高中物理競賽_話題1：重心與質(zhì)心的確定

1、-作者xxxx-日期xxxx高中物理競賽_話題1：重心與質(zhì)心的確定【精品文檔】話題1：重心與質(zhì)心的確定一、平行力的合成與分解物體所受的幾個力的作用線彼此平行，且不作用于一點，即為平行力（系）。在平行力的合成或分解的過程中，必須同時考慮到力的平動效果和轉(zhuǎn)動效果，后者要求合力和分力相對任何一個轉(zhuǎn)軸的力矩都相同。兩個同向平行力的合力其方向與兩個分力方向相同，其大小等于分力大小之和。其作用線在兩個分力作用點的連線上。合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比。例如：兩個同向平行力和，其合力的大小，合力作用點滿足的關(guān)系。兩個反向平行力的合力其方向與較大的分力方向相同，其大小等于分力大小之差。其作用線

2、在兩個分力作用點的連線的延長線上，且在較大的分力的外側(cè)。合力作用點到分力作用點的距離與分力的大小成反比。例如：兩個反向平行力和的合成其合力的大小(假如，則和同向)其合力的作用點滿足的關(guān)系。一個力分解成兩個平行力，是平行力合成的逆過程。二、重心和質(zhì)心 重心是重力的作用點。質(zhì)心是物體(或由多個物體組成的系統(tǒng))質(zhì)量分布的中心。物體的重心和質(zhì)心是兩個不同的概念，當(dāng)物體遠離地球而不受重力作用時，重心這個概念就失去意義，但質(zhì)心卻依然存在。對于地球上體積不太大的物體，由于重力與質(zhì)量成正比，重心與質(zhì)心的位置是重合的。但當(dāng)物體的高度和地球半徑比較不能忽略時，兩者就不重合了，如高山的重心比質(zhì)心要低一些。在重力加速

3、度為常矢量的區(qū)域，物體的重心是惟一的（我們討論的都是這種情形），重心也就是物體各部分所受重力的合力的作用點，由于重力與質(zhì)量成正比，重力合力的作用點即為質(zhì)心，即重心與質(zhì)心重合。求重心，也就是求一組平行力的合力作用點。相距，質(zhì)量分別為的兩個質(zhì)點構(gòu)成的質(zhì)點組，其重心在兩質(zhì)點的連線上，且與相距分別為,：均勻規(guī)則形狀的物體，其重心在它的幾何中心，求一般物體的重心，常用的方法是將物體分割成若干個重心容易確定的部分后，再用求同向平行力合力的方法找出其重心。三、物體重心（或質(zhì)心）位置的求法1、定義法（坐標(biāo)法） 質(zhì)心位置的定義表達式是一個矢量表達式，將質(zhì)點組各質(zhì)點參量記為、，質(zhì)點組的質(zhì)心記為，則 的位置定義在坐

4、標(biāo) 其意義可以這樣理解：假定由多質(zhì)點組成的物體被分成許多小塊，每塊都有相同的質(zhì)量，物體總質(zhì)量等于塊數(shù)(設(shè)為塊)乘以每塊質(zhì)量，第一式可以改寫成：即等于各小塊的位置之和除以塊數(shù)。因此，在假定每塊質(zhì)量相等時，就是所有的平均值。如果其中有一塊(設(shè)第塊)的質(zhì)量是其它小塊質(zhì)量的兩倍，則在求和時，相應(yīng)的應(yīng)出現(xiàn)兩次。這可以設(shè)想把此兩倍的質(zhì)量的小塊分成相等的兩塊即可看出。因此，是所有質(zhì)量在方向上的平均位置，其中每小塊質(zhì)量所計算的次數(shù)都正比于這個質(zhì)量自身。這就是人們常說的，質(zhì)心位置是以質(zhì)量為權(quán)重的加權(quán)位置平均值。 根據(jù)定義式是求質(zhì)心位置最普遍最基本的方法。首先建立直角坐標(biāo)，再利用直角坐標(biāo)下定義式給出質(zhì)心的位置。對

5、質(zhì)量連續(xù)分布的物體，計算中通常要用到積分，對于中學(xué)生來說暫時還無力求解。因此，此法通常用于質(zhì)量離散分布或系統(tǒng)可以等效成離散質(zhì)點情況的處理。物體重心（或質(zhì)心）位置的求法例1、 如圖所示，一根豎直懸掛著的無限長細線上等距離地固定著個質(zhì)量不等的質(zhì)點小球，相鄰兩個小球之間的距離為。已知最上端小球與懸點之間距離也為，它的質(zhì)量為，其余各球的質(zhì)量依次為、，一直到。求整個體系的質(zhì)心位置到天花板的距離。解、首先建立一維坐標(biāo)系，以懸點為坐標(biāo)原點，豎直向下為軸的正方向。例2、如圖，有個外形完全一樣的均勻金屬棒首尾相接焊在一起，從左至右其密度分別為、，設(shè)每根棒長均為，求其質(zhì)心位置，若為段，密度仍如上遞增，質(zhì)心位置又在

