非線性05混沌電路設(shè)計(jì)

1、第五章 混沌電路設(shè)計(jì)方法首先給出具體電路然后找出靜態(tài)與動(dòng)態(tài)電路輸出特性的過(guò)程是電路分析，反過(guò)來(lái)，根據(jù)電路的靜態(tài)與動(dòng)態(tài)特性設(shè)計(jì)出具體電路的過(guò)程則是電路設(shè)計(jì)，或稱電路綜合。非線性電路設(shè)計(jì)有單元電路設(shè)計(jì)、系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)、工程電路設(shè)計(jì)等。非線性單元電路設(shè)計(jì)的知識(shí)比較清楚，也比較容易實(shí)現(xiàn)，非線性系統(tǒng)電路與工程電路設(shè)計(jì)則比較困難，主要原因是目前積累的知識(shí)還很少，沒(méi)有現(xiàn)成的成功實(shí)例。本章僅簡(jiǎn)單總結(jié)非線性電路的設(shè)計(jì)原則，略微詳細(xì)地介紹單元蔡氏電路的設(shè)計(jì)方法。與混沌保密通信有關(guān)的電路設(shè)計(jì)問(wèn)題放在下一章中介紹。第一節(jié) 混沌電路設(shè)計(jì)綜述一、混沌電路設(shè)計(jì)的層次、類型與目標(biāo)混沌電路設(shè)計(jì)有兩個(gè)層次，低層次的單元混沌電路設(shè)計(jì)

2、，高層次的混沌電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)，前者是指基礎(chǔ)混沌單元電路設(shè)計(jì)，后者是指應(yīng)用混沌電路系統(tǒng)的設(shè)計(jì)。單元混沌電路設(shè)計(jì)類型又分為兩種，一種是先有電路，后有電路狀態(tài)方程，例如蔡氏電路的設(shè)計(jì)。這類電路的設(shè)計(jì)技巧性太高，屬于經(jīng)典性電路設(shè)計(jì)方法。另一種是先有非線性微分方程，根據(jù)非線性微分方程設(shè)計(jì)電路，如洛倫茨方程電路的設(shè)計(jì)。這類電路設(shè)計(jì)要求較低，只要認(rèn)真進(jìn)行工藝設(shè)計(jì)就可以了。系統(tǒng)混沌電路設(shè)計(jì)是工程設(shè)計(jì)79，例如混沌保密通信系統(tǒng)。目前的混沌保密通信系統(tǒng)距離被工程設(shè)計(jì)、優(yōu)化以至達(dá)到較好的設(shè)計(jì)指標(biāo)尚需解決若干問(wèn)題，例如，如何根據(jù)一套好的設(shè)計(jì)準(zhǔn)則進(jìn)行混沌系統(tǒng)的綜合，以將設(shè)計(jì)轉(zhuǎn)化為具體的電路。這就需要根據(jù)實(shí)際的信道特性，例

3、如信道帶寬限制等等，設(shè)計(jì)輸出信號(hào)符合上述特性要求的混沌電路，此設(shè)計(jì)任務(wù)比較重。二、單元混沌電路設(shè)計(jì)首先需要考慮選擇單元混沌電路的類型與階別（維數(shù)）。眾所周知的混沌電路的類型有蔡氏電路、洛倫茨混沌電路、洛斯勒混沌電路等，還有自行設(shè)計(jì)的混沌電路，如運(yùn)算放大器混沌等一大類混沌電路，這些電路具有設(shè)計(jì)靈活、風(fēng)格差別大、來(lái)源廣泛的特點(diǎn)。幾乎任何一個(gè)混沌方程都能找到相應(yīng)的混沌電路，因此使得電路設(shè)計(jì)者能夠借用其它學(xué)科知識(shí)增加混沌電路的類型。在任何一種單元電路中，使用變形電路是舉手之勞的事情。例如蔡氏電路，在LC2支路后面再串聯(lián)一節(jié)RC電路就成為高一階的混沌電路（第6章第8節(jié)），并且還是超混沌電路; 在蔡氏二極

