立體幾何10道大題

1、立體幾何練習(xí)題1.四棱錐SABCD中，底面 ABCD為平行四邊形，側(cè)面 SBC_L面ABCD,已知 NABC=45： AB =2, BC =2<2 , SB = SC=/3.(1)設(shè)平面SCD與平面SAB的交線為l ,求證：lAB ;(2)求證：SA_LBC;(3)求直線SD與面SAB所成角的正弦值.精選word范本!2.O為AC如圖，在四棱錐 P-ABCD43,底面ABC比平行四邊形， /ADC = 45°，AD=AC=1 的中點(diǎn)，Pa 平面ABCD PO=2 M為PD的中點(diǎn)。(1)證明：PB平面ACM(2)證明：AD£平面PAC(3)求直線AM與平面ABC所成角的

2、正切值。3.如圖，四棱錐 PABCD 中，/ABC=/BAD=90。BC=2AD , PAB 與 PAD都是等邊三角形.(2)求二面角C -PB-D的平面角的余弦值.(1)證明：CD _L平面PBD ;精選word范本!4.如圖，四棱錐 PABCM, PAa底面 ABCD AC±AD 底面 ABCM梯形，AB/ DQ ABLBG PA=AB=BC=3 點(diǎn) E 在棱 PB上，且 PE=2EB(I )求證：平面 PABL平面PCB(n)求證：PD/平面EAQ(出)求平面 AEC和平面PBC所成銳二面角的余弦值.5.如圖，已知矩形 ABCD所在平面垂直于直角梯形 ABPE所在平面于直線 A

3、B ,平面 ABCD。平面 ABPE = AB ,且 AB = BP=2 , AD = AE = 1, AE _L AB ,且 AE/BP .(1)設(shè)點(diǎn)M為棱PD中點(diǎn)，在面 ABCD內(nèi)是否存在點(diǎn) N ,使得MN _L平面ABCD ? 若存在，請(qǐng)證明；若不存在，請(qǐng)說明理由；(2)求二面角D PE A的余弦值.6.如圖，在直三棱柱 ABC AB。中，平面 ABC1側(cè)面 AABB,且AA=AB=2(1)求證：AB± BQ(2)若直線AC與平面AiBC所成的角為 二，求銳二面角A- AC- B的大小.6精選word范本!7.在四錐 V ABCD4底面ABC比正方形，側(cè)面 VAD是正三角形，平

4、面 VADL底面ABCD(1)求證AB，面VAD(2)求面VAD與面VDB所成的二面角的大小.8.7T如圖，在五面體 ABCDEFK四邊形 ABCM菱形，且/ BAD,對(duì)角線AC與BD相交于 O, OF，平面 ABCD BC=CE=DE=2EF=2(I)求證：EF/ BQ(II)求面AOF與平面BCEF所成銳二面角的正弦值.AB9.如圖，在四棱錐 P- ABCD43,底面為直角梯形,PA=AD=AB=2RCM N分別為 PG PB的中點(diǎn).(I )求證：PB± DM(n)求BD與平面ADMN/f成的角.AD)/ BC, / BAD=90 , PAa底面 ABCD 且10.如圖，在等腰梯

5、形 ABCD中，AB/CD , AD = DC = CB = 1, /ABC=60,四邊形 ACFE為矩形，平面 ACFE _L平面ABCD, CF =1.(1)求證：BC_L平面 ACFE;(2)點(diǎn)M在線段EF上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面 MAB與平面FCB二面角的平面角為9(0 £90), 試求cos日的取值范圍.AB精選word范本!立體幾何試卷答案試題分析：: ABHCD ,二六仁平面SCD , CDu平面SCD,二，平面SCD,又可平面 SCD與平面SAB的交線為，由線面平行的性質(zhì)定理即可證明結(jié)果(2)連接M,由余弦定理得/C = 2, 取EC中點(diǎn)G,連接SG./G,則WG_L EC ,

6、由線面垂直的聲宏定理和性廉即可證明結(jié)果.(III)如圖，以射線加為，軸，以射線0B為了軸,以射線3為工軸，以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系。一型r,利用空間向量法即可求出直線SD與面出他所成角的正弦值.試題解析：3)證明；:底面為平行四邊形/. ABi/CD.;疑心平面3001CDu平面5CD二期"平面£CD又.平面SCD與平面sab的交線為， 4 分(2)證明：連接 AG :'/ABC =45, AB =2, BC = 2在，由余弦定理得 AC = 2 ,AC = AB 6分取BC中點(diǎn)G ,連接SG, AG，則AG _L BC.,.SB = SC, SG _ BC,

