行測專題匯總-s數(shù)量關(guān)系

1、數(shù)量關(guān)系專題過河問題來回數(shù)=（總量-每次渡過去的）/（每次實際渡的）*2+1  次數(shù)=（總量-每次渡過去的）/（每次實際渡的）+1盈虧問題：（1）一次盈，一次虧：（盈+虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（2）兩次都有盈： （大盈-小盈）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（3）兩次都是虧： （大虧-小虧）÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（4）一次虧，一次剛好：虧÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)（5）一次盈，一次剛好：盈÷（兩次每人分配數(shù)的差）=人數(shù)一、利用“湊整法”求解的題型二、利用”尾數(shù)估算法”求解的題型三、利用“基準數(shù)法”求解的題

2、型十四、握手問題8. 在一宴會上，凡出席宴會的每一個人都要跟其他所有的人握手一次，已知握手次數(shù)一共是136次，那么共有多少人出席此次宴會？A15 B16 C17 D19十六、整除問題11如果六位數(shù)1803a6能被12整除，那么數(shù)字a是多少？（ ）A3或9 B3或4 C3或6 D以上幾項皆不對數(shù)量關(guān)系解題方法1) 質(zhì)數(shù)數(shù)列。即除了1和本身不能被其他數(shù)整除的數(shù)2，3，5，7，11，13，17，192) 等差數(shù)列。即后項減前一項所得的差為常數(shù)。 包括奇數(shù)列：1、3、5、7、9. 偶數(shù)列：0、2、4、6、8 5的倍數(shù)列：5、15、20、253) 等比數(shù)列。即后一項除以前一項所得的商為一常數(shù)。 像：3、

3、6、12、24、484) 二級等差和二級等比。即后一項減（除以）前一項得到的差（商）所組成的數(shù)列為一個等差或等比數(shù)列。比如：2000年的第四題 -2，-1，1，5，13，29。后項減前一項得到數(shù)列 1，2，4，8，16。為一等比數(shù)列，因此原數(shù)列為二級等比數(shù)列2002年A類第一題 2，6，12，20，30，42。后項減前一項得到的數(shù)列4，6，8，10，12。為一個等差數(shù)列，因此原數(shù)列為二級等差數(shù)列。5) 調(diào)和數(shù)列。即從第三項開始，后一項等于前兩項的和或積。 比如2002年A類第四題 1，3，4，7，11，18。4=1+3，7=3+4，11=4+7。 2003年B類第三題 1，3，3，9，27，2

4、43。 3=1*3，9=3*3，27=3*9。6) 平方數(shù)列。1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，1217) 立方數(shù)列。 1，8，27，64，125，216，3438) 冪級數(shù)數(shù)列。包括底升冪降，和Nn兩類。 比如2006年A類第二題 1，32，81，64，25，6，1 分別是16,25,34,43,52,61,70 2003年A類第三題 1，4，27，256，3125 分別是 11,22,33,44,559) 三項相關(guān)的數(shù)列。如前面所說的2006年A類的考題。技巧方法：(一) 觀察數(shù)列的變化趨勢。數(shù)列根據(jù)變化的趨勢可以分為以下三種。1、單調(diào)上升或下降的數(shù)列。2、波動性的數(shù)

5、列。3、先升后降的數(shù)列。(二) 面對單調(diào)上升或下降的數(shù)列，個人建議采用“先減加，再除乘，平方立方增減項”的方法。一般情況下，第一步首先要做的就是做差，得到差數(shù)列?？床顢?shù)列是否符合上面所說數(shù)列的規(guī)律；如果差數(shù)列未見明顯的規(guī)律，則考慮兩項相加和第三項進行比較，看看是否符和調(diào)和數(shù)列；如果尚未發(fā)現(xiàn)規(guī)律，而且數(shù)列中有明顯的倍數(shù)關(guān)系，則需要做商，后項比前項，看得到的結(jié)果如何；如果沒有明顯規(guī)律，考慮平方和立方數(shù)列，最后考慮是否有增減項數(shù)和前后項的問題。這些是做數(shù)字推理題最基本的方法。1. 通覽全題，看看是否有明顯的倍數(shù)關(guān)系，則優(yōu)先考慮除。如果題干大部為偶數(shù)，而中部出現(xiàn)奇數(shù)，優(yōu)先考慮減，或者是三項之間關(guān)系；2

6、. 如果題干中出現(xiàn)負數(shù)的，則優(yōu)先考慮減或相鄰項之間的關(guān)系。此時若用除，商數(shù)列會出現(xiàn)正負交錯的現(xiàn)象，規(guī)律不明顯；3. 出現(xiàn)1，n，n，這樣的數(shù)列，優(yōu)先考慮乘法調(diào)和；4. 出現(xiàn)1，1，n，這樣的數(shù)列優(yōu)先考慮除或者三項相關(guān)，有相同數(shù)的數(shù)列，千萬不要簡單地后項減前項。盡量避免變化后的新數(shù)列出現(xiàn)0；5. 如果題干首項為0，則0=1n-1，題干中間有0的優(yōu)先考慮三項之間的關(guān)系；6. 出現(xiàn)單個1的數(shù)列，優(yōu)先考慮減或三項相關(guān)；7. 題干主體為分數(shù)的，優(yōu)先考慮隔項相關(guān)，其次換成同底或約分，最后考慮分子分母的調(diào)和性。8. 由一位數(shù)字增加到三位數(shù)字的，考慮n的三次方，一般110-130左右的數(shù)為53項；9. 由個位