6、什么地方？解：設(shè)整個棒重心離最左端距離為x，則由求質(zhì)心公式有若為段，按上式遞推得：將坐標(biāo)原點移到第一段棒的重心上，則上式化為：2、力矩法利用力矩和為零的平衡條件來求物體的重心位置。如圖由重量分別為,的兩均勻圓球和重量為的均勻桿連成的系統(tǒng)，建立如圖坐標(biāo)系，原點取在球最左側(cè)點，兩球與桿的重心的坐標(biāo)分別為，系統(tǒng)重心在點，我們現(xiàn)在求其坐標(biāo)。設(shè)想在處給一支持力，令達到平衡時有：這樣就得出了如圖所示的系統(tǒng)的重心坐標(biāo)。若有多個物體組成的系統(tǒng)，我們不難證明其重心位置為： 一般來說，物體的質(zhì)心位置與重心位置重合，由上面公式很易得到質(zhì)心位置公式：例3、如圖所示，原為兩個相同的均質(zhì)實心球，半徑為，重量為，球分別挖去

7、半徑為和的小球，均質(zhì)桿重量為，長度，試求系統(tǒng)的重心位置。解：將挖去部份的重力，用等值、反向的力取代，圖示系統(tǒng)可簡化為圖所示平行力系；其中。設(shè)重心位置為，則合力且3、實驗室 質(zhì)量作平面分布的物體用實驗法求質(zhì)心位置較為簡便。在此平面物體上，選兩點和(設(shè)、和質(zhì)心不在同一直線上)，分別作為懸掛點，懸掛在垂直于平面的光滑轉(zhuǎn)軸上，過懸掛點的兩個鉛垂線的交點即為質(zhì)心位置。4、對稱法 如果一個物體質(zhì)量分布具有軸對稱性，例如質(zhì)量平面均勻分布的菱形物體，其質(zhì)心必處在對角線上，兩對角線的交點即為此菱形的質(zhì)心位置。這是因為垂直于對稱軸方向上，軸兩旁的正負坐標(biāo)的質(zhì)量對應(yīng)相等。5、分割法 這種方法把整個物體分割成質(zhì)心易求

8、的若干部分，再把各部分看成位置在各自質(zhì)心處、并具有該部分質(zhì)量的質(zhì)點，再依質(zhì)心定義表達式求出整個物體的質(zhì)心位置。如下左圖的棒錘，假設(shè)勻質(zhì)球質(zhì)量為、半徑為；勻質(zhì)棒質(zhì)量為、長度為，求它的重心。第一種方法是將它分隔成球和棒兩部分，然后用同向平行力合成的方法找出其重心。在連線上，且(如圖)。6、負質(zhì)量法容易看出，負質(zhì)量法本質(zhì)上是分割法的一種推論，仍然是把整個物體分割成質(zhì)心易求的幾個部分。不同的是，每一部分既可以是正質(zhì)量，也可以是負質(zhì)量。同樣，將棒錘看成一個對稱的“啞鈴”和一個質(zhì)量為的球的合成(如圖)，用反向平行力合成的方法找出其重心，在連線上，且不難看出兩種方法的結(jié)果都是：證明方法與分割法相同。有時，根

9、據(jù)質(zhì)心的定義，我們還可用坐標(biāo)法求物體系的質(zhì)心。通常把物體分割成個部分，求得這個部分的質(zhì)量分別為。所受的重力相應(yīng)為。又求得它們的重心(質(zhì)心)的坐標(biāo)分別為,，,。由于這個部分所受的重力可看作是平行力，故可用類似于求同向平行力合力的方法，求得這個平行力合力的作用點位置，得出整個物體質(zhì)心(重心)的位置坐標(biāo)為;上例中，以點為原點，水平向右為。軸正方向，則的合質(zhì)心的位置為： 即： 負號表示質(zhì)心的位置在點左側(cè)（如上右圖）。用坐標(biāo)法求物體的重心是比較方便的。坐標(biāo)法與分隔法樣，都是由平行力的合成方法推導(dǎo)出來的，有興趣的讀者可以嘗試推導(dǎo)一下。7、巴普斯定理及其推論 對于質(zhì)量連續(xù)分布的物體，求質(zhì)心的一般方法是利用質(zhì)

