高中競賽數(shù)學(xué)講義第30講數(shù)列的求和

1、第11講數(shù)列的求和本節(jié)主要內(nèi)容有S"與弱的關(guān)系：兩個(gè)常用方法：倒寫與錯(cuò)項(xiàng)；各種求和：平方和、立方 和、倒數(shù)和等；£符號(hào)的運(yùn)用.掌握數(shù)列前”項(xiàng)和常用求法，數(shù)列求和的方法主要有：倒序相 加法、錯(cuò)位相減法、轉(zhuǎn)化法、裂項(xiàng)法、并項(xiàng)法等.1 .重要公式 1+2+.+= (+1)2 12+22+ - n(n+1 乂2+1)6 1 ?+23+. .+/73=(l+2+. .+n)2= n2(；?+1)242 .數(shù)列“”前項(xiàng)和S”與通項(xiàng)小的關(guān)系式：%=3 .在等差數(shù)列中金+產(chǎn)5/$+?4在等比數(shù)歹1中S,n+記S“+q"S產(chǎn)Sm+dS.4 .裂項(xiàng)求和：將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)

2、和，即3仰+1)-9),然后累加時(shí)抵消中間 的許多項(xiàng).應(yīng)掌握以下常見的裂項(xiàng)：1 -,“ != (n +1) !-!.一- = ctga- ct g2a.- 5 等n(n +1) n + 1sin 2a"( +)！ nl ( + l)!5 .錯(cuò)項(xiàng)相消法6 .并項(xiàng)求和法A類例題例1已知數(shù)列a"的通項(xiàng)公式滿足：n為奇數(shù)時(shí)，an=6n-5 , n為偶數(shù)時(shí)，an=4n ,求Sn. 分析 數(shù)列aQ的前n項(xiàng)可分為兩部分，一部分成等差數(shù)列，用等差數(shù)列求和公式；另一部 分成等比數(shù)列，用等比數(shù)列求和公式。但數(shù)列總項(xiàng)數(shù)n的奇偶性不明，故需分類討論.解若 n 為偶數(shù) 2m,則 S2m=1+13+2

3、5+-+6(2m-1)-5+42+44+-+42m=6m2-5m+(42m 1一 1)，若n為奇數(shù)2m+1時(shí)，則S2m+i=S2m+6(2m+1 )-5=6m2+7m+1 + ?(42m-1)，1C 3 ， 131 1Sn=一 一十 一一 + - -4 .2215 15說明如果一個(gè)數(shù)列由等差數(shù)列與等比數(shù)列兩個(gè)子數(shù)列構(gòu)成，常采納先局部后整體的策略， 對(duì)子數(shù)列分別求和后，再合并成原數(shù)列各項(xiàng)的和.類似地，若一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)可拆成等差數(shù)列 型與等比數(shù)列型兩部分，也可采納先局部后整體的策略.例2(2004年湖南卷類)已知數(shù)列備是首項(xiàng)為a且，公比q不等于1的等比數(shù)列，Sn是其前n 項(xiàng)的和，a, 2a7, 3

4、a4成等差數(shù)列.(I)證明12s3, S6, &2-Se成等比數(shù)列;（ID 求和 Tn=a+2a4+3由+na3n 2.分析（1）對(duì)于第（I）問，可先依據(jù)等比數(shù)列的定義與等差數(shù)列的條件求出等比數(shù)列的公比，然后 寫出12s3, S6, S12S6,并證明它們構(gòu)成等比數(shù)列.對(duì)于第（2）問，由于T產(chǎn)2a4+357+ +na3n-2.所以利用等差數(shù)列與等比數(shù)列乘積的求和方法即“乘公比錯(cuò)位相減法”解決此類問 題.解（【）證明由0&八3生成等差數(shù)列，得=«+%!，即 4aq6 = a + 3aq變形得（4q' + 1）（/- -1） = 0,所以（舍去）.由 = &quo

5、t;q = i+q = J_125.jl-q ）1216"q.（1“）S,-56 酬，"q . .6 . s 1= -1 =- = 1+ “ - I = q =.S. S.H 16i-q得所以2s3, S6, S12-Se成等比數(shù)列.（H ）解：4=q + 勿4+3。； + +=a + 2aq' +3aq6 + +。4"內(nèi).U|J Tk = q + 2 （一+ 3 （一工廠 a h + （ a Q）義（）得: T =_q + 2（）a + 3（_）'ad'a- （_一）"”44 n 447/44“1-（-"門i44=7“

