理論力學(xué)二PPT課件

1、理論力學(xué)（二）哈密頓力學(xué)2011.10拉格朗日方程的降階 拉格朗日函數(shù)是以廣義坐標(biāo)和廣義速度描述系統(tǒng)的。通過拉格朗日方程，可以得到二階微分方程組。這與牛頓力學(xué)通過力的各個分量的分析，得到運動的加速度滿足的方程具有類似的形式。 可以用廣義速度為中間變量vi，把二階微分方程變?yōu)橐浑A微分方程，代價是變量個數(shù)加倍。( , , ),()iiiidL q v tLqvdtvq廣義動量作為中間變量 這2s個方程中，計算 qi 的時間微商太簡單，而計算 vi 的時間微商太復(fù)雜。中間變量取 vi 并不合適。從拉格朗日方程看，直接可以計算廣義動量 pi ，因而把它取為中間變量是合適的。 但是，拉格朗日函數(shù)中，自變

2、量含有廣義速度，而不含有廣義動量。需要反解出廣義速度用廣義動量來表達(dá)。 哈密頓力學(xué)的理論研究了如何取自變量和系統(tǒng)函數(shù)來描述力學(xué)體系，使所得方程更加簡單易解：,( , , ),iiiiiiLLpqq q p tpqq勒讓德變換 系統(tǒng)函數(shù)以誰為自變量，則它的全微分就寫成這些變量的微分之線性組合，系數(shù)就是該自變量的共軛變量，也即系統(tǒng)函數(shù)對該自變量的偏微分。 勒讓德變換可以將系統(tǒng)函數(shù)的某個自變量（如下例的x）換為它的共軛變量（u），同時，系統(tǒng)函數(shù)也有相應(yīng)變化。例如：( ,)()( ,)()ffdf x ydxdyudxvdyd uxxduvdyxydg u yd uxfxduvdy拉格朗日函數(shù)變換為哈

3、密頓函數(shù) 拉格朗日函數(shù)為系統(tǒng)函數(shù)時，廣義速度和廣義動量是共軛坐標(biāo)。 如果想以 pi 為自變量，則進(jìn)行勒讓德變換：1( , , )()siiiiiLLdL q q tp dqdqdtqt111( , , )()( , , )siiiiiiissiiiiiiiiLLdL q q tdqd p qq dpdtqtLLdHp qL q q tdqq dpdtqt哈密頓函數(shù) 定義哈密頓函數(shù)H(p,q,t)，數(shù)值上等于廣義能量積分，但必須以廣義動量為自變量。 則對應(yīng)有：111(, , )(, , )( ,(, , ), )siiisiiiiisiiiiiHp q tp qp q tL q q p q tt

4、LLdHdqq dpdtqtHHHdqdpdtqpt,iiiiiHLHLHqppqqtt 哈密頓正則方程 得到哈密頓正則方程（共2s個）： 方程給出了2s個變量隨時間的變化率，可一步步積分求出以后各個時刻的值。其中前s個給出廣義速度和廣義動量之間的關(guān)系，后s個等價于原來的s個拉格朗日方程。 p 和 q 稱為正則共軛變量，正則方程具有對稱形式。,iiiiHHqppq 哈密頓正則方程中的循環(huán)坐標(biāo) 從對應(yīng)關(guān)系 得知，如果拉格朗日函數(shù)不顯含某個廣義坐標(biāo)，即存在某循環(huán)坐標(biāo)，則哈密頓函數(shù)也不顯含它，對應(yīng)的廣義動量守恒，因而可以將系統(tǒng)的自由度減少一維（可遺坐標(biāo)） 2s個正則變量只要其中一個在哈密頓函數(shù)中不顯

5、含，它對應(yīng)的正則共軛變量就是常數(shù)，系統(tǒng)的自由度就可以減少一維（可遺）。 如果拉格朗日函數(shù)不顯含時間，則哈密頓函數(shù)也不顯含時間，廣義能量積分或哈密頓量守恒。,iiiLHLHpqqtt dHLHdttt 哈密頓正則方程與拉格朗日方程比較 拉格朗日函數(shù)及方程可以直接得到。而哈密頓函數(shù)需要通過廣義動量代替廣義速度之后，從拉格朗日函數(shù)經(jīng)過變換得到。 拉格朗日方程是二階的微分方程，而哈密頓方程是一階的。但哈密頓方程的變量個數(shù)增大了一倍。 對于循環(huán)坐標(biāo)，哈密頓正則方程處理起來方便很多，無論哈密頓函數(shù)缺少任意一個q，p，t，都可以找到它相應(yīng)的守恒量。 拉格朗日方程和哈密頓方程本質(zhì)上是等價的。勞斯函數(shù) 經(jīng)過對比

