函數(shù)單調(diào)性的判定方法(共12頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上函數(shù)單調(diào)性的判定方法1.判斷具體函數(shù)單調(diào)性的方法 對于給出具體解析式的函數(shù)，由函數(shù)單調(diào)性的定義出發(fā)，本文列舉的判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有如下幾種：1.1 定義法 首先我們給出單調(diào)函數(shù)的定義。一般地，設(shè)為定義在上的函數(shù)。若對任何、，當(dāng)時，總有(1)，則稱為上的增函數(shù)，特別當(dāng)成立嚴(yán)格不等時，稱為上的嚴(yán)格增函數(shù)；(2),則稱為上的減函數(shù)，特別當(dāng)成立嚴(yán)格不等式時，稱為上的嚴(yán)格減函數(shù)。 給出函數(shù)單調(diào)性的定義，我們就可以利用函數(shù)單調(diào)性的定義來判定及證明函數(shù)的單調(diào)性。用單調(diào)性的定義判斷函數(shù)單調(diào)性的方法叫定義法。利用定義來證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性的一般步驟：（1）設(shè)元，任取,且；（2

2、）作差；（3）變形（普遍是因式分解和配方）；（4）斷號（即判斷差與0的大小）；（5）定論（即指出函數(shù) 在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）。例1.用定義證明在上是減函數(shù)。證明：設(shè),，且，則由于，則，即，所以在上是減函數(shù)。例2.用定義證明函數(shù) 在上的單調(diào)性。證明：設(shè)、，且，則，又 所以，當(dāng)、時，此時函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)、時，此時函數(shù)為增函數(shù)。綜上函數(shù) 在區(qū)間內(nèi)為減函數(shù)；在區(qū)間內(nèi)為增函數(shù)。此題函數(shù)是一種特殊函數(shù)（對號函數(shù)），用定義法證明時通常需要進(jìn)行因式分解，由于與0的大小關(guān)系不是明確的，因此要分段討論。 用定義法判定函數(shù)單調(diào)性比較適用于那種對于定義域內(nèi)任意兩個數(shù)當(dāng)時，容易得出與大小關(guān)系的函數(shù)。在解決問題時，定

3、義法是最直接的方法，也是我們首先考慮的方法，雖說這種方法思路比較清晰，但通常過程比較繁瑣。1.2 函數(shù)性質(zhì)法函數(shù)性質(zhì)法是用單調(diào)函數(shù)的性質(zhì)來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法。函數(shù)性質(zhì)法通常與我們常見的簡單函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合起來使用。對于一些常見的簡單函數(shù)的單調(diào)性如下表：函數(shù)函數(shù)表達(dá)式單調(diào)區(qū)間特殊函數(shù)圖像一次函數(shù)當(dāng)時，在R上是增函數(shù)；當(dāng)時，在R上是減函數(shù)。二次函數(shù)當(dāng)時，時單調(diào)減,時單調(diào)增；當(dāng)時，時單調(diào)增，時單調(diào)減。反比例函數(shù)且當(dāng)時,在時單調(diào)減，在時單調(diào)減；當(dāng)時,在時單調(diào)增，在時單調(diào)增。指數(shù)函數(shù)當(dāng)時，在R上是增函數(shù)；當(dāng)，時在R上是減函數(shù)。對數(shù)函數(shù) 當(dāng)時，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，在上是減函數(shù)。對于一些常用的關(guān)于函數(shù)單調(diào)

4、的性質(zhì)可總結(jié)如下幾個結(jié)論：與+單調(diào)性相同。（為常數(shù)）當(dāng)時，與具有相同的單調(diào)性；當(dāng)時， 與具有相反的單調(diào)性。當(dāng)恒不等于零時，與具有相反的單調(diào)性。當(dāng)、在上都是增（減）函數(shù)時，則在上是增（減）函數(shù)。當(dāng)、在上都是增（減）函數(shù)且兩者都恒大于0時，在上是增（減）函數(shù)；當(dāng)、在上都是增（減）函數(shù)且兩者都恒小于0時，在上是減（增）函數(shù)。設(shè),為嚴(yán)格增（減）函數(shù)，則必有反函數(shù)，且在其定義域上也是嚴(yán)格增（減）函數(shù)。我們可以借助以上簡單函數(shù)的單調(diào)性來判斷函數(shù)的單調(diào)性，下面我們來看以下幾個例子：例3.判斷的單調(diào)性。解:函數(shù)的定義域為，由簡單函數(shù)的單調(diào)性知在此定義域內(nèi) 均為增函數(shù)，因為,由性質(zhì)可得也是增函數(shù)；由單調(diào)函數(shù)的性

