高數(shù)2試題及答案

1、模擬試卷一注意：答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時間100分）一、單項選擇題（每題3分，共24分）1、已知平面：與直線的位置關(guān)系是（ ）（a）垂直 （b）平行但直線不在平面上 （c）不平行也不垂直 （d）直線在平面上2、（ ）（a）不存在 （b）3 （c）6 （d） 3、函數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)及在區(qū)域d內(nèi)連續(xù)是這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)在d內(nèi)相等的（ ）條件.（a）必要條件 （b）充分條件 （c）充分必要條件 （d）非充分且非必要條件4、設(shè)，這里，則=（ ） （a）4 （b）2 （c）1 （d）05、已知為某函數(shù)的全微分，則（ ） （a）-1 （b）0 （c）2 （d）16、

2、曲線積分（ ），其中 （a） （b） （c） （d）7、數(shù)項級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)（為常數(shù)）（ ） （a）發(fā)散 （b）可能收斂也可能發(fā)散 （c）收斂 （d）無界8、微分方程的通解是（ ） （a） （b） （c） （d）二、填空題（每空4分，共20分）1、設(shè)，則 。2、交換積分次序：= 。3、設(shè)是任意一條光滑的閉曲線，則= 。4、設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為3，則冪級數(shù)的收斂區(qū)域為 。5、若是全微分方程，則函數(shù)應(yīng)滿足 。三、計算題（每題8分，共40分）1、求函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)。2、計算，其中是由拋物線即直線所圍成的閉區(qū)域。3、計算其中為三頂點分別為的三角形正向邊界。4、將展開成的冪級數(shù)。5、求微分方程的通

3、解。四：應(yīng)用題 （16分）求由旋轉(zhuǎn)拋物面和平面所圍成的空間區(qū)域的體積。模擬試卷二注意：答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時間100分）一、單項選擇題（每小題2分，共20分）1. 點到軸的距離( )(a) (b) (c) (d) 2. 下列方程中所示曲面是單葉旋轉(zhuǎn)雙曲面的是（ ）.（a） （b）（c） （d） 3. 二元函數(shù)的定義域是( ).（a）； （b）；（c）； （d）.4. ( ). （a）（b）（c）（d）5. 已知二重積分，則圍成區(qū)域的是（）(a) ， (b) 軸，軸及(c) 軸，及 (d) ，6. 設(shè)，其中由所圍成，則=( ). (a) (b) (c) (d)

4、7. 若是上半橢圓取順時針方向,則 的值為( ).(a)0 (b) (c) (d)8. 設(shè)為非零常數(shù),則當( )時,級數(shù)收斂 .(a) (b) (c) (d)9. 是級數(shù)收斂的( )條件. (a)充分 (b)必要 (c)充分且必要 (d)既非充分又非必要 10. 微分方程 的通解為_.(a) (b) (c) (d) 二、填空題（每小題3分，共15分）1. 已知平行四邊形的兩個頂點,的及它的對角線的交點 ，則頂點為_. 設(shè)， ，則 = _3. 設(shè) 則 _4. 若正項級數(shù)的后項與前項之比值的極限等于，則當_時，級數(shù)必收斂5. 冪級數(shù) 的收斂區(qū)間是 三、計算題（每小題10分，共50分）1. 求函數(shù)

5、的極值點，并求極值.2. 計算 ，其中是以（0,0），（1,1），（0,1）為頂點是三角形區(qū)域. 計算，其中為曲線：， 4. 利用逐項求導(dǎo)或逐項積分,求下列級數(shù)的和函數(shù)：.5. 求微分方程滿足已給初始條件的特解： ， .四、應(yīng)用題與證明題（第1小題13分，第2小題12分，共25分）1. 求球面被平面與所夾部分的面積。2. 證明曲面上任一點處切平面與三個坐標面所圍成四面體的體積為常數(shù).模擬試卷三注意：答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時間100分）一、單項選擇題（每小題2分，共20分） 1. 若，為共線的單位向量，則它們的數(shù)量積 （ ）.（a） 1 （b）-1 （c） 0 （

6、d）2. 設(shè)平面方程為，且， 則平面（ ）.（a）平行于軸 （b）垂直于軸 （c）平行于軸 （d）垂直于軸3. 設(shè) ,則在原點處( ). (a) 不連續(xù) (b) 偏導(dǎo)數(shù)不存在 (c)連續(xù)但不可微 (d)可微 4. 二元函數(shù)的極值點是( ). (a) (1,2) (b) (1，-2) (c) (1,-1) (d) (-1,-1) 5. 設(shè)為, 則 =（ ）. (a) 0 (b) (c) (d) 6. =( )(a) (b)(c) (d) 7. 若是上半橢圓取順時針方向,則的值為( ).(a) 0 (b) (c) (d) 8. 下列級數(shù)中,收斂的是( ).(a) (b) (c) (d) 9. 若冪