6、得知，哈密頓正則方程擅長對循環(huán)坐標(biāo)處理，而拉格朗日方程對普通坐標(biāo)處理較為簡便。若只對循環(huán)坐標(biāo)采用勒讓德變換，使其處理用哈密頓正則方程，而對其余則不做變換，所得的為勞斯函數(shù)。設(shè)q1qm是循環(huán)坐標(biāo)，其余不是，則勞斯函數(shù)為1111(,.,;,.,.,; )msmmsiiiR qqppqq tp qL勞斯方程 同時， 對應(yīng)可得1111111()()()()()()()miiimsiiiiiiiiiimsiiiiiiimiiimsiiiiiimiiiidRdp qLLLLq dpp dqdqdqdtqqtLLLLq dpdqdqdqdtqqqtRRRRRdpdqdqdqdtpqqqt,(1,.,);,(

7、1,., ),(1,.,);0 (1,., )iiiiiiiiiiiiiiRLRRLRLqimimspqpqqqqRRdRRqpimimsppdtqq 哈密頓函數(shù)及正則方程舉例 彈簧諧振子問題。 相對論帶電粒子。2222222211,22111111222222,0LLTVmqkqpmqqHpqLpqmqkqmqkqpkqmHpHqpkqmqkqpmq 222222222(11/),()LLmcvcqqmqHLm cmcqcqm cmcqA vpvAvp vpA哈密頓正則方程舉例 平方反比有心力場中的運動 不能因為pq是恒量而直接替去L中的 ，而是應(yīng)該用勞斯函數(shù)，其中pq才能當(dāng)常數(shù)處理。222

8、222222223222321(),21()222,0,0rrrrrrkLLLm rrpmr pmrrrppkkHp rpLm rrrmmrrpppHHkHrppmrmrrpmrpHkppconstmrmrrqqqqqqqqqqqqqqqq q作業(yè)：3.1, 3.2, 3.3第15次課哈密頓正則方程解題步驟 用哈密頓正則方程解題的步驟大致有 確定系統(tǒng)的自由度，選取廣義坐標(biāo)。 寫出系統(tǒng)的拉格朗日函數(shù)。 計算廣義動量，并用廣義動量來表示廣義速度。 通過勒讓德變換計算哈密頓函數(shù)H。得到的H表達(dá)式中的廣義速度用廣義動量替換。 列出哈密頓正則方程。 求解方程，得到廣義坐標(biāo)隨時間的變化關(guān)系。并結(jié)合初始條件

9、確定積分常數(shù)。哈密頓正則方程舉例 相對論粒子在電磁場中運動（習(xí)題3.5）22222222222222222221/,1/()1/,()()()()()1/LmLmccqqqcmcHLqcqm cqcHqHcqm ccqqqqqm cqqqdmqqqdttc vvA vpAvvp vpAvpAxvppxpApAApAApAvBvAvAvBv()qEvB由哈密頓原理推導(dǎo)哈密頓正則方程 由哈密頓原理出發(fā)，將p，q都看成是獨立變量，變分之后能得到哈密頓正則方程。1111()()()()()0sBBiiAAisBiiiiiiAiiisBBiiiiiiiiAAiiisBiiiiAiiiSLdtp dqHd

10、tHHp dqp dqq dtp dtqpHHp qpqqp dtpqqpHHpqqp dtqp 正則變換 通過對拉格朗日函數(shù)做勒讓德變換，以廣義動量為自變量替換了廣義速度，得到哈密頓正則方程。進(jìn)一步，考慮用一組新的自變量 Qi(q,p,t)，Pi(q,p,t) 和新的系統(tǒng)函數(shù) K(Q,P,t) 和方程來描述力學(xué)體系的演化，有可能使得方程求解更加簡便。 如果新的變量和函數(shù)之間仍然滿足正則方程，則從q，p，H到Q，P，K的變換為正則變換。( , )( , ),iiiiK Q P tK Q P tQPPQ 正則變換的等價條件 如果到Q，P，K的變換為正則變換，則有 反之，將Q，P視為獨立變量，也可

11、以得到正則方程，因而是正則變換。 進(jìn)一步，如果有（其中 f 是任意函數(shù)），則顯然也能滿足積分的變分為0的條件，也即能判斷是正則變換。這是因為真實運動過程的作用量最小，無論用新舊變量描述，只相差一個全微分。11()()()0ssBBiiiiiiAAiiiiKKPdQKdtPQQP dtQP 11ssiiiiiiPdQKdtp dqHdtdf正則變換的生成函數(shù) 雖然 f 任意，按照其全微分應(yīng)該寫為各個變量微分的線性組合的原則，這里 f 稱為生成函數(shù)，它的自變量應(yīng)該是 f1 = f(q,Q,t)。因此 對應(yīng)各項系數(shù)，有111,iiiifffpPKHqQt 1111111( , )()()ssiiii