5、質(zhì)知為增函數(shù)，再由性質(zhì)知函數(shù)+5在為單調(diào)遞增函數(shù)。例4.設(shè)函數(shù)，判斷在其定義域上的單調(diào)性。 解:函數(shù)的定義域為.先判斷在內(nèi)的單調(diào)性，由題可把轉(zhuǎn)化為，又故由性質(zhì)可得為減函數(shù)；由性質(zhì)可得為減函數(shù)；再由性質(zhì)可得在內(nèi)是減函數(shù)。同理可判斷在內(nèi)也是減函數(shù)。故函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)。函數(shù)性質(zhì)法只能借助于我們熟悉的單調(diào)函數(shù)去判斷一些函數(shù)的單調(diào)性，因此首先把函數(shù)等價地轉(zhuǎn)化成我們熟悉的單調(diào)函數(shù)的四則混合運算的形式，然后利用函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)去判斷，但有些函數(shù)不能化成簡單單調(diào)函數(shù)四則混合運算形式就不能采用這種方法。1.3 圖像法 用函數(shù)圖像來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法叫圖像法。根據(jù)單調(diào)函數(shù)的圖像特征，若函數(shù)的圖像在區(qū)間上從左往右

6、逐漸上升則函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；若函數(shù)圖像在區(qū)間上從左往右逐漸下降則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)。、例5. 如圖1-1是定義在閉區(qū)間-5,5上的函數(shù)的圖像，試判斷其單調(diào)性。專心-專注-專業(yè)解：由圖像可知：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有-5,-2），-2,1），1,3），3,5）.其中函數(shù)在區(qū)間-5,-2），1,3）上的圖像是從左往右逐漸下降的，則函數(shù)在區(qū)間-5,-2），1,3）為減函數(shù)；函數(shù)在區(qū)間-2,1），3,5上的圖像是從往右逐漸上升的，則函數(shù)在區(qū)間-2,1），3,5上是增函數(shù)。 例6.利用函數(shù)圖像判斷函數(shù)；在-3,3上的單調(diào)性。分析：觀察三個函數(shù)，易見，作圖一般步驟為列表、描點、作圖。首先作出和的圖像，再利用

7、物理學(xué)上波的疊加就可以大致作出的圖像，最后利用圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性。解:作圖像1-2如下所示：由以上函數(shù)圖像得知函數(shù)在閉區(qū)間-3,3上是單調(diào)增函數(shù)；在閉區(qū)間-3,3上是單調(diào)增函數(shù)；利用物理上波的疊加可以直接大致作出在閉區(qū)間-3,3上圖像，即在閉區(qū)間-3,3上是單調(diào)增函數(shù)。事實上本題中的三個函數(shù)也可以直接用函數(shù)性質(zhì)法判斷其單調(diào)性。 用函數(shù)圖像法判斷函數(shù)單調(diào)性比較直觀，函數(shù)圖像能夠形象的表示出隨著自變量的增加，相應(yīng)的函數(shù)值的變化趨勢，但作圖通常較煩。對于較容易作出圖像的函數(shù)用圖像法比較簡單直觀，可以類似物理上波的疊加來大致畫出圖像。而對于不易作圖的函數(shù)就不太適用了。但如果我們借助于相關(guān)的數(shù)學(xué)軟件去