4、管電路中再并聯(lián)一只大電阻，就改變了蔡氏電路的分岔位置（第6章第1節(jié)）。三、混沌電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)混沌電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)工程中，單元混沌電路設(shè)計(jì)工作只是其中的一部分，甚至是其中很小的一部分，而大部分是非混沌電路設(shè)計(jì)工作。在這些非混沌電路中，有智能電路、通用模擬與數(shù)字電路、通信電路、輔助電路等?；煦珉娐废到y(tǒng)設(shè)計(jì)的任務(wù)是系統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計(jì)，主要考慮的問(wèn)題是方案、整體性能、價(jià)格、產(chǎn)品系列、用戶需求等，因此混沌電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)本身只是工程總體設(shè)計(jì)的一部分，要放在整體工程大框架中去考慮。第二節(jié) 分段線性負(fù)電阻電路設(shè)計(jì)一、雙運(yùn)放分段線性負(fù)電阻電路設(shè)計(jì)非線性電路設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要實(shí)例是分段線性負(fù)電阻電路設(shè)計(jì)，例如蔡氏電路中的“蔡氏二

5、極管”的設(shè)計(jì)。本節(jié)具體討論蔡氏二極管，因?yàn)榇穗娐穼?duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，在具體電路設(shè)計(jì)中只畫出第四象限中的曲線即可，設(shè)計(jì)完成的電路在第二象限中完全適用，如圖5-1所示。下面的討論中，只考慮絕對(duì)值而不考慮負(fù)號(hào)。如第二章第二節(jié)所述，實(shí)現(xiàn)圖5-1的具體電路類型較多，選擇余地很大，現(xiàn)在首先討論如圖5-2所用的電路，后面再討論另外一種電路的設(shè)計(jì)。在圖5-1中，已知曲線ODEF，其中OA是第一轉(zhuǎn)折電壓，單位伏特，OB是第二轉(zhuǎn)折電壓，OF是由負(fù)電阻轉(zhuǎn)變成正電阻的轉(zhuǎn)折電壓，就是電源電壓。AD是第一段曲線電壓轉(zhuǎn)折處的電流強(qiáng)度，單位是安培，BE是第二段曲線的電壓轉(zhuǎn)折處的電流強(qiáng)度。所求的是曲線OCF與曲線OGF。容易看出

6、， 5-1下面具體設(shè)計(jì)。 圖5-1 分段線性負(fù)電阻電路圖 圖5-2雙運(yùn)放非線性負(fù)電阻電路已知：OA，OB，OF，AD，BE，AH=CD，BI=GE求：，解：HD=AC，IE=BG解關(guān)于BG與AC的方程，得得到結(jié)果即例如，對(duì)于圖5-3要求設(shè)計(jì)的伏安特性曲線，設(shè)計(jì)任務(wù)是求出具體電路參數(shù)。將圖5-3中的具體數(shù)據(jù)代入上面得到的公式中，得到具體電路參數(shù)，如圖5-4所示。 圖5-3 要求設(shè)計(jì)電路的伏安特性曲線 圖5-4 設(shè)計(jì)完成的電路圖這個(gè)設(shè)計(jì)實(shí)例是第二章第二節(jié)的電路分析例題，在那里，已知圖如圖5-4，分析出了電路伏安特性曲線如圖5-3，二者互為逆向處理過(guò)程。二、由分段線性正電阻電路轉(zhuǎn)換成分段線性負(fù)電阻電

7、路的設(shè)計(jì)方法第二章第二節(jié)曾經(jīng)介紹過(guò)由分段線性正電阻電路轉(zhuǎn)換成分段非線性負(fù)電阻電路的方法，例如，電路如圖5-5， 圖5-5 要求設(shè)計(jì)電路的原理圖 圖5-6 要求設(shè)計(jì)電路的伏安特性曲線圖R3及其右邊的電路是分段線性正電阻電路，伏安特性如圖5-6（b）所示，R3左邊的電路是電阻符號(hào)轉(zhuǎn)換電路，轉(zhuǎn)換后的分段線性負(fù)電阻電路伏安特性如圖5-6（b）所示。當(dāng)電路參數(shù)滿足 5-2時(shí)，得到 5-3由于式5-3可以另寫為 5-4由此倒推出 5-5設(shè)計(jì)圖5-5電路元件參數(shù)時(shí)，電壓Vd在實(shí)際設(shè)計(jì)中很困難，可以用電源電壓經(jīng)電阻器分壓獲得，如圖5-7所示。圖5-7 要求設(shè)計(jì)電路的原理圖電路仿真結(jié)果證明，電路設(shè)計(jì)是正確的。參

