函數(shù)的連續(xù)和間斷課件

1、函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件1三、三、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn) 一、一、 函數(shù)連續(xù)性函數(shù)連續(xù)性 第七節(jié)函數(shù)的連續(xù)與間斷 四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性四、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)質(zhì)二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件2設(shè)變量設(shè)變量u從從1221uuuu，終值變到初始值就稱為變量就稱為變量1uu 在的的增量增量，通常用符號，通常用符號u表示，表示，21211200uuuuuuu即其值可正可負(fù)其值可正可負(fù)函數(shù)的增量函數(shù)的增量:函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件3注：注： 函數(shù)函數(shù))(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x一、一、 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義1:)(xfy 在在0 x的某鄰域內(nèi)有定義

2、的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)在點(diǎn)0 x即即)(0 xf(2) 極限極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件連續(xù)必須具備下列條件:存在存在 ;且且有定義有定義 ,存在存在 ;00 xfxxfy是函數(shù)的改變量。是函數(shù)的改變量。定義定義2: 若若 0 xfxf00, 0limxxxyx則稱函數(shù)則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf若若 函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件4對自變量的增量對自變量的增量,0 xxx有有函數(shù)的增量函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xf

3、xxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù)函數(shù)函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)有下列連續(xù)有下列等價(jià)命題等價(jià)命題:函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件5若若)(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)在某區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù) , 則稱它在該則稱它在該區(qū)間上連續(xù)區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) . ,baC在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作上的連續(xù)函數(shù)的集合記作如果區(qū)間包括端點(diǎn)，如果區(qū)間包括端點(diǎn)，在左端點(diǎn)是在左端點(diǎn)是右連續(xù)右連續(xù)。那么函數(shù)在右端點(diǎn)是那么

4、函數(shù)在右端點(diǎn)是左連續(xù)左連續(xù)，continue函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件6)()(lim, ),(000 xPxPxxxnnxaxaaxP10)(在在),(上連續(xù)上連續(xù) .( 有理整函數(shù)有理整函數(shù) )又如又如, 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù))()()(xQxPxR在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù).只要只要,0)(0 xQ都有都有)()(lim00 xRxRxx例如例如,函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件7211101)(2xxxxabxxf處連續(xù)取何值時(shí)在、當(dāng)1xba解解：bbxfx21lim)1 (1) 1 (f1)(lim)1(1axafx處連續(xù)在）時(shí)當(dāng)1(1, 2xxfba例例1：問函數(shù)問函數(shù)11ab

5、函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件8使函數(shù)使函數(shù)22sin)(xxxaxxf處連續(xù)在2x解：解：1sinlim)2(2xfx)2(2)(lim)2(2faxafx處連續(xù)在）時(shí)當(dāng)2(21xxfa例例2：確定確定a函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件9例例3. 設(shè)設(shè)0,0,sin)(21xxaxxxfx則則_a時(shí)時(shí) 為連續(xù)函數(shù)為連續(xù)函數(shù).)(xf解解:xxx1sinlim0)0(f)0(fa00)0(f)(lim20 xax函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件10二、初等函數(shù)的連續(xù)性二、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連

6、續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)一切初等函數(shù)在在定義區(qū)間內(nèi)定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù)端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xey 在在),(上連續(xù)上連續(xù) 單調(diào)單調(diào) 遞增遞增,其反函數(shù)其反函數(shù)xyln在在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增上也連續(xù)單調(diào)遞增.又如又如, 函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件11例例4 求求 32231xxxf的連續(xù)區(qū)間，的連續(xù)區(qū)間，)(lim3xfx并求并求解解因?yàn)樗o函數(shù)是初等函數(shù)，因?yàn)樗o函數(shù)是初等函數(shù)， 3)2)(1(1xxxf其連續(xù)區(qū)間就是定義域：其連續(xù)區(qū)間就是定義域：, 22, 11 ,又因?yàn)橛忠驗(yàn)?0 x是定義域中的一點(diǎn)是定義域中的一

7、點(diǎn))(lim3xfx323231limxxx32991321函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件12例例5 求下列函數(shù)的極限求下列函數(shù)的極限201coslimxxx010cos1xx5sin3lnlim23ln2sin3ln函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件13在在在在三、三、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在不存在;(3) 函數(shù)函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 ,但但)()(lim00 xfxfxx 不連續(xù)不連續(xù) :0 x設(shè)設(shè)0 x在點(diǎn)在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,則下列情形則下列情形這樣

