第11章應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論

1、工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案第十一章第十一章 應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論應(yīng)力狀態(tài)分析和強(qiáng)度理論工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案一點處應(yīng)力狀態(tài) ： 過一點各方向截面上應(yīng)力的集合。 應(yīng)力狀態(tài)分析 ： 分析一點處的應(yīng)力隨截面方位改變而變化的規(guī)律。 應(yīng)力狀態(tài)分析的目的： 為多應(yīng)力強(qiáng)度分析打基礎(chǔ)；了解強(qiáng)度破壞的力學(xué)因素。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案cossin cos2 通過桿內(nèi)任意一點所作各個截面上的應(yīng)力隨著截面的方位而改變。 例如軸向拉壓時桿件斜截面上的應(yīng)力FF工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 受扭桿件受扭桿件 TTy a bcdenx(a)detnxc(b) 受扭桿件通過桿內(nèi)任意一點所作各個截

2、面上的應(yīng)力也隨著截面的方位而改變，有必要進(jìn)行應(yīng)力狀態(tài)分析。 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案+maxmax max 梁在橫力彎曲時，在梁的橫截面上，除去離中性軸最遠(yuǎn)的和中性軸上的點以外，各點處既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。當(dāng)需要按照這些點處的應(yīng)力對梁進(jìn)行強(qiáng)度計算時，必須考慮兩種應(yīng)力的綜合影響，就需要全面研究一點處的應(yīng)力狀態(tài)。FF工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案鑄鐵軸向拉伸： 沿橫截面拉斷破壞，斷口平齊。鑄鐵軸向壓縮： 沿斜截面剪斷破壞。低碳鋼軸向拉伸：沿45 斜截面滑移而產(chǎn)生屈服流動。斷口有頸縮現(xiàn)象。 回顧我們做過的材料實驗工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案低碳鋼扭轉(zhuǎn)： 沿橫截面剪斷破壞。鑄鐵扭轉(zhuǎn)： 沿

3、斜截面拉斷破壞。TTmax斷裂線min 鑄鐵的所謂扭轉(zhuǎn)破壞，實質(zhì)上是沿45 方向拉伸引起的斷裂。因此根據(jù)對應(yīng)力狀態(tài)的分析，可以了解桿件中材料破壞的力學(xué)因素，以建立強(qiáng)度條件。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 取研究對象取研究對象截開并考察平衡截開并考察平衡 討論結(jié)果討論結(jié)果單元體： 圍繞一點取出的邊長為無限小的正立方體。應(yīng)力特點：單元體各表面上的應(yīng)力視為均勻分布。平行 面上的應(yīng)力相等。相鄰垂直面上的切應(yīng)力根 據(jù)切應(yīng)力互等定理確定。 一般選擇單元體的面平行于構(gòu)件的橫截面或表面，這樣可以用現(xiàn)有公式求出單元體上的應(yīng)力。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案ITTT F F XXXYxQMbIQSZZXyIM

4、ZXX工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案XXXYYXYY 平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài) yyxxyyxx平面應(yīng)力狀態(tài)：單元體各平面上的應(yīng)力，都平行于單元體的某一對平面，而在這一對平面上卻沒有應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)，又稱為兩向應(yīng)力狀態(tài)。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案XXYXXYYYxydAxXXYYntyp 求此單元體上任意平行于z軸的斜截面上的應(yīng)力。設(shè)單元體z方向厚度為1。取垂直于斜截面的n軸和平行于斜截面的 t 軸為參考坐標(biāo)軸。設(shè)斜面面積為 dA，則有工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案0sin)sind(cos)sind(cos)cosd(sin)cosd(d0AAAAAnyyxxXXYXXYYYxydA

5、xXXYYntyp工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案0cos)sind(sin)sind(sin)cosd(cos)cosd(d0AAAAAtyyxxXXYXXYYYxyAdxXXYYntypyx因為 ，以上兩式可以簡化為：工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案XXYXXYYYxydAxXXYYntyp2sin2cos22xyxyx) 16( 2cos2sin2xyx) 26 ( 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案正應(yīng)力：拉“+”，壓“-”。切應(yīng)力：順時針“+”，逆時針“-”。夾角：外法線逆時針轉(zhuǎn)為“+”，順時針轉(zhuǎn)“-”。 公式（61）與 （62）稱為應(yīng)力轉(zhuǎn)換公式，可由 求得任意截面上的 和 。xyx,

