初三相似三角形知識點以及經(jīng)典例題

1、相像三角形學(xué)問點以及典例學(xué)問點 1有關(guān)相像形的概念(1) 外形相同的圖形叫相像圖形，在相像多邊形中，最簡潔的是相像三角形 .(2) 假如兩個邊數(shù)相同的多邊形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例，這兩個多邊形叫做相像多邊形相像多邊形對應(yīng)邊長度的比叫做相像比 相像系數(shù) 學(xué)問點 2比例線段的相關(guān)概念（ 1）在四條線段稱比例線段a, b, c, d 中，假如a 和 b 的比等于c 和 d 的比，那么這四條線段a,b,c, d 叫做成比例線段，簡注：比例線段是有次序的，假如說a 是 b, c, d的第四比例項，那么應(yīng)得比例式為：bdca 在比例式a c a : bc : d 中， a、d 叫比例外項，b、c 叫比

2、例內(nèi)項 , a 、c 叫比例前項，b、d 叫b d比例后項 , 假如 b=c ，即a：bb： d 那么 b 叫做 a、d 的比例中項，此時有 b 2ad ；學(xué)問點 3比例的性質(zhì)（留意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）（ 1） 基本性質(zhì)： a:bc :dadbc； a : bb : cb2ac 注：由一個比例式只可化成一個等積式，而一個等積式共可化成八個比例式，如adbc ，除了可化為a : bc : d 等；（ 2） 更比性質(zhì) 交換比例的內(nèi)項或外項 ：abcda cdcb dba，交換內(nèi)項，交換外項（ 3）反比性質(zhì) 把比的前項、后項交換 ：acabcdbdbd（ 4）合、分比性質(zhì)：b 同時交換內(nèi)外項

3、 adacbc dbdac典型例題：例題 1：已知線段a 6 cm ， b 2 cm ，就 a、b、 a b 的第四比例項是 cm， a b 與 a b 的比例中項是 cm 例題 2：如ab bc caac m2 ，就 m b學(xué)問點 4比例線段的有關(guān)定理1. 三角形中平行線分線段成比例定理: 平行于三角形一邊的直線截其它兩邊 或兩邊的延長線 所得的對應(yīng)線段成比例 .重要結(jié)論：平行于三角形的一邊, 并且和其它兩邊相交的直線, 所截的三角形的三邊 與原三角形三邊 對應(yīng)成比例. 相像 2. 平行線分線段成比例定理: 三條平行線截兩條直線, 所截得的對應(yīng)線段成比例.學(xué)問點 5相像三角形的概念對應(yīng)角相等

4、，對應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相像三角形相像用符號“”表示，讀作“相像于”相像三角形對應(yīng)邊的比叫做相像比 或相像系數(shù) 相像三角形對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例注： 對應(yīng)性：即兩個三角形相像時，肯定要把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)位置上，這樣寫比較簡潔找到相似三角形的對應(yīng)角和對應(yīng)邊次序性：相像三角形的相像比是有次序的1學(xué)問點 6三角形相像的等價關(guān)系與三角形相像的判定定理的預(yù)備定理(1) 相像三角形的等價關(guān)系：反身性：對于任一abc 有abc abc 對稱性：如abc a' b' c'，就a' b' c' abc 傳遞性：如abc a' b'

5、c ，且a' b' c a b c，就abc a b c(2) 三角形相像的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊 或兩邊延長線 相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像定理的基本圖形：aa edadebcbc(3)cb1用數(shù)學(xué)語言表述是：de2de / bc ，ade abc 學(xué)問點 7三角形相像的判定方法1、定義法：三個對應(yīng)角相等，三條對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相像2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊 或兩邊的延長線 相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相像3、判定定理1：兩角對應(yīng)相等，兩三角形相像a4、判定定理2：兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相像5、判定定理

6、3：三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相像6、判定直角三角形相像的方法：(1) 以上各種判定均適用bdc(2) 假如一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相像（射影定理：在直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項；每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；）222如圖， rt abc中， bac=90°， ad 是斜邊bc上的高，就ad =bd· dc， ab =bd· bc ， ac=cd· bc ；經(jīng)典例題：例題1：判定對錯：1 兩個直角三角形肯定相像嗎？為什么？2兩個

