高考數(shù)學理科必考題型：第38練圓錐曲線中的探索性問題含答案

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5第38練圓錐曲線中的探索性問題內(nèi)容精要本部分主要以解答題形式考查，往往是試卷的壓軸題之一，一般以橢圓或拋物線為背景，考查弦長、定點、定值、最值范圍問題或探索性問題，試題難度較大題型一定值、定點問題例1已知橢圓c：1經(jīng)過點(0，)，離心率為，直線l經(jīng)過橢圓c的右焦點f交橢圓于a、b兩點(1)求橢圓c的方程；(2)若直線l交y軸于點m，且，當直線l的傾斜角變化時，探求的值是否為定值？若是，求出的值；否則，請說明理由破題切入點(1)待定系數(shù)法(2)通過直線的斜率為參數(shù)建立直線方程，代入橢圓方程消y后可得點a，b的橫坐標的關(guān)系式，然后根據(jù)向量關(guān)系式，.把，用點a，b的

2、橫坐標表示出來，只要證明的值與直線的斜率k無關(guān)即證明了其為定值，否則就不是定值解(1)依題意得b，e，a2b2c2，a2，c1，橢圓c的方程為1.(2)因直線l與y軸相交于點m，故斜率存在，又f坐標為(1,0)，設(shè)直線l方程為yk(x1)，求得l與y軸交于m(0，k)，設(shè)l交橢圓a(x1，y1)，b(x2，y2)，由消去y得(34k2)x28k2x4k2120，x1x2，x1x2，又由，(x1，y1k)(1x1，y1)，同理，.所以當直線l的傾斜角變化時，直線的值為定值.題型二定直線問題例2在平面直角坐標系xoy中，過定點c(0，p)作直線與拋物線x22py(p>0)相交于a，b兩點(1

3、)若點n是點c關(guān)于坐標原點o的對稱點，求anb面積的最小值；(2)是否存在垂直于y軸的直線l，使得l被以ac為直徑的圓截得的弦長恒為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，請說明理由破題切入點假設(shè)符合條件的直線存在，求出弦長；利用變量的系數(shù)恒為零求解解方法一(1)依題意，點n的坐標為n(0，p)，可設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，直線ab的方程為ykxp，與x22py聯(lián)立得消去y得x22pkx2p20.由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x22pk，x1x22p2.于是sabnsbcnsacn·2p|x1x2|p|x1x2|pp2p2，當k0時，(sabn)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直

4、線l存在，其方程為ya，ac的中點為o，l與以ac為直徑的圓相交于點p，q，pq的中點為h，則ohpq，q點的坐標為(，)|op|ac|，|oh|2ay1p|，|ph|2|op|2|oh|2(yp2)(2ay1p)2(a)y1a(pa)，|pq|2(2|ph|)24(a)y1a(pa)令a0，得a，此時|pq|p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線方法二(1)前同方法一，再由弦長公式得|ab|x1x2|··2p·，又由點到直線的距離公式得d.從而sabn·d·|ab|·2p·· 2p

5、2.當k0時，(sabn)min2p2.(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在，其方程為ya，則以ac為直徑的圓的方程為(x0)(xx1)(yp)(yy1)0，將直線方程ya代入得x2x1x(ap)(ay1)0，則x4(ap)(ay1)4(a)y1a(pa)設(shè)直線l與以ac為直徑的圓的交點為p(x3，y3)，q(x4，y4)，則有|pq|x3x4| 2.令a0，得a，此時|pq|p為定值，故滿足條件的直線l存在，其方程為y，即拋物線的通徑所在的直線題型三定圓問題例3已知橢圓g的中心在坐標原點，長軸在x軸上，離心率為，兩個焦點分別為f1和f2，橢圓g上一點到f1和f2的距離之和為12，圓ck：x2y22