12、iisiiiiidfq Q tp dqPdQKH dtfffdqdQdtqQt正則變換的第2種類型 還可以通過勒讓德變換，用 p 或 P 作為 f 的自變量，能得到其他3種類型的正則變換。 對應(yīng)各項系數(shù)有222,iiiifffpQKHqPt211112221( , )( , )()()siiissiiiiiisiiiiidfq P td fq Q tPQp dqQ dPKH dtfffdqdPdtqPt正則變換的3、4種類型 第3種類型的正則變換的生成函數(shù)和系數(shù)對應(yīng)關(guān)系為： 第4種類型的關(guān)系為：311333( , )( , ),siiiiiiifp Q tf q Q tq pfffqPKHpQ

13、t 4111444( , )( , ),ssiiiiiiiiiifp P tfq Q tq pPQfffqQKHpPt 幾個簡單的正則變換 廣義坐標(biāo)和廣義動量互換，生成函數(shù)為 相空間平移1111,siiiiiiiiifffq QpQPqqQ 2122()(),siiiiiiiiiiiiifqcPdffpPdQqcqP作業(yè)：3.4, 3.6, 3.7, 3.11第16次課正則變換實例 給定P，Q表達(dá)式，求證為正則變換的問題， 通過化 為全微分即可（若沒給 K 則取 K=H）。 例：證明 Q = ln(sin(p)/q)，P = q cot(p) 為正則變換。11()ssiiiiiip dqPdQ

14、KH dt2cotln(sin( )/ )cot(cot/ )(cot)cot (cot)pdqPdQpdqqp dpqpdqqppdpdq qpp dqqpdpd q pp正則變換實例 證明給定P=P(p,q)，Q=Q(p,q)是正則變換的充分必要條件為雅克比行列式 證：( ,)1( , )P QJp q()()()1QQpdqPdQpPdqPdpqpQQpPPpqqpPQPQpqqp正則變換實例 給出變換求生成函數(shù)。 已知有一變換Q=qncos(mp)，P=qnsin(mp)，其中m,n是常數(shù)。求該變換為正則變換時m,n的值。(2)正則變換時的第3類生成函數(shù)。 證：( ,)11,210,1

15、,2( , )2P Qnmnnmp q 3222sin(2)tan(2)(tan(2)cos (2)2dfqdpPdQqdpqp dQQQdpQp dQdpp 正則變換實例 給出生成函數(shù)求變換并求解。 對于諧振子哈密頓函數(shù) 進(jìn)行正則變換 ，求解系統(tǒng)的運動。 解：222122pHmqm211222222,cot2sin11cot222,0,sinffmqPpmqQQQqKHmqQmqPPQPQtqQm 211cot2fm qQ正則變換實例 給出生成函數(shù)求變換并求解。 已知生成函數(shù) 給出相應(yīng)的正則變換，并求解拋體的運動問題。 解：211222222122,()21211()2221(),()2ff

16、gpm gQPm gQqqQPqgQm gpPKm gqm g Qm ggQPmm gCpm gtCqgtCm g 211()6fmggQqQ泊松括號 泊松括號定義為 對于只含單個p,q的情況是雅克比行列式。 利用正則方程，任意函數(shù)的全微分可表示為： 用以判斷該物理量是否守恒。1 ,()siiiiifggff gqpqp, , ,dfff Hqq Hpp Hdtt第17次課作業(yè)：3.13, 3.14, 3.15, 3.18泊松括號基本性質(zhì) 反對稱性 是否配對 正則變換時 微分 分配律 結(jié)合律 泊松恒等式 正則不變性, , , ,0 , ,0,0, , , , , , , , , , , , ,

17、 , , , 0 , , iji jijijiji jp qP Qf gg ff fq pq qp pQ Pfgf ggfxxxf uvf uf vf uvf u vu f vfu vu v fvf uf gf g 泊松定理 如果f(q,p,t)和g(q,p,t)是守恒量，則由他們組成的泊松括號也是守恒量。利用全微分算符和偏微分算符可交換的性質(zhì)，有 即可得證。由泊松定理，可以從兩個已知的守恒量推導(dǎo)出更多的守恒量，但大多得到的是常數(shù)或原來運動積分的線性組合。 , , ,0ddfdgf ggfdtdtdt泊松括號的正則不變性 進(jìn)行了正則變換之后，用新的P，Q作為泊松括號表達(dá)式中作偏導(dǎo)數(shù)的自變量，其