8、看光盤文件EWB5314.EWB及EWB5314A.EWB。三、其它方法及各種方法的比較第二章第二節(jié)還給出了另外幾種分段線性負(fù)電阻電路的設(shè)計(jì)電路，讀者可以自行設(shè)計(jì)，也可以從光盤文件中調(diào)出來(lái)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，并且與光盤中提供的運(yùn)行答案比較。本節(jié)講述的第一種方法是雙運(yùn)放分段線性負(fù)電阻電路設(shè)計(jì)方法，優(yōu)點(diǎn)是電路特性曲線精度高，電路結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是計(jì)算比較復(fù)雜，不太直觀，建議在工程設(shè)計(jì)中使用這種電路，現(xiàn)在絕大多數(shù)蔡氏電路的設(shè)計(jì)都使用這種電路。第二種方法是由分段線性正電阻電路轉(zhuǎn)換成分段線性負(fù)電阻電路的設(shè)計(jì)方法，優(yōu)點(diǎn)是很直觀，計(jì)算容易，缺點(diǎn)是電路精度較低，使用電路元件多，調(diào)試?yán)щy，只適用簡(jiǎn)單應(yīng)用場(chǎng)合。第三節(jié) 單

9、元蔡氏電路設(shè)計(jì)方法一、單元蔡氏電路設(shè)計(jì)指標(biāo)與步驟進(jìn)行單元蔡氏電路設(shè)計(jì)，主要指標(biāo)有三個(gè)：1、輸出電壓動(dòng)態(tài)特性，決定采用是蔡氏電路方程平衡點(diǎn)、極限環(huán)、周期倍增、洛斯勒吸引子、雙渦旋中的哪一種; 2、輸出電壓大致范圍（可以用平均值描述）; 3、輸出混沌頻譜范圍。此外一些設(shè)計(jì)可能要求電路能夠被控制，使它能夠在平衡點(diǎn)、極限環(huán)、周期倍增、洛斯勒吸引子、雙渦旋的各種類型之間變換，一些設(shè)計(jì)還可能要求電路必須穩(wěn)定地處于某一個(gè)固定狀態(tài)，或者其它具體指標(biāo)，例如能夠在兩個(gè)狀態(tài)之間變換等。進(jìn)行單元蔡氏電路設(shè)計(jì)有三個(gè)步驟：第一步，初步設(shè)計(jì)滿足一定的-分岔曲線的非線性負(fù)電阻電路，確定m0、m1、v轉(zhuǎn)折，完成以后幾個(gè)步驟后再

10、核實(shí)設(shè)計(jì)。具體地說(shuō)，就是設(shè)計(jì)分段非線性負(fù)電阻，確定第一個(gè)負(fù)電阻、第二個(gè)負(fù)電阻、兩個(gè)負(fù)電阻之間的轉(zhuǎn)折電壓。第二步，從蔡氏電路-分岔曲線出發(fā)，對(duì)蔡氏電路從霍普夫分岔變化到雙渦旋混沌過(guò)程中的輸出信號(hào)形態(tài)演化予以整理。從極限環(huán)信號(hào)頻譜到混沌頻譜的演化中混沌頻譜的分布與極限環(huán)信號(hào)頻譜的分布具有一定的聯(lián)系，故可以根據(jù)這種聯(lián)系對(duì)混沌頻譜的分布情況進(jìn)行簡(jiǎn)單的估計(jì)。這種估計(jì)對(duì)設(shè)計(jì)滿足一定頻譜分布要求的蔡氏電路是非常有用的。根據(jù)這種方法給出的設(shè)計(jì)實(shí)例表明，該方法作為一種工程設(shè)計(jì)方法是簡(jiǎn)單可行的79。第三步，確定具體電路參數(shù)。第一步分段非線性負(fù)電阻的設(shè)計(jì)已經(jīng)在上一節(jié)講述。二、蔡氏電路輸出信號(hào)頻譜分布特征根據(jù)-分岔圖

11、可以確定蔡氏電路所處的狀態(tài)。第三章第二節(jié)給出了蔡氏電路的y信號(hào)時(shí)域波形圖3-6與對(duì)上述波形進(jìn)行快速傅氏變換（FFT）的頻域波形圖3-8，敘述了固定、m0、m1，將由大到小變化時(shí)，歸一化蔡氏電路方程經(jīng)歷平衡點(diǎn)、極限環(huán)、周期倍增、洛斯勒吸引子，最后進(jìn)入雙渦旋。下面介紹利用蔡氏電路信號(hào)頻譜分布特征進(jìn)行設(shè)計(jì)的方法，由冉立新、陳抗生提出79。三、由霍普夫分岔頻率估計(jì)混沌頻譜分布范圍 (a)霍普夫分岔周期一,=22.1 (b)周期一,16.3 (c)周期二,=15.5(d)周期四, =15.15 (e)Rossler型吸引子,=14.3 (f)雙渦旋吸引子, =13.3圖5-8 蔡氏電路y信號(hào)及其進(jìn)行的快