8、的點(diǎn)這樣的點(diǎn)0 x之一之一函數(shù)函數(shù) f (x) 在點(diǎn)在點(diǎn)雖有定義雖有定義 , 但但雖有定義雖有定義 , 且且稱為稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在在無定義無定義 ;函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件14函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件15函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件16函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件17間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及及)(0 xf均存在均存在 , )()(00 xfxf若若稱稱0 x, )()(00 xfxf若若稱稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及及)(0 xf中至少一個(gè)不存在中至少一個(gè)不存在 ,稱稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩若其中有一個(gè)為振蕩 , 稱稱0 x

9、若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為,為為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn) .為為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn) .為為無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn) .為為振蕩間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn) .函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件18xytan) 1 (2x為其無窮間斷點(diǎn)為其無窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn)為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn)為可去間斷點(diǎn) .11) 3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件191) 1 (1)(lim1fxfx顯然顯然1x為其可去間斷點(diǎn)為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo1

10、1, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn)為其跳躍間斷點(diǎn) .函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件20231)(22xxxxfx = 2 是第二類無窮間斷點(diǎn)是第二類無窮間斷點(diǎn) .間斷點(diǎn)的類型間斷點(diǎn)的類型.答案答案: x = 1 是第一類可去間斷點(diǎn)是第一類可去間斷點(diǎn) ,例例6. 討論函數(shù)討論函數(shù)解解)2)(1() 1)(1()(xxxxxf2, 1x為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn) xfx1lim21lim1xxx2 xfx2lim函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件21注意注意: 若函數(shù)在若函數(shù)在開區(qū)間開區(qū)間上連續(xù)上連續(xù),結(jié)論不一定成立結(jié)論不一定成立 .四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理定理1.1.在

11、在閉區(qū)間閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)即即: 設(shè)設(shè), ,)(baCxfxoyab)(xfy 12則則, ,21ba使使)(min)(1xffmbxa)(max)(2xffMbxa最大值和最小值最大值和最小值. .在該區(qū)間上一定有在該區(qū)間上一定有或在閉區(qū)間內(nèi)或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)有間斷點(diǎn) ,1、最值定理、最值定理 xf xf函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件22例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值也無最大值和最小值 又如又如, 函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件23,)(baxf在因此bxoya)(xfy

12、12mM推論推論. 由定理由定理 1 可知有可知有, )(max,xfMbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè)設(shè), ,)(baCxf,)(Mxfm有上有界上有界 .2、介值定理、介值定理定理定理2. ( 零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理 ), ,)(baCxf至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn), ),(ba且且使使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界有界. 函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件24定理定理3. ( 介值定理介值定理 )設(shè)設(shè) , ,)(baCxf且且,)(Aaf,)(BABbf則對則對 A 與與 B 之間的任一數(shù)之間的任一數(shù)

13、C ,一點(diǎn)一點(diǎn), ),(ba證證: 作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)Cxfx)()(則則,)(baCx 且且)()(ba)(CBCA0故由零點(diǎn)定理知故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn)至少有一點(diǎn), ),(ba使使,0)(即即.)(Cf推論推論:Abxoya)(xfy BC使使.)(Cf至少有至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最必取得介于最小值與最大值之間的任何值大值之間的任何值 .函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件25例例7. 證明方程證明方程01423 xx一個(gè)根一個(gè)根 .證證: 顯然顯然, 1 ,014)(23Cxxxf又又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少

14、存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使使,0)(f即即01423在區(qū)間在區(qū)間)1 ,0(內(nèi)至少有內(nèi)至少有x是方程是方程01423 xx的根。的根。函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件26,4,0)(上連續(xù)在閉區(qū)間xf例例813xex至少有一個(gè)不超過至少有一個(gè)不超過 4 的的 證：證：證明證明令令1)(3xexxf且且)0(f13e)4(f1434e003e根據(jù)零點(diǎn)定理根據(jù)零點(diǎn)定理 , )4,0(,0)(f使原命題得證原命題得證 .)4,0(內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)在開區(qū)間在開區(qū)間顯然顯然正根正根 .函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件27, 2,0)(aCxf),2()0(aff,0a使)()(aff該問題

15、可轉(zhuǎn)換為證明方程, )()()(xfaxfx則, ,0)(aCx 0)()0(a存在一個(gè))()(axfxf在上至少有一實(shí)根。令)0()()0(faf)0()()0()()2()(affafafa由零點(diǎn)定理可證例例9. 設(shè)證證)()(aff,0a證明至少有 00,a函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件28內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié))()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)右連續(xù))(. 1xf0 x在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式連續(xù)的等價(jià)形式連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)義區(qū)間內(nèi)連續(xù)分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性分段函數(shù)在界點(diǎn)處是否連續(xù)需討論其左、右連續(xù)性.基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明:2、函數(shù)的連續(xù)和間斷PPT課件29.( )f x30 x第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)