7、數(shù)增長到60左右的，考慮n的平方項；10. 數(shù)列第一項就很大，而后上升或下降不是很快的，優(yōu)先考慮減；11. 僅第一項為分數(shù)的，優(yōu)先用除；12. 關(guān)于本身項數(shù)的變形有如下幾類n3-n2, n2-2n；13. 三項相關(guān)的部分關(guān)系：分別用A，B，C表示第一項，第二項，第三項C=A*B+n，C=A2+B，C=A+B2，C=A*2+B，C=A+B*2 (三) 數(shù)字趨勢有波動性的數(shù)列。這樣的數(shù)列隔項間的關(guān)系比較明顯，有的還有兩個空格。1. 隔項相關(guān)。例：2005A類3題，2002A類5題，2005B類7題2. 中間項為前項變形減去后項的變形。2006A類3題(四) 先上升后下降的數(shù)列。這樣的數(shù)列一般是底數(shù)

8、上升，指數(shù)下降的冪級數(shù)數(shù)列。這類數(shù)列比較好辨認，就是最后一項為分子為1的分數(shù)，倒數(shù)第二項為1。1、16,25,34,43,52,61,70,8-1,即 1，32，81，64，25，6，1，1/8；2、15,24,33,42,51,60,7-1,即 1，16，27，16，5，1，1/7。最優(yōu)化問題例1 :貨輪上卸下若干只箱子，總重量為10噸，每只箱子的重量不超過1噸，為了保證能把這些箱子一次運走，問至少需要多少輛載重3噸的汽車？分析 因為每一只箱子的重量不超過1噸，所以每一輛汽車可運走的箱子重量不會少于2噸，否則可以再放一只箱子。所以，5輛汽車本是足夠的，但是4輛汽車并不一定能把箱子全部運走。例

9、如，設有13只箱子，所以每輛汽車只能運走3只箱子，13只箱子用4輛汽車一次運不走。因此，為了保證能一次把箱子全部運走，至少需要5輛汽車。例2: 用10尺長的竹竿來截取3尺、4尺長的甲、乙兩種短竹竿各100根，至少要用去原材料幾根？怎樣截法最合算？分析 一個10尺長的竹竿應有三種截法：（1） 3尺兩根和4尺一根，最?。唬?） 3尺三根，余一尺；（3） 4尺兩根，余2尺。為了省材料，盡量使用方法（1），這樣50根原材料，可截得100根3尺的竹竿和50根4尺的竹竿，還差50根4尺的，最好選擇方法（3），這樣所需原材料最少，只需25根即可，這樣，至少需用去原材料75根。例3: 一個銳角三角形的三條邊的

10、長度分別是兩位數(shù)，而且是三個連續(xù)偶數(shù)，它們個位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，這個三角形的周長最長應是多少厘米？分析 因為三角形三邊是三個連續(xù)偶數(shù)，所以它們的個位數(shù)字只能是0，2，4，6，8，并且它們的和也是偶數(shù)，又因為它們的個位數(shù)字的和是7的倍數(shù)，所以只能是14，三角形三條邊最大可能是86，88，90，那么周長最長為86+88+90=264厘米。例4: 把25拆成若干個正整數(shù)的和，使它們的積最大。分析 先從較小數(shù)形開始實驗，發(fā)現(xiàn)其規(guī)律：把6拆成3+3，其積為3×3=9最大；把7拆成3+2+2，其積為3×2×2=12最大；把8拆成3+3+2，其積為3×3×

11、2=18最大；把9拆成3+3+3，其積為3×3×3=27最大；這就是說，要想分拆后的數(shù)的乘積最大，應盡可能多的出現(xiàn)3，而當某一自然數(shù)可表示為若干個3與1的和時，要取出一個3與1重合在一起再分拆成兩個2之和，因此25可以拆成3+3+3+3+3+3+3+2+2，其積37×22=8748為最大。例5: A、B兩人要到沙漠中探險，他們每天向沙漠深處走20千米，已知每人最多可攜帶一個人24天的食物和水，如果不準將部分食物存放于途中，問其中一個人最遠可以深入沙漠多少千米（要求最后兩人返回出發(fā)點）？如果可以將部分食物存放于途中以備返回時取用呢？分析 設A走X天后返回，A留下自己

12、返回時所需的食物，剩下的轉(zhuǎn)給B，此時B共有（48-3X）天的食物，因為B最多攜帶24天的食物，所以X=8，剩下的24天食物，B只能再向前走8天，留下16天的食物供返回時用，所以B可以向沙漠深處走16天，因為每天走20千米，所以其中一人最多可以深入沙漠320千米。如果改變條件，則問題關(guān)鍵為A返回時留給B24天的食物，由于24天的食物可以使B單獨深入沙漠12天的路程，而另外24天的食物要供A、B兩人往返一段路，這段路為24÷4=6天的路程，所以B可以深入沙漠18天的路程，也就是說，其中一個人最遠可以深入沙漠360千米。例6: 甲、乙兩個服裝廠每個工人和設備都能全力生產(chǎn)同一規(guī)格的西服，甲廠