12、速傅氏變換（FFT）圖5-8給出了蔡氏電路處于上述狀態(tài)下的y信號(hào)的信號(hào)波形及其進(jìn)行的快速傅氏變換（FFT）在對(duì)應(yīng)電路狀態(tài)（以為控制參數(shù)）對(duì)比圖。圖中的FFT，為了便于直觀估計(jì)某些頻譜分量所占全部頻譜的百分比，縱軸未采用分貝（dB）坐標(biāo)，同時(shí)用最大頻譜分量的幅值進(jìn)行了歸一化。從圖5-8(a)(f)的FFT的變化可以看出：(1) 信號(hào)頻譜從極限環(huán)狀態(tài)時(shí)的離散譜演化為混沌狀態(tài)時(shí)較寬的連續(xù)譜，這反映了混沌頻譜的本質(zhì)特性。對(duì)應(yīng)圖5-8中由周期信號(hào)變?yōu)榉侵芷谛盘?hào)。(2) 混沌頻譜不是均勻分布的，其大部分分量集中在最大頻譜分量?jī)蓚?cè)區(qū)域內(nèi)，如圖5-8(e)(f)。對(duì)應(yīng)圖5-8中混沌信號(hào)有一主導(dǎo)振蕩頻率。(3)

13、 在整個(gè)倍周期分岔過(guò)程中和進(jìn)入混沌之后，最大頻譜分量在總體趨勢(shì)上一直在向低頻方向移動(dòng)，如圖5-8(a)(f)。專門計(jì)算上述演化過(guò)程中信號(hào)頻譜最大分量隨變化而移動(dòng)的情況，如圖5-9。從中可見(jiàn)，在周期分岔過(guò)程中和進(jìn)入洛斯勒型吸引子混沌后，這種移動(dòng)呈階梯狀。從=14.3為臨界點(diǎn)進(jìn)入雙渦旋混沌后則較為混亂，但總體趨勢(shì)不變。（4）混沌頻譜的最大分量與極限環(huán)信號(hào)頻譜的最大分量（基波分量或低次諧波分量）在各自頻譜中的分布情況很類似，從直觀上看，該分量是由周期一信號(hào)的基波分量演化而來(lái)的。（5）在周期分岔過(guò)程(a)-(d)中，隨周期加倍，基波位置前移，同時(shí)非線性增大，表現(xiàn)為諧波分量增多。但各頻譜最大分量與周期一

14、時(shí)的基波分量相比除向低頻移動(dòng)之外始終變化不大。這在時(shí)域中表示組成周期一信號(hào)的基本波形形狀在周期加倍之后仍是組成極限環(huán)信號(hào)乃至混沌信號(hào)的基本波形形狀，周期加倍主要引起波形包絡(luò)線的變化，這表明大部分新增的頻譜分量低于振蕩主導(dǎo)頻率。（6）改變m0、m1和的取值，可以得到同樣的規(guī)律。圖5-9 最大頻譜分量隨的變化以上特征表明，盡管蔡氏電路處于混沌態(tài)時(shí)信號(hào)頻譜和其處于極限環(huán)狀態(tài)時(shí)的信號(hào)頻譜本質(zhì)上不同，但還是有一定繼承性的，因而混沌頻譜的一些特征必然可以由極限環(huán)信號(hào)頻譜的特征進(jìn)行估計(jì)。上述特性的一個(gè)應(yīng)用是可以用蔡氏電路處于霍普夫分岔時(shí)的頻率來(lái)估計(jì)混沌頻譜的分布范圍。蔡氏電路在霍普夫分岔點(diǎn)進(jìn)入周期一，記此時(shí)

15、頻率為fH。隨周期倍增，由特性（3）、（5），大部分新增頻譜分量將位于直流和fH之間。因此，如能得到蔡氏電路處于霍普夫分岔時(shí)的振蕩頻率，就可以估計(jì)經(jīng)過(guò)分岔后混沌頻譜的分布范圍?；羝辗蚍植硖帲瑑H需要考慮式蔡氏電路方程中x1的情形。其特征方程為： 5-6根據(jù)李雅普諾夫穩(wěn)定性原理，霍普夫分岔處該方程具有一個(gè)實(shí)根和一對(duì)純虛根。假定其為,j，-j，代入5-6式，約去、，可得： 5-75-7式代入5-6式，得： 5-8從而 5-9顯然 5-10對(duì)于m127，=8.8，fH=0.63271，其值與模擬結(jié)果相符(FFT計(jì)算結(jié)果為0.634766）。同時(shí)我們可以注意到，（0，fH）內(nèi)確實(shí)包含了大部分的混沌頻譜。

