7,8例2解題導(dǎo)引(1)求排列應(yīng)用題最基本的方法有直接法：把符合條件的從正面考慮解決，直接列式計(jì)算；間接法：根據(jù)正難則反的解題原則，如果問題從正面考慮情況比較多，容易重或漏，那么從整體中去掉不符合題意的情況，就得到滿足題意的排列種數(shù)(2)相鄰問題，一般用捆綁處理的方法(3)不相鄰問題，一般用

15、插空處理的方法(4)分排問題，一般用直排處理的方法(5)“小集團(tuán)”排列問題中，先整體后局部的處理方法解(1)方法一要使甲不站在兩端，可先讓甲在中間4個(gè)位置上任選1個(gè)，有a種站法，然后其余5人在另外5個(gè)位置上作全排列，有a種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有a·a480(種)站法方法二若對(duì)甲沒有限制條件共有a種站法，甲在兩端共有2a種站法，從總數(shù)中減去這兩種情況的排列數(shù)即得所求的站法數(shù)，共有a2a480(種)站法(2)先把甲、乙作為一個(gè)“整體”，看作一個(gè)人，有a種站法，再把甲、乙進(jìn)行全排列，有a種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有a·a240(種)站法(3)因?yàn)榧?、乙不相鄰，所?/p>

16、可用“插空法”第一步，先讓甲、乙以外的4個(gè)人站隊(duì)，有a種站法；第二步，再將甲、乙排在4人形成的5個(gè)空檔(含兩端)中，有a種站法，故共有a·a480(種)站法(4)先從甲、乙以外的4個(gè)人中任選2人排在甲、乙之間的兩個(gè)位置上，有a種；然后把甲、乙及中間2人看作一個(gè)“大”元素與余下2人作全排列，有a種站法；最后對(duì)甲、乙進(jìn)行排列，有a種站法，故共有a·a·a144(種)站法(5)首先考慮特殊元素，甲、乙先站兩端，有a種站法，再讓其他4人在中間位置作全排列，有a種站法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有a·a48(種)站法(6)甲在左端的站法有a種站法，乙在右端的站法有a

17、種，且甲在左端而乙在右端的站法有a種站法，共有a2aa504(種)站法變式遷移2解依題意先排列除1和2外的剩余4個(gè)元素有2a·a8(種)方案，再向這排好的4個(gè)元素中選1空位插入1和2捆綁的整體，有a種插法，不同的安排方案共有2a·a·a40(種)例3解題導(dǎo)引(1)區(qū)別排列與組合的重要標(biāo)志是“有序”與“無序”，無序的問題，用組合解答，有序的問題屬排列問題(2)解組合問題時(shí)，常遇到“至多”、“至少”問題，解決的方法常常用間接法比較簡(jiǎn)單，計(jì)算量也較??；用直接法也可以解決，但分類要恰當(dāng)，特別對(duì)限制條件比較多的問題解(1)第一步：選3名男運(yùn)動(dòng)員，有c種選法第二步：選2名女運(yùn)

18、動(dòng)員，有c種選法共有c·c120(種)選法(2)“至少1名女運(yùn)動(dòng)員”的反面為“全是男運(yùn)動(dòng)員”從10人中任選5人，有c種選法，其中全是男運(yùn)動(dòng)員的選法有c種所以“至少有1名女運(yùn)動(dòng)員”的選法有cc246(種)(3)從10人中任選5人，有c種選法其中不選隊(duì)長(zhǎng)的方法有c種所以“至少1名隊(duì)長(zhǎng)”的選法有cc196(種)(4)當(dāng)有女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，其他人選法任意，共有c種選法不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)，必選男隊(duì)長(zhǎng)，共有c種選法其中不含女運(yùn)動(dòng)員的選法有c種，所以不選女隊(duì)長(zhǎng)時(shí)共有cc種選法故既要有隊(duì)長(zhǎng)，又要有女運(yùn)動(dòng)員的選法有ccc191(種)變式遷移3c從后排8人中選2人有c種，這2人插入前排4人中且前排人的順序不變，則先從

19、4人中的5個(gè)空位插一人有5種；余下的一人則要插入前排5人的空檔有6種，故為a.所求總數(shù)為ca.課后練習(xí)區(qū)1c丙不入選的選法有c84(種)，甲乙丙都不入選的選法有c35(種)所以甲、乙至少有一人入選，而丙不入選的選法有843549(種)2a方法一可分兩種互斥情況：a類選1門，b類選2門或a類選2門，b類選1門，共有cccc181230(種)選法方法二總共有c35(種)選法，減去只選a類的c1(種)，再減去只選b類的c4(種)，故有30種選法3c不考慮丙、丁的情況共有aa1 440(種)排法在甲、乙相鄰的條件下，丙排10月1日有aa240(種)排法，同理，丁排10月7日也有240種排法丙排10月1

20、日，丁排10月7日也有aa48(種)排法，則滿足條件的排法有aa2aaaa1 008(種)4c當(dāng)選用信息量為4的網(wǎng)線時(shí)有c種；當(dāng)選用信息量為3的網(wǎng)線時(shí)有cc1種，共ccc115(種)5b五人中不排甲、乙、丙，另2人排列有a種方法，這兩人中有3個(gè)空，按甲在兩頭和中間分為兩類，當(dāng)甲在兩頭中的一頭時(shí)，乙有2種插空法，乙插入后有3個(gè)空供丙插，因此有a·c·c·c24(種)，當(dāng)甲在中間時(shí)，乙有2種插法，乙插入后也有3個(gè)空供丙插，所以共有a·c·c12(種)，由分類加法計(jì)數(shù)原理得：共有241236(種)614解析數(shù)字2,3至少都出現(xiàn)一次，包括以下情況：“2”出現(xiàn)1次，“3”出現(xiàn)3次，共可組成c4(個(gè))四位數(shù)“2”出現(xiàn)2次，“3”出現(xiàn)2次，共可組成c6(個(gè))四位數(shù)“2”出現(xiàn)3次，“3”出現(xiàn)1次，共可組成c4(個(gè))四位數(shù)綜上所述，共可組成14個(gè)這樣的四位數(shù)716解析每組有c場(chǎng)比賽，兩組共有2c場(chǎng)，每組的