13、每月用的時間生產(chǎn)上衣，的時間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)900套西服；乙廠每月用的時間生產(chǎn)上衣，的時間生產(chǎn)褲子，全月恰好生產(chǎn)1200套西服，現(xiàn)在兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長多生產(chǎn)西服，那么現(xiàn)在每月比過去多生產(chǎn)西服多少套？分析 根據(jù)已知條件，甲廠生產(chǎn)一條褲子與一件上衣的時間之比為2:3；因此在單位時間內(nèi)甲廠生產(chǎn)的上衣與褲子的數(shù)量之比為2:3；同理可知，在單位時間內(nèi)乙廠生產(chǎn)上衣與褲子的數(shù)量之比是3:4；，由于，所以甲廠善于生產(chǎn)褲子，乙廠善于生產(chǎn)上衣。兩廠聯(lián)合生產(chǎn)，盡量發(fā)揮各自特長，安排乙廠全力生產(chǎn)上衣，由于乙廠生產(chǎn)月生產(chǎn)1200件上衣，那么乙廠全月可生產(chǎn)上衣1200÷ =2100件，同時，安

14、排甲廠全力生產(chǎn)褲子，則甲廠全月可生產(chǎn)褲子900÷ =2250條。為了配套生產(chǎn)，甲廠先全力生產(chǎn)2100條褲子，這需要2100÷2250=月，然后甲廠再用月單獨生產(chǎn)西服900×=60套，于是，現(xiàn)在聯(lián)合生產(chǎn)每月比過去多生產(chǎn)西服（2100+60）-（900+1200）=60套盈虧問題【經(jīng)典例題】1少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？【分析】：解這道題的關(guān)鍵在于條件的轉(zhuǎn)換，把“如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑”

15、轉(zhuǎn)換成“每人挖6個樹坑，還差2×（64）個樹坑。”則本題成為“一盈一虧”的盈虧問題；對比兩個條件，因為每人多挖（65）一個；所以就要多挖32×（64）個，這樣就可求出人數(shù)，繼而求出樹坑數(shù)。在這里我們把兩個條件中每人挖的差（65）叫分差，因兩個條件中每人挖的數(shù)量不同而產(chǎn)生的差叫總差。本題中：總差÷分差人數(shù)；推廣可得：兩次分配的差叫分差，總差分3種：一盈一虧中：盈虧總差；在雙盈或雙虧中：大數(shù)小數(shù)總差；總差÷分差份數(shù)份數(shù)在不同的題目中表示不同的意思。 解：32×（64）÷（65）7（人） 7×5338（個）-樹坑數(shù)2鋼筆與圓珠筆每

16、支相差1元2角，小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，買8支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢？【分析】：關(guān)鍵在于條件的轉(zhuǎn)換，要么都轉(zhuǎn)換成鋼筆，要么都轉(zhuǎn)換成圓珠筆，解1：都轉(zhuǎn)換成鋼筆；買5支鋼筆差15角，買8支鋼筆差（12×86）90角，這是雙虧：分差是（85）3支，總差是（9015）75角，就是說多買3支，就多差75角；這樣就可求出1支鋼筆多少錢；繼而求出小明帶了多少錢。 （12×86）15÷（85）75÷325（角）-鋼筆的價錢 25×51512515110（角）11（元）-小明帶得錢數(shù)解2：都轉(zhuǎn)換成圓珠筆；買5支圓珠筆多（12×515）4

17、5角，買8支圓珠筆多6角。（12×515）6÷（85）39÷313（角）-圓珠筆的價錢 13×861046110（角）11（元）-小明帶得錢數(shù)3某校到了一批新生，如果每個寢室安排8個人，要用33個寢室；如果每個寢室少安排2個人，寢室就要增加10個，問這批學生可能有多少人？【解答】：關(guān)鍵在于條件的理解，每個寢室安排8個人，要用33個寢室；因沒說盈或虧，我們只能認為至少有：（331）×81257（人）；至多有：33×8264（人）；每個寢室少安排2個人，寢室就要增加10個，也沒說盈或虧，我們也只能認為至少有：（33101）×（8

18、2）1253（人）；至多有：（3310）×（82）258（人）；根據(jù)這兩個條件可以得到人數(shù)在257與258之間。（至少取大數(shù)，至多取小數(shù)，）4有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人。如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠。如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠。問第二組有多少人？【解答】：因分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠。說明第一組的人數(shù)不到48÷412人，多于（48÷593）9個人，即10到11人；同理，第二組不到48÷316人，又多與48÷412人，即13到15人

19、，因15105（人）；由此可知：第一組是10人，第二組是15人。5用繩測井深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長多少米？【分析】：繩三折，井外余2米，說明繩子比井深的3倍多（3×2）6米；繩四折，還差1米不到井口，說明繩子比井深的4倍少（4×1）4米，總差：（因多1折，就差）；（3×2）（4×1）；分差：（43）；這樣可求出井深。解：（3×2）（4×1）÷（43）10÷110（米）-井深10×32×336（米）-繩長6有一個班的同學去劃船。他們算了一下，如果增