16、最后，非歸一化的蔡氏電路方程對(duì)應(yīng)fH的頻率（記為FH）可以簡(jiǎn)單地由5-7得出： 5-11其中為一與電路參數(shù)相關(guān)的常數(shù)。四、一個(gè)應(yīng)用實(shí)例79：蔡氏電路參數(shù)選擇從5-11式和-分岔曲線出發(fā)，可以設(shè)計(jì)出基本滿足指定頻譜分布范圍的蔡氏電路。其步驟如下：（1）根據(jù)設(shè)定的頻譜要求定出非歸一化FH，選取適當(dāng)?shù)某?shù)k，由5-11計(jì)算出fH。（2）選擇一合適的-分岔曲線，從而確定m0、m1。由5-10計(jì)算，查出滿足混沌振蕩條件的。（3）蔡氏電路要求C1很小，據(jù)此可以選定C1的值，而后由得到C2，由k得到G，由得到L，由m0，m1得到Ga、Gb，E僅與波形幅度相關(guān)，可根據(jù)電源、所需的波形幅度和非線性電阻的具體實(shí)現(xiàn)

17、電路定出。（4）根據(jù)Ga、Gb、E得到組成非線性電阻的元件的參數(shù)值。這樣就可以得到一個(gè)既有穩(wěn)定的混沌振蕩，其頻譜又滿足一定要求的混沌電路。實(shí)際上，蔡氏電路所處的狀態(tài)可以由選取不同的來(lái)實(shí)現(xiàn)，由-分岔曲線，我們可以容易地使蔡氏電路處于極限環(huán)、洛斯勒吸引子、雙渦旋等任意狀態(tài)。特別地，由于分岔曲線對(duì)不同的m0、m1是不同的，在沒(méi)有其計(jì)算程序時(shí)，可以利用已有的分岔曲線確定的m0、m1，這是因?yàn)閙0、m1主要表征非線性電阻的分段線性特性。設(shè)計(jì)實(shí)例：假定要求蔡氏電路大多數(shù)混沌頻譜位于直流到50KHZ之間，則選取FH=50KHz，k=50000，C1=0.0lF，利用m0=-17、m0=27的分岔曲線44,4

18、5，依照上述步驟得到的各個(gè)參數(shù)為：fHl，13.91，23，L0.125mH，C20.139F，G=6955×10-3S，RlG143.8，Ga=-7.95×10-3，Gb=-4.97×10-3，取E=1V。根據(jù)上述元件參數(shù)直接從非歸一化方程5-6得到的V2信號(hào)的頻譜圖和V1-V2的相平面圖，其結(jié)果為一滿足設(shè)計(jì)要求的混沌振蕩。第四節(jié) 任意非線性系統(tǒng)通用電路設(shè)計(jì)方法一、概述若已知非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，在多數(shù)情況下，可以使用通用電路設(shè)計(jì)方法設(shè)計(jì)出相應(yīng)的非線性電路，這種方法的關(guān)鍵是使用運(yùn)算放大器、運(yùn)算放大器構(gòu)成的積分器、模擬乘法器。這是因?yàn)?，一般微分形式的?shù)學(xué)模型可以用

19、基本初等函數(shù)表示，而基本初等函數(shù)可以用泰勞級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪函數(shù)，若給定誤差范圍，就能夠用運(yùn)算放大器、積分器與模擬乘法器實(shí)現(xiàn)電路設(shè)計(jì)。另外，數(shù)學(xué)模型中若有分?jǐn)?shù)函數(shù)，即分母中有變量出現(xiàn)，這種情況并不需要使用除法電路，要通過(guò)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)變換改寫成整式函數(shù)，由乘法器實(shí)現(xiàn)具體電路設(shè)計(jì)。最終要求經(jīng)過(guò)整理后的數(shù)學(xué)模型要成為多變量一階微分形式或者單變量高階微分形式。時(shí)間變量由積分電路時(shí)間常數(shù)RC決定，實(shí)際應(yīng)用中只有兩種情況：時(shí)間常數(shù)可以自由設(shè)計(jì)，另一種情況是時(shí)間常數(shù)有設(shè)計(jì)要求。在一般情況下被設(shè)計(jì)的非線性系統(tǒng)是自由的，習(xí)慣上可以取R=1k、C=1F，時(shí)間常數(shù)RC=1mS。本書所有積分器都取這個(gè)值。如果系統(tǒng)對(duì)時(shí)間常數(shù)有

