雙等腰三角形教師版

1、雙等腰三角形等腰三角形是幾何題目中常見(jiàn)的基本圖形，兩個(gè)等腰三角形為背景的題目也屢見(jiàn)不鮮，多數(shù)為兩個(gè)等腰三角形共點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，或兩個(gè)等腰三角形的底在同一直線上，或兩個(gè)等腰三角形的腰在同一直線上，那么有著特殊位置的兩個(gè)等腰三角形會(huì)有什么結(jié)論那？共腰雙等腰首先我們就一起研究一下兩個(gè)共腰的等腰三角形有什么特性及其應(yīng)用。共腰雙等腰是指兩個(gè)等腰三角形各有一條腰在同一直線上，而剩余的腰和底不在同一直線上，那么兩個(gè)等腰三角形剩余腰與腰的夾角為兩個(gè)等腰三角形剩余底與底夾角的2倍。模型一、如圖，AB=AC，AD=AE，求證：BAD=2EDC。AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，AD=AE，設(shè)ADE=AED=，其中兩個(gè)等腰三

2、角形的一條腰AE與AC共線，那么剩余的底DE與剩余的底BC的夾角EDC=-，那么剩余的腰AB與剩余的腰AD的夾角BAD=ADC-ABC=2-2，BAD=2EDC。模型一變式、如圖，AB=AC，BAD=2EDC，求證：AD=AE。 如圖，AD=AE，BAD=2EDC，求證：AB=AC。模型二、如圖，AB=AC=AD，求證：（1）CAD=2CBD；（2）BAC=2BDC。AB=AD，設(shè)ABD=ADB=，AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AB與AB共線，那么剩余的底BD與剩余的底BC的夾角DBC=-，那么剩余的腰AC與剩余的腰AD的夾角CAD=BAD-BAC=2-2，CAD=

3、2CBD。同理可證，BAC=2BDC。模型二變式、如圖，AB=AC，CAD=2CBD，求證：AB=AD。 如圖，AB=AC，BAC=2BDC，求證：AB=AC。模型二思考、等腰ABC與等腰ACD也可以看成是兩個(gè)共腰的等腰三角形，那么圖中誰(shuí)是剩余腰與腰的夾角，誰(shuí)是剩余底與底的夾角，它們之間還是否滿足2倍的關(guān)系？模型三、如圖，AB=AC=AD，求證：（1）CAD=2CBD；（2）BAC=2BDC；（3）BAD=2BCD。AB=AD，設(shè)ABD=ADB=，AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，其中兩個(gè)等腰三角形的一條腰AB與AB共線，那么剩余的底BD與剩余的底BC的夾角DBC=+，那么剩余的腰AC與剩余的腰

4、AD的夾角CAD=2+2，CAD=2CBD。同理可證BAC=2BDC；BAD=2BCD。模型二與模型三都可以看成點(diǎn)A為BCD的外心。模型一、二、三中兩個(gè)等腰三角形不光共腰，它們還共點(diǎn)，那是不是一定要滿足共點(diǎn)這個(gè)條件那？模型四、如圖，等腰ABC中，AB=AC，等腰DEF中，DE=DF，圖中AB與DE共線，那么剩余的腰或底在圖中沒(méi)有交點(diǎn)，就需要我們找到剩余的腰或底所在直線，進(jìn)而找到剩余腰與腰的夾角和剩余底與底的夾角，通過(guò)前面的方法可證CPF=2FQC。典型例題賞析例1：如圖，RtABC中，AB=AC，D、E分別是BC、AC邊上一點(diǎn)，連接AD、DE，若BAD=2CDE，CD=4，AE=，求AC的長(zhǎng)。