20、加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個人。問：這個班共有多少名同學？【分析】：條件可以這樣理解，每條船坐6人，多6人；每條船坐9人，差9人。解：（96）÷（96）5（條）；5×6636（人）7“六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等。花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個。因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？【分析】：根據(jù)題意我們可知盒內(nèi)的球的數(shù)量一定是2、3、5的倍數(shù)，假設1份球數(shù)是30個；原來各買一份要： 30÷230÷3151025（元）；

21、現(xiàn)在要（3030）÷5×224（元）；即小明每買303060個球，就可以少花1元錢，那么小明一共就買了4×60240個球。解：假設1份球數(shù)是30個；4÷（30÷230÷3）（3030）÷5×24（份） （3030）×4240（個） 答：小明共買了240個球。練 習1、老師拿來一批樹苗，分給一些同學去栽，每人每次分給一棵，一輪一輪往下分，當分剩下12棵時不夠每人分一棵了，如果再拿來8棵，那么每個同學正好栽10棵。問參加栽樹的有多少名同學？原有樹苗多少棵？ 2、少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑

22、沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？ 3、學校安排學生到會議室聽報告。如果每3人坐一條長椅，那么剩下48人沒有坐；若每5人坐一條長椅，則剛好空出兩條長椅。問聽報告的學生有多少人？4、鋼筆與圓珠筆每支相差1元2角，小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，買8支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢？5、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的小朋友每人5個則余10個；如果分給小班的小朋友每人8個則缺2個。已知大班比小班多3個小朋友，問這筐蘋果共有多少個？6、某校到了一批新生，如果每個寢室安排8個人，要用33個寢室；如果每個寢室少

23、安排2個人，寢室就要增加10個，問這批學生可能有多少人？7、幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？8、有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人。如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠。如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠。問第二組有多少人？9、在若干盒卡片，每盒中卡片數(shù)一樣多。把這些卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7張，但若都分8張則還缺少5張?，F(xiàn)在把所有卡片都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問共有小朋友多少人？10、用繩測井

24、深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長多少米？11、有兩根同樣長的繩子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段長2米。原來每根繩子長多少米？12、有一個班的同學去劃船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個人。問：這個班共有多少名同學？13、張宇上午7時20分從家里出發(fā)到校上課。如果每分鐘走50步，離上課還有7分鐘；如果每分鐘走35步，就要遲到5分鐘。求學校的上課時間。14、"六一"兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等?；ㄇ蛟瓋r1元錢2

25、個，白球原價1元錢3個。因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？15、蘋果和梨各有若干只。如果5只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果還多4只，梨恰好裝完；如果7只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果恰好裝完，梨還多12只。那么蘋果和梨共有多少只？練習答案1、老師拿來一批樹苗，分給一些同學去栽，每人每次分給一棵，一輪一輪往下分，當分剩下12棵時不夠每人分一棵了，如果再拿來8棵，那么每個同學正好栽10棵。問參加栽樹的有多少名同學？原有樹苗多少棵？【分析】：當分剩下12棵時不夠每人分一棵了，如果再拿來8棵，那么每個同學正好栽10棵。通過這一句話，我們可以知道參加種樹的

26、同學一共有12+8=20人，加上再拿來的8棵，一共有20*10=200棵。所以，原有樹苗=200-8=192棵。解答：有同學12+8=20名，原有樹苗20*10-8=192棵。2、少先隊員去植樹，如果每人挖5個樹坑，還有3個樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊員？共挖了多少樹坑？分析：這是一個典型的盈虧問題，關(guān)鍵在于要將第二句話“如果其中兩人各挖4個樹坑，其余每人挖6個樹坑，就恰好挖完所有的樹坑”統(tǒng)一一下。即：應該統(tǒng)一成每人挖6個樹坑，形成統(tǒng)一的標準。那么它就相當于每人挖6個樹坑，就要差（6-4）*2=4個樹坑。這樣，盈虧總數(shù)就

27、是3+4=7，所以，有少先隊員7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38個坑。解答：盈虧總數(shù)等于3+（6-4）*2=7，少先隊員有7/（6-5）=7名，共挖了5*7+3=38個樹坑。3、學校安排學生到會議室聽報告。如果每3人坐一條長椅，那么剩下48人沒有坐；若每5人坐一條長椅，則剛好空出兩條長椅。問聽報告的學生有多少人？分析：典型盈虧問題。盈虧總數(shù)48+5*2=58，所以，長椅的數(shù)量就等于58/（5-3）=29條。那么，聽報告的人數(shù)等于29*3+48=135人。解答：長椅有（48+5*2）/（5-3）=29條，聽報告的學生有29*3+48=135人。4、鋼筆與圓珠筆每支相差1元2角，小明帶的

