高中必修一二次函數(shù)與一元二次方程根的分布（課堂PPT）

1、.1二面角成都七中成都七中 鄭勇軍鄭勇軍.2問題一、二次函數(shù)的圖像可從哪些方面描述？問題一、二次函數(shù)的圖像可從哪些方面描述？ 開口方向開口方向 對稱軸對稱軸 與與x x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn) 與與y y軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)xyO.3問題二、二次函數(shù)與一元二次方程（不等式）問題二、二次函數(shù)與一元二次方程（不等式）有什么關(guān)系？有什么關(guān)系？函數(shù)值即函數(shù)值即y等于等于0時就成了一個一元二次方程。時就成了一個一元二次方程。函數(shù)值即函數(shù)值即y大于或小于大于或小于0時就成了一個一元二次時就成了一個一元二次不等式。不等式。xyO.4問題三、解下列一元二次不等式1、x22x30對應(yīng)方程對應(yīng)方程x22x3 0的的4120函

2、數(shù)函數(shù)yx22x3恒為正，故不等式解集為恒為正，故不等式解集為R。2、x26x70函數(shù)函數(shù)y x26x7開口向上，且與開口向上，且與x軸的交點(diǎn)軸的交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為橫坐標(biāo)分別為7、1，由圖像得原不等式的解集為（由圖像得原不等式的解集為（7,1）O 1xy-7xyO.5問題四、解下列一元二次方程 1、x22x30 無實根無實根 2、x22x10 有兩相等實根有兩相等實根x1x21 3、x26x50 有兩相異實根有兩相異實根x15，x21 4、x26x70 有兩相異實根有兩相異實根x17，x21.6思考： 可否用二次函數(shù)的相關(guān)知識反過來理解或解決可否用二次函數(shù)的相關(guān)知識反過來理解或解決一元二次方程相

3、關(guān)問題？一元二次方程相關(guān)問題？ 可以。如用二次函數(shù)的圖像與可以。如用二次函數(shù)的圖像與x軸交點(diǎn)的位置來軸交點(diǎn)的位置來判斷實根的位置。判斷實根的位置。 一元二次方程的實根存在時，有兩等根、正根、一元二次方程的實根存在時，有兩等根、正根、負(fù)根、一正一負(fù)根等情況，其中有何規(guī)律？負(fù)根、一正一負(fù)根等情況，其中有何規(guī)律？ 這就是一元二次方程實根的分布問題，即是本這就是一元二次方程實根的分布問題，即是本節(jié)課研究的內(nèi)容。節(jié)課研究的內(nèi)容。.7問題五、關(guān)于問題五、關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程X2（m3)xm=0有兩個正根，求有兩個正根，求m的范圍。的范圍。 2121 2340300(m)mxxmxxm 01m

4、m你首先想到了什么方法？你首先想到了什么方法？韋達(dá)定理韋達(dá)定理你還有其他思路嗎？你還有其他思路嗎？能從二次函數(shù)入手思考該問題嗎？能從二次函數(shù)入手思考該問題嗎？解：設(shè)方程的兩實根分別為解：設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2，則，則.8解：設(shè)f(x) x2(m3)xm，要使二次函數(shù)與，要使二次函數(shù)與x軸的軸的交點(diǎn)在交點(diǎn)在x軸的正半軸，由圖像知只需滿足以下條件：軸的正半軸，由圖像知只需滿足以下條件：2(3-m) -4m0b3-m-=-02a20 =m0f()問題五、關(guān)于問題五、關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2(m3)xm=0有兩個正根，求有兩個正根，求m的范圍。的范圍。m|0m1xy.9比較兩種思

5、路，作出評價：比較兩種思路，作出評價：2121 2340300(m)mxxmxxm 2(3-m) -4m0b3-m-=-02a20 =m0f()法一：韋達(dá)定理法法一：韋達(dá)定理法法二：二次函數(shù)法法二：二次函數(shù)法1、形式不同，本質(zhì)一樣；、形式不同，本質(zhì)一樣；2、在本問題中韋達(dá)定理法更簡潔。、在本問題中韋達(dá)定理法更簡潔。以本問題的條件，你還能提出其他問題嗎？以本問題的條件，你還能提出其他問題嗎？.10以本問題的條件，你還能提出其他問題嗎？以本問題的條件，你還能提出其他問題嗎？問題五、關(guān)于問題五、關(guān)于x的一元二次方程的一元二次方程x2(m3)xm=0有兩個有兩個正根正根，求，求m的范圍。的范圍。問題是