5、例1解析：由AB=AC和BAD=2CDE，可得AD=AE=， 解ACD，可得AC=。共腰雙等腰部分例2：如圖，正方形ABCD，過(guò)點(diǎn)A作EAF=90°，兩邊分別交直線BC于點(diǎn)E，交線段CD于點(diǎn)F，G為AE中點(diǎn)，連接BG，過(guò)點(diǎn)G作BG的垂線交對(duì)角線AC于點(diǎn)H，連接HF，若CH=3AH，請(qǐng)你探究HF與AF之間的數(shù)量關(guān)系.例2解析：由BG是直角三角形ABE的斜邊中線，得BG=AG，由正方形ABCD，得BAC=45°，題中已知BGH=90°得BGH=2BAH，由模型二的變式可得GH=GB，為接下來(lái)固定圖形起到了至關(guān)重要的作用，設(shè)AH=k，CH=3k，BC=k，連接BH，得B

6、H=k，由GBH為等腰直角三角形，得GB=GH=k，AE=2BG=k，AB=k，得BE=k，由ADFABE，DF=BE=k，AF=k，CF=k，解CFH，得FH=k，得AF=FH.共腰雙等腰部分例3：如圖，在菱形ABCD的對(duì)角線AC上取點(diǎn)E，連接BE，使BEC=60°，在CD邊上取點(diǎn)F，連接EF，且CEF=ABE，若CF=4，CE=16，求AE的長(zhǎng). 例3解析：本題由菱形構(gòu)成，菱形四條邊相等，所以不缺少等腰三角形，但是CEF=ABE這個(gè)條件不知如何使用。連接DE，ABEADE，ABE=ADE，由DA=DC，CEF=ADE，得DE=DF，設(shè)EO=k，BE=2k，DE=DF=2k，DC=

7、BC=2k+4，CO=16-k，BO=k，勾股BOC，得k=5，AE=6。例4：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，直線AB的解析式為.（1）求拋物線解析式；（2）P為線段OA上一點(diǎn)（不與O、A重合），過(guò)P作PQx軸交拋物線于Q，連接AQ，M為AQ中點(diǎn)，連接PM，過(guò)M作MNPM交直線AB于N，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t，點(diǎn)N的橫坐標(biāo)為n，求n與t的函數(shù)關(guān)系；（3）在（2）的條件下，連接QN并延長(zhǎng)交y軸于E，連接AE，求t為何值時(shí)，MNAE. （2）共腰雙等腰部分例4解析：有已知可容易得（1）答案。（2）BAO=NMP，MA=MP，得MN=MP，得NMP為等腰直角三角形，過(guò)M

8、作x軸的垂線，過(guò)N作y軸的垂線，可得NFMMGP，設(shè)點(diǎn)P（t，0）,Q(t，)，由M為AQ中點(diǎn)，MG=，（3）共腰雙等腰部分NF=MG=，所以=OG-NF=。（3）MN=MP=MQ，得NQP=NMP=45°，NHQ=AHP=45°，得QNH=90°，得EQAB，MNAE，由M為AQ的中點(diǎn)，得N為EQ的中點(diǎn)，得AN垂直平分EQ，得AQ=AE，EAO=AEB-90°=(45°+AEQ)-90°=AEQ-45° 又AQP=AQE-45°，EAO=AQP，EOA=QPA=90°，APQOEA，AO=PQ=3，由Q

9、(t，)，得，（舍），。強(qiáng)化訓(xùn)練習(xí)題1、如圖：在ABC中，AB=AC，D、E分別是BC、AC邊上一點(diǎn)，且AD=AE，BAD=68°，求CDE的度數(shù).2、如圖，在ABC中，ABC=C，D、E分別在CB、AB的延長(zhǎng)線上，連接AD、DE，且E=ADE，若BDE=50°，求DAC的度數(shù).3、如圖，在ABC中，線段BC的垂直平分線交AB于點(diǎn)F，垂足為E，D為EF上一點(diǎn)，連接AD、BD、CD，若ACD為等邊三角形，EF=2，求BF的長(zhǎng).4、如圖，在四邊形ABDC中，連接AD、BC，AB=BC=BD， DAC的正切值為，若AB=5，求CD的長(zhǎng).5、如圖，在菱形ABCD中，tanDAB=，