28、錢買5支鋼筆差1元5角，買8支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢？分析：在盈虧問題中，我們得到的計算公式是指同一對象的。而現(xiàn)在分別是圓珠筆和鋼筆兩種東西。因此，我們要利用盈虧問題的公式計算就必須將它轉(zhuǎn)化成為同一對象-鋼筆或者圓珠筆。小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，我們可以將它轉(zhuǎn)化成買5支圓珠筆，因為我們知道鋼筆與圓珠筆每支相差1元2角，把買5支鋼筆改買5支圓珠筆，就要省下6元錢，也就是比原來差1元5角，反而可以多出6元-1元5角=4元5角。這樣我們就將原來的問題轉(zhuǎn)化成了：小明帶的錢買5支圓珠筆多4元5角，買8支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢？那么，盈虧總數(shù)=4元5角-6角=3元9角，每支圓珠筆價錢

29、=3元9角/（8-5）=1元3角。所以，小明共有8*1元3角+6角=11元。解答：買5支鋼筆差1元5角，相當于買5支圓珠筆多4元5角，每支圓珠筆的價錢=（4元5角-6角）/8-5）=1元3角。小明帶了8*1元3角+6角=11元。5、幼兒園將一筐蘋果分給小朋友。如果分給大班的小朋友每人5個則余10個；如果分給小班的小朋友每人8個則缺2個。已知大班比小班多3個小朋友，問這筐蘋果共有多少個？分析：與上一題類似，需要轉(zhuǎn)化成兩次對同一對象。解答：分給大班的小朋友每人5個則余10個，大班比小班多3個小朋友，相當于分給小班的小朋友每人5個則余10+3*5=25個，盈虧總數(shù)=25+2=27，小班人數(shù)=27/（

30、8-5）=9人，蘋果有9*5+25=70個。6、某校到了一批新生，如果每個寢室安排8個人，要用33個寢室；如果每個寢室少安排2個人，寢室就要增加10個，問這批學生可能有多少人？分析：如果每個寢室安排8個人，要用33個寢室，那么人數(shù)肯定多于32*8=256人，但不超過33*8=264人；如果每個寢室少安排2個人，寢室就要增加10個，即如果每個寢室安排6個人，要用43個寢室，那么人數(shù)肯定多于42*6=252人，但不超過43*6=258人；兩次比較，人數(shù)應該多于256人，不超過258人。所以，這批學生可能有257或258人。解答：8*32=256，6*42=252，256>252，人數(shù)超過25

31、6人；8*33=264，6*43=258，258<264，人數(shù)不超過258人。這批學生可能有257或258人。7、幼兒園老師給小朋友分糖果。若每人分8塊，還剩10塊；若每人分9塊，最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊。那么糖果最多有多少塊？分析：最后一人分不到9塊，那么最多可以分到8塊，即若每人分9塊，還差1塊。根據(jù)盈虧計算公式，人數(shù)有（1+10）/（9-8）=11人，糖果最多有9*11-1=98塊；最后一人分不到9塊，但至少可分到一塊，即最少是最后一人差8塊，根據(jù)盈虧計算公式，人數(shù)有（8+10）/（9-8）=18人，糖果最多有9*18-8=154塊；所以，這批糖果最多有154塊。解答：

32、9-1=8，人數(shù)最多有（10+8）/（9-8）=18人，糖果最多18*9-8=154快。8、有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人。如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠。如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠。問第二組有多少人？分析：如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠。說明第一組人數(shù)少于48/4=12人，多于48/5=9.3，即9人；如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠。說明第二組人數(shù)少于48/3=16人，多于48/4=12人；因為已知第二組比第一組多5人，所以，第一組只能是10人，

33、第二組15人。解答：48/4=12，48/5=9.5，48/3=16，第一組少于12人，多于9人；第二組少于16人，多于12人。因為已知第二組比第一組多5人，所以，第二組有15人。9、在若干盒卡片，每盒中卡片數(shù)一樣多。把這些卡片分給一些小朋友，如果只分一盒，每人均至少可得7張，但若都分8張則還缺少5張?，F(xiàn)在把所有卡片都分完，每人都分到60張，而且還多出4張。問共有小朋友多少人？分析：60/7=8.4，60/8=7.4，說明卡片的盒數(shù)是8盒，“若都分8張則還缺少5張”，即如果我們在每盒中加5張（8盒共加40張），每人就可以得到8*8=64張，現(xiàn)在實際每人得到60張，即每人需要退出4張，其中要有4

34、張是每人60張后多下來的，還有40張是我們一開始借來的要還出去，即要退出44張，4/4=11，說明有11人。解答：60/7=8.4，60/8=7.4，卡片有8盒，小朋友人數(shù)有（4+5*8）/4=11人。10、用繩測井深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長多少米？分析：典型盈虧問題。盈虧總數(shù)=3*2+4*1=10米。解答：井深=（3*2+4*1）/（4-3）=10米，繩長=（10+2）*3=36米。11、有兩根同樣長的繩子，第一根平均剪成5段，第二根平均剪成7段，第一根剪成的每段比第二根剪成的每段長2米。原來每根繩子長多少米？分析：第一根剪成的每段比第二根剪成

35、的每段長2米。那么，如果同樣是5段的話，第二種就要比第一種少5*2=10米，現(xiàn)在第二種7段和第一種5段一樣長，說明第二種的兩段長是10米，也就是說每一段為10/2=5米。所以，繩子長為5*7=35米。解答：原來每根繩子長為7*（2*5/2）=35米。12、有一個班的同學去劃船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個人。問：這個班共有多少名同學？分析：增加一條和減少一條，前后相差2條，也就是說，每條船坐6人正好，每條船坐9人則空出兩條船。這樣就是一個盈虧問題的標準形式了。解答：增加一條船后的船數(shù)=9*2/（9-6）=6條，這個班共有6*6=36名同學。1