18、泊松括號不變，即柏松括號的正則不變性。 對于自由度為1的情況，有 即可得證。多維的情況證明從略。,( , )( , )( ( , , ),( , , ) , ( , )( ,)( , )( , ) , ( ,)q pQ Pf gf gQ q p tP q p tf gq pQ Pq pf gf gQ P泊松括號例題 Jx，Jy，Jz和J分別是相對原點的角動量的三個分量和總角動量。求Jx，Jy，Jx，J，說明Jx，Jy不能同時成為廣義動量，若他們兩個都是運動積分，則Jz也是運動積分。證：兩個廣義動量的泊松括號必為0而Jx，Jy0。222, 00 , ,2,2,220, 0 xyzyxzxzyzz

19、xxyxzyxyzxzyzzyxJJypzpzpxpyppzxpz pJJJJJJJJJJJJJJ JJ JJJ泊松括號例題 哈密頓函數(shù)H=p1p2+q1q2，證明p12+q22和p22+q12是守恒量，并導(dǎo)出其他守恒量。證： 若前兩個量守恒則此量也守恒。22221212121 21 2111 2221 21 2, ,0 2 , 2 , 220pq Hpq p pqqpq p qpq q ppqpq 22222121121 22 12212112 112, ,0 2, 2 , 220pq Hpq p pqqp q p qq p q pp qq p 22222222122111221 122,

20、, ,22pq pqp qq ppqq p哈密頓-雅可比方程的由來 取適當(dāng)?shù)纳珊瘮?shù)，正則變換之后，有可能使得系統(tǒng)函數(shù)特別簡單，從而方程的求解也很簡單。最簡單的情況是，系統(tǒng)函數(shù)變?yōu)?。這時，由P，Q滿足的正則方程可得： 因此，P，Q均為常數(shù)。同時，若是第2類生成函數(shù)，則有0,0iiiiKKPQQP 2220,iiiifffKHQptPq哈密頓-雅可比方程 這樣，牛頓力學(xué)中求解方程的問題，轉(zhuǎn)化為如何尋找適合的生成函數(shù)的問題。設(shè)生成函數(shù)（主函數(shù)）是S，則有這就是哈密頓-雅可比方程。通過求解此方程，可以得到包含s+1個積分常數(shù)（記為P0，P1，.，PS）的生成函數(shù)S。11( ,.,;,.,; )0s

21、sSSSH qqtqqt110(,.,;,., )ssSS qq PP tP哈密頓主函數(shù)中的積分常數(shù) 這s+1個積分常數(shù)，正是哈密頓-雅可比方程中s+1個自變量的偏微分經(jīng)過積分得到的。其中，P0不起任何作用，也沒有物理意義，可以舍去或取為0。其余s個，取作生成函數(shù)中的P，即正則變換的新廣義動量。 由正則變換，可以得到s個運動積分Q：11(,.,;,., ),1,2,.,ssiiS qq PP tQisP哈密頓主函數(shù)的物理意義 哈密頓主函數(shù)S其實正是作用量函數(shù)，這可以從下式中看出： 哈密頓主函數(shù)S也被稱為哈密頓作用量函數(shù)。 哈密頓函數(shù)如果不顯含時間 t，則它為守恒量，從而主函數(shù)可以積分得到如：

22、其中 W 不含時間，稱為哈密頓特征函數(shù)。11ssiiiiiidSSSqp qHLdtqt110(,)ssSHESWqPEtPt 哈密頓-雅可比方程的解法 求解偏微分的哈密頓-雅可比方程，一般常用分離變量法。如前面對哈密頓函數(shù)不含時間 t 的處理，即是分離變量 t 。 一般來說，如果哈密頓函數(shù)中只含有某個坐標(biāo) qk 和 pk 的組合 g(qk,pk)，則在哈密頓-雅可比方程中，可以令而在哈密頓-雅可比出現(xiàn)這個組合的地方用這個常數(shù)代替，使方程中減少了這個變量。(,)constantkkSg qq哈密頓-雅可比方程實例 用哈密頓-雅可比方程求解一維簡諧振蕩。 解：22222121,22( ),()2

23、2sin()222sin()pSHkqEmtWSW qEtmkqmEqSWEtmEmkq dqEtSmmktdqtqEEkqkEEkqtkm 第18次課作業(yè)：3.20, 3.21, 3.22, 3.24?哈密頓-雅可比方程實例 用哈密頓-雅可比方程求解開普勒問題。 解：222222222221(),21( , ),()()2(),( ),()2(),2()rrrpaSHpEmrrtWWaSW rEtmErrrWWJaJWJWrmErrraJSJdrEtmErrqqqqqq 1122222,cos2JmaSmSJrJtdrdrEJrm amEJqq 哈密頓-雅可比方程分離變量實例 用哈密頓-雅可