10、AE=AB， AHBE于點(diǎn)H，連接DE交AH于點(diǎn)G，連接BG，BG=10，求BE的長(zhǎng).6、如圖，RtABC中，B=90°，BAC=60°，點(diǎn)E是AC邊的中點(diǎn)，D為BC上一點(diǎn)，若BA=BD，求sin ADE的值.7、已知，在ABC中，AC=BC，ACB=90º，D是AC的中點(diǎn)，E為AC垂直平分線上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE，過(guò)E作EFCE，垂足為E，射線EF交直線AB于F，若AC=4，四邊形BCEF的面積為4.5時(shí)，求AF的長(zhǎng).8、如圖，在四邊形ABCD中，連接AC、BD，AC=AD=BC，ABC=60°，AD=，CD=，求BD的長(zhǎng).9、如圖，等邊ABC中， D為直

11、線BC下方一點(diǎn)，滿足BDC=90°，將點(diǎn)C沿直線BD折疊得到點(diǎn)E，連接DE、AE，交射線DB于點(diǎn)F.（1）求證：AEC=30°；（2）請(qǐng)你猜想AE、CE、BF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.10、如圖，在RtABC中，ACB=90°，點(diǎn)O在AB邊上，OB=OC，點(diǎn)D在OC的延長(zhǎng)線上，連接AD，點(diǎn)E在AD上，OE交AC于點(diǎn)F，OE=OC，ABC=CAD+30°，若OF=4，DE=3，求OD的長(zhǎng).答案：1、CDE=68°2、DAC=100°3、BF=44、CD=5、BE=6、sin ADE=7、AF=或AF=8、BD=89、（1）略；（2

12、）CE+BF=AE10、OD=7共底雙等腰接下來(lái)我們就一起研究一下兩個(gè)共底的等腰三角形有什么特性及其應(yīng)用。共底雙等腰是指兩個(gè)等腰三角形的底在同一直線上，而剩余的腰不在同一直線上，那么兩個(gè)等腰三角形腰與腰的夾角等于兩個(gè)等腰三角形剩余腰與腰的夾角。模型一、如圖，AB=AC，BD=DE，（1）求證：ABD=CDE；（2）延長(zhǎng)ED交AB于F，求證：BDC=BFE。證明：（1）AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰BD的夾角ABD=ABC-DBE=-，那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角CDE=ACB-DEB=-，ABD=CD

13、E。（2）AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰DE的夾角BFE=180°-ABC-DEB=180°-，那么剩余的腰AC與剩余的腰BD的夾角BDC=180°-ACB-DBE=180°-，BDC=BFE。模型一變式、如圖，AB=AC，ABD=CDE，求證：BD=DE。 如圖，BD=DE，ABD=CDE，求證：AB=AC。模型二、如圖，點(diǎn)D為射線CA上一點(diǎn)，點(diǎn)E為BC上一點(diǎn)，AB交DE于F，若AB=AC，DB=DE，求證：（1）ABD=CDE；（2）BDC=BFE。證明：（1）AB

14、=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰BD的夾角ABD=DBE -ABC =-，那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角CDE=DEB -ACB =-，ABD=CDE。（2）AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰DE的夾角BFE=180°-ABC-DEB=180°-，那么剩余的腰AC與剩余的腰BD的夾角BDC=180°-ACB-DBE=180°-，BDC=BFE。模型二變式、如圖，AB=AC，ABD=CDE，

15、求證：BD=DE。 如圖，BD=DE，ABD=CDE，求證：AB=AC。 如圖，AB=AC，BDC=BFE，求證：BD=DE。如圖，BD=DE，BDC=BFE，求證：AB=AC。模型三、如圖，點(diǎn)D為射線CA上一點(diǎn)，點(diǎn)E為射線CB上一點(diǎn)，若AB=AC，DB=DE，求證：ABD=CDE。證明：AB=AC，設(shè)ABC=ACB=，DB=DE，設(shè)DBE=DEB=，其中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，那么腰AB與腰DB的夾角ABD=180°-ABC-DBE=180°-，那么剩余的腰AC與剩余的腰DE的夾角CDE=180°-ACB-DEB=180°-，ABD=CDE。