36、3、張宇上午7時20分從家里出發(fā)到校上課。如果每分鐘走50步，離上課還有7分鐘；如果每分鐘走35步，就要遲到5分鐘。求學校的上課時間。分析：這種盈虧問題的另一種比較常見的類型。主要是在計算盈虧總數(shù)時必須注意量的單位的統(tǒng)一。這里，盈虧總數(shù)不是7+5=12分，而是7*50+5*35=525步。所以，準點到校用時為525/（50-35）=35分鐘。所以，上課時間是7點55分。解答：準點到校的用時=（7*50+5*35）/（50-35）=35分鐘，學校上課時間為7點55分。14、"六一"兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等?；ㄇ蛟瓋r1元錢2個，白球原價1元

37、錢3個。因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價都是2元錢5個，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個球？分析：花球原價1元錢2個，白球原價1元錢3個。即花球原價10元錢20個，白球原價10元錢30個。那么，同樣買花球和白球各30個，花球要比白球多花10/2=5元，共需要30/2+30/3=25元。現(xiàn)在兩種球的售價都是2元錢5個，花球和白球各買30個需要（30/5）*2*2=24元，說明花球和白球各買30個能省下25-24=1元?，F(xiàn)在共省了4元，說明花球和白球各有30*4=120個，共買了120*2=240個。解答：花球和白球各買30個時，可比原來省下=（30/2+30/3）-（30/5）*2*2

38、=1元，省下4元，花球和白球各買30*4=120個。所以，小明共買了240個球。15、蘋果和梨各有若干只。如果5只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果還多4只，梨恰好裝完；如果7只蘋果和3只梨裝一袋，蘋果恰好裝完，梨還多12只。那么蘋果和梨共有多少只？分析：7只蘋果和3只梨裝一袋比5只蘋果和3只梨裝一袋多了2只蘋果，梨從剛好到多12只，相當于把原來裝好的袋拿出了12/3=4袋，抽出其中的蘋果（4*5=20只）和原來剩下的4只（共20+4=24只）蘋果，添加到其余原來裝好的袋子中去。每袋添加2只，添加了24/2=12袋剛好裝完。所以，原來裝了12+4=16袋，蘋果有16*5+4=84只，梨有16*3=48只

39、，合起來有84+48=132只。解答：（12/3）*5+4=24，5只蘋果和3只梨裝一袋，共裝了24/2+4=16袋，所以，蘋果和梨共有=16*（3+5）=4=132只。抽屜原理專題介紹 把4只蘋果放到3個抽屜里去，共有4種放法（請小朋友們自己列舉），不論如何放，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。同樣，把5只蘋果放到4個抽屜里去，必有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。更進一步，我們能夠得出這樣的結(jié)論：把n1只蘋果放到n個抽屜里去，那么必定有一個抽屜里至少放進兩個蘋果。這個結(jié)論，通常被稱為抽屜原理。利用抽屜原理，可以說明（證明）許多有趣的現(xiàn)象或結(jié)論。不過，抽屜原理不是拿來就能用的，關(guān)鍵是要應用所學的數(shù)學

40、知識去尋找“抽屜”，制造“抽屜”，弄清應當把什么看作“抽屜”，把什么看作“蘋果”。經(jīng)典例題【例1】一個小組共有13名同學，其中至少有2名同學同一個月過生日。為什么？【分析】每年里共有12個月，任何一個人的生日，一定在其中的某一個月。如果把這12個月看成12個“抽屜”，把13名同學的生日看成13只“蘋果”，把13只蘋果放進12個抽屜里，一定有一個抽屜里至少放2個蘋果，也就是說，至少有2名同學在同一個月過生日。 【例 2】任意4個自然數(shù)，其中至少有兩個數(shù)的差是3的倍數(shù)。這是為什么？【分析與解】首先我們要弄清這樣一條規(guī)律：如果兩個自然數(shù)除以3的余數(shù)相同，那么這兩個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。而任何一個自然

41、數(shù)被3除的余數(shù)，或者是0，或者是1，或者是2，根據(jù)這三種情況，可以把自然數(shù)分成3類，這3種類型就是我們要制造的3個“抽屜”。我們把4個數(shù)看作“蘋果”，根據(jù)抽屜原理，必定有一個抽屜里至少有2個數(shù)。換句話說，4個自然數(shù)分成3類，至少有兩個是同一類。既然是同一類，那么這兩個數(shù)被3除的余數(shù)就一定相同。所以，任意4個自然數(shù)，至少有2個自然數(shù)的差是3的倍數(shù)。想一想，例2中4改為7，3改為6，結(jié)論成立嗎？【例3】有規(guī)格尺寸相同的5種顏色的襪子各15只混裝在箱內(nèi)，試問不論如何取，從箱中至少取出多少只就能保證有3雙襪子（襪子無左、右之分）？【分析與解】試想一下，從箱中取出6只、9只襪子，能配成3雙襪子嗎？回答是