10、心定義的三個分量表達式。但是，有時我們愿意采用處理這類問題的技巧，巴普斯定理提供了一種技巧。 巴普斯定理表述為：一個平面物體，質(zhì)量均勻分布，令其上各質(zhì)點沿垂直于平面的方向運動，在空間掃過一立體體積，則此體積等于面物體面積乘以物體質(zhì)心在運動中所經(jīng)過的路程。當(dāng)面物體上各質(zhì)點以相同的速度沿著一條與物平面垂直的直線運動時，在空間掃過的體積是一柱體。顯然，巴普斯定理成立。一般情況下，平面物體上的一質(zhì)點運動保持與物平面垂直，而各質(zhì)點速度并不相等，質(zhì)心將沿曲線運動，平面物體在空間將掃出一個不規(guī)則體積。我們要證明巴昔斯定理仍能得到滿足。下面分步給出證明。 1)、易知，質(zhì)心為原點的質(zhì)心參照系下，質(zhì)心的位置坐標(biāo)必

11、為零。 對于平面物體情況，在物平面內(nèi)建立坐標(biāo)(軸垂直此面)，坐標(biāo)原點與質(zhì)心重合，因質(zhì)心坐標(biāo)，得 2)、我們已經(jīng)知道，剛體的一個無限小運動可以由剛體上任一參考點的無限小平動和繞此參考點的無限小轉(zhuǎn)動疊加而成。 現(xiàn)在我們把平面物體的運動分成無限多個無限小運動。每個無限小運動分解成隨質(zhì)心的無限小平動和繞質(zhì)心的無限小轉(zhuǎn)動。為保證巴普斯定理中對平面物體運動的要求，應(yīng)滿足：隨質(zhì)心的無限小平動必須垂直于物平面；繞質(zhì)心的無限小轉(zhuǎn)動的瞬時轉(zhuǎn)動軸必須在物平面上。 3)、討論符合巴普斯定理要求的平面物體運動中第個無限小運動。 設(shè)隨質(zhì)心的第個無限小平動位移的，則平面物體掃過的體積元為其中為平面物體面積。 設(shè)繞過質(zhì)心在物

12、平面上的轉(zhuǎn)軸為軸，第個無限小轉(zhuǎn)動產(chǎn)生的角位移為。利用，得 其中為平面物體質(zhì)量面密度，對于質(zhì)量均勻分布的平面物體，為常量。為平面物體上面元的面積。設(shè)各面元在無限小轉(zhuǎn)動下轉(zhuǎn)過的路徑為因平面物體上各質(zhì)點相同，所以則此式表示，由無限小轉(zhuǎn)動所引起的各面元在空間掃過的體積正好抵消(這只有在坐標(biāo)原點選在質(zhì)心上，才有此結(jié)論)。對于整個運動過程，此結(jié)論依然成立。 因此，在滿足巴普斯定理的運動要求下，面物體在空間掃過的體積為其中為平面物體運動中質(zhì)心經(jīng)歷的路程。巴普斯定理得證。巴普斯定理的一個推論同樣很實用。此推論表述為一條質(zhì)量均勻分布的平面曲線，其上各點沿垂直于曲線平面方向運動，在空間掃過一曲面，則此曲面面積等于

13、質(zhì)心在運動中所經(jīng)路程與曲線長度的乘積。 這個推論的正確性，只要把此平面曲線看成一非常窄的面即可由巴普斯定理的結(jié)論得到。例4、 一直角三角形板質(zhì)量分布均勻，兩直角邊長度分別為和，求質(zhì)心位置。解、由數(shù)學(xué)知識可知結(jié)論：質(zhì)心將位于三中線交點。驗證：設(shè)質(zhì)心位置坐標(biāo)為 令直角三角形繞直角邊旋轉(zhuǎn)一周，形成圓錐。 設(shè)質(zhì)心離邊，則 同理可得，.例5、半徑為、均勻半圓板的質(zhì)心位置。解、以直徑為軸將線環(huán)旋轉(zhuǎn)，得一球面，設(shè)質(zhì)心離直徑邊為，則可得例6、確定半徑為、質(zhì)量分布均勻半圓形金屬線環(huán)的質(zhì)心位置。解：以為軸將線環(huán)旋轉(zhuǎn)，得一球面，得 即：掃過的曲面面積質(zhì)心在運動中走過的路程×曲線長度。例7：如圖 (a)所示，由勻質(zhì)金屬絲圍成的封閉圖形，其中曲線部分是半徑為R的半圓，直線部分是直徑。求此封