16、模型三思考：圖中兩個(gè)等腰三角形的底BC與BE共線，腰AC與腰腰DB的夾角為BDC，那么剩余的腰AB與剩余的腰DE在圖中沒(méi)有交點(diǎn)，就需要我們找到剩余的腰或底所在直線，進(jìn)而找到剩余腰與腰的夾角AFD，通過(guò)前面的方法可證BDC=AFD。典型例題賞析例1：如圖，等腰直角ABC，BAC=90°，AB=AC，D是AB上一點(diǎn)，連接CD、DE，若CD=DE，求證：BE=AD.例1解析：AB=AC，CD=DE，由共底雙等腰，得BDE=ACD，過(guò)D作DFBC交AC于F，導(dǎo)角得CFD=DBE=135°，可得CDFEDB，BE=DF，由DF=AD，BE=AD。共底雙等腰部分例2：如圖，ABC為等邊

17、三角形，D為AB上一點(diǎn)，點(diǎn)E為CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE=CB，連接BE并延長(zhǎng)交CA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，若AD=3，CF=7，求CD的長(zhǎng).例2解析：題目中已經(jīng)具備了等邊三角形ABC和等腰三角形CBE，并且兩個(gè)等腰三角形還是共腰的雙等腰，但是并不足以解決求CD的問(wèn)題，所以我們?cè)贑F上取點(diǎn)G，連接BG，使得FG=BG，再構(gòu)造出一個(gè)等腰GFB，由CE=CB，形成共底雙等腰，得GBC=FCE，再由題目中的等邊三角形ABC，就出現(xiàn)了我們非常熟悉的ACDBCG，AD=CG=3，F(xiàn)G=CF-CG=7-3=4，由ACDBCG，CD=BG=FG=4。例3：如圖，在半O中，AB為直徑，C在半O上，且，當(dāng)AB=4時(shí)，連接A

18、C.（1）求AC的長(zhǎng)；（2）在上有一點(diǎn)D，當(dāng)時(shí)，求AD的長(zhǎng)；（3）在（2）的條件下，上有一點(diǎn)E，過(guò)E作EF平行AC交AD于F，連接BE、BF，若BE=BF，求AF的長(zhǎng). 例3解析：由已知條件，很容易求出（1）AC=，（2）AD=。共底雙等腰部分（3）題目中已經(jīng)具備等腰三角形BEF，延長(zhǎng)EF交AB于P，EFAC，EPB=CAB=45°，過(guò)E作EMAB于M，構(gòu)造出第二個(gè)等腰三角形MEP，由共底雙等腰得，BEM=FBP，過(guò)F作FHAB于N，EMBBNF，F(xiàn)N=BM，設(shè)BM=k，則FN=k，由tanDAB=，AN=2k，BN=4-2k，EM=4-2k，BM=k，OM=2-k，連接OE，EMO

19、=90°，在OEM中，（取加號(hào)時(shí)，k2，加號(hào)舍去），tanDAB=，AF=。強(qiáng)化訓(xùn)練習(xí)題1、如圖，等邊ABC中，D是BC的中點(diǎn)，P為射線AD上一點(diǎn)，若BPA為等腰三角形，求BPC的度數(shù).2、如圖，等邊ABC中，點(diǎn)D為射線BA上一點(diǎn)，作DE=DC，交直線BC于點(diǎn)EABC的平分線BF，交CD于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)A作AHCD于H，當(dāng)EDC=30°，CF=4，求DH的長(zhǎng).3、如圖，等腰直角ABC，BAC=90°，AB=AC，D是射線BA上一點(diǎn)，E是直線BC上一點(diǎn)，連接CD、DE，若CD=DE，BE:BC=1:2，CD=，求BD的長(zhǎng).4、如圖，等腰ABC中，AB=AC，過(guò)A作ADAB交BC于D，過(guò)D作DEAC于E，過(guò)B作BFAC于F，求證：EF=AB.5、如圖、等腰ABC，AB=AC，將線段AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得線段AD，交BC于E，過(guò)D作AD的垂線交AC延長(zhǎng)線于F，若AE=9，DF=8，求DE的長(zhǎng).6、如圖，在ABC中，B=45°，