一階微分方程重修

1、第第6 6章章 微分方程微分方程I微分方程的基本概念微分方程的基本概念 微分方程微分方程: :凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程凡含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分的方程叫微分方程. .微分方程的階微分方程的階: : 微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱之. ., 0),( yyxF一階微分方程一階微分方程);,(yxfy 高階高階( (n) )微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy第一部分、一階第一部分、一階微分方程微分方程線性與非線性微分方程線性與非線性微分方程. .),()(xQyxPy ;

2、02)(2 xyyyx微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之代入微分方程能使方程成為恒等式的函數(shù)稱之. . 微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數(shù)微分方程的解中含有任意常數(shù), ,且任且任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同意常數(shù)的個(gè)數(shù)與微分方程的階數(shù)相同. .(2)(2)特解特解: : 確定了通解中任意常數(shù)以后的解確定了通解中任意常數(shù)以后的解. .過定點(diǎn)的積分曲線過定點(diǎn)的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階一階:二階二階: 0000,),(yyyyyyxfyxxxx過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲

3、線過定點(diǎn)且在定點(diǎn)的切線的斜率為定值的積分曲線.初值問題初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問題求微分方程滿足初始條件的解的問題. .IIII、一階微分方程、一階微分方程 dxxfdyyg)()(1 、形形如如可分離變量方程可分離變量方程. .5422yxdxdy 例如例如,2254dxxdyy 2、解法、解法設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yg和和)(xf是是連連續(xù)續(xù)的的, dxxfdyyg)()(設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(yG和和)(xF是是依依次次為為)(yg和和)(xf的的原原函函數(shù)數(shù),CxFyG )()(為微分方程的解為微分方程的解.分離變量法分離變量法一、可分離變量方程一、可分離變量方程 例例1 1

4、求解微分方程求解微分方程.2的通解的通解xydxdy 解解分離變量分離變量,2xdxydy 兩端積分兩端積分,2 xdxydy12|lnCxy .2為所求通解為所求通解xCey 例例2 求微分方程求微分方程(x+xy2)dx+(yx2y)dy=0的通解的通解 解：解：變形變形 x(1+y2)dx+y(1x2)dy=0 分離變量分離變量 dxxxdyyy2211 兩端積分兩端積分 dxxxdyyy2211得得 |ln211ln21)1ln(21222Cxy 所以方程通解為所以方程通解為 1+y2=C(1x2) 說明：任意常數(shù)的變形是為了解的表達(dá)式簡(jiǎn)單說明：任意常數(shù)的變形是為了解的表達(dá)式簡(jiǎn)單 例例

5、3 求初值問題求初值問題1,)1(1 xxxyeyyedxeeydyxx 1解解Ceyx )1ln(212兩邊積分：兩邊積分：)1ln(2111eCyx 代入：得：代入：得：將將特解為：特解為：)1ln(21)1ln(212eeyx 二、齊次方程二、齊次方程)(xyfdxdy 形如形如的微分方程稱為的微分方程稱為齊次方程齊次方程. .2.解法解法,xyu 作變量代換作變量代換,xuy 即即代入原式代入原式,dxduxudxdy ),(ufdxduxu .)(xuufdxdu 即即可分離變量的方程可分離變量的方程1.1.定義定義代入的原方程的通解代入的原方程的通解求出通解，再將求出通解，再將xy

6、u 例例1 求求xyyxy 解：解：xyu 令令uudxduxu 1分離變量得分離變量得 xdxudu Cxu ln22代入代入將將xyu 222ln2Cxxxy 得得由初始條件：由初始條件：y|x=1=2，得得C=4。方程的特解為方程的特解為 y2 = 2x2ln|x|+4x2 的滿足初始條件的滿足初始條件y|x=1=2的特解的特解 則原方程變形為則原方程變形為 兩端積分得兩端積分得)()(xQyxPdxdy 1、一階線性微分方程、一階線性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式的標(biāo)準(zhǔn)形式:, 0)( xQ當(dāng)當(dāng)上方程稱為上方程稱為齊次的齊次的.上方程稱為上方程稱為非齊次的非齊次的., 0)( xQ當(dāng)當(dāng)三、一階線性

7、微分方程三、一階線性微分方程 2、解法、解法齊次方程的通解為齊次方程的通解為.)( dxxPCey非齊次微分方程的通解為非齊次微分方程的通解為: dxxPdxxPeCdxexQy)()()(dxexQeCedxxPdxxPdxxP )()()()(對(duì)應(yīng)齊次方程通解對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解非齊次方程特解.1,sin1的特解的特解求方程求方程 xyxxyxy,1)(xxP ,sin)(xxxQ Cdxexxeydxxdxx11sin Cdxexxexxlnlnsin Cxdxxsin1 .cos1Cxx 解解例例1 1 .cos11,Cxxyyx 代入代入將將 .1cos1, 1 xxyC的

8、特解的特解：求：求例例1,)(203 xyyyxy21yxydydx 解：方程化為：解：方程化為：為為x的一階線性方程的一階線性方程 )()()(CdyyQeexdyyPdyyP 211Cdyyeedyydyy414Cyy .411, 0 Cyx代入，得代入，得將將4144 yxy特解為：特解為：1、伯努利、伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程的標(biāo)準(zhǔn)形式nyxQyxPdxdy)()( )1 , 0( n四、伯努利方程四、伯努利方程,1 nyz 令令),()1()()1(xQnzxPndxdz 則原方程化為則原方程化為2、解法、解法通解為通解為. )1)()()1()()1(1 Cdx

9、enxQezydxxPndxxPnn.42的通解的通解求方程求方程yxyxdxdy 21 n,yz 令令,21242xzxdxdz ,22 Cxxz解得解得.224 Cxxy即即解解例例1,2122xzxdxdz 有有連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，且且滿滿足足，連連續(xù)續(xù)，在在，在在、設(shè)設(shè))0()0)(2 xf).(,)(21)(1034xfxxxfdttxfx求求 解解: xduufutxdttxfx010)()(340)(21)(xxxfduufx 原方程變?yōu)椋涸匠套優(yōu)椋?238)(1)( xxfxxf兩兩邊邊求求導(dǎo)導(dǎo)314)(xCxxf 解解此此一一階階線線性性方方程程得得：例例3. . 設(shè)設(shè)F(x)f (x) g(x), 其中函數(shù)其中函數(shù) f(x), g(x) 在在(,+)內(nèi)滿足以下條件內(nèi)滿足以下條件:, 0)0(),()(),()( fxfxgxgxf且且(1) 求求F(x) 所滿足的一階微分方程所滿足的一階微分方程 ;(2) 求出求出F(x) 的表達(dá)式的表達(dá)式 .解解: (1) )()()()()(xgxfxgxfxF )()(22xfxg )()(2)()(2xgxfxfxg )(2)2(2xFex 所以所以F(x) 滿足的一階線性非齊次微分方程滿足的一階線性非