極限運算法則課件

1、 第一章 二、二、 極限的四則運算法則極限的四則運算法則 三、三、 復合函數(shù)的極限運算法則復合函數(shù)的極限運算法則 一一 、無窮小運算法則、無窮小運算法則 極限運算法則時, 有,min21定理定理1. 有限個無窮小的和還是無窮小 .證證: 考慮兩個無窮小的和 . 設,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01當100 xx時 , 有2, 02當200 xx時 , 有2取則當00 xx22因此.0)(lim0 xx這說明當0 xx 時,為無窮小量 .說明說明: 無限個無限個無窮小之和不一定不一定是無窮小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1( P56 , 題 4 (2) )類似可證:

2、 有限個有限個無窮小之和仍為無窮小 . 證證: 設, ),(10 xxMu 又設,0lim0 xx即,0,02當),(20 xx時, 有M取,min21則當),(0 xx時 , 就有uuMM故,0lim0uxx即u是0 xx 時的無窮小 .推論推論 1 . 常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小 .推論推論 2 . 有限個無窮小的乘積是無窮小 .oyx.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理 2 可知.0sinlimxxxxxysin說明說明 : y = 0 是xxysin的漸近線 .,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf證證: 因,

3、)(lim,)(limBxgAxf則有BxgAxf)(,)(其中,為無窮小) 于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理 1 可知也是無窮小, 再利用極限與無窮小BA的關系定理 , 知定理結(jié)論成立 .定理定理 3 . 若,)(lim,)(limBxgAxf且),()(xgxf則.BA( P45 定理定理 5 )()()(xgxfx利用保號性定理證明 .說明說明: 定理 3 可推廣到有限個函數(shù)相加、減的情形 .提示提示: 令,)(lim,)(limBxgAxf則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用極限與無窮小關系定理及本節(jié)定理2 證明 .說明說明: 定理

4、4 可推廣到有限個函數(shù)相乘的情形 .推論推論 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 為常數(shù) )推論推論 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 為正整數(shù) )例例2. 設 n 次多項式,)(10nnnxaxaaxP試證).()(lim00 xPxPnnxx證證:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA(詳見詳見P44)B2B1)(1xg)(0 xx,)(lim,)(limBxgAxf且 B0 , 則有)()(limxgxf)(lim)(limxgxfBA,lim,limByAxnnnn則有)(lim) 1 (nnnyx nnnyxlim

5、)2(,00)3(時且當BynBAyxnnnlimBABA提示提示: 因為數(shù)列是一種特殊的函數(shù) , 故此定理 可由定理3 , 4 , 5 直接得出結(jié)論 . x = 3 時分母為 0 !31lim3xxx,)()()(xQxPxR其中)(, )(xQxP都是多項式 ,0)(0 xQ試證: . )()(lim00 xRxRxx證證: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR說明說明: 若,0)(0 xQ不能直接用商的運算法則 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若.4532lim21xx

6、xx解解: x = 1 時3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母 = 0 , 分子0 ,但因.125934lim22xxxxx解解: x時,分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以,2x則54分母“ 抓大頭抓大頭”原式為正整數(shù) )nmba,0(00mn 當mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,mn 當mn 當定理定理7. 設,)(lim0axxx且 x 滿足100 xx時,)(ax 又,)(limAufau則有 )(lim0 xfxxAufau)(lim解解: 令.93lim23xxx932xxu已知ux3li

7、m61 原式 =uu61lim6166解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 則, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx21. 極限運算法則(1) 無窮小運算法則(2) 極限四則運算法則(3) 復合函數(shù)極限運算法則注意使用條件2. 求函數(shù)極限的方法(1) 分式函數(shù)極限求法0) 1xx 時, 用代入法( 分母不為 0 )0)2xx 時, 對00型 , 約去公因子x)3時 , 分子分母同除最高次冪 “ 抓大頭”(2) 復合函數(shù)極限求法設中間變量1.,)(lim,)(lim不存在

8、存在若xgxf)()(limxgxf是否存在 ? 為什么 ?答答: 不存在 . 否則由)()()()(xfxgxfxg利用極限四則運算法則可知)(limxg存在 , 與已知條件矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.問. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令,1xt tttt1111lim2021則原式 =22011limttt111lim20tt0t.0)1(lim33xaxx解解 : 令,1xt 則tatt33011lim001atatt3301lim01lim330att故1a因此