7、等腰三角形肯定相像嗎？為什么？3 兩個等腰直角三角形肯定相像嗎？為什么？4兩個等邊三角形肯定相像嗎？為什么？5 兩個全等三角形肯定相像嗎？為什么？例題2：以下能夠相像的一組三角形為a. 全部的直角三角形b. 全部的等腰三角形c.全部的等腰直角三角形d.全部的一邊和這邊上的高相等的三角形例題3：如下列圖，已知中， e 為 ab延長線上的一點，ab=3be，de與 bc相交于 f，請找出圖中各對相像三角形，并求出相應(yīng)的相像比.例題4：已知在rt abc 中， c=90°， ab=10 ，bc=6. 在 rt edf 中， f=90°， df=3 ， ef=4 ，就 abc和 e

8、df 相像嗎？為什么？2例題5：如下列圖，點d 在 abc 的邊 ab 上，滿意怎樣的條件時，acd 與 abc 相像？試分別加以列舉.例題6：已知：如圖正方形abcd 中， p 是 bc 上的點 ，且 bp=3pc ，q 是 cd 的中點求證：adq qcp例題7：已知：如圖，ad 是 abc 的高， e、f 分別是 ab 、ac 的中點求證：dfe abc 例題8：如圖， abc 中， cd ab 于 d， e 為 bc 中點，延長ac、de 相交于點 f，求證ac bcaf df例題9：如圖，在abc中， ab ac，延長 bc至 d，使得 cd bc，ce bd交 ad于 e，連結(jié) b

9、e 交 ac于 f，求證 affc例題10： 如圖， bd 、ce 分別是 abc 的兩邊上的高， 過 d 作 dg bc 于 g，分別交 ce 及 ba 的延長線于f、 h ，求證：（ 1）dg 2 bg· cg；（2） bg· cg gf · gh 3例題11：如圖， abc cdb 90°， ac a， bc b（ 1）當(dāng) bd與 a、b 之間滿意怎樣的關(guān)系時，abc cdb？（ 2）過點 a 作 bd的垂線，與db的延長線交于點e，如 abc cdb求證四邊形aedc為矩形（自己完成 圖形）學(xué)問點 8相像三角形的性質(zhì)(1) 相像三角形對應(yīng)角相等，

10、對應(yīng)邊成比例(2) 相像三角形對應(yīng)高的比，對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相像比(3) 相像三角形周長的比等于相像比(4) 相像三角形面積的比等于相像比的平方注：相像三角形性質(zhì)可用來證明線段成比例、角相等，也可用來運算周長、邊長等學(xué)問點 9相像三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與幫助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：(1) 線段成比例的定義2三角形相像的預(yù)備定理3利用相像三角形的性質(zhì)4 利用中間比等量代換5利用面積關(guān)系2、證明題常用方法歸納：（ 1）總體思路 : “等積”變“比例” ，“比例”找“相像”(2) 找相像：通過“橫找”“豎看”查找三角形，即橫向看或縱向查找的時候一共各有三個不同的

11、字母，并且這幾個字母不在同一條直線上，能夠組成三角形，并且有可能是相像的，就可證明這兩個三角形相像，然后由相像三角形對應(yīng)邊成比例即可證的所需的結(jié)論 .(3) 找中間比： 如沒有三角形 即橫向看或縱向查找的時候一共有四個字母或者三個字母，但這幾個字母在同一條直線上 ，就需要進行“轉(zhuǎn)移” 或“替換” ，常用的“替換”方法有這樣的三種：等線段代換、等比代換、 等積代換 . 即：找相像找不到，找中間比；方法：將等式左右兩邊的比表示出來； am , cm m 為中間比 a mc,m , nn 'b nd am , cbndnn'm mn 'm' , nn ' 或

12、mm 'nn 'bndn'(4) 添加幫助線：如上述方法仍不能奏效的話，可以考慮添加幫助線 通常是添加平行線 構(gòu)成比例 . 以上步驟可以不斷的重復(fù)使用，直到被證結(jié)論證出為止.注： 添加幫助平行線是獲得成比例線段和相像三角形的重要途徑；平面直角坐標(biāo)系中通常是作垂線（即得平行線）構(gòu)造相像三角形或比例線段；（ 5）比例問題：常用處理方法是將“一份”看著k; 對于等比問題，常用處理方法是設(shè)“公比”為k ；（ 6）對于復(fù)雜的幾何圖形，通常采納將部分需要的圖形（或基本圖形）“分別”出來的方法處理；典型例題：例題 1： abc def，如 abc的邊長分別為5cm、6cm、7cm，而