24、比方程求解哈密頓函數(shù)為的問題。 解： 其中，Di是積分常數(shù)，加在Wi中無實際意義。1111,().()(,)(,)0(,)(,),0(,)sssiiiiiiiiisiiiiiiiiiiiiiiiiHEWWqWqWWfqE gqqqWWfqE gqCCqqWWqE CD111111(,).(,)(,).(,)ssssssf qpf qpHg qpg qp分析力學(xué)的應(yīng)用連續(xù)體系 連續(xù)體系：由無限多個相互關(guān)聯(lián)的介質(zhì)或場構(gòu)成的、空間上連續(xù)變化的力學(xué)體系。如彈性固體，流體，甚至電磁場，都可以當(dāng)作連續(xù)體系處理。 以一維彈性體為例，將連續(xù)體系看作是各個離散的質(zhì)點，單位體積的拉格朗日函數(shù)為：2210011()

25、 ,lim,lim(),22iiiiaamqLqEEka axxxa22111()22iiiiiiiiLLdxTVm qk qq連續(xù)體系的拉格朗日函數(shù) 連續(xù)體系的特點是具有以時間和空間為自變量的場量。 在彈性力學(xué)中，E是楊氏模量，代表物體的彈性。是物體的線密度。偏離平衡位置的位移量作為連續(xù)體系的場量。 全空間的拉格朗日函數(shù)為： 其中，廣義速度在保留一階小量時可以寫為q對時間的偏微分。2211() 22VVqLL dxqEdxx連續(xù)體系的拉格朗日方程 連續(xù)體系的特點是具有以時間和空間為自變量的場量。拉格朗日密度函數(shù)一般含有場量對時間的偏微分和對空間的偏微分。從而可以運用哈密頓最小作用量原理求出場

26、量所遵循的拉格朗日方程。( , )BBAAVBAVqqLdtL qt dxdttxLLLqqq dxdtqqqtxtx 連續(xù)體系的拉格朗日方程 通過對時間和空間分部積分得到：2100BBBxAxAAVBAVLLLdtqdxqdtqqtxLLLqdxdtqqqtxtxLLLqqqtxtx 一維彈性體的拉格朗日方程 對于一維彈性體，可得： 這是一個以速度 vs 傳播震動的波動方程。其解為正向和反向傳播的行波：222222211()220,ssqLqExqqEvvtx( , )()()ssq x tfxv tg xv t電磁場的拉格朗日函數(shù) 對于作用量中電磁場本身貢獻(xiàn)的部分，必須是與坐標(biāo)選取無關(guān)的標(biāo)

27、量（注意到dVdt是4維時空的“體積”，是與坐標(biāo)選取無關(guān)的量）：2220,00111()(),222(,),(,)fjiijjijijiiixyzBLEFAAFxxxxyz ictAAAAic第19次課電磁場的拉格朗日方程 而帶電粒子與場的相互作用部分為： 從而： 應(yīng)用哈密頓原理得拉格朗日方程：2,011()(),22fqjikkijkjiLLLAAAjxx1()(,)qiiiixyzLqqA jVjjjjic AvAj0()lkklklllllkFAAjxxxx 電磁場的麥克斯韋方程 從而：00000202()()()()()()()1()1yxzyxxxzxyxzAAAiiiicx c x

28、ic ty c yic tz c zic ttAAAAAijyyxzzxic t ic tc xBABjyzcttxc AEBjt E電磁場的麥克斯韋方程 也可以直接從電磁場計算：22001()2BLE A j000002000000,0,1()()(),0yzxxxxxxxyxzxxxxxyzBBLLLLLjEAAAAAxyztBEBjEjyztctLLLLLEEExyzt BE電磁場的麥克斯韋方程 加上本身具有的性質(zhì)： 構(gòu)成了麥克斯韋方程組。并且，4維空間的方程具有簡潔的形式，在相對論的洛侖茲變換下方程的形式不變。愛因斯坦的相對論論文題目就是“論運動物體的電動力學(xué)”。在電動力學(xué)中，光在不同

29、坐標(biāo)系中的速度不變是一個基本的事實。真空中電磁波滿足波動方程與坐標(biāo)系無關(guān)：()0()ttt BAAABE222210ctBB量子力學(xué)的建立 經(jīng)典物理學(xué)在描述微觀世界時，遇到了很大的困難。在新的觀念和假設(shè)下，量子力學(xué)得以建立，能成功地描述很多微觀物理現(xiàn)象。量子力學(xué)是研究微觀粒子的運動規(guī)律的物理學(xué)分支學(xué)科，它主要研究原子、分子、凝聚態(tài)物質(zhì)，以及原子核和基本粒子的結(jié)構(gòu)、性質(zhì)的基礎(chǔ)理論，它與相對論一起構(gòu)成了現(xiàn)代物理學(xué)的理論基礎(chǔ)。量子力學(xué)不僅是近代物理學(xué)的基礎(chǔ)理論之一，而且在化學(xué)、半導(dǎo)體器件、激光等有關(guān)學(xué)科和許多近代技術(shù)中也得到了廣泛的應(yīng)用。舊量子論 量子力學(xué)在舊量子論的基礎(chǔ)上發(fā)展起來，舊量子論包括：

