高中數(shù)學(xué) 第一章 推理與證明 1.3 第一章 推理與證明 反證法課件2 北師大版選修2-2

1、1.3 反證法1.3 反證法復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入綜合法綜合法分析法分析法因因果果由因?qū)Чㄓ梢驅(qū)Чü蛞驁?zhí)果索因法執(zhí)果索因法直接證明直接證明間接證明間接證明反證法反證法 a a、b b、c c三個(gè)人，三個(gè)人，a a說說b b撒謊，撒謊，b b說說c c撒謊，撒謊，c c說說a a、 b b都撒謊。則都撒謊。則c c必定是在撒謊，為什么？必定是在撒謊，為什么？假設(shè)假設(shè)c c沒有撒謊沒有撒謊, , 則則c c真真; ;由由a a假假, , 知知b b真真. . 那么假設(shè)那么假設(shè)“c c沒有撒謊沒有撒謊”不成立不成立; ;則則c c必定是在撒謊必定是在撒謊. .那么那么a a假且假且b b假假; ;

2、這與這與b b假矛盾假矛盾. .推出矛盾推出矛盾. .推翻假設(shè)推翻假設(shè). .原命題成立原命題成立. .分析分析: :由假設(shè)由假設(shè)反證法的步驟：反證法的步驟： 假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立；假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即假設(shè)結(jié)論的反面成立； 從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；從這個(gè)假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾； 由矛盾判定假設(shè)不正確，而肯定命題的結(jié)論正確。由矛盾判定假設(shè)不正確，而肯定命題的結(jié)論正確。要證結(jié)論要證結(jié)論p p假設(shè)非假設(shè)非p p為真為真導(dǎo)致矛盾導(dǎo)致矛盾斷斷定定反設(shè)反設(shè)非非p為假為假p必為真必為真原命題原命題 得證得證定義：定義： 一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推

3、理，一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，由此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原最后得出矛盾，由此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做命題成立，這樣的證明方法叫做反證法反證法。思考：此法的原理和實(shí)質(zhì)是什么？思考：此法的原理和實(shí)質(zhì)是什么？原理：原理：否定之否定就是肯定否定之否定就是肯定。實(shí)質(zhì)：實(shí)質(zhì)：證明命題的逆否命題和原命題同時(shí)成立證明命題的逆否命題和原命題同時(shí)成立。例例1.已知已知a是整數(shù)，是整數(shù)，2能整除能整除a2，求證：，求證：2能整除能整除a.1)22( 2144) 12(2222mmmmma2a證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“2不能整除a”.因?yàn)閍是整數(shù)，故

4、a是奇數(shù)，a可表示為2m+1（m為整數(shù)），則即a2是奇數(shù).所以,2不能整除a2.這與已知“2能整除”相矛盾.于是,“2不能整除a”這個(gè)假設(shè)錯(cuò)誤，故2能整除a.例例2、在同一平面內(nèi)，兩條直線、在同一平面內(nèi)，兩條直線a，b都和直線都和直線c垂直垂直.求證：求證：a與與b平行平行.證明：假設(shè)命題的結(jié)論不成立，即“直線a與b相交”。設(shè)直線a，b的交點(diǎn)為m，a，c的交點(diǎn)為p，b，c的交點(diǎn)為q，如圖所示，則pmq0mpqpqmmpqpmq0001809090pmq這樣的內(nèi)角和這與定理“三角形的內(nèi)角和等于180”相矛盾，這說明假設(shè)是錯(cuò)誤的。所以直線a與b不相交，即a與b平行。反證法的步驟：反證法的步驟：總結(jié)

5、總結(jié)（1）反設(shè)：反設(shè)：假設(shè)結(jié)論的反面成立；假設(shè)結(jié)論的反面成立；（2）歸謬：歸謬：由反設(shè)出發(fā)，通過正確推理，導(dǎo)出由反設(shè)出發(fā)，通過正確推理，導(dǎo)出矛盾；矛盾；（3）結(jié)論：結(jié)論：結(jié)論的反面不成立，即原結(jié)論正確。結(jié)論的反面不成立，即原結(jié)論正確。(1)(1)直接證明比較困難直接證明比較困難; ; (2) (2)直接證明需分成很多類直接證明需分成很多類, ,而對(duì)立命題分類較少而對(duì)立命題分類較少; ;（3)3)結(jié)論有結(jié)論有“至少至少”,“,“至多至多”,“,“有無窮多個(gè)有無窮多個(gè)”之之 類字樣類字樣（4 4）結(jié)論為）結(jié)論為 “ “唯一唯一”之類的命題；之類的命題；應(yīng)用反證法的情形：應(yīng)用反證法的情形：思考：歸謬

6、思考：歸謬是是“反證法反證法”的核心步驟，歸謬得到的核心步驟，歸謬得到的邏輯矛盾，常見的類型有哪些？的邏輯矛盾，常見的類型有哪些？ 歸謬包括推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、歸謬包括推出的結(jié)果與已知定義、公理、定理、公式矛盾，或與已知條件、臨時(shí)假設(shè)矛盾，以及公式矛盾，或與已知條件、臨時(shí)假設(shè)矛盾，以及自相矛盾等各種情形自相矛盾等各種情形. .分析：分析：至少有一個(gè)，若從正面考慮，需分多種情況，至少有一個(gè)，若從正面考慮，需分多種情況，一一去證明，比較繁瑣，而反方面只有一一去證明，比較繁瑣，而反方面只有“沒有一個(gè)數(shù)沒有一個(gè)數(shù)大于大于25”這一種情況，即這一種情況，即“所有的數(shù)都小于等于所有的數(shù)都小于

7、等于25”，相對(duì)而言，從反方面入手更加簡便。相對(duì)而言，從反方面入手更加簡便。 1. 已知已知 ， 求證：求證： 中至少有一個(gè)數(shù)大于中至少有一個(gè)數(shù)大于25。1004321aaaa4321,aaaa試分析下列題目，并寫出反證法的證明過程。試分析下列題目，并寫出反證法的證明過程。注意有兩個(gè)方面，不要想當(dāng)然地認(rèn)為注意有兩個(gè)方面，不要想當(dāng)然地認(rèn)為“不大于不大于”就是就是“小于小于”。 2. 求證：求證： 不可能是一個(gè)等差數(shù)列中不可能是一個(gè)等差數(shù)列中的三項(xiàng)。的三項(xiàng)。5,2 ,1分析：分析：設(shè)設(shè) 為等差數(shù)列，則可由等差數(shù)列為等差數(shù)列，則可由等差數(shù)列 的相關(guān)概念，如公差或等差中項(xiàng)等推出矛盾。的相關(guān)概念，如公差或等差中項(xiàng)等推出矛盾。5,2 ,1 3. 空間中有平面空間中有平面 、 ，直線，直線 、 ，且有，且有 求證：求證：,/baaba/ab分析：分析：設(shè)設(shè) 、 不平行，由立體幾何知識(shí)容易推得直線不平行，由立體幾何知識(shí)容易推得直線 與面與面 相交，與條件矛盾。相交，與條件矛盾。 aba 反證法定義：反證法定義： 反證法步驟：反證法步驟：反設(shè)反設(shè)歸謬歸謬結(jié)論結(jié)論 一般地，假設(shè)原命題不成立，經(jīng)過正確的推理，一般地，假設(shè)原