高中數(shù)學 第三章 導數(shù)及其應用 3.1.1 平均變化率課件10 蘇教版選修1-1

1、3.1.1 平均變化率平均變化率 問題情境問題情境時間間隔時間間隔記憶量記憶量剛記完剛記完100%20分鐘后分鐘后58.2%1小時后小時后44.2%89小時后小時后35.8%1天后天后33.7%2天后天后27.8%6天后天后25.4%問題情境問題情境問題情境問題情境1002 .441008 .35:段ab=-8.41008 .351004 .25:段bc=-10.4 acb此圖中，此圖中，ab段曲線比段曲線比cd段曲線更段曲線更“陡峭陡峭”，用怎樣用怎樣的數(shù)學模型刻畫曲線的陡峭程度呢？的數(shù)學模型刻畫曲線的陡峭程度呢？平均變化率平均變化率問題情境問題情境=-25.2-1.85 241249100

2、2 .441008 .35:段ab24961008 .351004 .25:段bcacb t(d)2030342102030a (1, 3.5)b (32, 18.6)oc (34, 33.4)t ()2104月月18號號4月月20號號3月月18號號(作為第一天）作為第一天）問題情境問題情境問題情境問題情境時間時間3 3月月1818日日 4 4月月1818日日 4 4月月2020日日日最高氣溫日最高氣溫 3.53.5 o oc c18.618.6 o oc c33.433.4 o oc c相差相差15.1 c相差相差14.8 c問題問題4 在在1,32，32,34這兩個時間段內(nèi)氣這兩個時間段內(nèi)

3、氣溫變化溫變化較大較大的是哪個？氣溫變化的是哪個？氣溫變化較快較快的是的是哪個？為什么？哪個？為什么？4月月20號那天，悶熱的人們無號那天，悶熱的人們無不感嘆不感嘆“天氣熱得太快了！天氣熱得太快了！” 問題問題5 用怎樣的數(shù)學模型刻畫用怎樣的數(shù)學模型刻畫“氣溫氣溫”變化的快與慢？變化的快與慢？ t(d)2030342102030a (1, 3.5)b (32, 18.6)oc (34, 33.4)t ()210用用“平均變化率平均變化率”33.418.67.4343218.63.50.5321，此圖中，此圖中，bc段曲線段曲線比比ab段曲段曲線更線更“陡峭陡峭”oxy1212xxyy問題問題6

4、 6 一般地，如何量化曲線的一般地，如何量化曲線的“陡峭陡峭”程度呢？程度呢？ba(x3 , y3)(x1 , y1)(x2 , y2)2323xxyykab=kbc=用用“直線斜率直線斜率”近似近似量化曲線的量化曲線的“陡峭程度陡峭程度”. .數(shù)學思想：數(shù)學思想：c以直代曲以直代曲數(shù)形結合數(shù)形結合1. 定義定義 ：一般地，函數(shù)一般地，函數(shù) f (x) 在區(qū)間在區(qū)間 x1, x2上的上的平均平均變化率變化率為為 .()()f xf xxx-2121注意注意:（1）平均變化率平均變化率不能脫離區(qū)間不能脫離區(qū)間而言，不同區(qū)而言，不同區(qū)間上平均變化率可能不同間上平均變化率可能不同數(shù)學理論數(shù)學理論（2

5、）若設若設 x=x2-x1， y=y2-y1，則函數(shù)，則函數(shù)f(x)在在 區(qū)間區(qū)間x1，x2上的平均變化率可寫為上的平均變化率可寫為 .2.平均變化率的平均變化率的實質(zhì)實質(zhì)就是：就是： .函數(shù)值的函數(shù)值的改變量改變量與自變量的與自變量的改變量改變量之比之比xy3.平均變化率平均變化率 的的幾何意義幾何意義: . ()()f xf xxx-2121練習練習1 表示函數(shù)表示函數(shù)f(x)在區(qū)在區(qū)間間 上的平均變化率上的平均變化率. 數(shù)學理論數(shù)學理論過過兩點兩點(x1, f(x1)和和(x2, f(x2) 的直線的斜率的直線的斜率00()()f xxf xx 00 xxx ,練習練習2 表示函數(shù)表示函

6、數(shù)f(x)在區(qū)在區(qū)間間 上的平均變化率上的平均變化率. xxxfxxf2)()(00,00 xxxx4. 平均變化率平均變化率是是曲線陡峭程度曲線陡峭程度的的“ ”， 曲線陡峭程度曲線陡峭程度是是平均變化率平均變化率的的“ ”數(shù)學理論數(shù)學理論數(shù)量化數(shù)量化視覺化視覺化平均變化率平均變化率 曲線陡峭程度曲線陡峭程度數(shù)量化（數(shù)量化（數(shù)數(shù)）視覺化（視覺化（形形） 數(shù)學思想數(shù)學思想（1）數(shù)形結合）數(shù)形結合（2）以直代曲）以直代曲1.在經(jīng)營某商品中，甲掙到在經(jīng)營某商品中，甲掙到10萬元，乙掙到萬元，乙掙到2萬元，萬元，據(jù)此，你能評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果嗎？為什么？據(jù)此，你能評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果嗎？為什