20、設(shè)計(jì)要求，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的處理即可實(shí)現(xiàn)設(shè)計(jì)，并無(wú)原則困難。二、多變量一階微分形式的非線性系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)多變量一階微分形式的非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一般形式是 5-12設(shè)計(jì)出來(lái)的電路形式是圖5-10 多變量一階微分形式的非線性系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)方框圖例如，對(duì)于范德坡方程 5-13按照上述方法設(shè)計(jì)出來(lái)的電路方框圖如圖5-11所示（參見(jiàn)光盤文件MAT4120.MDL）。圖5-11 兩元一階微分形式范德坡電路仿真設(shè)計(jì)圖具體電路設(shè)計(jì)如圖5-12所示，用EWB仿真，注意仿真方法，如圖5-13所示，仿真結(jié)果如圖5-14所示（參見(jiàn)光盤文件EWB4120.EWB）。圖5-12 兩元一階微分形式范德坡方程仿真電路圖 圖5-13 兩元

21、一階范德坡方程仿真方法 圖5-14 兩元一階范德坡方程仿真結(jié)果三、單變量高階微分形式的非線性系統(tǒng)電路設(shè)計(jì)單變量高階微分形式的非線性系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型一般形式是 5-14這是非自治方程，自治方程是 5-15李納德方程就是其中的一個(gè)， 5-16作為它的特例是范德坡方程。 5-17現(xiàn)在設(shè)計(jì)式5-15的電路系統(tǒng)，因?yàn)榇耸娇梢詫懗?5-18則電路系統(tǒng)設(shè)計(jì)方框圖如圖5-15所示。圖5-15 公式5-15及5-18電路設(shè)計(jì)方框圖例如，范德坡方程5-17寫成 5-19設(shè)計(jì)的電路方框圖如圖5-13所示，經(jīng)過(guò)仿真，結(jié)果與圖5-11等效，與理論分析一致（參見(jiàn)光盤文件MAT4110.MDL）。圖5-16 一元二階微分形式范

22、德坡電路仿真設(shè)計(jì)圖具體電路設(shè)計(jì)如圖5-17所示，用EWB仿真，注意仿真方法，仿真結(jié)果如圖5-18所示（參見(jiàn)光盤文件EWB4121.EWB）。由圖清晰可見(jiàn)，二元一階微分形式范德坡方程與一元二階微分形式范德坡方程運(yùn)行結(jié)果是一致的。圖5-17 一元二階范德坡方程仿真方法 圖5-18 一元二階范德坡方程仿真方法與結(jié)果四、參數(shù)設(shè)計(jì)與歸一化設(shè)計(jì)的有關(guān)問(wèn)題普通電子電路中基本不涉及歸一化與歸一化設(shè)計(jì)問(wèn)題，而現(xiàn)代非線性電路中涉及歸一化與歸一化設(shè)計(jì)問(wèn)題，反映了現(xiàn)代非線性電路與其它非線性科學(xué)的交叉特點(diǎn)?，F(xiàn)代非線性電路歸一化與歸一化設(shè)計(jì)中的幾個(gè)問(wèn)題分述如下。1、時(shí)間歸一化典型問(wèn)題是積分電路的時(shí)間常數(shù)歸一化。時(shí)間常數(shù)為RC=，R是電阻，單位是，C是電容，單位是法拉弟，是時(shí)間，單位是秒。從原理上講，電路元件如果就是使用這樣的元件，電路的動(dòng)態(tài)特性就是直接歸一化的。但是在電子電路中很難實(shí)現(xiàn)，因?yàn)?附近幾個(gè)數(shù)量級(jí)的電阻比較難找，即使找到了也因?yàn)檫B接導(dǎo)線也在這幾個(gè)數(shù)量級(jí)上使實(shí)際電路誤差很大，另外，1F（法拉弟）的電容確實(shí)難以找到了，如果勉強(qiáng)找到也是體積龐大與價(jià)格昂貴，失去了實(shí)際意義。我們知道，實(shí)際電路使用的電阻與電容的單位是K與F，時(shí)間常數(shù)就是mS(毫秒)了，這正是電子線路技術(shù)中最為常用的時(shí)間單位，方便。這樣一