二次函數(shù)與x軸的關(guān)系

1、義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書華東師大版一、探究一、探究探究探究1、求二次函數(shù)圖象、求二次函數(shù)圖象y=x2-3x+2與與x軸的交軸的交點(diǎn)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。解：解：A、B在軸上，在軸上， 它們的縱坐標(biāo)為它們的縱坐標(biāo)為0， 令令y=0，則，則x2-3x+2=0 解得：解得：x1=1，x2=2； A（1，0） ， B（2，0）你發(fā)現(xiàn)方程你發(fā)現(xiàn)方程 的解的解x1、x2與與A、B的的坐標(biāo)有什么聯(lián)系？坐標(biāo)有什么聯(lián)系？x2-3x+2=0結(jié)論結(jié)論1：方程：方程x2-3x+2=0的解就是拋物線的解就是拋物線y=x2-3x+2與與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。因此，拋物因此，拋物線與一元二次方程

2、是有密切聯(lián)系的。線與一元二次方程是有密切聯(lián)系的。即：若一元二次方程即：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是的兩個(gè)根是x1、x2， 則拋物線則拋物線y=ax2+bx+c與軸的兩個(gè)交與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是點(diǎn)坐標(biāo)分別是A（ ），）， B（ ）x1，0 x2，0 xOABx1x2y探究探究2、拋物線與、拋物線與X 軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)能不能用一元軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)能不能用一元二次方程的知識(shí)來說明呢？二次方程的知識(shí)來說明呢？b2-4ac0b2-4ac=0b2-4ac0OXY結(jié)論結(jié)論2：拋物線拋物線y=ax2+bx+c拋物線拋物線y=ax2+bx+c與與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可由軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)可由一元二次方程一元二次方

3、程ax2+bx+c=0的根的情況說明：的根的情況說明： 1、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根與與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)。軸有兩個(gè)交點(diǎn)。拋物線拋物線y=ax2+bx+c 2、 b2-4ac =0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根與與x軸有唯一公共點(diǎn)。軸有唯一公共點(diǎn)。拋物線拋物線y=ax2+bx+c 3、 b2-4ac 0 一元二次方程一元二次方程ax2+bx+c=0沒有實(shí)數(shù)根沒有實(shí)數(shù)根與與x軸沒有公共點(diǎn)。軸沒有公共點(diǎn)。 例例1 1、你能否畫出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖象，、你能否畫出適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)圖象， 求

4、方程求方程的解？的解？二、例題推薦二、例題推薦2132xx和2就是原方程的解.和2就是原方程的解.2 23 3標(biāo)標(biāo)B的橫坐B的橫坐他認(rèn)為它們的交點(diǎn)A,他認(rèn)為它們的交點(diǎn)A,3的圖象,3的圖象,x x2 21 1和y和yx xy y而是分別畫出函數(shù)而是分別畫出函數(shù)項(xiàng),項(xiàng),唯獨(dú)小劉沒有將方程移唯獨(dú)小劉沒有將方程移方程的解,方程的解,得出得出觀察它與x軸的交點(diǎn),觀察它與x軸的交點(diǎn),畫出函數(shù)圖象,畫出函數(shù)圖象,0,0,3 3x x2 21 1x x化為化為幾乎所有學(xué)生都將方程幾乎所有學(xué)生都將方程3的解時(shí),3的解時(shí),x x2 21 1求方程x求方程x: :中出現(xiàn)爭論中出現(xiàn)爭論初三某班的學(xué)生在問題初三某班的

5、學(xué)生在問題2 22 22 2例例2、已知二次函數(shù)、已知二次函數(shù)y=x2-kx-2+k.(1)求證求證:不論不論k取何值時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)取何值時(shí)，這個(gè)二次函數(shù)y=x2-kx-2+k與與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)。(2)如果二次函數(shù)如果二次函數(shù)y=x2-kx-2+k與軸兩個(gè)交點(diǎn)為與軸兩個(gè)交點(diǎn)為A、B，設(shè)此拋物線與，設(shè)此拋物線與y軸的交點(diǎn)為軸的交點(diǎn)為C，當(dāng)，當(dāng)k為為6時(shí)時(shí),求求SABC .例例3、已知拋物線、已知拋物線y=x2+2x+m+1。（1）若拋物線與）若拋物線與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，軸只有一個(gè)交點(diǎn)， 求求m的值。的值。（2）若拋物線與直線）若拋物線與直線y=x+2m只有一個(gè)交點(diǎn)，只

6、有一個(gè)交點(diǎn)，求求m的值。的值。三、基礎(chǔ)訓(xùn)練三、基礎(chǔ)訓(xùn)練1、已知拋物線、已知拋物線y=x2-6x+a的頂點(diǎn)在的頂點(diǎn)在x軸上，則軸上，則a= ；若拋物線與；若拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是的范圍是 ；若拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)；若拋物線與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)，則a的范圍是的范圍是 ；3、已知拋物線、已知拋物線y=x2+px+q與與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為軸的兩個(gè)交點(diǎn)為（-2，0），（），（3，0），則），則p= ，q= 。2、已知拋物線、已知拋物線y=x2-3x+a+1與與x軸最多只有一軸最多只有一個(gè)交點(diǎn)，則個(gè)交點(diǎn)，則a的范圍是的范圍是 。4、判斷下列各拋物線是否與、判斷下列各拋

7、物線是否與x軸相交，如果軸相交，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)。（1）y=6x2-2x+1 （2）y=-15x2+14x+8（3）y=x2-4x+45、拋物線、拋物線y=ax2+bx+c（a0）的圖象）的圖象 全部在軸下方的條件是（全部在軸下方的條件是（ ）（A）a0 b2-4ac0（B）a0 b2-4ac0（C）a0 b2-4ac0（D）a0 b2-4ac0D6、已知是、已知是x1、x2方程方程x2-（k-3）x+k+4=0的兩的兩個(gè)實(shí)根，個(gè)實(shí)根，A、B為拋物線為拋物線y= x2-（k-3）x+k+4與與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，軸的兩個(gè)交點(diǎn)，P是是y軸上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，設(shè)軸上異于原點(diǎn)的點(diǎn)，設(shè)PAB=，PBA=，問，問、能否相等？并說能否相等？并說明理由明理由.AOBPXY7、已知拋物線、已知拋物線y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）.求證求證:不任不任m為何實(shí)數(shù)為何實(shí)數(shù),拋物線與拋物線與x軸都有兩個(gè)不軸都有兩個(gè)不同的交點(diǎn)同的交點(diǎn),四、小結(jié)四、小結(jié)1、若一元二次方程、若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)根是的兩個(gè)根是x1、x2， 則拋物線則拋物線y=ax2+bx+c與與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別是標(biāo)分別是A（x1，0 ），）， B（ x2