6、.（-）%=«_（+ ）.（一；）“ 41-（-1）45544斫以 r16 z16 41上/TL人 I =x （1）（一一） a.” 2525 54說明本題是課本例題："己知Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，S3, S9, S6成等差數(shù)列, 求證：a2, as, a5成等差數(shù)列"的類題，是課本習(xí)題：”已知數(shù)列an是等比數(shù)列,Sn是其 前n項(xiàng)的和，an a7, a4成等差數(shù)列，求證2 s3, S6, S12Se成等比數(shù)歹'的改編.潸/席龍1. （2000年全國高考題）設(shè)«,為等比數(shù)例，（=叫+（-1）%+太*+%，已知T = i，r=4. （I ）求數(shù)

7、列q的首項(xiàng)和公式；（II ）求數(shù)列比的通項(xiàng)公式.2. （2000年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）設(shè)S=1+2+3+C,加M求初）=的最大值.B類例題例3（2004年重慶卷）設(shè)q=l.%=*凡*=&.1|/，5 = 12）令% = %“一%,（ = 1,2）求數(shù)列4的通項(xiàng)公式：（2）求數(shù)列為的前n項(xiàng)和S”.分析利用已知條件找勾與川的關(guān)系，再利用等差數(shù)列與等比數(shù)列之積的錯(cuò)位相差法來解決此類問題.5222解 (1)因 = %+2 -一。冏=彳(4.】一凡)= ?"n故bn是公比為|的等比數(shù)列，且a=4-%=：故“ =(2)"5 = 12)3(2)由“=&-(守得冊+1 一?！?/p>

8、=(/+1 -an)+(4 -6_) + + (必 一 6)9"注:總:到q = 1,可得4 = 3-示小 =1.2,.)1nLi記數(shù)列呆的前n項(xiàng)和為，貝ij70o?T/1=l + 2-+.- + n.(-r，(lh =，= + 2-(»)2+. + q)” (2) JJJJJJ兩式相減得Io00o007；=1+7+(1+(嚴(yán) 嗎)“=31_()一( )”,JJJJJJJ故'=9l-(-)n-3/»(-)n =93一“)二333“t3(3 + )2”7從而S = a1+ 2。)4Fnan = 3(1 + 2dF)-2T = - n(n + 1) + 18一

9、"、“Ji 23外一說明 本題主要考查遞推數(shù)列、數(shù)列的求和，考查靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題和解決問題的 能力.例4 (1996年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽第二試)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和5戶2a-血=1,2,3,- )，數(shù)列4 滿足。尸3, 2+1=a+4«=1,2,3).求數(shù)列仇的前n項(xiàng)和.分析 由數(shù)列加前/?項(xiàng)和Sc與通項(xiàng)曲的關(guān)系式：a®可得an.解 由s“ = 2ali_、可得an+i=2an即數(shù)列aj是等比數(shù)列，故4產(chǎn)2口 I又由得 bn=b +3i+ 32+ 23+ 3n-1 =3+= 2 +2所以 Sn =，+ >+ a+ dn=1 +2+22+,+2n 1+2n=例

10、5 (2004年全國理工卷)已知數(shù)列&的前n項(xiàng)和S”滿足：Sn=2an+(-1)n,n1.寫出求數(shù)列a。的前3項(xiàng)ai,a2,a3：(2)求數(shù)列a“的通項(xiàng)公式；(3)證明：對(duì)任意的整數(shù)m>4,有.分析 由數(shù)列aj前n項(xiàng)和S。與通項(xiàng)的關(guān)系，求a”,應(yīng)考慮將力與4M或其轉(zhuǎn)化為的 遞推關(guān)系，再依此求an,對(duì)于不等式證明考慮用放縮法，若單項(xiàng)放縮難以達(dá)到目的，可以嘗試多項(xiàng) 組合的放縮.解(1)當(dāng) n=1 時(shí)，有:Si=ai =2ai +(1) => ai=1 ；、'ln=2 時(shí)，有：&=ai+a2=2a2+(-1 )2>a2=0："i n=3 時(shí)，有：S