7、*.*SGn AG =G,二 BC _L面 SAG,a BC ISA. 8分(m)如圖，以射線 OA為X軸，以射線OB為y軸，以射線OS為z軸，以。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 O - xyz,則/（及總B（Q"口），S（Q,（M）D（婢 一盤反。）SD = （V2-2A0） -（0:0:1） = （-2-1）SA =（點(diǎn)£0）-8A1） = （a/2,0-1） , BA =（、區(qū)。月）（0門反0）=（若沁設(shè)平面1s月法向量為用=（羽翼N）精選word范本!有，。累瞪弒Ji則”卜國(guó)8專網(wǎng)-.函_右 2五& _ _叵2-4H-11所以直線也與面所成弟的正弦值為當(dāng)12 分

8、.PD的中點(diǎn),2、試題解析：（1）證明：T。為AC的中點(diǎn)，即O為BD的中點(diǎn)，且M1.0 IIPB,又0M匚平面ACM PBz 平面ACM,所以PB平面ACM 證明：因?yàn)?/ADC = 45°，ad=ac 所以 ZACD = 450，所以 iJ_._/，又 po_£平面 abcd 所以 DALPO,POcAC=Ot所以AD_L平面PAG（3）取OD勺中點(diǎn)為N,因?yàn)?POIIMU, 所以MNL平面ABCD所以ZMAN為直線AMW平面ABC所成角。4 _4；.B 53 . (1)證明見解析；(2)3試題解析：(1)證明：過P作PO_L平面ABCD于。，連OA.依題意PA = PB

9、 = PD ,則OA = OB=OD.又4 ABD為RtA ,故。為BD的中點(diǎn). . PO 匚面 PBD，面 PBD，面 ABCD .在梯形 ABCD 中，CD2 + DB2 =CB2, .CD±DB .面 ABCD 0 面 PBD = BD ,CD J_平面 PBD .(2)由(1)知CD，平面尸郎，又口產(chǎn)”即=叱,.DP±BP .由三垂線定理知CP _L尸力.，NCFD為二面角C-PB -D的平面角,4 .【解答】（I ）證明：: PAa底面ABCD BC?底面ABCDPA BC又 AB，BG PAH AB=A，BC，平面 PAB 又 BC?平面 PCB，平面 PABL

10、平面 PCB（n）證明： PCX AD,itir .在梯形 ABC邛，由 AB± BC, AB=BC 得 / BAC=, . . / DCA=Z BAC=,又AC! AR故 DAE等腰直角三角形，.DC域 AC=R（加 AB） =2AB.連接BD,交AC于點(diǎn)M則黑=T =2.Hd Ad連接 EM 在 BPD中，襄 =瞿 =2, PD/ EMiSS JUD又PD?/平面EAG EM?平面EAC，PD/平面 EAC（m）解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB AP所在直線分別為y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則 A (0, 0, 0) , B (0, 3, 0) , C (3, 3,(00,

11、3) , E (0, 2,1)Ey1）為平面AEC的一個(gè)法向量，則.1AC0) , AE =(0，2, 1),i+y=02y+l=0解得 x=- , y= 一 §口1=（y' , 1）為平面PBC的一個(gè)法向量，則=(3, 00),而=(0, - 3, 3),-3/ +3=0,解得 x' =0, y' =1,=(0（取PB中點(diǎn)為F,連接AF可證正 為平面PBC的一個(gè)法向量.cos V 口 nL-n2 =" 歷1尸一6平面AEC平面PBC所成銳二面角的余弦值為注：以其他方式建系的參照給分.5. （1）詳見解析；（2）.3試題分析:1)連接AC ,BD交于

12、點(diǎn)N ,連接MN ,證明MN，平面ABCD ,從而MN即為所求；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求得兩個(gè)平面的法向量后即可求解.試題解析：（1）連接AC , BD交于點(diǎn)N ,連接MN ,則MN _L平面ABCD , . M為PD中點(diǎn)，N為BD中點(diǎn)，. MN為APDB的中位線， MN/PBBC匚平面又 .平面ABCD _L平面ABPE ,平面ABCD平面ABPE = AB ，ABCD, BC_LAB,，衛(wèi)C'J_平面&PE,又二郎&。日。=月，煙_L平面皿CD,平面1BCD j12）以/為原點(diǎn)，AE, AB,加所在直線分別為/軸，下軸, /軸建立坐標(biāo)系，平面的,，平面PE4茁法