7、么？2.甲、乙兩人投入相同的資金經(jīng)營某商品，甲用甲、乙兩人投入相同的資金經(jīng)營某商品，甲用5年年時間掙到時間掙到10萬元，乙用萬元，乙用5個月時間掙到個月時間掙到2萬元，你能萬元，你能評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果嗎？評價甲、乙兩人的經(jīng)營成果嗎？ 解解 甲、乙每月獲利（單位：萬元）分別為：甲、乙每月獲利（單位：萬元）分別為：1012(/(/5 1265甲：萬元 月），乙： 萬元 月），12,65而而甲、乙投入相同的資金，所以可以認為乙的經(jīng)營而甲、乙投入相同的資金，所以可以認為乙的經(jīng)營成果較好。成果較好。學生探究學生探究例例1 某嬰兒從出生到第某嬰兒從出生到第12個月的體重變化如圖所示，個月的體重變化如

8、圖所示，試分別計算從出生到第試分別計算從出生到第3個月與第個月與第6個月到第個月到第12個月該個月該嬰兒體重的平均變化率嬰兒體重的平均變化率.t(月)w (kg)639123.56.58.611解解 從出生到第從出生到第3個月，嬰個月，嬰兒兒體重的體重的平均變化率為平均變化率為第第6個月到第個月到第12個月，個月，嬰嬰兒兒體重的平均變化率為體重的平均變化率為6.53.51(/)30kg 月月- -= =- -118.60.4/126kg（月月）- -= =- -哪個時間段哪個時間段內(nèi)嬰兒體重的平均內(nèi)嬰兒體重的平均變化率較大？變化率較大？數(shù)學運用數(shù)學運用例例2 2 水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器

9、乙，水經(jīng)過虹吸管從容器甲中流向容器乙，t t s后后容器甲中水的體積容器甲中水的體積v(t)=5(t)=52-0.1-0.1t（單位（單位: :cm3 3），），計算第一個計算第一個1010s內(nèi)內(nèi)v的平均變化率的平均變化率. .0.1 100.1 03(10)(0)5 25 20.25(/ )100100vvcms ，答：答： 第一個第一個10s內(nèi)內(nèi)v的平均變的平均變化率為化率為-0.25cm3/s.甲甲乙乙反思：反思：乙容器中的水在乙容器中的水在第一個第一個10s內(nèi)內(nèi)的體積的平均變化率是多的體積的平均變化率是多少？少？ 解解 ：在區(qū)間在區(qū)間0,100,10內(nèi)內(nèi)v的平均變化率為的平均變化率為0

10、.25cm3/s例例3 已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)=x2，分別計算，分別計算 f (x)在下列區(qū)間上的在下列區(qū)間上的平均變化率：平均變化率： (1) 1，3；(2) 1，2；(3) 1，1.1；(4) 1，1.01 ；(5) 1，1.001；(6) 1，1.0001；(7) 0.999,1; (8) 0.99,1.432.12.012.0012.0001解解: 函數(shù)在函數(shù)在1, 3上的平均上的平均變化率為變化率為22(3)(1)3143 12ff函數(shù)在函數(shù)在1, 2上的平均變化上的平均變化率為率為22(2)(1)2132 11ff1.9991.9921 . 211 . 1) 11 . 1)(

11、11 . 1 (11 . 111 . 122反思：反思：由例由例3，你能得到什么結論，你能得到什么結論?函數(shù)在函數(shù)在1, 1.1上的平均變上的平均變化率為化率為歸納：歸納：隨著區(qū)間隨著區(qū)間右右端值或端值或左左端值接近于端值接近于1，平均變化，平均變化率接近于率接近于 .2xy13p2o平均變化率量化一平均變化率量化一段曲線的陡峭程度段曲線的陡峭程度是是“粗糙不精確粗糙不精確的的”，但當，但當x2 - x1很小時，這種量化很小時，這種量化便由便由“粗糙粗糙”逼近逼近“精確精確”.o1321.01yx例例4 (1)已知函數(shù)已知函數(shù) f (x)=2x+1, 分別計算分別計算f(x)在區(qū)間在區(qū)間-3,

