第六章 數(shù)字濾波器設(shè)計方法

1、第六章第六章無限長單位沖激響應(yīng)（無限長單位沖激響應(yīng)（IIR)IIR)數(shù)字濾波器的設(shè)計方法數(shù)字濾波器的設(shè)計方法主要內(nèi)容主要內(nèi)容v掌握數(shù)字濾波器設(shè)計的基本概念掌握數(shù)字濾波器設(shè)計的基本概念v掌握沖激響應(yīng)不變法掌握沖激響應(yīng)不變法v了解階躍響應(yīng)不變法、理解雙線性變換法了解階躍響應(yīng)不變法、理解雙線性變換法v掌握利用模擬濾波器設(shè)計掌握利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的思想、數(shù)字濾波器的思想、方法及過程方法及過程6-1 引言引言01( )( )( )1kkMkkNkkb zY zH zX za zX(z)Y(z)數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)表示H(z) 數(shù)字濾波器是一個線性移不變的離散時間系

2、統(tǒng)，其設(shè)計一般包括: (1) 按任務(wù)要求，確定濾波器的性能指標(biāo)； (2) 用一個因果穩(wěn)定的離散線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)去逼近逼近這一性能要求； (3) 實現(xiàn)可采用計算機軟件，也可采用DSP硬件。數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)：()()()jjjjH eH ee 為幅度響應(yīng)：表示信號通過該濾波器為幅度響應(yīng)：表示信號通過該濾波器后各頻率成分的衰減情況后各頻率成分的衰減情況()jH e 為相位響應(yīng)：反映各頻率成分通過濾波為相位響應(yīng)：反映各頻率成分通過濾波器后在時間上的延時情況器后在時間上的延時情況()j 數(shù)字濾波器的性能一般以頻率響應(yīng)的幅數(shù)字濾波器的性能一般以頻率響應(yīng)的幅度特性的允許誤差

3、來表示，其頻率響度特性的允許誤差來表示，其頻率響應(yīng)包括通帶、過渡帶及阻帶三個范圍應(yīng)包括通帶、過渡帶及阻帶三個范圍（注意：理想濾波器只有通帶和阻帶（注意：理想濾波器只有通帶和阻帶兩個范圍）兩個范圍） 按頻率特性，數(shù)字濾波器可分為：按頻率特性，數(shù)字濾波器可分為：l 低通低通l 高通高通l 帶通帶通l 帶阻帶阻l 全通全通st2()jH ev阻帶：阻帶：cstv過渡帶：過渡帶：c11()1jH ev通帶：通帶：理想濾波器很難實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近理想濾波器很難實現(xiàn)，只能以實際濾波器逼近數(shù)字濾波器的技術(shù)要求數(shù)字濾波器的技術(shù)要求數(shù)字濾波器的設(shè)計思想及方法數(shù)字濾波器的設(shè)計思想及方法01( )1Mkkk

4、Nkkkb zH za z用因果穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)用因果穩(wěn)定的離散系統(tǒng)函數(shù)逼近逼近給定的性能要求：給定的性能要求：, kkab求出系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)求出系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)v先設(shè)計合適的模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為滿足預(yù)定先設(shè)計合適的模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換為滿足預(yù)定指標(biāo)的數(shù)字濾波器：指標(biāo)的數(shù)字濾波器：v計算機輔助設(shè)計法：按性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)化運算，計算機輔助設(shè)計法：按性能指標(biāo)進(jìn)行最優(yōu)化運算，求出最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。求出最佳準(zhǔn)則下濾波器系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)。 數(shù)字?jǐn)?shù)字IIR濾波器的兩種設(shè)計方法濾波器的兩種設(shè)計方法l 模擬濾波器的模擬濾波器的設(shè)計已有一套相當(dāng)成熟的方法：設(shè)計已有一套相當(dāng)成熟的方法：有現(xiàn)成的設(shè)計公式，

5、設(shè)計參數(shù)已表格化，有多有現(xiàn)成的設(shè)計公式，設(shè)計參數(shù)已表格化，有多種典型形式的濾波器如種典型形式的濾波器如巴特沃思濾波器，切比巴特沃思濾波器，切比雪夫濾波器雪夫濾波器等。等。l 計算機輔助設(shè)計方法：這是一種最優(yōu)化設(shè)計方計算機輔助設(shè)計方法：這是一種最優(yōu)化設(shè)計方法，先確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，這種方式一般得不法，先確定一種最優(yōu)準(zhǔn)則，這種方式一般得不到濾波器系統(tǒng)函數(shù)的閉式表達(dá)式，需要大量的到濾波器系統(tǒng)函數(shù)的閉式表達(dá)式，需要大量的迭代運算。迭代運算。6.2 用模擬濾波器設(shè)計用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器數(shù)字濾波器v設(shè)計思想：模擬濾波器 s 平面 數(shù)字濾波器z 平面模擬系統(tǒng)函數(shù) 數(shù)字系統(tǒng)函數(shù)( )( )aHsH