6、kx4y210(kr)的圓心為點ak.(1)求橢圓g的方程；(2)求akf1f2的面積；(3)問是否存在圓ck包圍橢圓g？請說明理由破題切入點(1)根據(jù)定義待定系數(shù)法求方程(2)直接求(3)關(guān)鍵看長軸兩端點解(1)設(shè)橢圓g的方程為1(a>b>0)，半焦距為c，則解得所以b2a2c236279.所以所求橢圓g的方程為1.(2)點ak的坐標為(k,2)，sakf1f2×|f1f2|×2×6×26.(3)若k0，由620212k0211512k>0，可知點(6,0)在圓ck外；若k<0，由(6)20212k0211512k>0，可

7、知點(6,0)在圓ck外所以不論k為何值，圓ck都不能包圍橢圓g.即不存在圓ck包圍橢圓g.總結(jié)提高(1)定值問題就是在運動變化中尋找不變量的問題，基本思想是使用參數(shù)表示要解決的問題，證明要解決的問題與參數(shù)無關(guān)在這類試題中選擇消元的方向是非常關(guān)鍵的(2)由直線方程確定定點，若得到了直線方程的點斜式：yy0k(xx0)，則直線必過定點(x0，y0)；若得到了直線方程的斜截式：ykxm，則直線必過定點(0，m)(3)定直線問題一般都為特殊直線xx0或yy0型1在平面直角坐標系xoy中，經(jīng)過點(0，)且斜率為k的直線l與橢圓y21有兩個不同的交點p和q.(1)求k的取值范圍；(2)設(shè)橢圓與x軸正半軸

8、、y軸正半軸的交點分別為a，b，是否存在常數(shù)k，使得向量與共線？如果存在，求k值；如果不存在，請說明理由解(1)由已知條件，得直線l的方程為ykx，代入橢圓方程得(kx)21.整理得(k2)x22kx10.直線l與橢圓有兩個不同的交點p和q等價于8k24(k2)4k22>0，解得k<或k>.即k的取值范圍為(，)(，)(2)設(shè)p(x1，y1)，q(x2，y2)，則(x1x2，y1y2)，由方程，得x1x2.又y1y2k(x1x2)2.而a(，0)，b(0,1)，(，1)所以與共線等價于x1x2(y1y2)，將代入上式，解得k.由(1)知k<或k>，故不存在符合題意

9、的常數(shù)k.2已知雙曲線方程為x21，問：是否存在過點m(1,1)的直線l，使得直線與雙曲線交于p、q兩點，且m是線段pq的中點？如果存在，求出直線的方程，如果不存在，請說明理由解顯然x1不滿足條件，設(shè)l：y1k(x1)聯(lián)立y1k(x1)和x21，消去y得(2k2)x2(2k22k)xk22k30，由>0，得k<，x1x2，由m(1,1)為pq的中點，得1，解得k2，這與k<矛盾，所以不存在滿足條件的直線l.3設(shè)橢圓e：1(a，b>0)過m(2，)，n(，1)兩點，o為坐標原點(1)求橢圓e的方程；(2)是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a

10、，b，且？若存在，寫出該圓的方程，并求|ab|的取值范圍；若不存在，請說明理由解(1)因為橢圓e：1(a，b>0)過m(2，)，n(，1)兩點，所以解得所以橢圓e的方程為1.(2)假設(shè)存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a，b，且，設(shè)該圓的切線方程為ykxm，a(x1，y1)，b(x2，y2)，解方程組得x22(kxm)28，即(12k2)x24kmx2m280，則16k2m24(12k2)(2m28)8(8k2m24)>0，即8k2m24>0.故y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2m2.要使，需使x1x2y1y20，即0