7、級數(shù)的收斂半徑為：，冪級數(shù)的收斂半徑為：，則冪級數(shù)的收斂半徑至少為( )(a) (b) (c) (d) 10. 方程是( ).(a)齊次方程 (b)一階線性方程 (c)伯努利方程 (d)可分離變量方程 二、填空題（每小題3分，共15分）1. 平行四邊形二邊為向量，則其面積= .2. 通過點且與平面平行的平面方程為 3. 設(shè) ，則 _4. 曲線 在對應(yīng)于的點處切線方程為_；5. 設(shè)閉區(qū)域由分段光滑的曲線圍成,函數(shù)及在上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則有_；三、計算題（每小題10分，共50分）1. 設(shè), 求 2. 求, 其中 是由 所確定的閉區(qū)域3. 計算 ，其中是在圓周：上由點(0,0)到點(1,1)的一

8、段弧4. 將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間5. 求下列微分方程的通解：四、應(yīng)用題（第1小題13分，第2小題12分，共25分）1. 在平面上求一點,使它到及三直線的距離平方之和為最小.2. 求由曲面 及 所圍成的立體的體積 . 、模擬試卷四注意：答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時間100分）一、單項選擇題（每小題2分，10小題，共20分）1. 向量在向量上的投影等于（ ）(a) (b) (c) (d) 2. 曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是（ ）(a) (b) (c) (d) 3. 已知 = , 則 的值為( )(a) (b) 1 (c) (d) 不存在4

9、. 若在處可微, 則在處( )(a) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 (b) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)(c) 連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在 (d) 不一定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不一定存在5. 設(shè),， 其中區(qū)域， ，則下列四式中正確的是（ ） (a) (b) (c) (d) 6. 設(shè),其中由所圍成，則=( ) (a) (b) (c) (d) 7. 設(shè)為：, ， 則的值為( ) (a) 4 (b) 6 (c) 8 (d) 128. 下列級數(shù)中,收斂的是( ) (a) (b) (c) (d) 9. 冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（ ）(a) (b) (c) (d) 10. 下列方程可分離變量的是（ ）(a) (b) (c) (d) 二、填空題（每小

10、題3分，5小題，共15分）1. 通過曲線 ，且母線平行于軸的柱面方程是 .2.經(jīng)過點且平行于向量的直線方程是 . 3. = .4. 將二次積分改換積分次序應(yīng)為_ .5. 設(shè)、都是正項級數(shù)，且收斂，則當都有 時，也一定收斂.三、設(shè)函數(shù) ，求 . （10分）四、 計算二重積分，其中d是由直線、及所圍成的閉區(qū)域. （10分）五、計算曲線積分， 其中是由拋物線 和 所圍成的區(qū)域的正向邊界曲線. （10分）六、. 求冪級數(shù) 的和函數(shù). （10分）七、求下列微分方程的通解: . （10分）八、應(yīng)用題（15分）求旋轉(zhuǎn)拋物面被平面所截得的有限部分的面積.模擬試卷五注意：答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無

11、效。（本卷考試時間100分）一、單項選擇題（每小題2分，10小題，共20分）1.充分必要條件是（ ）(a) × (b) (c) (d) 2. 兩平面 與 的夾角是（ ）(a) (b) (c) (d) 3. 若，則 =( )(a) 2 (b) 1 (c) 4 (d) 04. 若和都存在,則在處( )(a) 連續(xù)且可微 (b) 連續(xù)但不一定可微 (c) 可微但不一定連續(xù) (d) 不一定連續(xù) 且不一定可微5. 下列不等式正確的是（ ）(a) (b) (c) (d)6.=( ) (a) (b) (c) (d) 7. 設(shè)區(qū)域d由分段光滑曲線l所圍成，l取正向，為區(qū)域d的面積，則（ ）(a) (

12、b) (c) (d) 8. 設(shè)是正項級數(shù)，前n項和為，則數(shù)列有界是收斂的（ ）(a) 充分條件 (b) 必要條件(c) 充分必要條件 (d)既非充分條件，也非必要條件9. 以下級數(shù)中，條件收斂的級數(shù)是（ ）(a) (b) (c) (d) 10. 下列方程為線性微分方程的是（ ）(a) (b) (c) (d) 二、填空題（每小題3分，5小題，共15分）1. 曲線 在平面上的投影方程是 _ _ .2. 經(jīng)過點且垂直于直線 的平面方程是 .3. = _ .4. 設(shè)區(qū)域是由軸及半圓周所圍成的閉區(qū)域，將二重積分化為極坐標形式的二次積分應(yīng)為_ .5. 設(shè)、都是正項級數(shù)，且發(fā)散，則當都有 時，也一定發(fā)散.三