30、普朗克的量子假說 愛因斯坦的光量子理論 玻爾的原子理論 1900年，普朗克提出輻射量子假說，假定電磁場和物質(zhì)交換能量是以間斷的形式(能量子)實現(xiàn)的，能量子的大小同輻射頻率成正比，比例常數(shù)稱為普朗克常數(shù)，從而得出黑體輻射能量分布公式，成功地解釋了黑體輻射現(xiàn)象。愛因斯坦的光量子理論 1905年，愛因斯坦引進(jìn)光量子(光子)的概念，并給出了光子的能量、動量與輻射的頻率和波長的關(guān)系，成功地解釋了光電效應(yīng)。其后，他又提出固體的振動能量也是量子化的，從而解釋了低溫下固體比熱問題。 愛因斯坦獲得諾貝爾獎是因為他的光電效應(yīng)理論，而不是因為他的狹義相對論和廣義相對論的工作。玻爾的原子理論 1913年，玻爾在盧瑟福

31、有核原子模型的基礎(chǔ)上建立起原子的量子理論。按照這個理論，原子中的電子只能在分立的軌道上運動，原子具有確定的能量，它所處的這種狀態(tài)叫“定態(tài)”，而且原子只有從一個定態(tài)到另一個定態(tài)，才能吸收或輻射能量。這個理論雖然有許多成功之處，但對于進(jìn)一步解釋實驗現(xiàn)象還有許多困難。 第20次課量子力學(xué)與經(jīng)典理論 從經(jīng)典力學(xué)過渡到量子力學(xué)的過程中，需要對舊量子論涉及的物理現(xiàn)象有理論解釋。量子理論在宏觀世界中應(yīng)該與經(jīng)典力學(xué)的描述一致。有關(guān)的工作有： 德布羅意的波粒二象性的假說 薛定諤方程 海森伯的測不準(zhǔn)關(guān)系 狹義相對論量子理論德布羅意的波粒二象性的假說 在人們認(rèn)識到光具有波動和微粒的二象性之后，為了解釋一些經(jīng)典理論無

32、法解釋的現(xiàn)象，法國物理學(xué)家德布羅意于1923年提出微觀粒子具有波粒二象性的假說。德布羅意認(rèn)為：正如光具有波粒二象性一樣，實體的微粒(如電子、原子等)也具有這種性質(zhì)，即既具有粒子性也具有波動性。這一假說不久就為實驗所證實。 由于微觀粒子具有波粒二象性，微觀粒子所遵循的運動規(guī)律就不同于宏觀物體的運動規(guī)律，描述微觀粒子運動規(guī)律的量子力學(xué)也就不同于描述宏觀物體運動規(guī)律的經(jīng)典力學(xué)。當(dāng)粒子的大小由微觀過渡到宏觀時，它所遵循的規(guī)律也由量子力學(xué)過渡到經(jīng)典力學(xué)。薛定諤方程 量子力學(xué)與經(jīng)典力學(xué)的差別首先表現(xiàn)在對粒子的狀態(tài)和力學(xué)量的描述及其變化規(guī)律上。在量子力學(xué)中，粒子的狀態(tài)用波函數(shù)描述，它是坐標(biāo)和時間的復(fù)函數(shù)。為

33、了描寫微觀粒子狀態(tài)隨時間變化的規(guī)律，就需要找出波函數(shù)所滿足的運動方程。這個方程是薛定諤在1926年首先找到的，被稱為薛定諤方程。 這個方程，可以看作源自經(jīng)典力學(xué)的哈密頓-雅可比方程，經(jīng)過一些轉(zhuǎn)換獲得。海森伯的測不準(zhǔn)關(guān)系 當(dāng)微觀粒子處于某一狀態(tài)時，它的力學(xué)量(如坐標(biāo)、動量、角動量、能量等)一般不具有確定的數(shù)值，而具有一系列可能值，每個可能值以一定的幾率出現(xiàn)。當(dāng)粒子所處的狀態(tài)確定時，力學(xué)量具有某一可能值的幾率也就完全確定。這就是1927年，海森伯得出的測不準(zhǔn)關(guān)系，同時玻爾提出了并協(xié)原理，對量子力學(xué)給出了進(jìn)一步的闡釋。 相對論量子力學(xué) 量子力學(xué)和狹義相對論的結(jié)合產(chǎn)生了相對論量子力學(xué)。經(jīng)狄拉克、海森伯