12、-1，0,5上上 的平均變化率的平均變化率.(2)已知函數(shù)已知函數(shù) g (x)=-2x ，分別計算，分別計算g(x)在區(qū)間在區(qū)間-3,-1，0,5上上 的平均變化率的平均變化率.反思：反思：從例從例4求解中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)求解中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=ax+b在區(qū)間在區(qū)間x1，x2上的平均變化率的規(guī)律嗎？上的平均變化率的規(guī)律嗎？ 2121yyykxxxoxyy=kx+bx1x2y1y2 x y反思：反思：從例從例4求解中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)求解中，你能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)y=ax+b在區(qū)間在區(qū)間x1，x2上的平均變化率的規(guī)律嗎？上的平均變化率的規(guī)律嗎？ 歸納：歸納：一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b（k 0)

13、在區(qū)間在區(qū)間x1，x2上的平均變化率上的平均變化率等于等于 .斜率斜率kab驗證了：驗證了：平均變化率的幾何意義平均變化率的幾何意義數(shù)學思想：數(shù)學思想：由特殊到一般由特殊到一般1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ax+b在區(qū)間在區(qū)間1,8上的平均變化率上的平均變化率為為3，則實數(shù)，則實數(shù)a= ； 當堂練習當堂練習2. 若函數(shù)若函數(shù)f(x)=x2-c在區(qū)間在區(qū)間1，m上的平均變化率為上的平均變化率為3，則實數(shù)則實數(shù)m= .3.判斷正誤：判斷正誤： (1) f(x)x2，f(x)在在1,1上的平均變化率為上的平均變化率為0；(2) f(x)x2在在1,0上的平均變化率小于其在上的平均變化率小于其在0,1

14、上的平均變化率，所以上的平均變化率，所以f(x)在在1,0上不如在上不如在0,1上變化的快上變化的快.4.為了檢測甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對兩輛為了檢測甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對兩輛車進行了測試，甲從車進行了測試，甲從25 m/s到到0 m/s花了花了5 s，乙從，乙從18 m/s到到0 m/s花了花了4 s，試比較兩輛車的剎車性能，試比較兩輛車的剎車性能.1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=ax+b在區(qū)間在區(qū)間1,8上的平均變化率上的平均變化率為為3，則實數(shù)，則實數(shù)a= ； 3當堂練習當堂練習2. 若函數(shù)若函數(shù)f(x)=x2-c在區(qū)間在區(qū)間1，m上的平均變化率為上的平均變化率為3，則實數(shù)則

15、實數(shù)m= .2利用結論利用結論“一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b在區(qū)間在區(qū)間x1，x2上的上的平均變化率等于斜率平均變化率等于斜率k”可快速得到答案！可快速得到答案！當堂練習當堂練習3.判斷正誤：判斷正誤： （1）f(x)x2，f(x)在在1,1上的平均變化率為上的平均變化率為0；( )（2）f(x)x2在在1,0上的平均變化率小于其在上的平均變化率小于其在0,1上的平均變化率，所以上的平均變化率，所以f(x)在在1,0上不如在上不如在0,1上變上變化的快化的快. ( )對對錯錯當堂練習當堂練習4.為了檢測甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對兩輛為了檢測甲、乙兩輛車的剎車性能，分別對兩輛車進行了測試，甲

16、從車進行了測試，甲從25 m/s到到0 m/s花了花了5 s，乙從，乙從18 m/s到到0 m/s花了花了4 s，試比較兩輛車的剎車性能，試比較兩輛車的剎車性能.平均變化率為平均變化率為負值負值說明速度在減少，說明速度在減少，因為剎車后，甲車的速度變化相對較快，因為剎車后，甲車的速度變化相對較快，所以所以甲車甲車的剎車性能較好的剎車性能較好.解解 甲車速度的平均變化率為甲車速度的平均變化率為 5(m/s2)，05250乙車速度的平均變化率為乙車速度的平均變化率為 4.5(m/s2)，041801.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=3x+1 ，分別計算，分別計算f(x)在區(qū)間在區(qū)間a，b上的平均變化率：上的平均變化率： （1）a=-1, b=2 ； （2）a=-1, b=1；（3） a=-1, b=-0.9.333當堂檢測當堂檢測2. 曲線曲線yx21在在1,1.1上的平均變化率為上的平均變化率為 .2.13.如果質(zhì)點如果質(zhì)點m按規(guī)律按規(guī)律s3t2運動，則在一小段時運動，則在一小段時間間2,2.1中相應的平均速度是中相應的平均速度是_(m/s).4.11.平均變化率的平均變化率的定義定義 一般地，函數(shù)一般地，函數(shù)f(x)在區(qū)間在區(qū)間x1，x2上的平均變化率上的平均變化率為為2121()()f