11、，所以3m28k280，所以k20.又8k2m24>0，所以所以m2，即m或m，因為直線ykxm為圓心在原點的圓的一條切線，所以圓的半徑為r，r2，r，所求的圓為x2y2，此時圓的切線ykxm都滿足m或m，而當切線的斜率不存在時切線為x±與橢圓1的兩個交點為(，±)或(，±)滿足，綜上，存在圓心在原點的圓x2y2，使得該圓的任意一條切線與橢圓e恒有兩個交點a，b，且.4(20xx·重慶)如圖，設(shè)橢圓1(a>b>0)的左、右焦點分別為f1、f2，點d在橢圓上，df1f1f2，2，df1f2的面積為.(1)求該橢圓的標準方程(2)是否存在圓

12、心在y軸上的圓，使圓在x軸的上方與橢圓有兩個交點，且圓在這兩個交點處的兩條切線相互垂直并分別過不同的焦點？若存在，求出圓的方程；若不存在，請說明理由解(1)設(shè)f1(c,0)，f2(c,0)，其中c2a2b2.由2，得|df1|c，從而sdf1f2|df1|f1f2|c2，故c1，從而|df1|.由df1f1f2，得|df2|2|df1|2|f1f2|2，因此|df2|.所以2a|df1|df2|2，故a，b2a2c21.因此，所求橢圓的標準方程為y21.(2)如圖，設(shè)圓心在y軸上的圓c與橢圓y21相交，p1(x1，y1)，p2(x2，y2)是兩個交點，y1>0，y2>0，f1p1，

13、f2p2是圓c的切線，且f1p1f2p2.由圓和橢圓的對稱性，易知，x2x1，y1y2.由(1)知f1(1,0)，f2(1,0)，所以(x11，y1)，(x11，y1)，再由f1p1f2p2，得(x11)2y0.由橢圓方程得1(x11)2，即3x4x10，解得x1或x10.當x10時，p1，p2重合，題設(shè)要求的圓不存在當x1時，過p1，p2分別與f1p1，f2p2垂直的直線的交點即為圓心c.設(shè)c(0，y0)，由cp1f1p1，得·1.而求得y1，故y0.圓c的半徑|cp1| .綜上，存在滿足題設(shè)條件的圓，其方程為x2(y)2.5(20xx·江西)如圖，已知拋物線c：x24y

14、，過點m(0,2)任作一直線與c相交于a，b兩點，過點b作y軸的平行線與直線ao相交于點d(o為坐標原點)(1)證明：動點d在定直線上；(2)作c的任意一條切線l(不含x軸)，與直線y2相交于點n1，與(1)中的定直線相交于點n2，證明：|mn2|2|mn1|2為定值，并求此定值(1)證明依題意可設(shè)ab方程為ykx2，代入x24y，得x24(kx2)，即x24kx80.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則有x1x28.直線ao的方程為yx；bd的方程為xx2.解得交點d的坐標為注意到x1x28及x4y1，則有y2.因此動點d在定直線y2上(x0)(2)解依題設(shè)，切線l的斜率存在且不等于0，

15、設(shè)切線l的方程為yaxb(a0)，代入x24y得x24(axb)，即x24ax4b0.由0得(4a)216b0，化簡整理得ba2.故切線l的方程可寫為yaxa2.分別令y2，y2得n1，n2的坐標為n1(a,2)，n2(a，2)，則|mn2|2|mn1|2(a)242(a)28，即|mn2|2|mn1|2為定值8.6(20xx·福建)已知曲線上的點到點f(0,1)的距離比它到直線y3的距離小2.(1)求曲線的方程(2)曲線在點p處的切線l與x軸交于點a，直線y3分別與直線l及y軸交于點m，n.以mn為直徑作圓c，過點a作圓c的切線，切點為b.試探究：當點p在曲線上運動(點p與原點不重合)時，線段ab的長度是否發(fā)生變化？證明你的結(jié)論解方法一(1)設(shè)s(x，y)為曲線上任意一點，依題意，點s到f(0,1)的距離與它到直線y1的距離相等，所以曲線是以點f(0,1)為焦點、直線y1為準線的拋物線，所以曲線的方程為x24y.(2)當點p在曲線上運動時，線段ab的長度不變證明如下：由(1)