高中數(shù)學(xué) 第四章 定積分 4.2 微積分基本定理課件8 北師大版選修2-2

1、 微積分基本定理( (一一) )復(fù)習(xí)復(fù)習(xí): : 什么叫定積分什么叫定積分? 1()limnbianifx dxfx (二二)設(shè)置情景設(shè)置情景,合作探究：合作探究：如圖，一個作變速直線運動的物體的運動規(guī)律如圖，一個作變速直線運動的物體的運動規(guī)律是是 。由導(dǎo)數(shù)的概念可知由導(dǎo)數(shù)的概念可知, ,它在任意時刻它在任意時刻t t的速的速度是。設(shè)這個物體在時間段內(nèi)的位度是。設(shè)這個物體在時間段內(nèi)的位移為移為s s，你能分別用，表示嗎？，你能分別用，表示嗎？)()(tstvba,)(ts)(tv)(tss tss(t ) oaba(t )0t1it 1itnb(t )nt 12tabtos(a )s(b)sss

2、(t ) 12inssss ss(a )s(b)s1s2isnsh1h2ihnh12inhhhh v tt 1( )v tt 0( )iv tt 1()nv tt ( ) ttvnii 11)(12inssss baba(t )0t1it 1itnb(t )nt 12tatos(a )s(b)sss(t ) ss(a )s(b)s1s2isnsh1h2ihnh12inhhhh v tt 1( )v tt 0( )iv tt 1()nv tt ( ) ss(b)s(a )ttvnii 11)(ninisv tt 11lim()( )bav t dt ss bs a ( )( )又又( )( )(

3、 )( )bbaav t dts t dts bs a 定理定理 （微積分基本定理）（微積分基本定理） 牛頓萊布尼茨公式 ( )|( )( )( )babaf x dxbfff ax如果如果 是區(qū)間是區(qū)間a,ba,b上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù), ,并且并且 , ,則則 ( )( )fxf x ( )f x其中其中f(x)叫叫f(x)的原函數(shù)的原函數(shù), f(x)叫叫f(x)的導(dǎo)函數(shù)。的導(dǎo)函數(shù)。(三三)活學(xué)活用活學(xué)活用:利用微積分基本定理解決前面的問題利用微積分基本定理解決前面的問題 dxx103dxx211找出找出f(x)的原的原函數(shù)是關(guān)健函數(shù)是關(guān)健解解（1）1 1(lnx) =(lnx) =x

4、x2 21 1= =l ln nx x| |= =l ln n2 2- -l ln n1 1= =l ln n2 22 21 11 1d dx xx x解解(2)(x4) 4x3) ) (x4) x314即即( x4) x314143011(4410)|x dxxlnlnbab bb ba aa a1 1公公式式 1 1: : d dx x = =l ln nx x| |x xnxn+1n+1b bb ba aa ax x公公式式2: dx =|2: dx =|n+1n+1(四)自主探究 請利用微積分基本定理解決下面的問題請利用微積分基本定理解決下面的問題 (1)3 32 22 21 11 1

5、(3x -)dx(3x -)dxx x20 0(2)cosxdx(2)cosxdx解解:(1)32211()3,()xxxx 32332111176(3-)(3)(1)313xdxx32211()3,xxxx20 0(3)sinxdx(3)sinxdx20cossinsin01 012xdx (2)解解:(sin)cosxxsin xb bb ba aa a公公式式3: dx =(-cosx)|3: dx =(-cosx)|cosxb bb ba aa a公公式式4: dx = sinx|4: dx = sinx|（3）解）解: ( cos )sinxx20sincos( cos0)0 1 1

6、2xdx 練習(xí):20sin_xdx22sin( cos )( cos2 )( cos )2xdxx 2200sin( cos )( cos2 )( cos0)0 xdxx 0sincos( cos0) 1 1 2xdx 0sin_xdx2sin_xdxxyo 我們發(fā)現(xiàn)：我們發(fā)現(xiàn)：（）定積分的值可取正值也可?。ǎ┒ǚe分的值可取正值也可取負(fù)值，還可以是負(fù)值，還可以是0；（2）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x軸上方時，軸上方時，定積分的值取正值；定積分的值取正值；（3）當(dāng)曲邊梯形位于）當(dāng)曲邊梯形位于x軸下方軸下方時，定積分的值取負(fù)值；時，定積分的值取負(fù)值；定積分的幾何意義：定積分的幾何意義：ox y

7、ab yf (x)baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 xa、xb與 x軸所圍成的曲邊梯形的面積。 當(dāng) f(x)0 時，積分dxxfba)(在幾何上表示由 y=f (x)、 當(dāng)f(x)0時，由yf (x)、xa、xb 與 x 軸所圍成的曲邊梯形位于 x 軸的下方，x yodxxfsba)(，dxxfba)(ab yf (x) yf (x)dxxfsba)(baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s上述曲邊梯形面積的負(fù)值。上述曲邊梯形面積的負(fù)值。 積分baf (x)dx 在幾何上表示 baf (x)dx f (x)dxf (x)dx。 s定積分的幾何意義：定積分的幾何意

8、義：baf(x)dx 在幾何上表示由在幾何上表示由y f (x)、x a、x b 與與 x 軸所圍成的曲邊圖形面積的代數(shù)和軸所圍成的曲邊圖形面積的代數(shù)和(即即x軸上軸上方的面積減去方的面積減去x軸下方的面積軸下方的面積).牛頓 牛頓，是英國偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。1642年12月25日生于英格蘭林肯郡格蘭瑟姆附近的沃爾索普村,1727年3月20日在倫敦病逝。 牛頓1661年入英國劍橋大學(xué)三一學(xué)院，1665年獲文學(xué)士學(xué)位。隨后兩年在家鄉(xiāng)躲避瘟疫。這兩年里，他制定了一生大多數(shù)重要科學(xué)創(chuàng)造的藍(lán)圖。1667年回劍橋后當(dāng)選為三一學(xué)院院委，次年獲碩士學(xué)位。1669年任盧卡斯教授直到1

9、701年。1696年任皇家造幣廠監(jiān)督，并移居倫敦。1703年任英國皇家學(xué)會會長。1706年受女王安娜封爵。他晚年潛心于自然哲學(xué)與神學(xué)。 牛頓在科學(xué)上最卓越的貢獻(xiàn)是微積分和經(jīng)典力學(xué)的創(chuàng)建。萊布尼茨 萊布尼茨，德國數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人；1646年7月1日生于萊比錫，1716年11月14日卒于德國的漢諾威。 他父親是萊比錫大學(xué)倫理學(xué)教授，家庭豐富的藏書引起他廣泛的興趣。1661年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律，又曾到耶拿大學(xué)學(xué)習(xí)幾何，1666年在紐倫堡阿爾特多夫取得法學(xué)博士學(xué)位。他當(dāng)時寫的論文論組合的技巧已含有數(shù)理邏輯的早期思想，后來的工作使他成為數(shù)理邏輯的創(chuàng)始人。 1667年他投身外交界，曾到歐洲各國游歷。1676年到漢諾威，任腓特烈公爵顧問及圖書