6、和的正負(fù)規(guī)定為工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案2. 應(yīng)力圓應(yīng)力圓 將 式改寫成2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx 將上面兩式兩邊分別平方再相加得2222)2()2(xyxyx工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案0 ,2yx應(yīng)力圓圓心：222xyx半徑：222rbyax標(biāo)準(zhǔn)圓方程：XX,YY,2,0 ,2YX222xyxA1A21202O應(yīng)力圓方程：222)2()2(xyxyx對比得工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 對于一個單元體，已知且 則按以下步驟求應(yīng)力圓：（1）在 坐標(biāo)系內(nèi)，按選定比例尺，量取 得 ， 點。（2）連接 和 兩點，其連線與軸交于C點。以C點為圓心， 為半徑畫圓

7、就是所求應(yīng)力圓。yxxyx,xDyDxDyDxCDXX,YY,2,0 ,2YX222xyxA1A21202OxDyDC工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 單元體某一面上的應(yīng)力，必對應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)。 單元體上任意A，B兩截面的外法線之間的夾角為 ，則在應(yīng)力圓上代表該兩個面上應(yīng)力的兩點之間圓弧段所對應(yīng)的圓心角必為 。2 因此，只要由單元體的X平面和Y平面上已知應(yīng)力作出應(yīng)力圓，就可以很容易地從應(yīng)力圓確定任一 截面上的應(yīng)力。XX,YY,2,0 ,2YX222xyxA1A21202O工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 觀察應(yīng)力圓，可見 軸與應(yīng)力圓交于兩點 ，這兩點正應(yīng)力為最大、最小值，而切應(yīng)力為零

8、。 主平面：切應(yīng)力等于零的平面。 主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。XXXYYXYYXX,YY,2,0 ,2YX222xyxA1A22102O12,A A工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 在通過某點的各個平面上，最大，最小正應(yīng)力所在平面是主平面。最大最小正應(yīng)力為主應(yīng)力。由于 ，表明兩個主平面是相互垂直的，兩個主應(yīng)力也是相互垂直的。此外，單元體上沒有應(yīng)力作用的平面也是主平面，它與另外兩個主平面也互相垂直。三個主平面上的主應(yīng)力通常用 表示，并按代數(shù)值大小排列，即 1802321,321XX,YY,2,0 ,2YX222xyxA1A21202O1122工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案222221)2(2)2

9、(2xyxyxxyxyx03XX,YY,2,0 ,2YX222xyxA1A21202O 還可以注意最大最小切應(yīng)力所在的平面相互垂直并與主平面成45角。從圖可見工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案xyx121 2XX,YY,2,0 ,2YX222xyxA1A21202Oyxxyxxarctgtg222/)()2(00還可以看到工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案例：兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖a和b所示，梁的尺寸見圖c。試通過應(yīng)力圓求截面C上 a 點處的主應(yīng)力。解：首先作出梁的剪力和彎矩圖如圖d和e所示： (a) B5 m10 mA250 kNC(b)fza(c) 12015270159工程力學(xué)電

10、子教案工程力學(xué)電子教案(d)FS 圖M 圖(e) M(kNm)80 x200 kN50 kNFSx由此可得C截面處的彎矩和截面左側(cè)的剪力為：mkN80CMkN200SCF 又因為橫截面的慣性矩和計算a點切應(yīng)力所需的靜矩為：工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案4633m10881227.0111.0123.012.0zI36*m102560075.015.0015.012.0zaS且：m135.0ay由此可得C截面上a點處正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為：MPa7.122135.01088108063azCayIMMPa6.64109108810256102003663*SdISFzzaCa工程力學(xué)電子教案工程

11、力學(xué)電子教案 該點的應(yīng)力狀態(tài)如圖f所示，選定適當(dāng)?shù)谋壤?，即可繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓，如圖g所示。y(f) yyxxxxxx=122.7MPax=64.6MPay=-64.6MPa/MPa/MPaOA1A2CD1(122.7,64.6)D2(0,-64.6)3max20(g) 由應(yīng)力圓可得a點處的主應(yīng)力為：MPa150111CAOCOA工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案02且：4.467.1226.642arctan20則1主平面的方位角0為：2 .230顯然， 3主平面應(yīng)垂直與1主平面，如下圖所示。MPa27223CAOCOA31yyyxxxxx2 .230工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案如圖所示的三