8、作函數(shù)的圖像，那么用圖像法判斷函數(shù)單調(diào)性是非常簡單方便的。1.4 復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法定理1：若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)，在內(nèi)單調(diào)，且集合， （1）若是增函數(shù)，是增（減）函數(shù)，則是增（減）函數(shù)。（2）若是減函數(shù)，是增（減）函數(shù)，則是減（增）函數(shù)。 歸納此定理，可得口訣：同則增，異則減（同增異減）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的四種情形可列表如下：情形函數(shù) 單調(diào)性第種情形第種情形第種情形第種情形內(nèi)層函數(shù)外層函數(shù)復(fù)合函數(shù)顯然對于大于2次的復(fù)合函數(shù)此法也成立。推論：若函數(shù)是K(K2),)個單調(diào)函數(shù)復(fù)合而成其中有個減函數(shù)： ； 。判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的一般步驟：合理地分解成兩個基本初等函數(shù)；分別解出兩個基本初等函數(shù)的定義域；分別

9、確定單調(diào)區(qū)間；若兩個基本初等函數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性是同時單調(diào)遞增或同單調(diào)遞減，則為增函數(shù)，若為一增一減，則為減函數(shù)（同增異減）；求出相應(yīng)區(qū)間的交集，既是復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。以上步驟可以用八個字簡記“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解決一些復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性問題。下面我們就用“八字”求法來判斷函數(shù)的單調(diào)性。例7.求（且）的單調(diào)區(qū)間。解：由題可得函數(shù)是由外函數(shù)和內(nèi)函數(shù)符合而成。由題知函數(shù)的定義域是。內(nèi)函數(shù)在內(nèi)為增函數(shù)，在內(nèi)為減函數(shù)。若，外函數(shù)為增函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是增函數(shù)；函數(shù)在上是減函數(shù)。若，外函數(shù)為減函數(shù)，由同增異減法則，故函數(shù)在上是減函數(shù)；函數(shù)在上是增

10、函數(shù)。1.5 導(dǎo)數(shù)法我們在前面也曾利用函數(shù)圖像的特點判斷函數(shù)的增減性，圖像上升則遞增，圖像下降則遞減用定義法、圖像法等這些初等方法來判斷函數(shù)的單調(diào)性，一般比較繁雜，下面我們將以導(dǎo)數(shù)為工具來判斷函數(shù)的單調(diào)性。函數(shù)的導(dǎo)數(shù)反映了函數(shù)增加或減小的快慢，即變化率因此我們可以利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性這種用導(dǎo)數(shù)的符號來判斷函數(shù)單調(diào)性的方法叫導(dǎo)數(shù)法。在給定區(qū)間內(nèi)只要能求出其導(dǎo)數(shù)我們就可以用導(dǎo)數(shù)法來判斷函數(shù)單調(diào)性。為此先看如下定理：定理2：設(shè)在區(qū)間I上可導(dǎo)，則在I上遞增（減）的充要條件是：.即在區(qū)間I上可導(dǎo)，且在I上遞增（減）。導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：(1) 首先確定函數(shù)的定義域(判斷函數(shù)的單調(diào)性，必須

11、首先考慮其定義域)；(2) 求導(dǎo)數(shù)；(3) 在的定義域內(nèi)與0的大小關(guān)系；(4)寫出的單調(diào)區(qū)間下面我們來看下面幾個例題：例8.確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：的定義域為R，解不等式得 所以在(1，)內(nèi)是增函數(shù)；解不等式得所以在(，1)內(nèi)是減函數(shù)。顯然這里我們用定義法、函數(shù)性質(zhì)法、圖像法、復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法都能判斷其單調(diào)性。利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，一般應(yīng)先確定函數(shù)的定義域，在解題過程中容易忽略函數(shù)的定義域，應(yīng)予以重視再求導(dǎo)數(shù)，通過判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性例9.確定函數(shù)（且）的單調(diào)區(qū)間解：函數(shù)的定義域為R，當(dāng)時，即，故函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，即，故函數(shù)