11、3=3 4-32+23=233+(1 )3>23=2：綜上可知 31=1,32=0,33=2:(2)由已知得:an = Sn - S_ = 2。“ +(-1)" -2*_ -(1產(chǎn)化簡得：q=2qi+2(T)i上式可化為：為 +：(-爐=2的+|(-1尸 故數(shù)列是以為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列.故 =1.211-,-|(-1)"=|2-2-(-1)-數(shù)列4的通項(xiàng)公式為：.由已知得：1>+'+ “4%2(一1)/A1 + L+L + L + L + _1_) 2 3 9 15 33 632”-(一1尸23 5 11 21lfl 1<1 + 一 +21

12、31 1 1 十 十5 10 2013 U 13 104 105 715 5 215 120 120 8故(m>4).說明本題是一道典型的代數(shù)綜合題，是將數(shù)列與不等式相結(jié)合，它的綜合性不僅表現(xiàn)在知 識(shí)內(nèi)容的綜合上，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的交匯處設(shè)計(jì)試題，更重要的是體現(xiàn)出在方法與能力上的綜合, 體現(xiàn)出能力要素的有機(jī)組合.雖然數(shù)學(xué)是一個(gè)演繹的知識(shí)系統(tǒng)，并且演繹推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的重要方法，但從數(shù) 學(xué)的發(fā)展來看，"觀察、猜測、抽象、概括、證實(shí)"是發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的一個(gè)重要途徑，是 學(xué)生應(yīng)該學(xué)習(xí)和掌握的，是數(shù)學(xué)教育不可忽視的一個(gè)方面：要求應(yīng)用已知的知識(shí)和方法，分 析一些情況和特點(diǎn)，找

13、出已知和未知的聯(lián)系，組織若干已有的規(guī)則，形成新的高級(jí)規(guī)則，嘗 試解決新的問題，這其中蘊(yùn)含了創(chuàng)造性思維的意義.例6 設(shè) a 為等差數(shù)列， 6為等比數(shù)列，且b = a； , b2=a；,"=而，又lim(4+a+.+d)= &+2, 試 求 an 的 首 項(xiàng) 與 公A->»差.(2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽)分析 題中有兩個(gè)基本量 an 中的首項(xiàng)ai和公差d是需要求的，利用成等比數(shù) 列和給定極限可列兩個(gè)方程，但需注意極限存在的條件.解設(shè)所求公差為& 合</，d>0.由此得a； (q + 2/7)2 =(處 +化簡得：2z?； + 4.0 + J2

14、 =0解得：d = (一2±五)q 而一2±"<0,故國<0若 d = (-2)q ,則若 d = (-2 + &)q,則但所(4+3+2)= "+1存在,故|g|i,于是4 =(/+方不可能.從而1-(五-1)2n a； =(2vZ2-2)(V2 + l) = 2所以a =-7e，d = (-2 +/)凡=2說明本題涉與到的知識(shí)主要是等差數(shù)列、等比數(shù)列、無窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)的和等知識(shí)， 用到方程的思想和方法，且在解題過程中要根據(jù)題意與時(shí)取舍，如由題意推出d>0, aiO, 明<1等，在解題中都非常重要.潸/不龍3.設(shè)二

15、次函數(shù)/“)= /+司當(dāng)y.+i(eN5tjtr)的所有整數(shù)值的個(gè)數(shù)為g(n).(D求g(n)的表達(dá)式.(2) 設(shè)2=+"-( e N*),5n =q 小 + 小一生 + (T)“q,求S”.gOO(3)設(shè)以=等工 動(dòng)產(chǎn)”+若I </(%Z),求/的最小值.4.設(shè)函數(shù)的圖象上兩點(diǎn)P1(X1,川、尸2(X2,悶，若赤=；(西+近)，且點(diǎn)P的橫坐標(biāo) 為L2(1)求證：尸點(diǎn)的縱坐標(biāo)為定值，并求出這個(gè)定值；若a=之/二)，neN求Sm «-> n記為數(shù)列的前。項(xiàng)和，若(<a(Se+&)對(duì)一切neN*都成立，試求a的取值范圍.C類例題例7給定正整數(shù)n和正數(shù)M

