論文《極限理論的邏輯困難》

1、第03篇極限理論的邏輯困難微積分系列論文12篇之03：論極限理論的理論錯誤之三師教民h2（1.石家莊廣播電視大學(xué)科學(xué)技術(shù)部，河北石家莊050081；2.石家莊經(jīng)濟(jì)學(xué)院信息工程學(xué)院，河北石家莊050031）摘要：極限理論在微分和導(dǎo)數(shù)的定義上形成邏輯閑難.關(guān)鍵詞：導(dǎo)數(shù)；微分；邏輯困難中圖分類號：0172文獻(xiàn)標(biāo)識碼：a極限理論或標(biāo)準(zhǔn)分析法或第二代微積分或經(jīng)典微積分理論 存在八大科學(xué)錯誤.本文用極限理論的導(dǎo)數(shù)和微分的矛盾，證明 上述八大科學(xué)錯誤的第三大科學(xué)錯誤：極限理論的邏輯困難（極 限理論的三大理論錯誤之三）.根據(jù)極限理論的lit界名著文獻(xiàn)1，47-，50，68-17°和中國名著文 獻(xiàn)25

2、4-255,278-280的肘的導(dǎo)數(shù)、微分的定義及幾何意義知： 亦 0 = ® =型，（1）wo ar ck ar在式的中、右部：clv=ar （ aa*不必為無窮?。?，ay ay為 函數(shù)曲線）,才（勸的切線增量（詳見笫05篇或文獻(xiàn)圖4.6）.從（1）式的左邊知 心->0,因為連續(xù)故ay->0.這就展現(xiàn)出 把心，無限分微的事實.所以人們才有了把心無限分微的結(jié)果分別定義為函數(shù)的微分和函數(shù)自變量的微分的期待，才 有了把a(bǔ)y,心無限分微的結(jié)果之商定義為微分商或?qū)?shù)的期 待.但是，當(dāng)人們這種口然的、合理的、強(qiáng)烈的期待由于極限理 論（1）式的引導(dǎo)而陷于根深蒂固z時，極限理論口己卻突

3、然筆鋒 一轉(zhuǎn)，來了個一百八十度的大轉(zhuǎn)彎，把不必分微的增雖歹定義 為函數(shù)肘（勸的微分見文獻(xiàn)1啲,把不必分微的增量心規(guī) 定為函數(shù) to）的自變量兀的微分見文獻(xiàn)??；把不必分微 的增量歹與心之商乞定義為函數(shù)冃（兀）的微分商或?qū)?shù).增ar量與ax雖然叫做微分,但卻不是必須分i的、口可以為任意大、充分大、足夠大的量；增量之商詈雖然叫做微分商，但卻 不是必須分微的、且可以為任意人、充分人、足夠人的量z商.這 就造成極限理論的微分可以不微的尷尬，造成了極限理論的微 分定義和自己的無限分微的初衷、原意的矛盾即“仃）式的左邊 必須有ax->0和右邊不必有 心->0（山=心 不必為無窮小就是不 必侑心-

4、0） ”的矛盾,從而形成了邏輯混亂、情理難容、實際 不符的局面，攪亂了人們的思想，體現(xiàn)出在數(shù)學(xué)上的不嚴(yán)謹(jǐn).所以人們不得不發(fā)出懊喪的疑問：為何微分可以不微呢？既 然微分可以不微，干嗎要起個微分的名字呢？既然極限理論早有把可為任意大、充分大、足夠大的增量心，歹定義為微分的預(yù) 謀，干嗎婆把人們引向無限分微、即令心->0得）>（）的歧途 呢？不把人們引向無限分微的歧途而就直接把增量ar規(guī)定為函 數(shù)）=/©）的自變量兀的微分、把增量ay定義為函數(shù)冃©）的微 分、把增量商乜定義為兩數(shù)）=/（兀）的微分商或?qū)?shù)不是更簡便 ar嗎？！直接令增量 心，疔分別去占據(jù)微分dx, dy

5、的位置，發(fā)揮 微分dx, dy的作用，不讓微分dx, dy的概念、名稱和符號出現(xiàn) 不是更省事嗎？!有更簡便和更省事z法而不用不就太笨了嗎？何 況這樣做還可以避免上述的邏輯困難！還可以杜絕張景中院士曾 經(jīng)說過的：“煩瑣迂回”、“聽不明白”的極限概念和推理！其實，極限理論把人們引向無限分微、即通過極限概念令ax>0 得 ay>0的歧途后而又反悔是冇它的苦衷的：極限理論z所以要把人們引 向無限分微、即令 心->0得ay->0的歧途，是想體現(xiàn)函數(shù)在某 一點處的導(dǎo)數(shù).然而，山于極限理論存在不知道或說不清自己的 無窮小量究竟小到多少的缺陷，所以極限理論就無法知道無限分 微的結(jié)果是什

6、么，因此就不能將無限分微的結(jié)果定義為微分，從 而更不能通過無限分微的結(jié)果算出函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)值，因 此“體現(xiàn)函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)”的想法就宣告失敗.所以，笫 二代微積分就不得不用反悔及違背自己將 心，ay無限分微、即 令ax->0得ay-0的初衷和原意的做法，去湊出（第一代微積 分是猜出）函數(shù)在某一點處的導(dǎo)數(shù)值.也就是把不必分微的，nj* 以為任意大、充分大、足夠大的增量疔，心定義為微分；把不 必分微的，可以為任意大、充分大、足夠大的增量之商坐定義ax為微分商或?qū)?shù).這樣一來，極限理論（標(biāo)準(zhǔn)分析法或第二代微積 分）就沒冇把自己定義的無窮小雖（很小）應(yīng)用到微分（微?。┑?概念上，從而使