13、、設(shè)函數(shù) ， 求. （10分）四、計算二重積分，其中d是圓環(huán)形閉區(qū)域. （10分）五、 計算其中是三個頂點分別為 、和的三角形區(qū)域的正向邊界. （10分）六、求冪級數(shù) 的和函數(shù). （10分）七、求下列微分方程的通解: . （10分）八、應(yīng)用題（15分）計算半球面 被圍在柱面內(nèi)的部分曲面的面積.參考答案（模擬試卷一）一：單項選擇題 （每小題3分，共24分） 1、d；2、b；3、b；4、a；5、c； 6、c；7、b；8、c.二、填空題（每空4分，共20分） 1、；2、；3、0；4、；5、.三、計算題（每題8分，共40分） 1、解： 2分 6分 2、解：畫出積分區(qū)域 1分 4分 = 3分 3、解：如

14、圖，因為 1分 ，則 2分 由格林公式得： = 5分 4、解： 2分 = 3分 = 3分 5、解：原方程即為 2分 即 2分 2分 原方程的通解為 2分四、應(yīng)用題（16分）解一：用二重積分計算。所求體積可視為圓柱體：的體積與以曲面為頂、以為底的曲頂柱體體積之差，其體積為 8分 8分解二：用三重積分計算。利用柱面坐標，有 4分 12分答案（模擬試卷二）一、單項選擇題（每小題2分，共20分）題號12345678910答案bcadbbcdbd二、填空題（每小題3分，共15分）1. (9，-5，12) 2. 3. 4. 5. 三、計算題（每小題10分，共50分）1. 求函數(shù) 的極值點，并求極值.解：令

15、駐點為：， 4分又 6分（1）對于駐點有，且 為極大值 7分（2）對于駐點有， 不是極值 8分（3）對于駐點有，不是極值 9分（4）對于駐點有，且 為極小值 10分2. 計算 ，其中是以（0,0），（1,1），（0,1）為頂點是三角形區(qū)域.解：= 5分 = 7分 = = = = 10分. 計算，其中為曲線：， 解：原式 3分 8分 = 10分4. 利用逐項求導(dǎo)或逐項積分,求下列級數(shù)的和函數(shù): .解： 3分 = 6分 = = 10分5. 求微分方程滿足已給初始條件的特解： ， .解： 3分 兩邊積分得： 7分 又 9分特解為： 10分四、應(yīng)用題與證明題（第1小題13分，第2小題12分，共25分）

16、1. 求球面被平面與所夾部分的面積。解：且 2分所求的面積為： 4分 = 8分 = 9分 = = 13分2. 證明曲面上任一點處切平面與三個坐標面所圍成四面體的體積為常數(shù).解：曲面上任一點處的法向量為： 3分 處的切平面方程為： 即：且有 9分 所圍立體的體積為：= 12分答案（模擬試卷三）一、單項選擇題（每小題2分，共20分）題號12345678910答案dcddcccbda二、填空題（每小題3分，共15分）1. 2. 3. 4. 5. 三、計算題（每小題10分，共50分）1. 設(shè), 求 解： 3分 6分 10分2. 求, 其中 是由 所確定的閉區(qū)域解：= 1分 = 7分 = 9分 = 10

17、分3. 計算 ，其中是在圓周：上由點(0,0)到點(1,1)的一段弧解：設(shè)的參數(shù)方程為： 2分 = 6分 = = 10分4. 將函數(shù)展開成的冪級數(shù),并求展開式成立的區(qū)間解： 4分 = =， 10分5. 求下列微分方程的通解：解： 2分 3分 = = 6分 = = 8分 = = 10分四、應(yīng)用題（第1小題13分，第2小題12分，共25分）1. 在平面上求一點,使它到及三直線的距離平方之和為最小.解：設(shè)所求的點為，則依據(jù)題意有： ， 5分 9分 駐點為 11分 由此題的實際意義可知，唯一的駐點一定是極小值點，也一定是最小值點。 所求的點為 13分2. 求由曲面 及 所圍成的立體的體積 . 解： 2

18、分 6分 = = = 9分 = = = 12分模擬試卷四注意：答案請寫在考試專用答題紙上，寫在試卷上無效。（本卷考試時間100分）一、單項選擇題（每小題2分，10小題，共20分）1. 向量在向量上的投影等于（ ）(a) (b) (c) (d) 2. 曲線 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程是（ ）(a) (b) (c) (d) 3. 已知 = , 則 的值為( )(a) (b) 1 (c) (d) 不存在4. 若在處可微, 則在處( )(a) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在 (b) 連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)(c) 連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不一定存在 (d) 不一定連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不一定存在5. 設(shè),， 其中區(qū)域， ，則下列四式中正確的是（ ） (a) (b) (c) (d) 6. 設(shè),其中由所圍成，則=( ) (a) (b) (c) (d) 7. 設(shè)為：, ， 則的值為( ) (a) 4 (b) 6 (c) 8 (d) 128. 下列級數(shù)中,收斂的是( ) (a) (b) (c) (d) 9. 冪級數(shù)的收斂區(qū)間為（ ）(a) (b) (c) (d) 10. 下列方程可分離變量的是（ ）(a) (b)