16、,對(duì)于滿足條件a；+a3W M的所有等差數(shù)列2, a2,an,試求 S=an+i+an+2+a2n+1 的最大值.(1999 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)分析本題屬于與等差數(shù)列相關(guān)的條件最值問題，而最值的求解所運(yùn)用的方法靈活多樣, 針對(duì)條件的理解不同，將有不同的解法.解 (方法一)：設(shè)公差為d ae=a則 S=an.i+an+2+a2n,i=( + 1)“ +小二U”,所以2sn+T,、4= (a-nd): +n2 = a +從而有且當(dāng)“=2疝." =也時(shí)S = (n + l) -77 + -i-|=, 訶 2 M J由于此時(shí)4ti = 3nd故a- +嘮=M,因此S=an+i+an+2

17、+a2n+i的最大值為.(方法二)：三角法 由條件a：+«；.1W M故可令q =rcos。，盟=rsin。,其中OWrWM .故 S= an+i+an+2+a2n+i=11"- =(3q+1-4J =r(3sin 9 - cos 0)222其中，因此當(dāng)5皿。-0）= 1,r=歷時(shí), S=an+i+an.2+'+a2n+i的最入伍為.說明 在解答過程中，要分清什么是常量，什么是變量，注意條件和結(jié)論的結(jié)構(gòu)形式.解法 一通過配方來完成，解法二運(yùn)用三角代換的方法，解法三運(yùn)用二次方程根的判別式來完成， 解法四則主要運(yùn)用了柯西不等式.本題人口寬，解法多樣，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維

18、能力很有 好處.例8 n2（n24）個(gè)正數(shù)排成幾行幾列：a”12413314 1n» r2132223324 的，31 32 3334 a3n，3n13n23n33n4 3nrif其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且所有公比相等，已知“a24=1，342求an +322 +由3 + 3nn.（1990年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題） 分析 由于等差數(shù)列可由首項(xiàng)與公差惟一確定，等比數(shù)列可由首項(xiàng)與公比惟一確定，如果設(shè) an=a第一行數(shù)的公差為d,第一列數(shù)的公比為q,容易算得備i=a+（t-1）qsr,進(jìn)而由已知 條件，建立方程組，求出n, d, q.解設(shè)第一行數(shù)列公差為d,各列數(shù)

19、列公比為q,則第四行數(shù)列公差是dq2于是可得方程組：，解此方程值組，得ad=q = 土;由于所給1個(gè)數(shù)都是正數(shù)，故必有q>0,從而有4=,/ = q = g故對(duì)任意1WkWn,有% =聯(lián)1 =&+伏-1) / =g.1 23故 S=- + + +2 r2JT7 1 Q 1 2 3 又-O= + + 2222, 24n + 兩式相減后可得：ls=2g123nn+ + + + 2 2* 22"2"'所以S=2 2nT 2U說明 這道試題涉與到等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)列求和的有關(guān)知識(shí)和方法.通過建立方程組 確定數(shù)列的通項(xiàng)；通項(xiàng)確定后，再選擇錯(cuò)位相減的方法進(jìn)行求

20、和.5 .各項(xiàng)為實(shí)數(shù)的等差數(shù)列的公差為4,其首項(xiàng)的平方與其余各項(xiàng)之和不超過100,這樣的數(shù)項(xiàng).列至多有6 .己知數(shù)列aj滿足：a1=1,an+i=an+- 求證：14V aioo< 18;(2)求doo的整數(shù)部分但皿.習(xí)題11A類習(xí)題1 .若等差數(shù)列an, 5的前0項(xiàng)和分別為4, Bn,且左=言號(hào)，則粉等于81 7-7 。3-2C 7-48 4-342 .各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列a前n項(xiàng)和記為S”若So=1O,&o=7O,則S40等于( )A.150B.-200C.150 或一200D.400 或-50(1998 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)3 .已知數(shù)冽%滿足3% + q = 4(