12、在上是減函數(shù)。綜上可得當(dāng)時函數(shù)在上是增函數(shù)。當(dāng)時函數(shù)在上是減函數(shù)。例10.（同例7）解：由題可得函數(shù)的定義域是， 且若，則當(dāng)時，即，故函數(shù)在上是增函數(shù)；當(dāng)時，故函數(shù)在上是減函數(shù)若，則當(dāng)時，故函數(shù)在上是減函數(shù)；當(dāng)時，故函數(shù)在上是增函數(shù)導(dǎo)數(shù)法通過判斷函數(shù)定義域被導(dǎo)數(shù)為零的點和導(dǎo)數(shù)不存在的點所劃分的各區(qū)間內(nèi)的符號來確定函數(shù)在該區(qū)間上的單調(diào)性導(dǎo)數(shù)法判斷函數(shù)單調(diào)性主要適用于函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)并且容易判斷其導(dǎo)函數(shù)與零的大小關(guān)系時的情況。導(dǎo)數(shù)法是解決諸多問題的有力工具，它既給學(xué)生提供了一種重要的解題思想，又給學(xué)生提供了一種解題方法。2判斷抽象函數(shù)單調(diào)性的方法 如果一個函數(shù)沒有給出具體解析式，那么這樣的的函

13、數(shù)叫做抽象函數(shù)。抽象函數(shù)沒有具體的解析式，需充分提取題目條件給出的信息。2.1 定義法 通過作差(或者作商)，根據(jù)題目提出的信息進(jìn)行變形，然后與0（或者1）比較大小關(guān)系來判斷其函數(shù)單調(diào)性。通常有以下幾種方法：2.1.1 湊差法 根據(jù)單調(diào)函數(shù)的定義，設(shè)法從題目中“湊出”“”的形式，然后比較與0的大小關(guān)系。例11.已知函數(shù)對任意實數(shù)、均有，且當(dāng)時，試討論函數(shù)的單調(diào)性。解：由題得，令，且，又由題意當(dāng)時，所以函數(shù)為增函數(shù)。2.1.2添項法 弄清題目中的結(jié)構(gòu)特點，采用加減添項或乘除添項，以達(dá)到能判斷“”與0大小關(guān)系的目的。例12.（同例11）解:任取，則，由題意函數(shù)對任意實數(shù)、均有，且當(dāng)時，所以函數(shù)為增

14、函數(shù)。2.1.3 增量法 由單調(diào)性的定義出發(fā)，任取設(shè),然后聯(lián)系題目提取的信息給出解答。例13.（同例11）解：任取設(shè)由題意函數(shù)對任意實數(shù)、均有，又由題當(dāng)時，所以函數(shù)為增函數(shù)。2.1.4 放縮法 利用放縮法，判斷與的大小關(guān)系，從而得在其定義域內(nèi)的單調(diào)性。例14.已知函數(shù)的定義域為（0，+），對任意正實數(shù)、均有，且當(dāng)時，判斷函數(shù)的單調(diào)性.解： 設(shè)，則 又當(dāng)時，故再由中令，得當(dāng)時，由易知此時，故恒成立。因此即在（0，+）上為單調(diào)遞減函數(shù)。 對于抽象函數(shù)，由于抽象函數(shù)沒有具體的解析式，因此需充分提取題目條件給出的信息,觀察結(jié)構(gòu)特點。用定義法判定抽象函數(shù)單調(diào)性比較適用于那種對于定義域內(nèi)任意兩個數(shù)當(dāng)時，容

15、易得出-與0大小關(guān)系的函數(shù)。定義法是最直接的方法，思路也比較清晰，在解題中靈活選擇湊差法、添項法、增量法、放縮法等恰當(dāng)?shù)姆椒?，可使解題過程更加簡單方便。2.2 列表法 對于比較復(fù)雜的復(fù)合函數(shù)，除了用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性判斷法外，還可以用列表，將各個函數(shù)的單調(diào)性都列出來，然后再判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性。例15.已知在R上是偶函數(shù)，且在0,+）上是增函數(shù)，求是減函數(shù)的區(qū)間函數(shù)表達(dá)式單調(diào)性解：列表如下由表知是減函數(shù)的區(qū)間，。利用列表法比較直觀，精確、易懂、量與量之間的關(guān)系又很明確。列表法在實際生活當(dāng)中應(yīng)用也是比較廣泛的。但是列表法也有其局限性：在于適用題型狹窄，求解范圍小，大部分是跟探尋規(guī)律或反映規(guī)律有關(guān)。函數(shù)單調(diào)性是函數(shù)的一個非常重要的性質(zhì)，本文從單調(diào)性的定義入手，總結(jié)了