13、 4cm 是 def中一邊的長度，你能求出def的另外兩邊的長度嗎？試說明理由.4例題 2：如下列圖，已知abc中， ad是高，矩形efgh內(nèi)接于 abc中，且長邊f(xié)g在 bc上，矩形相鄰兩邊的比為 1： 2，如 bc=30cm， ad=10cm.求矩形 efgh的面積 .例題 3： abc 中， de bc ， m 為 de 中點， cm 交 ab 于 n ，如，求例題 4：已知：如圖，在abc 與 cad 中， da bc ，cd 與 ab 相交于 e 點，且 ae eb=1 2，ef bc 交ac 于 f 點， ade 的面積為1，求 bce 和 aef 的面積例題 5：如圖，已知：ab

14、c中， ab=5， bc=3，ac=4， pq/ab， p點在 ac上 與點 a、c不重合 ， q點在 bc上1 當(dāng) pqc的面積與四邊形pabq的面積相等時，求cp的長；2 當(dāng) pqc的周長與四邊形pabq的周長相等時，求cp的長；例題 6：如圖， abcd， a=90°， ab=2， ad=5，p 是 ad上一動點 不與 a、d 重合 ， pe bp， p 為垂足， pe交dc于點 e，(1) 設(shè) ap=x， de=y，求 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x 的取值范疇；(2) 請你探究在點p 運動的過程中，四邊形abed能否構(gòu)成矩形？假如能，求出ap的長；假如不能，請說明理

15、由.5學(xué)問點 10位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1. 假如兩個圖形不僅是相像圖形，而且每組對應(yīng)頂點的連線都交于一點，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形.2. 這個點叫做位似中心，這時的相像比又稱為位似比.注：注：（ 1） 位似圖形是相像圖形的特例，位似圖形不僅相像，而且對應(yīng)頂點的連線相交于一點.（ 2） 位似圖形肯定是相像圖形，但相像圖形不肯定是位似圖形.（ 3） 位似圖形的對應(yīng)邊相互平行或共線.3. 位似圖形的性質(zhì)：位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于相像比.注：位似圖形具有相像圖形的全部性質(zhì).4. 畫位似圖形的一般步驟：（ 1） 確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點）（ 2）

16、 分別連接原圖形中的關(guān)鍵點和位似中心，并延長（或截?。?（ 3） 依據(jù)已知的位似比，確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點的位置.（ 4） 順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點，即可得到一個放大或縮小的圖形.注：位似中心可以是平面內(nèi)任意一點，該點可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點上）；外位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形）內(nèi)位似：位似中心在連接兩個對應(yīng)點的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）（ 5） 在平面直角坐標(biāo)系中，假如位似變換是以原點o為位似中心， 相像比為 k（ k>0）, 原圖形上點的坐標(biāo)為 （ x,y ）,那么同向位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)為kx,k

17、y,反向位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)為-kx,-ky,【解答題】1. 如圖： ab是 o的直徑，ad 是弦，(1) 求證： cd 是 o的切線；dab22.5o ，延長 ab到點 c ， 使得acd2dab (2) 如 ab22 ，求 bc 的長2. 已知：如圖，ab為 o的直徑， ad為弦， dbc = a.（ 1）求證： bc 是 o的切線；（ 2）如 oc ad， oc交 bd于 e， bd=6， ce=4，求 ad的長 .cdeb oa63. 在 abc 中，點 d 在 ac 上，點 e 在 bc 上，且 de ab ，將 cde 繞點 c 按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到cd e（使bce 180

18、76;），連接 ad、 be，設(shè)直線be 與 ac 交于點 o.（ 1）如圖，當(dāng)ac=bc 時 ， ad: be的值為；（ 2）如圖，當(dāng)ac=5 ， bc=4 時，求ad : be的值；（ 3）在（ 2）的條件下，如acb=60° ，且 e 為 bc 的中點，求oab 面積的最小值.aade'od e'd'obecd'bec圖圖7【填空題】1. 在平面直角坐標(biāo)系中， abc 頂點 a 的坐標(biāo)為2，3 ，如以原點o 為位似中心，畫 abc 的位似圖形 a b c，使 abc 與 a b c1的相像比等于，就點 a 的坐標(biāo)為22. 如圖， abc 與 abc 是位似圖形，點o是位似中心，如oa=2a a,s abc=8，就 sabc = 3. 如圖，oab 的頂