21、2 1),且4 = 9淇前n項(xiàng)之和為S，則滿足不等式|邑-的最小整數(shù)是 125A.5B. 6C.7D.8(1999年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)4 .(2004年江蘇卷)設(shè)無窮等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.(【)若首項(xiàng)為=5，公差1 = 1，求滿足=(臬)2的正整數(shù)k： (H)求所有的無窮等差數(shù)列an,使得對(duì)于一切正整數(shù)k都有=(4/成立.5 .函數(shù)/(x)是定義在0, 1上的增函數(shù)，滿足x) = 2/g且") = 1 ,在每個(gè)區(qū)間(”,占(，=1, 2)上，y = /(x)的圖象都是斜率為同一常數(shù)k的直線的一部分. 求八0)與/小，八。的值，并歸納出/(1)(i = 12)的表達(dá)式 24

22、2(II)設(shè)直線x = J, x =，X軸與)，= /*)的圖象圍成的矩形的面積為(i=1, 2), 記S= lim(+&+6)，求S(A)的表達(dá)式,并寫出其定義域和最小值.(2004年北京理 工卷)6 .(2005年湖北卷)設(shè)數(shù)列%的前n項(xiàng)和為Sn=2n2,但為等比數(shù)列，且=>力2(。2 -) = "(I)求數(shù)列g(shù)和"的通項(xiàng)公式：(II)設(shè),求數(shù)列%的前n項(xiàng)和Tn.8類習(xí)題7 . (2005年全國I卷)設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列«,的首項(xiàng)“小；，前n項(xiàng)和為S,且2，X-(2'o + 1)5;i) + Ski=O.(I)求&的通項(xiàng)；(II)求/電

23、的前n項(xiàng)和，.8 .設(shè)數(shù)列d的首項(xiàng)前n項(xiàng)和S"滿足關(guān)系式：3tSn-(2t+3)Sn-3t(t>0,n=2,3,4.).(1)求證：數(shù)列“”是等比數(shù)列：(2)設(shè)數(shù)列跖的公比為財(cái),作數(shù)列瓦,使"=1力)(片2,3,4),求數(shù)列瓦的通項(xiàng) -%1力；(3)求和:bb2b2b3+b3b4+bm-必% b2nb2n+1.9 .已知：f(x)= (x<2), f(x)的反函數(shù)為 g(x),點(diǎn) An(an,)在曲線 y=g(x)上(n£N+),且 ai = 1.(D求y=g(x)的表達(dá)式;(II)證明數(shù)列v為等差數(shù)列；(HI)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式:(IV)設(shè) bn=

24、，記 Sn=bi+b2+ bn,求 Sn.10 .已知正整數(shù)n不超過2000,并且能表示成不少于60個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和，那么，這樣的" 的個(gè)數(shù)是.(1999年全國高中數(shù) 學(xué)聯(lián)賽試題)C類習(xí)題11 .已知品是首項(xiàng)為2,公比為：的等比數(shù)列，S”為它的前項(xiàng)和.(1)用S ”表示S“+”(2)是否存在自然數(shù)。和人 使得成立. (2001年上海卷)12 .數(shù)列a是首項(xiàng)為科，公差為d的等差數(shù)列，按下列加括號(hào)的方式把該數(shù)列分成群(科)、 (a2t a3)、(&，由，a6.金)、(金，蟲，do,，&5)使第一群中是科含an中的一項(xiàng)，第 二群是a?、備，含aj中的兩項(xiàng)，第三群中是a4、加

25、、義6、缶，含aj中的四項(xiàng)如此繼續(xù)下 去，第n群中含a中的2-1項(xiàng)，且任兩群無公共項(xiàng)，任一項(xiàng)都在某群內(nèi)，用a、d、n表示 第n群各元素的和.(第2屆希望杯第一試)本節(jié)“情景再現(xiàn)”解答：1 .設(shè)等比數(shù)列4 以比為q ,則I = 4 Z = 2q + 4 = % (2 +夕).？； = 1工=4 ,q = 1均=2 .(II)解法一：由(I)知4 = 10=2,故4“=6/=21,因此，7；= + (-1)2 + 21+1.2n-:.T =27；-7；, =n-2+(n-l)-22 4+2-2"-,+l-2,-wl + («-l)-2+ + 2-2*-2+l-2n-1 7 o