42、否定的。按5種顏色制作5個抽屜，根據(jù)抽屜原理1，只要取出6只襪子就總有一只抽屜里裝2只，這2只就可配成一雙。拿走這一雙，尚剩4只，如果再補進2只又成6只，再根據(jù)抽屜原理1，又可配成一雙拿走。如果再補進2只，又可取得第3雙。所以，至少要取622=10只襪子，就一定會配成3雙。思考：1.能用抽屜原理2，直接得到結(jié)果嗎？2.把題中的要求改為3雙不同色襪子，至少應取出多少只？3.把題中的要求改為3雙同色襪子，又如何？【例4】一個布袋中有35個同樣大小的木球，其中白、黃、紅三種顏色球各有10個，另外還有3個藍色球、2個綠色球，試問一次至少取出多少個球，才能保證取出的球中至少有4個是同一顏色的球？【分析與

43、解】從最“不利”的取出情況入手。最不利的情況是首先取出的5個球中，有3個是藍色球、2個綠色球。接下來，把白、黃、紅三色看作三個抽屜，由于這三種顏色球相等均超過4個，所以，根據(jù)抽屜原理2，只要取出的球數(shù)多于（4-1）×3=9個，即至少應取出10個球，就可以保證取出的球至少有4個是同一抽屜（同一顏色）里的球。故總共至少應取出105=15個球，才能符合要求。思考：把題中要求改為4個不同色，或者是兩兩同色，情形又如何？當我們遇到“判別具有某種事物的性質(zhì)有沒有，至少有幾個”這樣的問題時，想到它抽屜原理，這是你的一條“決勝”之路。提示抽屜原理還可以反過來理解：假如把n1個蘋果放到n個抽屜里，放2

44、個或2個以上蘋果的抽屜一個也沒有（與“必有一個抽屜放2個或2個以上的蘋果”相反），那么，每個抽屜最多只放1個蘋果，n個抽屜最多有n個蘋果，與“n+1個蘋果”的條件矛盾。運用抽屜原理的關(guān)鍵是“制造抽屜”。通常，可采用把n個“蘋果”進行合理分類的方法來制造抽屜。比如，若干個同學可按出生的月份不同分為12類，自然數(shù)可按被3除所得余數(shù)分為3類等等。一、兩個人的問題標題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體.例1 一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成.現(xiàn)在甲先做了3天，余下的工作由乙繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？答：乙需要做4天可完成全部工作.解二：9與6的最小公倍數(shù)是

45、18.設全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需時間是（18- 2 × 3）÷ 3= 4（天）.解三：甲與乙的工作效率之比是6 9= 2 3.甲做了3天，相當于乙做了2天.乙完成余下工作所需時間是6-2=4（天）.例2 一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？解：共做了6天后，原來，甲做 24天，乙做 24天，現(xiàn)在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.這說明原來甲24天做的工作，可由乙做16天來代替.因此甲的工作效率如果乙獨做，所需時間是如果甲獨做，

46、所需時間是答：甲或乙獨做所需時間分別是75天和50天.例3 某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？解：先對比如下：甲做63天，乙做28天；甲做48天，乙做48天.就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的甲先單獨做42天，比63天少做了63-42=21（天），相當于乙要做因此，乙還要做28+28= 56 （天）.答：乙還需要做 56天.例4 一件工程，甲隊單獨做10天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在兩隊合作，其間甲隊休息了2天，乙隊休息了8天

47、（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？解一：甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天，共完成工作量余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是2+8+ 1= 11（天）.答：從開始到完工共用了11天.解二：設全部工作量為30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲隊單獨做8天，乙隊單獨做2天之后，還需兩隊合作（30- 3 × 8- 1× 2）÷（3+1）= 1（天）.解三：甲隊做1天相當于乙隊做3天.在甲隊單獨做 8天后，還余下（甲隊） 10-8= 2（天）工作量.相當于乙隊要做2×3=6（天）.乙隊單獨做2天后，還余下（乙隊）6-2=4（天）工作

48、量.4=3+1，其中3天可由甲隊1天完成，因此兩隊只需再合作1天.例5 一項工程，甲隊單獨做20天完成，乙隊單獨做30天完成.現(xiàn)在他們兩隊一起做，其間甲隊休息了3天，乙隊休息了若干天.從開始到完成共用了16天.問乙隊休息了多少天？解一：如果16天兩隊都不休息，可以完成的工作量是由于兩隊休息期間未做的工作量是乙隊休息期間未做的工作量是乙隊休息的天數(shù)是答：乙隊休息了5天半.解二：設全部工作量為60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩隊休息期間未做的工作量是（3+2）×16- 60= 20（份）.因此乙休息天數(shù)是（20- 3 × 3）÷ 2= 5.5（天）.解三：甲隊

49、做2天，相當于乙隊做3天.甲隊休息3天，相當于乙隊休息4.5天.如果甲隊16天都不休息，只余下甲隊4天工作量，相當于乙隊6天工作量，乙休息天數(shù)是16-6-4.5=5.5（天）.例6 有甲、乙兩項工作，張單獨完成甲工作要10天，單獨完成乙工作要15天；李單獨完成甲工作要 8天，單獨完成乙工作要20天.如果每項工作都可以由兩人合作，那么這兩項工作都完成最少需要多少天？解：很明顯，李做甲工作的工作效率高，張做乙工作的工作效率高.因此讓李先做甲，張先做乙.設乙的工作量為60份（15與20的最小公倍數(shù)），張每天完成4份，李每天完成3份.8天，李就能完成甲工作.此時張還余下乙工作（60-4×8）