12、個單元體是否處于平面應(yīng)力狀態(tài)？(a)(b)MPa100MPa100MPa100(c)MPa25MPa75MPa325思考題思考題6 -1工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案參考答案：參考答案：單向應(yīng)力狀態(tài)單向應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài)(a)(b)MPa100MPa100MPa100(c)MPa25MPa75MPa325工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案思考題思考題6-21 根據(jù)圖示應(yīng)力圓是否可知，對于圖示的單元體，（1）垂直于xy平面的截面上之最大切應(yīng)力其值為 ，作用在自 作用截面逆時針旋轉(zhuǎn)45的面上；（2）該截面上還有正應(yīng)力，其值為 。 2/ )(21max2/ )(21XX,YY,2,0 ,2YX22

13、2xyxA1A21202Oxyx12工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案求圖示應(yīng)力狀態(tài)下單元體的與紙面垂直的任意截面上的應(yīng)力。思考題思考題10-3221232工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案平面應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓123123=0132=0231=0平面應(yīng)力狀態(tài)工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案3 = -1=2 = 0單向拉伸應(yīng)力狀態(tài)1 = 2= 03=-純剪應(yīng)力狀態(tài)2= 3 = 01=單向壓縮應(yīng)力狀態(tài)工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案(1) 一點處應(yīng)力隨截面方位的改變而變化： 4. 小結(jié)：小結(jié)：2sin2cos22xyxyx2cos2sin2xyx(2) 切應(yīng)力極值：2)2(1222xyxXX,YY,2

14、,0 ,2YX222xyxA1A21202Oyyxxyyxx工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案(3) 正應(yīng)力極值：(4) 主平面主應(yīng)力主方向：,321zyxtg220XX,YY,2,0 ,2YX222xyxA1A21202O22)2(2xyxyx12工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案例題：求純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主方向。. , 0 , :45 ,45 2 , , 0 :321000minmax主應(yīng)力狀態(tài)為解得由解得已知tgxyyx1 = 2= 03=-工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案問題：在基本變形中，桿件內(nèi)哪些點為上述應(yīng)力狀態(tài)？依上述結(jié)果可以確定三個主應(yīng)力的順序嗎？常見的二向應(yīng)力狀態(tài)22)2(

15、2 , 0 , :maxmin代入公式求得已知xyyx工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案123=0132=0231=0平面應(yīng)力狀態(tài)平面應(yīng)力狀態(tài) 如果一單元體中，主應(yīng)力 均不為0，則單元體處于空間應(yīng)力狀態(tài)，即三向應(yīng)力狀態(tài)。123, 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 平面應(yīng)力圓表達(dá)了與主應(yīng)力為零的面相垂直的截面上應(yīng)力的情況。事實上即使那個面上的主應(yīng)力不為零，而按平面應(yīng)力狀態(tài)繪出的應(yīng)力圓，仍然表示平行于該主應(yīng)力的截面上應(yīng)力的情況。 132132132工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案132 O 可以證明，代表不平行于任一主應(yīng)力的任意斜截面上應(yīng)力的點必定落在三個以主應(yīng)力作出的應(yīng)力圓之間。123工程力學(xué)電子

16、教案工程力學(xué)電子教案132max13045三向應(yīng)力狀態(tài)下的最大切應(yīng)力231maxO123工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案 各向同性材料在平面應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)變形微小時，正應(yīng)變只與該點處的正應(yīng)力相關(guān)，而與切應(yīng)力無關(guān)。在線彈性且變形微小時，可將任意的平面應(yīng)力狀態(tài)看作兩個單向應(yīng)力狀態(tài)和一個純剪切應(yīng)力狀態(tài)的疊加。yyyyxxyyxxxxxyyx工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案EyEyEyExExEx000EEyxxEExyy)(yxzEGxxyyyxxyyxxyyxxxyyx從而工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案即得平面應(yīng)力狀態(tài)下的胡克定律：)(1)(122xyyyxxEExxyxyxzG 0工程力學(xué)電子

17、教案工程力學(xué)電子教案例 已知|a |+|b |= 40010 ，E=200 GPa, =0.25，D =120 mm, d =80 mm，求T。TT13545aabb解：= = 16)1 (43pDWWTPEEEa)1 ()(1 )(14545工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案EEEb)1 ()(1 )(14545Ea)1 (純剪應(yīng)力狀態(tài) = = = TT13545aabb610400)1 (2)1 (2EEba工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案mkN 71. 811020010400)1 (2p66EWTEWTP得和由pWT= = TT13545aabb610400)1 (2E工程力學(xué)電子教案工