6、數(shù)學(xué)的心臟，問題是數(shù)學(xué)的心臟，是我們思維的起點(diǎn)。是我們思維的起點(diǎn)。.11（2）兩負(fù)實根；（）兩負(fù)實根；（3）兩實根均小于）兩實根均小于1；（4）兩實根均大于）兩實根均大于0.5；（5）兩實根均在）兩實根均在(0,2)；（6）一正一負(fù)兩實根；）一正一負(fù)兩實根；（7）兩實根中，一根大于）兩實根中，一根大于1，一根小于，一根小于1；（8）兩實根中有且只有一根在）兩實根中有且只有一根在(0,2)；（9）兩實根中，一根在）兩實根中，一根在(2,0)，一根在，一根在(1,3)；（10）兩實根中，一根在）兩實根中，一根在(2,0)，一根在，一根在(0,4)；（11）一個根小于）一個根小于2，一個根大于，一個

7、根大于4。問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。（1）兩正實根）兩正實根(已解決已解決)其他問題：其他問題：.12思考二、思考二、上述問題有什么規(guī)律？上述問題有什么規(guī)律？你能從不同角度對上述問題進(jìn)行歸類嗎？你能從不同角度對上述問題進(jìn)行歸類嗎？思考一、思考一、上述（上述（2）（）（10）共九個問題你會模仿）共九個問題你會模仿第（第（1）問進(jìn)行解決嗎？你有什么初步感覺？）問進(jìn)行解決嗎？你有什么初步感覺？（難還是簡單？思維清晰還是有點(diǎn)亂？）（難還是簡單？思維清晰還是有點(diǎn)亂？）特點(diǎn)一：特點(diǎn)一：(1)(2)(6)與原點(diǎn)有關(guān)，其余與原點(diǎn)無關(guān)；與

8、原點(diǎn)有關(guān)，其余與原點(diǎn)無關(guān)；這么多問題如何在最短時間內(nèi)解決？這么多問題如何在最短時間內(nèi)解決？與原點(diǎn)有關(guān)的問題便于用什么方法求解？與原點(diǎn)有關(guān)的問題便于用什么方法求解？韋達(dá)定理法韋達(dá)定理法.13特點(diǎn)二特點(diǎn)二：(1)-(5)都是兩根在同一區(qū)間內(nèi)；都是兩根在同一區(qū)間內(nèi)；(6)-(10)都是兩根在不同的區(qū)間內(nèi)。都是兩根在不同的區(qū)間內(nèi)?，F(xiàn)在的問題變成了現(xiàn)在的問題變成了“如何解決這兩類問題？如何解決這兩類問題？”分成兩組研究分成兩組研究:第一組第一組：(1)-(5)第二組：第二組：(6)-(10).14問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求求m的范圍。的范圍。 （2）有

9、兩個負(fù)根）有兩個負(fù)根9mm解法一：設(shè)方程的兩實根分別為解法一：設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2，則，則2121 2340300(m)mxxmxxm .15（2）有兩個負(fù)根）有兩個負(fù)根問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求求m的范圍。的范圍。解法二：設(shè)f(x) x2(m3)xm，要使二次函數(shù)與，要使二次函數(shù)與x軸軸的交點(diǎn)在的交點(diǎn)在x軸的負(fù)半軸，由圖像知只需滿足以下條件：軸的負(fù)半軸，由圖像知只需滿足以下條件：2(3-m) -4m0b3-m-=-0f()9mm y x.16 （3） 兩個根都小于兩個根都小于1022) 1 (123204)3(2mfmabmm9m

10、m問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。解解：設(shè)設(shè)f(x) x2(m3)xm，要使二次函數(shù)與，要使二次函數(shù)與x軸的交軸的交點(diǎn)在點(diǎn)在x軸上軸上1的左邊，由圖像知只需滿足以下條件：的左邊，由圖像知只需滿足以下條件：yx1.17 （4） 兩個根都大于兩個根都大于0.5234030 522650 504( m)mbm.amf (.) 516mm問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。解解：設(shè)設(shè)f(x) x2(m3)xm，要使二次函數(shù)與，要使二次函數(shù)與x軸的交軸的交點(diǎn)在點(diǎn)在x軸上軸上

11、0.5的右邊，由圖像知只需滿足以下條件：的右邊，由圖像知只需滿足以下條件： 0.5x y O.18 （5） 兩個根都在（兩個根都在（0 ,2）內(nèi)）內(nèi)2340322002320(m)mm 0f( )mf( )m 12m m3問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。解解：設(shè)設(shè)f(x) x2(m3)xm，要使二次函數(shù)與，要使二次函數(shù)與x軸的交軸的交點(diǎn)在點(diǎn)在0與與2的之間，由圖像知只需滿足以下條件：的之間，由圖像知只需滿足以下條件：yx2O.19問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求求m的范圍。的范圍。