6、z主要設(shè)計方法：主要設(shè)計方法：- - 沖激響應(yīng)不變法沖激響應(yīng)不變法- - 階躍響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法- - 雙線性變換法雙線性變換法6.3 沖激響應(yīng)不變法一、變換原理一、變換原理 數(shù)字濾波器的單位沖激響應(yīng)h(n) 模仿模擬濾波器的單位沖激響應(yīng)ha(t)()(nThnhaT：抽樣周期抽樣周期)()(nTxnxa)()(nTynya)()(nThnha模擬濾波器的數(shù)字化方法模擬濾波器的數(shù)字化方法1( )NkakkAHsss( )( )()( )( )aaaHsh th nTh nH z11( )1kNks TkTAH zez2211( )4313aHsssss試用沖激響應(yīng)不變法，設(shè)計IIR數(shù)字濾

7、波器例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為例：設(shè)模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：解：據(jù)題意，得數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：1( )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez131( )11TTTTH zezez3131421TTTTTT eezeezez設(shè)設(shè)T = 1sT = 1s，則，則1120.318( )1 0.41770.01831zH zzzv優(yōu)點：v缺點：保持線性關(guān)系：=WT線性相位模擬濾波器轉(zhuǎn)變?yōu)榫€性相位數(shù)字濾波器頻率響應(yīng)混疊只適用于限帶的低通、帶通濾波器h(n)完全模仿模擬濾波器的單位抽樣響應(yīng)ha(t) 時域逼近良好沖激響應(yīng)不變法的優(yōu)缺點6.4 階躍

8、響應(yīng)不變法階躍響應(yīng)不變法v變換原理( )( )()at nTag ng tgnT 數(shù)字濾波器的階躍響應(yīng)g(n)模仿模擬濾波器的階躍響應(yīng)ga(t) 其中其中T 為為 抽樣周期抽樣周期6.5 雙線性變換法q沖激響應(yīng)不變法、階躍響應(yīng)不變法：時域模仿逼近缺點是產(chǎn)生頻率響應(yīng)的混疊失真。q為了克服這一缺點，可采用雙線性變換法。q使數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)與模擬濾波器的頻率響應(yīng)相似一、變換原理及特點 先將s平面壓縮變換到一個中介平面s1的一條橫帶里，然后再將橫帶映射到z平面。Z平面1Wj1Tjjee1W單位圓T/T/s1平面Tsez1T1WWjs平面1tan2TWW 采用以下變換采用以下變換12arctan(

9、)/,TT T W W 注意到注意到111111221221tan()21TTjjjTTTjTjjTeeejjeeeWW WWW WWW 1tan2TWW 由得11-11sTsTese得11,js jsW W 令1111zzsssz11sz這樣 平面與 平面的單值映射關(guān)系為11s Tsze再把 平面映射到平面 n為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任為使模擬濾波器某一頻率與數(shù)字濾波器的任一頻率有對應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù)一頻率有對應(yīng)關(guān)系，可引入常數(shù) c:1tan2TcWW 1111zsczcszcs2cT2）某一特定頻率嚴(yán)格相對應(yīng)：ccW 1tantan22cccTccWW cot2ccc W1W

10、W1）低頻處有較確切的對應(yīng)關(guān)系：特定頻率處頻率響應(yīng)嚴(yán)格相等，可以較準(zhǔn)確地控制截止頻率位置11tan22TTccWWW 二、變換常數(shù)c的選擇四、優(yōu)缺點v優(yōu)點：避免了頻率響應(yīng)的混迭現(xiàn)象s 平面與 z 平面為單值變換q 缺點：除了零頻率附近，W與之間嚴(yán)重非線性1）線性相位模擬濾波器 非線性相位數(shù)字濾波器tan2cW TW為模擬角頻率， 為數(shù)字角頻率，為抽樣周期2）數(shù)字濾波器的非線性相位關(guān)系要求模擬濾波器的幅頻響應(yīng)為分段常數(shù)型，不然會產(chǎn)生畸變。6.6 常用模擬低通濾波器特性v將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，設(shè)計模擬濾波器，再轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器v模擬濾波器巴特沃思 Butterworth 濾

11、波器切比雪夫 Chebyshev 濾波器橢圓 Ellipse 濾波器貝塞爾 Bessel 濾波器1、由幅度平方函數(shù)由幅度平方函數(shù) 確定模擬濾波器確定模擬濾波器的系統(tǒng)函數(shù)的系統(tǒng)函數(shù)2()aHjW( )aHs2*()()()aaaHjHjHjWWW( )()aasjHs Hs Wh(t)是實函數(shù)是實函數(shù)()()aaHjHjW W1）將將左半平面左半平面的的極點歸的的極點歸Ha(s)（確保穩(wěn)定（確保穩(wěn)定）2）將以虛軸為對稱軸的將以虛軸為對稱軸的對稱零點的任一半作為對稱零點的任一半作為Ha(s)的零點，虛軸上的的零點，虛軸上的零點一半歸零點一半歸Ha(s)Ha(s) Ha(-s)的零極點分布的零極點分

