五年級上冊內(nèi)容介紹—北師大(新世紀)版小學數(shù)學教材

1、北師大（新世紀）版小學數(shù)學五年級上冊內(nèi)容介紹位惠女（河南省實驗小學）王 永（福建省福州市教研室） 北師大版小學數(shù)學五年級上冊教科書共安排了七個單元?！皵?shù)與代數(shù)”有“小數(shù)除法”、“倍數(shù)與因數(shù)”、“分數(shù)的意義”3個單元；“圖形與幾何”有“軸對稱與平移”、“多邊形的面積”、“組合圖形的面積”3個單元；“統(tǒng)計與概率”有“可能性”1個單元?！皵?shù)學好玩”安排了3個主題活動：設計秋游方案、圖形中的規(guī)律、嘗試與猜測。此外還有“整理與復習”和“總復習”。一、本冊教科書的主要變化（一）基本框架的主要變化1. 根據(jù)學生的學習特點、課程標準的修訂和教材的整體設計，部分內(nèi)容調(diào)整或刪除（1）后移的內(nèi)容有：原三年級下冊 “

2、公頃”和“平方千米”的認識、軸對稱、平移圖案的欣賞與設計的內(nèi)容移至五年級上冊；原四年級下冊“小數(shù)除法”的內(nèi)容移至五年級上冊；原四年級下冊 “誰先走”（可能性）的內(nèi)容移至五年級上冊；原五年級上冊“分數(shù)加減法”、“相遇”問題后移到五年級下冊。（2）前移的內(nèi)容有：原五年級上冊“數(shù)的世界”中對自然數(shù)和整數(shù)的認識，前移整合編入四年級上冊“從結(jié)繩記數(shù)說起”。（3）刪除的內(nèi)容有：依據(jù)數(shù)學課程標準（2011版）的要求，五年級上冊刪除了“可能性的大小”；根據(jù)教材的整體設計，五年級上冊刪除了“數(shù)的奇偶性”、“地毯上的圖形面積”。2.在對部分內(nèi)容進行調(diào)整的過程中，進一步加強數(shù)學與生活的聯(lián)系，進一步體現(xiàn)對數(shù)學思想的滲

3、透和積累數(shù)學活動經(jīng)驗的重視（1）對某些課容量偏大的問題，做了適當?shù)姆纸?。如“小?shù)除法”這一單元中，將小數(shù)除法中除到被除數(shù)末尾有余數(shù)，需要添“0”繼續(xù)除或商需要補“0”的情況，后移至第2節(jié)課；除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法由原來的1課時變?yōu)?課時；積、商的近似值、分數(shù)與除法的關(guān)系均由原來的1課時變成2課時。（2）為了幫助學生更好地體會意義、積累經(jīng)驗，增加了部分課節(jié)。如，“分數(shù)的意義”這一單元中，分數(shù)的再認識中增加了“分數(shù)的再認識（二）”一節(jié)，從度量的角度進一步認識分數(shù)的意義，結(jié)合制作“分數(shù)墻”的活動，認識分數(shù)單位。3.重新設計了圖形運動、圖形與位置、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐、整理與復習、總復習的內(nèi)容依據(jù)數(shù)學

4、課程標準（2011版）的要求和整套教材的設計，重新設計了圖形運動、圖形與位置、統(tǒng)計與概率、綜合與實踐（與其他內(nèi)容整合為“數(shù)學好玩”單元）、整理與復習、總復習，具體設計思路請見整套教材的修訂方案。全套教材整合設計了“圖形的運動”這一內(nèi)容，五年級上冊安排了 “軸對稱與平移”，主要是軸對稱圖形與平移的再認識，側(cè)重于通過畫圖等方式，體會軸對稱、平移的特點。依據(jù)數(shù)學課程標準（2011版）的要求，教材重新梳理了“統(tǒng)計與概率”的內(nèi)容，五年級上冊安排了“可能性”的內(nèi)容，進一步感受可能性有大有小，通過一些游戲和活動，初步感受數(shù)據(jù)的隨機性。（二）具體內(nèi)容的主要變化以下按照單元順序，陳述各單元具體內(nèi)容的主要變化（不

5、包括整理與復習和總復習），并簡單闡述理由。1.小數(shù)除法（1）分散了小數(shù)除法的教學難點小數(shù)除法是學生學習中的一個難點，為了分散教學難點，教材在編排中順應學生學習的特點，在學習除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法中，先解決除到被除數(shù)的末尾無余數(shù)，商不需要補“0”的情況（精打細算），而后，解決除到被除數(shù)末尾有余數(shù)，需要添“0”繼續(xù)除或商需要補“0”的情況（打掃衛(wèi)生），在此基礎上，再解決除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法的計算問題（誰打電話的時間長）。（2）突出了利用“元、角、分之間的關(guān)系”、“商不變的規(guī)律”、“直觀圖”等方法，讓學生經(jīng)歷小數(shù)除法計算方法的探究過程。（3）“打掃衛(wèi)生”重新設計了問題串，問題3呈現(xiàn)了學生動態(tài)的學習過程