12、（6） 一個正根，一個負(fù)根一個正根，一個負(fù)根0m m 解法一：設(shè)方程的兩實根分別為解法一：設(shè)方程的兩實根分別為x1、x2，則，則21 23400(m)mxxm.20解法二：設(shè)解法二：設(shè)f(x) x2(m3)xm，要使二次函數(shù)與，要使二次函數(shù)與x軸軸的交點(diǎn)分別在的交點(diǎn)分別在x軸的正、負(fù)半軸，由圖像知只需滿足：軸的正、負(fù)半軸，由圖像知只需滿足：0 =m0f()0m m xy問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求求m的范圍。的范圍。（6） 一個正根，一個負(fù)根一個正根，一個負(fù)根.21（7） 一個根大于一個根大于1，一個根小于，一個根小于11mmf(1)=2m-2

13、 0 問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求，求m的范圍。的范圍。解解：設(shè)設(shè)f(x) x2(m3)xm，要使二次函數(shù)與，要使二次函數(shù)與x軸的交軸的交點(diǎn)在點(diǎn)在x軸上軸上1的兩邊，由圖像知只需滿足以下條件：的兩邊，由圖像知只需滿足以下條件：1 x y.22 （8） 兩個根有且僅有一個在（兩個根有且僅有一個在（0 ,2）內(nèi)）內(nèi)f(0)f(2)=m(3m-2) 0）根的分布根的分布兩個根都在（兩個根都在（k .k )內(nèi)內(nèi)210)(0)(202121kfkfkabkyxkk12O.282、當(dāng)一元二次方程的根分布在不同的區(qū)間時，、當(dāng)一元二次方程的根分布在不同的區(qū)間時

14、，限定要考慮哪些方面？限定要考慮哪些方面？區(qū)間端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值一般可以作出簡潔限制。區(qū)間端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值一般可以作出簡潔限制。kxyyxkk12Ok1k2p1p2xy.293、由此請你總結(jié)解決一元二次方程、由此請你總結(jié)解決一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)實根分布的方法、步驟：實根分布的方法、步驟：（1）確定方程根是在同一區(qū)間還是不同區(qū)間；）確定方程根是在同一區(qū)間還是不同區(qū)間；（2）分別用相應(yīng)的限制規(guī)律得到相應(yīng)不等式）分別用相應(yīng)的限制規(guī)律得到相應(yīng)不等式（組）；（組）；（3）求解不等式即得相應(yīng)參數(shù)的范圍。）求解不等式即得相應(yīng)參數(shù)的范圍。.30 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0

15、（a0）根的分布根的分布小 結(jié)兩個根有且僅有兩個根有且僅有一個在（一個在（k .k )內(nèi)內(nèi)12x1(k1,k2) x2(p1,p2)f(k )f(k )01212120000f ( k)f ( k)f ( p)f ( p)k1k2p1p2xyyxkk12O一個根小于一個根小于k，一個，一個根大于根大于kkxyf(k)000f()m|0m1也可用韋達(dá)定理法也可用韋達(dá)定理法.32問題八：問題八：1Oxy.33問題八：問題八：.34練習(xí)：練習(xí)：2.-12a03.-1m01.1132mm1或.35的的取取值值范范圍圍。求求的的值值恒恒大大于于零零，時時，當(dāng)當(dāng)函函數(shù)數(shù)、已已知知x f(x)1k1- 42

16、k-4)x-(kxf(x) 52 的的取取值值范范圍圍。均均成成立立，求求實實數(shù)數(shù)對對于于任任意意實實數(shù)數(shù)、若若不不等等式式ax 05a-2)x-8(a8x424 思考：思考：1a52X3.36反思?xì)w納，拓展深化1、通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你對一元二次方程根的分布有什么認(rèn)識？2、你又掌握了哪些解決問題的方法？3、你能解決可化為一元二次方程實根分布相關(guān)的問題嗎？.37課后作業(yè).38祝愿同學(xué)們學(xué)業(yè)有成！健康成長！祝愿同學(xué)們學(xué)業(yè)有成！健康成長！.39 （4） 一個正根，一個負(fù)根且正根絕對值較大一個正根，一個負(fù)根且正根絕對值較大問題六：方程滿足下列條件問題六：方程滿足下列條件x2+（m-3)x+m=0，求求m的范圍。的范圍。0m m 解法一：設(shè)方程的兩實根分別為解法一：設(shè)方程的兩實根分別為