7、微積分理論與無窮小概念脫了節(jié)，因此就出現(xiàn)了 邏輯困難即“（1）式左邊必須冇 心->0和右邊不必冇 心->0的矛 盾.止是因為此，世界集合論最高權(quán)威z、以色列數(shù)學(xué)家弗朗克爾（abraham adolf fraenkel,公元 1891.2.17 1965.10.15）,便 針對極限理論中的微積分理論與無窮小概念脫節(jié)的現(xiàn)狀，表達(dá) 了 “要想檢驗無窮小量的功能，只須看它能否應(yīng)用到微積分里 去”的美好愿望，給解決極限理論的邏輯困難指明了方向.但是 他并未解決該邏輯困難，我們將在第09,10篇中解決該邏輯困難.極限理論規(guī)定的 g心，心 不必為無窮小見文1嚴(yán)i"是 否合理？極限理論白

8、己都產(chǎn)牛了懷疑，所以就金圖證明它合理.例 如：文1嚴(yán)°說：“假若把自變量x的微分與函數(shù)）=x的微分看 作是同樣的（這同樣也是一種規(guī)定?。敲匆檬骄涂梢宰C明 公式式為d" ax,公式為 吐心，見文11,69-170 ： dx= x.1 ax二心.”a文獻(xiàn)3"也說：“山于x自己也可以看成是兀的函數(shù)，而且顯然 有（兀）'=1,所以有 ax= h=h' 即 iv=l ar=ax （其中 x=h）.文獻(xiàn)1，3的上述證明寫完全后就是：設(shè)尸r,則ay,故 dr=d）= y ar= xx ar=l ax=ax,或d.r= xry 尸 y： ay=l從上述文獻(xiàn)1

9、, 3的證明看出，文獻(xiàn)1, 3只是證明了在特殊函數(shù)=兀屮有dx=ax （a,v不必為無窮?。?，沒有證明在一 般函數(shù)肘（兀）中有吐心（心不必為無窮?。?其實，按照上述文獻(xiàn)1, 3的邏輯，在一般函數(shù)）才中有血工心.例如: 設(shè)y=jx ,則=才，故ck=2y尸2 vx （一 yx ）工（兀2-兀1）=心.設(shè) too,則4gb）.那么，不論是在函數(shù) t（q中還 是在函數(shù)x=g 0?)中，變雖x，y都相互對應(yīng)，互為函數(shù)，地位相 同，權(quán)力均衡；誰也不比誰更特殊、更突出、更優(yōu)越.所以(ax)r=(ax)g=ax, (a<y)/=(a=ay, 所以d)=廣(x)ax, dx=gf(y) )=$/ 廣(x

10、)；dy dx= fr(x) ax ay/ ff(x) =ayar.因為對于一般函數(shù))h(x)有)=dy+o(心片dy,所以drar.所 以，對屮的等式dydr=ayar,如果規(guī)定dx=a,那么必然 有d)=4y,這就與a)=d)；+o(ax)7my相矛盾了.從而進(jìn)一步敲 定了極限理論規(guī)定的dx=x是錯誤的.正是因為按照文獻(xiàn)1, 3上述的證明邏輯證明了在一般函 數(shù)y=f(x)有ck/ax,所以文獻(xiàn)1創(chuàng)用在括號屮說的“這同樣 也是一種規(guī)定” 乂否決了自己和文獻(xiàn)3的上述的證明，從而使 極限理論規(guī)定的dx=ar (心 不必為無窮小)又回到了真真切切 的、純純粹粹的、實實在在的、沒有證明的“規(guī)定”上來

11、.可是話乂說冋來，如果僅憑人為的“規(guī)定”就能產(chǎn)生正確 的結(jié)果的話，那么枇界數(shù)學(xué)大難題哥德巴赫猜想就不用陳景潤 們?nèi)ド崦C叨了，規(guī)定它正確就是了.參考文獻(xiàn)：1菲赫金哥爾茨蘇.數(shù)學(xué)分析原理：笫1卷第1分冊m.吳 親仁，陸秀麗譯.北京：高等教育出版社，1959：147-150； 168-170.2樊映川.高等數(shù)學(xué)講義：上冊m.北京：人民教育出版 社，1964： 278-280.3張景中.走進(jìn)教育數(shù)學(xué) 直來直去的微積分m.北京：科學(xué)出版社，2010： 30.4卡爾馬克思德.數(shù)學(xué)手稿j.復(fù)旦學(xué)報，自然科學(xué)版(專 輯)，1975, (1)： 52-54.5師教民.微積分之謎與美m(xù).石家莊：河北科學(xué)技術(shù)岀版

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13、heory(03)shi jiao-min12(1 department of science and technology, shijiazhuang radioand television university, shijiazhuang 050081, china；2 information engineering college in shijiazhuang economicinstitute, shijiazhuang 050031, china)abstract： the limit theoiy has great logical difficulty by definitions of the differential and the derivative.key words： the derivative； the different