26、9«= -“ + 2 + 22+ 2'-'+2“ =i + =- =-+ 2川一21-2=( + 2) + 2"解法二：設(shè)S“=q+d+ %.由(I)知q=21£ =l + 2 + + 2i =2”-1Tk =4 +(- 1)/ 十+2% +4=a, +(% +?) + + (+a2 +% +qj = S1+S? + +S, ?-2-2n= (2 + l)+(2"-l)+ +(2n-l) =(2 + 2n + 2<=一 一 _ 一 = 2二 一2一 1-22 .由等差數(shù)列求和公式得 S”,( + l), Si =:( + 1)(+

27、2) =一- =22，廠+34+ 644,.當(dāng)，即 n=8 時(shí),/(n)MM = ±.3 . (1)當(dāng)xeE/? + l(neN*)時(shí)，函數(shù)/(x) = £+x的值隨X的增大而增大，則/a)的值域?yàn)? 3 + 2J( £ N*),:.g()= 2 + 3( e N*).(2) 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，SA =u,一生 +/+ + <*=(F -22)+(3: -4:) + + (/?-1)2= 3+7+(2n 1)=_ 3 + (2-l) n _ ?(/ +1)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),S' =（一生）+（處一。4）+ +（4-2-Ji） = Si + q二 ( + 1)

28、=-F n =22(3)由r= 初,得(=* +二+-2n 2 T 2'X，W-T = + +22 n 22 2'2n +1 2n + 3-； +2"T 2u2n + 1 2;?+ 32" + 2c-，得;7>(|-、,222222T5 2+ 3(1 2,1)_ 7 2n + 71-122則由7； =7二可得/的最小值是7.2， I 14. （1）證：: O尸=5（。 +），戶是鼻尸2的的中點(diǎn)=>2n+=- +="2A| +V2 2I2+V2 2' + %/2 2丑 +、反2”- 2" + 貶 + 2 + 71x2-

29、2” + & + 2+7？(2)解：由(1)知+x2=1, f(xi)+f(X2)=yi+%=l, f(l)=2 JI, Sn = f( ) + f( ) + + f() + f(1)，又 Sn = f(/+f( 兩式相加得2Sn = f(1) + f( ) + f(= 2f(1) + 1 +1 + 彳)+喘)+f(1).n- 12 n_2n-*11丁) + f(萬)+ f(丁) + + f(丁)+f(萬)+f(1)-+ 1(n-1 個(gè) 1) = + 3-24，(3)解:區(qū)+揚(yáng)（5川+楊1 7+3" 2' + 4( + 3)( + 4)2"1 1 =4(-)

30、n+3 n+4Tn = 4(1 V ) + ' Y ) +)="+ 4 , 7# < 4(S葉 + &)=In“>九+拉=5 + 4尸= + 3 + 8 n” +竺8,當(dāng)且僅當(dāng)/?=4時(shí)，取“=” n5.設(shè)4M2, 是公差為4的等差數(shù)列，則q=4+45-1）,由已知出 + + 勺 4100 Q+4 + ")("-310012Oa； + ( - l)q + 2/ - 2n-100<0，此關(guān)于q為未知數(shù)的一元二次不等式有解,則應(yīng)有A = 5 -4(2/-2n-100)>03 - J2816)3 +J2816 ,、= 7n26n

31、40lW0,qq<9 又故n的最大值是8.故這樣的數(shù)列至多有8項(xiàng).6.證明:當(dāng)1V k Wn(k g N.)時(shí),；=且取>1所以4+2<都<4+3,因此+2 V4；+3,a；+2<；+3,a；T+2<4： <q；T+3,將以上 n- 1 個(gè)式子相加得Q； +2(-1)<； +3(-1)，因?yàn)?51=1 所以 2一 1 <«； <3-2,所以>/2-1 <4 </3-2令 n=100,得 14V aioo< 18.(2)由題設(shè)得,所以。*=。；+一片)+一。；)+(小一) =200+-l+ _L +_L

32、,又ae-a產(chǎn);>0故數(shù)列aj是單調(diào)遞增.當(dāng)n，2時(shí)an2.每 可 叫dn200V*V200+<225.因此 14< a0。<15.所以 aoo 的整數(shù)部分oo=14本節(jié)“習(xí)題11”解答：an _2a” _a+即 _A21 _ 7x21+1 _4 心生L 詬二而=函 =4X21+27 =3 以例人2 . S10, S20-S10, S30S2o,S4o-S3o成等比數(shù)列，公比 Q=qi°>0.故 S30= S1o(1+Q+Q2)=7O.IW Q=2,所以 S40 S3o=SioQ3=8O,HP 840=830+80=150.故選 A.3 .由遞推公式變形