34、和泡利等人的工作發(fā)展了量子電動力學(xué)。20世紀(jì)30年代以后形成了描述各種粒子場的量子化理論量子場論，它構(gòu)成了描述基本粒子現(xiàn)象的理論基礎(chǔ)。新量子論 1925年，海森堡基于物理理論只處理可觀察量的認(rèn)識，拋棄了不可觀察的軌道概念，并從可觀察的輻射頻率及其強度出發(fā)，和玻恩、約爾丹一起建立起矩陣力學(xué)；1926年，薛定諤基于量子性是微觀體系波動性的反映這一認(rèn)識，找到了微觀體系的運動方程，從而建立起波動力學(xué)，其后不久還證明了波動力學(xué)和矩陣力學(xué)的數(shù)學(xué)等價性；狄拉克和約爾丹各自獨立地發(fā)展了一種普遍的變換理論，給出量子力學(xué)簡潔、完善的數(shù)學(xué)表達(dá)形式量子力學(xué)的理論形式 量子力學(xué)的三種形式： 海森伯，矩陣描述。 狄拉克，

35、費米，路徑積分形式。 薛定諤，波動方程。 通過不同的假設(shè)和理論線路創(chuàng)建并完善量子力學(xué)理論，得到的結(jié)果在數(shù)學(xué)上是等價的。相當(dāng)于經(jīng)典力學(xué)中，正則變換將一種理論形式轉(zhuǎn)變?yōu)榱硗庖环N理論形式。薛定諤對作用量函數(shù)的代換 薛定諤的波動量子力學(xué)從哈密頓-雅可比方程入手，對經(jīng)典的作用量函數(shù)（特征函數(shù)）作變量代換： 這個代換，從數(shù)學(xué)上講沒有任何問題，但這里很自然地引入了普朗克常數(shù)作為作用量函數(shù)的單位，而這個常數(shù)與玻爾的氫原子理論中的量子化常數(shù)是相同的。lnW 對氫原子模型的處理 對于氫原子模型，實際上就是經(jīng)典力學(xué)中的開普勒問題，用經(jīng)典力學(xué)的結(jié)果解釋不了實際的氫原子。以氫原子為例，可以讓我們了解如何從經(jīng)典力學(xué)過渡到

36、量子力學(xué)的。哈密頓-雅可比方程變?yōu)椋?2222202()()()()04meExyzr薛定諤對方程的假設(shè) 事實上，薛定諤并不是直接求解此方程，而是認(rèn)為該方程左端的空間積分的變分為0： 利用對于連續(xù)體系積分的變分處理，可得到：22222202()()()()04VmeEdVxyzr222222220()24eEmxyzr量子力學(xué)的物理量和算符 方程可改寫為： 與經(jīng)典力學(xué)相比，哈密頓量成為算符，動量也成為算符： 從經(jīng)典力學(xué)的哈密頓-雅可比方程過渡到薛定諤方程，所產(chǎn)生的變化是：物理量成為算符，算符的次序不可交換性導(dǎo)致泊松括號的結(jié)果不為0，每個物理量都對波函數(shù)作用。22,2HEHVm i p氫原子的能

37、量量子化 從氫原子方程求出的本征值E為： 這個結(jié)果與玻爾的氫原子模型所得的完全相同。這說明當(dāng)初預(yù)先假設(shè)氫原子的能量是量子化的是不必要的，而只是因為本征值是量子化的結(jié)果。如果對于另外一些方程的本征值可以取連續(xù)的值，則能量也是連續(xù)的。422220,1,2,.32meEnn 一維諧振子的解 薛定諤方程示例：一維諧振子問題若有解22222221222201202111()222()0,( )( ),2(1)0,(.), (0)(2)(1)(221)0,0,21,(1/2),1,2,3,.snnndimxEmdxd umEuxdd HdHuHeHddHaaaasnsnasnasanEnn 第21次課劉維

38、爾定理 相空間。由多個粒子構(gòu)成的體系中，以廣義坐標(biāo)和廣義動量為自變量構(gòu)成的空間。又稱為G空間，自變量(q1,.,q3n;p1,.,p3n)。 代表點。系統(tǒng)處于某個初始坐標(biāo)和動量，可用在相空間中一個代表點來表示。 統(tǒng)計系綜。對于相空間中的一群代表點作統(tǒng)計平均。 劉維爾定理：相空間的代表點的統(tǒng)計系綜的分布密度在運動過程中保持不變。相空間的連續(xù)性方程 考慮在相空間G的一個小的方體積元V內(nèi)，單位時間內(nèi)流出這個側(cè)面和進(jìn)入體積的一個側(cè)面相對的另一個側(cè)面的粒子個數(shù)之差為： 這些凈流出的粒子使小體積元內(nèi)密度減小，即得相空間的連續(xù)性方程1()()()0siiiiiqptqp()()()()iiiiiiiiiii