12、布 基于基于Ha(s) Ha(-s)的零極點，設(shè)計的零極點，設(shè)計 Ha(s)的零極點的零極點 由幅度平方函數(shù)得到象限對稱的得到象限對稱的s平面函數(shù)：平面函數(shù)： v對比 和 ，確定增益常數(shù)()aHjW( )aHsv由零極點及增益常數(shù)，得( )aHs2()( )aaHjHsW由確定的方法222()( )(- )|aaasHjHs HsW W零點：零點： （二階）（二階）2222216(25) ()( )(49)(36)aaHjHsWWWW已知幅度平方函數(shù)：，求系統(tǒng)函數(shù)例：例：解：解：222222216(25)( )()()(49)(36)aaassHs HsHjssW W7, 6ss 極點：極點：

13、5sj 零點：零點：5sj 7, 6ss 的極點：的極點：( )aHs設(shè)設(shè) 增益常數(shù)為增益常數(shù)為K K0 020(25)( )(7)(6)aKsHsss0002( )()4asaHsHjKWW45由=，得7 62224(25)4100( )(7)(6)1342assHsssss( )aHs2.1 巴特沃思濾波器（巴特沃思濾波器（Butterworth）2、常見模擬濾波器設(shè)計幅度平方函數(shù)：221()1aNcHjWWW當(dāng)2()1/ 2acHjW時稱Wc為Butterworth低通濾波器的3分貝帶寬1( 0)20lg3()aacHjdBHjWN為濾波器的階數(shù)W Wc c為通帶截止頻率為通帶截止頻率1

14、）幅度函數(shù)特點：幅度函數(shù)特點：221()1aNcHjWWW20()1aHjW Wv 21()1/ 23caHjdBW WWv 3dB不變性012300.81WMagnitudeButterworth FilterN = 2N = 4N = 10ButterworthButterworth濾波器是一個全極點濾波器，其極點：濾波器是一個全極點濾波器，其極點：22/1()( )()1aaaNs jcHjHs HssjWWW1211222( 1)1,2,.,2kjNNkccsjekN W W 2 2）幅度平方特性的極點分布：幅度平方特性的極點分布：3 3）濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：）濾波器的

15、系統(tǒng)函數(shù)：1( )()NcaNkkHsssW121221,2,.,kjNkcsekN Wn求出系統(tǒng)函數(shù)：求出系統(tǒng)函數(shù)：1( )()NcaNkkHsssW其中極點121221,2,.,kjNkcsekN W或者由N，直接查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)歸一化系統(tǒng)函數(shù)001( )anNNdHsaa sa s00-1,=NaadW00表 6 4巴 特 沃 思 低 通 濾 波 器 的 系 數(shù)由 低 頻 或 高 頻 特 性確 定 ， 若 希 望0時 增 益 為 1，則 d =a =1。查表得歸一化系統(tǒng)函數(shù)歸一化系統(tǒng)函數(shù)( )aancsHsHWv去歸一化( )anHs 利用模擬濾波器設(shè)計IIR數(shù)字濾波器的步驟v將數(shù)字

16、濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)變成模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)通帶截止頻率 、通帶衰減p1阻帶截止頻率 、阻帶衰減s2通帶截止頻率/ppTW 阻帶截止頻率/ssTW 通帶截止頻率tan(/2)ppcW 阻帶截止頻率tan(/2)sscW v確定數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：沖激響應(yīng)不變法雙線性變換法234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss654320.1209( )2.7163.6913.1791.8250.1210.1209aancsH sHssssssW或者b) 由N = 6，直接查表6-4(p266)得c) 去歸一化4）將Ha(s)展成部分分式形式:1(

17、 )NkakkAHsss11( )1kNks TkTAH zez1112120.2871 0.44662.1428 1.14541 0.12970.69491 1.06910.3699zzzzzz1121.85580.63041 0.99720.2570zzz變換成變換成Butterworth數(shù)字濾波器：數(shù)字濾波器：2、用雙線性變換法設(shè)計2tan0.65 /2pprad sTW 2tan1.019 /2ssrad sTW 0.2 prad0.3 srad11dB215dB11dB215dB1Ts選1）由數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)：2）考慮預(yù)畸變，得模擬濾波器的技術(shù)指標(biāo)：/1.568spspWW 12

18、0.10.11010.092101spklg/lg5.3066spspNkN 取210.121010.7662/Ncsrad sW Wa）確定參數(shù)用阻帶技術(shù)指標(biāo)，使通帶特性較好，因無混迭問題3）設(shè)計Butterworth模擬低通濾波器b) 求出極點（左半平面）121221,2,.,6kjNkcsek W661( )()cakkHsssWc) 構(gòu)造系統(tǒng)函數(shù)234561( )1 3.86377.46419.14167.46413.8637anHsssssss2220.20240.3960.58711.0830.58711.4800.5871ssssss或者b) 由N = 6，直接查表得c) 去歸一化( )aancsHsHW112 11( )( )azsTzH zHs121211(1 1.2680.7051) (1 1.0100.358)zzzz121(1 0.90440.2155)zz4）將Ha(s)變換成Butterworth數(shù)字濾波器：2.2 切貝雪夫濾波器（ Chebyshev ）2221()1()aNcHj