13、向量后=方二。/），又；QQQD,屈XSQ）,理220）, ,.灰=QQT）麗=（221）,設(shè)平面Q/%的法向量x-z 012巧"（罵尸,） 則'c ,_ ?之天=1；何巧=1二）,，8*孫叼2x+2y z = Q23又TD 為銳二面角一二面角口 的余弦值為；6【解答】（本小題滿分 14分）（1）證明：如右圖，取 A1B的中點(diǎn)D,連接AD,因 AA=AB,則 AD± AB由平面 ABC1側(cè)面 A1ABB,且平面A1BCA側(cè)面A1ABB=AB。得AD!平面 ABC,又BC?平面 ABC,所以 AD! BC.因?yàn)槿庵?ABCABC是直三棱柱，貝U AA，底面 ABG

14、所以AAXBC 又AAAAD=A從而 BC1側(cè)面 A1ABB, 又 AB?側(cè)面 AABB,故 AB± BC.（2）解：連接CD，由（1）可知AD1平面ABC,則CD是AC在平面ABC內(nèi)的射影/ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角，則 /ACD;丁在等腰直角 A1AB中，AA=AB=2,且點(diǎn)D是A1B中點(diǎn)1冗冗AD=A B二加，且/梃寬二彳，/ACD二下 前=25過點(diǎn)A作AH A1C于點(diǎn)E,連DE由（1）知 AD1平面 A1BC,則 ADL A1C,且 AEA AD=A / AED即為二面角 A- AiC- B的一個(gè)平面角,且直角 AiAC中:AAAC 2X272 276皿二AK二

15、2我二后"n . /AD 一也.近 又 AD二&, ZADE=- sinZAED-ae -2 - 2 ,Z3且二面角 A- AC- B為銳二面角7.【解答】證明：（1）由于面VAD是正三角形，設(shè) AD的中點(diǎn)為E, 則 VEX AR 而面 VADL底面 ABCD 則 VE! AB.又面ABC虛正方形,貝U AB± AD,故 AB1面VAD連AF, BF由4VDB所成的二面（2）由AB1面VAD則點(diǎn)B在平面VAD內(nèi)的射影是 A,設(shè)VD的中點(diǎn)為F, VAD>F4,則 AFXVD,由三垂線定理知 BF± VR故/ AFB是面VAD面 角的平面角.設(shè)正方形AB

16、CM邊長(zhǎng)為a,n;AB 二 a 二 2一則在 RtABF中，AB=q AF=tla, tan / AFB可產(chǎn)石 -32V3故面VAD與面VDB所成的二面角的大小為 arct an巡3.8.【解答】（本小題滿分 12分）證明：（I）二.四邊形 ABCM菱形.AD/ BC,且 BC?面 ADEF AD?面 ADEF .BC/ 面 ADEF 且面 ADEF 面 BCEF=EF . EF/ BC.解：（II）FO）± 面 ABCDFO）± AQ FO）± OB又 OBLAQ以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA OR OF分別為x軸,y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，取CD的中點(diǎn) M 連 O

17、M EM 易證EML平面 ABCD又 BC=CE=DE=2EF=2得出以下各點(diǎn)坐標(biāo)：B (0, 1, 0) , C (-灰，0, 0) , D (0, - 1, 0),F （0, 0,班），E （一通，片，）, 2j向量靛二（一零，之，無），向量菽二（-加麗二（0，-1,近），設(shè)面BCFE勺法向量為：一一 ,丁 . .nC| PBC=Ong PBF=O V3x0 - yo=O-幾二 o令 V。=«時(shí)，得二（1,在，1），面AOF的一個(gè)法向量，一設(shè)面AOF與面BCEF所成的銳二面角為 0 ,-sin ° 智如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz,設(shè)BC=1,則 A

18、(0, 0, 0) P (0, 0, 2) , B (2, 0, 0) , M (1, 12, 1) , D (0, 2, 0)(I)因?yàn)槎?而二(2, 0, 一 2)(1, 一,，1)=0所以 PB，DM -1(n)因?yàn)槎?*疝=(2, 0, 2)“0，2, 0：=0 所以 pb，ad又 PB± DM因此.'的余角即是 BD與平面ADMN所成的角.因?yàn)?cos< PB *AD >-r-因此BD與平面7TADM斷成的角為610.試題解析:(1)證明：在梯形ABCD中, AB/CD , AC2 " AB2AD = DC=CB=1, /ABC=60',. AB =2,+ BC2 -2AB BC *cos60c =3 , AB2 =AC2+ BC2, . BC _L AC ,平面 ACFE _L平面 ABCD ,平面 ACFEp平面 ABCD = AC , BCu平面 ABCD,BC _L 平面 ACFE .(2)由(1)分別以直線 CA,CB,CF為x軸，y軸，z軸發(fā)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,令 FM =%(0