39、iiqaqqaiiqqqSqSSqVqq 劉維爾定理的證明 由于相空間的內(nèi)粒子滿足正則方程，則： 即在相空間的代表點的密度在運動過程中不改變。12211()()()0siiiiiiiiisiiiiiiiiisiiiiiqpqptqqppHHqptqq ppq pdqptqpdt 劉維爾定理的應(yīng)用 由于物理量 的變化可以表示為： 在系統(tǒng)達(dá)到了平衡時，各處的密度將不再隨時間變化，即 因此有 由此可推導(dǎo)各種平衡態(tài)的分布函數(shù)（即相空間的密度 ），特別是當(dāng)分布函數(shù)是以H為自變量的函數(shù)時，顯然滿足條件 , H = 0，可作為平衡時的分布函數(shù)。 ,0dHdtt0t ,0H劉維爾定理的應(yīng)用 例如，平衡狀態(tài)的氣

40、體的速度分布為： 描述等離子體狀態(tài)的動力論方程，即為劉維爾定理的又一個應(yīng)用 其中，f 是分布函數(shù)，也即相空間的粒子密度，F(xiàn) 是粒子受力，m是粒子質(zhì)量，二者相除得到加速度，是速度變量（代替廣義動量）的時間全導(dǎo)數(shù)。23322200()()22mvHTTmmfneneTT0dffffdttm Fvv位力定理 如果一個系統(tǒng)，其中所有粒子所處的區(qū)域和其動量都是有限的，可定義有限量： 它隨著時間的變化為： 其中，右式的第二項稱為系統(tǒng)的位力。對此式做長時間的平均，得：iiiSr p()2iiiiiiiidSTdtr pr pr F021( )(0)limlim0iiidSTdtdSSSdtdtrF位力定理

41、這樣可以求出動能的平均值： 當(dāng)力為保守力時， 特別地，當(dāng)保守力是距離的n次方時，有： 對于平方反比力 n= -2，有 這是對于橢圓軌道成立。對于雙曲線和拋物線，由于位置不是有限的，結(jié)果不成立。 對于諧振子 n=1，有12iiiT rF12iiiTVr12nTV12TV TV理想氣體狀態(tài)方程 位力定理應(yīng)用于理想氣體，假設(shè)氣體局限在有限體積內(nèi)，其邊界面S受到壓力P 由此得到理想氣體的狀態(tài)方程。其中，k 是波爾茲曼常數(shù)。N是系統(tǒng)的粒子個數(shù)。每個粒子的動能在三個自由度上均分。311T()2223,T22iiiSVNTPdPdVPVPVNkk rFrSr第22次課對一些周期運動的處理 在用哈密頓-雅可比

42、方程解力學(xué)問題的過程中，我們常用分離變量法。 若一個系統(tǒng) 哈密頓函數(shù)不顯含時間 廣義坐標(biāo)具有周期的性質(zhì) 哈密頓特征函數(shù)中，能將各坐標(biāo)分離變量 則可應(yīng)用作用變量和角變量的方法進(jìn)行求解。此時，取第二類正則變換的母函數(shù)為不含時的特征函數(shù)：21()siiifWWq特征函數(shù)的方程解法 此時，要求經(jīng)過正則變換之后，系統(tǒng)函數(shù)為常數(shù)： 相應(yīng)的有 應(yīng)用分離變量法，可以求出每個Wi，并產(chǎn)生相應(yīng)的積分常數(shù)ci ( i=2,3,.,s )，且,iiiiiiWWWpQqqP11(,.,;,.,)ssWWWKHH qqEtqq2(;,.,)iiisWWqE cc作用變量 分離變量法之后，對于每個廣義坐標(biāo)qi可以求出相對應(yīng)

43、的特征函數(shù) Wi(qi) 以及積分常數(shù)ci，但我們不用這些積分常數(shù) E, c2, cs 作為廣義動量 P1, P2, Ps ，而是重新定義 為新的廣義動量P。該量又稱為作用變量，原因是它具有作用量的量綱。這里的帶圈積分符號的意義是做一個周期的積分。22( , ,., )( ,., )1,2,.,iisiiiiiisW q E ccJpdqdqqJ E ccis作用變量和角變量 反解積分常數(shù) E, c2, cs 可得他們作為新的廣義動量 J1, J2, Js 的函數(shù)： 另外，新廣義坐標(biāo)Qi 稱為角變量，正則變換之后滿足正則方程。1212(,.,),(,.,),2,3,.,1, 2,.,siisiiEE JJJccJJJisWQisJ12(,.,)0,constant,1, 2,.,siiiiiiiiiEJJJKHJPQQQKEQisPJ 作用變量的意義 這說明新的廣義動量（作用變量） Ji 是常數(shù)，是守恒量。而它的意義是，當(dāng)廣義坐標(biāo)qi 變化一周期時，若回到原來的值，Ji 就是相空間 ( qi, pi ) 所