50、份.由張、李合作需要（60-4×8）÷（4+3）=4（天）.8+4=12（天）.答：這兩項工作都完成最少需要12天.例7 一項工程，甲獨做需10天，乙獨做需15天，如果兩人合作，他要8天完成這項工程，兩人合作天數(shù)盡可能少，那么兩人要合作多少天？解：設這項工程的工作量為30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.兩人合作，共完成3× 0.8 + 2 × 0.9= 4.2（份）.因為兩人合作天數(shù)要盡可能少，獨做的應是工作效率較高的甲.因為要在8天內(nèi)完成，所以兩人合作的天數(shù)是（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.很明顯，最后轉(zhuǎn)化成“雞兔同

51、籠”型問題.例8 甲、乙合作一件工作，由于配合得好，甲的工作效率比單獨做時如果這件工作始終由甲一人單獨來做，需要多少小時？解：乙6小時單獨工作完成的工作量是乙每小時完成的工作量是兩人合作6小時，甲完成的工作量是甲單獨做時每小時完成的工作量甲單獨做這件工作需要的時間是答：甲單獨完成這件工作需要33小時.這一節(jié)的多數(shù)例題都進行了“整數(shù)化”的處理.但是，“整數(shù)化”并不能使所有工程問題的計算簡便.例8就是如此.例8也可以整數(shù)化，當求出乙每有一點方便，但好處不大.不必多此一舉.二、多人的工程問題我們說的多人，至少有3個人，當然多人問題要比2人問題復雜一些，但是解題的基本思路還是差不多.例9 一件工作，甲

52、、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.問甲一人獨做需要多少天完成？解：設這件工作的工作量是1.甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成答：甲一人獨做需要90天完成.例9也可以整數(shù)化，設全部工作量為180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.請試一試，計算是否會方便些？例10 一件工作，甲獨做要12天，乙獨做要18天，丙獨做要24天.這件工作由甲先做了若干天，然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作.問總共用了多少天？解：甲

53、做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.說明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12(天），三人一共做了2+6+12=20（天）.答：完成這項工作用了20天.本題整數(shù)化會帶來計算上的方便.12，18，24這三數(shù)有一個易求出的最小公倍數(shù)72.可設全部工作量為72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.總共用了例11 一項工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙兩人合作1天.問這項工程由甲獨做需要多少天？解：丙2天的工作量，相當乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙

54、合作1天，與乙做4天一樣.也就是甲做1天，相當于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.他們共同做13天的工作量，由甲單獨完成，甲需要答：甲獨做需要26天.事實上，當我們算出甲、乙、丙三人工作效率之比是321，就知甲做1天，相當于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙兩人完成的工作量，可轉(zhuǎn)化為甲再做13天來完成.例12 某項工作，甲組3人8天能完成工作，乙組4人7天也能完成工作.問甲組2人和乙組7人合作多少時間能完成這項工作？解一：設這項工作的工作量是1.甲組每人每天能完成乙組每人每天能完成甲組2人和乙組7人每天能完成答：合作3天能完成這項工作.解二：甲組3人8天能完成，因此2人12

55、天能完成；乙組4人7天能完成，因此7人4天能完成.現(xiàn)在已不需顧及人數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為：甲組獨做12天，乙組獨做4天，問合作幾天完成？小學算術(shù)要充分利用給出數(shù)據(jù)的特殊性.解二是比例靈活運用的典型，如果你心算較好，很快就能得出答數(shù).例13 制作一批零件，甲車間要10天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6天就能完成.乙車間與丙車間一起做，需要8天才能完成.現(xiàn)在三個車間一起做，完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件2400個.問丙車間制作了多少個零件？解一：仍設總工作量為1.甲每天比乙多完成因此這批零件的總數(shù)是丙車間制作的零件數(shù)目是答：丙車間制作了4200個零件.解二：10與6最小公倍數(shù)是30.設制作零件全部

56、工作量為30份.甲每天完成 3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知乙、丙工作效率之比是1614=87.已知甲、乙工作效率之比是 32= 128.綜合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是1287.當三個車間一起做時，丙制作的零件個數(shù)是2400÷（12- 8） × 7= 4200（個）.例14 搬運一個倉庫的貨物，甲需要10小時，乙需要12小時，丙需要15小時.有同樣的倉庫A和B，甲在A倉庫、乙在B倉庫同時開始搬運貨物，丙開始幫助甲搬運，中途又轉(zhuǎn)向幫助乙搬運.最后兩個倉庫貨物同時搬完.問丙幫助甲、乙各多少時間？解：設搬運一個倉庫的貨物的工作量是1.現(xiàn)在相當于三人共同完成工作量2，所需時間是答：丙幫助甲搬運3小時，幫助乙搬運5小時.解本題的關(guān)鍵，是先算出三人共同搬運兩個倉庫的時間