33、得：3(即+1 -1)=一-1)令bn=an-1,則bn+產(chǎn)一gbn,且bi=a1一1=8,故bn 是首項(xiàng)為 8,公比為一:的等比數(shù)列.故 Sn-n=(aLl)+ (a2-1)+-+(an-1)= bi+b2+-+bn=6 一6X,所以IS-6l=6x仕f <-L,得3n l>250.所以滿足不等式的最小整數(shù)。是7,故選C. 3)1254 . ( 1 )當(dāng) a=-,d = 時(shí)，Sn=n + = -n2+n ,由 S . =(S -)2 得， 1 2n 222k'a，；3+公=(；父+幻2，即ygk -1) = 0,又左。0,所以 =4. (2)設(shè)數(shù)列4的公差為d,則在S,2

34、 =(5。2中分別取攵= 1,2得即 4x3,2x1、，由(1)得=0或K 及4。+d = (2q+dr11.當(dāng) =0時(shí)，代入(2)得：4=0或4=6；當(dāng)q=0.d = 0時(shí)，4=03'=。,從而Sr=(5人成立：當(dāng)q=0.d = 6時(shí)， 則6=6(-1),由易=18,-=324y =216知，S9 H)，故所得數(shù)列不符合題意：當(dāng) =1 時(shí)，4 = 0或4 = 2,當(dāng)q=l, 4 = 0時(shí)，從而氣=(凡)?成立；當(dāng)=1,4 = 2時(shí)，則cin = 2 -1,5內(nèi)=,J，從而S42 =(耳)2成立，綜上共有3個(gè)滿足條件的無窮等差數(shù)列：=0或6=1或4=2-1.5. (I)由/(0) =

35、2/(0)，得"0) = 0,由/= 2/(；)與/=1，得八；)=3八1)=；同理，/(f = y/(y)=：,歸納得/(y) = y(/ = 1,2,)(II)當(dāng)時(shí)/*)= + /一)4 T擊+擊+嗚-擊水擊£)=("勺/(12)所以/是首項(xiàng)為!(一)L1 勺)，公比為L的等比數(shù)列，所以S(A) = lim(4 + & + 4) = 2i- = -(1-).2441-t 1344S伏)的定義域?yàn)?<攵41,當(dāng) = 1時(shí)取得最小值;.6. (1)：當(dāng),? = 1 時(shí), =5, =2；當(dāng) > 2時(shí) q = SK - S； = In1- 2(w

36、-1)2 = 4 - 2,故斯的通項(xiàng)公式為a=4 - 2,即應(yīng)是=2,公差d = 4的等差數(shù)列.設(shè)6的通項(xiàng)公式為q 廁如(1 = ",d =4,：.q = ；.io故。=叱-2x吉,即此的通項(xiàng)公式版=,.(11) .q=& = ±L22 =(2 l)“i,，7；=q+q+ + q=l + 3x41+5x42 + .+(2 D4“T, n bK 247； =1x4 + 3x42+5x43+ . + (2-3)4”7+(2-1)4"”兩式相減得3T =-l-2(才 + 4? + 4, + + 4't) + (2h-1)4u =1 (6-5)4” 4-5

37、/.T =1 (6-5)4" + 5.397. (I)由 21°S3o°+1 )S2o+Sio=O 得 21o(S3o-S2o)=S2o-Sio>RP 21 °(32i+a22+ . +a3o)=ai 1 +ai2+ +320, 可得 210 q1°(aii+ai2+a2o)=aii+ai2+a2o.因?yàn)?面>0,所以 210q10=1,解得 q=g,因而 an=aiqn 1=,n=1,2,.(II)因?yàn)橥鞘醉?xiàng)aig、公比q=g的等比數(shù)列,故Sn=1, nS產(chǎn)n-/.則數(shù)列g(shù)的前n項(xiàng)和+n)Y長),Tn 1 0八 , 12/2 -1、2 2 (1+2+-+n)-(- + + -+ ).前兩式相減，得如 (1+2+.+n)(/如+異號(hào)=nGvM)_+n即T產(chǎn)出里+ 22”8. 由 Sin“