18、程力學(xué)電子教案1321 1強(qiáng)度極限可以通過試驗來測定。應(yīng)力組合無限多種，強(qiáng)度極限無法通過試驗來測定。 復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài) 簡單應(yīng)力狀態(tài)工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案人們根據(jù)材料破壞的現(xiàn)象，形成了如下共識： 材料受外力作用發(fā)生破壞時，不論破壞的表象如何復(fù)雜，其破壞形式只有幾種類型。 同一種類型的破壞是由某一個共同的力學(xué)因素引起的。 當(dāng)某一共同力學(xué)因素達(dá)到材料的極限值，該材料就會發(fā)生某型破壞。 可以通過簡單拉伸試驗來確定這個因素的極限值，從而建立復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強(qiáng)度條件。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案(1) 脆性破壞：沒有明顯的塑性變形，這時的斷裂面是最大拉應(yīng)力所在面。例如鑄鐵在室溫、靜載下受單向拉

19、伸或扭轉(zhuǎn)。1. 材料的兩種基本破壞形式：材料的兩種基本破壞形式：強(qiáng)度理論認(rèn)為材料某一類型的破壞是由某種力學(xué)因素引起的假說。 工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案(2) 塑性屈服：有明顯的塑性變形，這時材料是沿最大剪應(yīng)力所在面發(fā)生相對錯動而破壞的。例如低碳鋼在室溫、靜載下受單向拉（壓）及鑄鐵受壓縮。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案2. 四個基本的強(qiáng)度理論四個基本的強(qiáng)度理論(1) 關(guān)于脆性斷裂的強(qiáng)度理論(a) 最大拉應(yīng)力理論破壞條件：1 = jx強(qiáng)度條件：1 適用范圍: () 脆性材料在單向拉伸和純剪應(yīng)力狀 態(tài)下發(fā)生的破壞 () 鑄鐵在雙向受拉和一拉一壓的平 面應(yīng)力狀態(tài)下TTmax斷裂線min工程力學(xué)

20、電子教案工程力學(xué)電子教案適用范圍：（）石料等脆性材料在單向壓縮狀態(tài)下 發(fā)生的破壞。 （）鑄鐵一拉一壓的平面應(yīng)力狀態(tài)下偏 于安全。(b) 最大伸長線應(yīng)變理論破壞條件： 1 = jx ，EEb)(1321即強(qiáng)度條件：)(321yxyx工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案強(qiáng)度條件：1 - 3 適用范圍：塑性破壞，拉壓屈服極限相同的塑性 材料。（2）關(guān)于塑性屈服的強(qiáng)度理論（c） 最大切應(yīng)力理論破壞條件：max = jx ，22s31即工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案強(qiáng)度條件：適用范圍：塑性破壞，拉壓屈服極限相同的塑性材料。 )()()(21213232221)2(61)()()(612213232221s

21、EE（d） 形狀改變比能理論破壞條件： ud = udjx 即工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案3. 強(qiáng)度理論的應(yīng)用強(qiáng)度理論的應(yīng)用（1）按第三強(qiáng)度理論：（2）按第四強(qiáng)度理論： 223r4 224r3對圖示平面應(yīng)力狀態(tài)，試證明。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案1023s102s3由第三強(qiáng)度理論，有： sr2313例：利用第三或第四強(qiáng)度理論求純剪應(yīng)力狀態(tài)下屈服應(yīng)力s和拉壓屈服應(yīng)力s之間的關(guān)系。 當(dāng) =s時材料發(fā)生屈服，因此有：解：圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力為：而當(dāng)材料拉壓屈服時有：s工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案由此可得： ss5 . 05.0利用第四強(qiáng)度理論，有：sssssr300212224sr4sss577.031即， sr3純剪：單拉：由此可得：工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案60例 試全面校核圖a、b、c所示焊接工字梁的強(qiáng)度，梁的自重不計。已知：梁的橫截面對于中性軸的慣性矩為Iz=88106 mm4；半個橫截面對于中性軸的靜矩為S*z,max=338103 mm3；梁的材料Q235鋼的許用應(yīng)力為170 MPa，100 MPa。工程力學(xué)電子教案工程力學(xué)電子教案61解: (1) 按正應(yīng)力強(qiáng)度條件校核此梁的彎矩圖如圖d，最大彎矩為Mmax80 kNm