6、，解決了余數(shù)“2÷4”怎樣繼續(xù)算下去的問題，增加了“試一試”。（4）“人民幣的兌換”增加了利用計算器進行小數(shù)乘除法的運算內(nèi)容，探索除數(shù)大于1或小于1時，商和被除數(shù)的關(guān)系。2.軸對稱和平移教材整體設計了“圖形的運動”這一內(nèi)容，本冊安排了軸對稱和平移的再認識。在第一學段學生初識“軸對稱和平移”的基礎上，經(jīng)歷進一步認識軸對稱圖形和探索畫平移圖形方法的過程，加深對軸對稱圖形的特征與圖形平移的理解。3.倍數(shù)與因數(shù)本單元的內(nèi)容變化不大，主要變化體現(xiàn)在如下幾個方面：（1）在“找因數(shù)”這節(jié)課中，增加了利用“除法算式”找一個數(shù)的因數(shù)的方法。（2）在探索2,5和3的倍數(shù)特征過程中，不僅更加清晰地交代了2

7、,5,3的倍數(shù)特征，而且還為學生創(chuàng)造了探索發(fā)現(xiàn)、解釋驗證和交流的機會，發(fā)展了學生的探究能力。（3）刪除了“數(shù)的奇偶性”一課，其中部分內(nèi)容整合到練習中作為拓展題目。4.圖形的面積（一）（1）考慮到底和高在平行四邊形、三角形和梯形面積計算中的重要作用，教材對這一內(nèi)容進行了重新設計，標題為“認識底和高”，結(jié)合學生熟悉的“限高”情境，引出梯形的高，繼而認識梯形的底及平行四邊形、三角形的底和高，為后續(xù)探索特殊的平面圖形的面積奠定了基礎。（2） 在“平行四邊形的面積”、“梯形的面積”的“試一試”中，各自增加了“平行四邊形面積、三角形面積計算的逆問題”，探索“平行四邊形面積、三角形面積的性質(zhì)”，體會同底等高

8、平行四邊形的面積、三角形的面積都相等。（3）刪去了“地毯上的圖形面積”一課。5.分數(shù)（1）“分數(shù)再認識（一）”增加了讓學生舉例說一說可以表示什么的問題，幫助學生進一步認識分數(shù)。（2）“分數(shù)的再認識（二）”為新增內(nèi)容，問題1和問題2是從度量的角度，讓學生進一步認識分數(shù)的意義，問題3和問題4是借助“分數(shù)墻”，認識分數(shù)單位。（3）“分數(shù)與除法”在“試一試”中，增加了借助分數(shù)表示兩個量的比較的意義。6.圖形的面積（二）增加了“公頃、平方千米”這一內(nèi)容7.數(shù)學好玩重新設計了綜合與實踐的內(nèi)容，“設計秋游方案”在綜合運用所學知識設計外出游玩方案的活動過程中，通過“活動任務”、“設計方案”、“動手實驗”“交流

9、反思”、“自我評價”等環(huán)節(jié)，體現(xiàn)“從頭到尾”思考問題的過程。對“圖形中的規(guī)律”、“嘗試與猜測”，重新梳理了問題串，使活動更加層次清晰。8.可能性依據(jù)數(shù)學課程標準（2011版）的要求對“概率”內(nèi)容的要求，本冊教科書對“誰先走”進行了重新設計，增加了“摸球游戲”一課。二、各單元教學中需要關(guān)注的問題以下分領域介紹每個單元教學中需要關(guān)注的問題，與大家進行分享。（一）數(shù)與代數(shù)1.第一單元“小數(shù)除法”“小數(shù)除法”單元不僅解決小數(shù)除法算法問題，而且解決了整數(shù)除法沒有解決的問題。在整數(shù)范圍內(nèi)，2÷5的商是不存在的，但在小數(shù)范圍內(nèi)，2÷5=0.5。也就是說，在小數(shù)范圍內(nèi)，除法可以暢通無阻。因

10、此，在小數(shù)范圍內(nèi)，乘法與除法才具有互為逆運算關(guān)系。其實，小數(shù)除法的計算道理，在整數(shù)除法中就有了。如200÷5，如果把200看成2個百，就不夠除以5，但把200看成20個十，就可以除以5，商為4個十，即200÷5=40。同理，2÷5不夠除，但把2看成20個0.1就夠了，商是4個0.1，即2÷5=0.4。因此，整數(shù)除法的豎式筆算可以遷移到小數(shù)除法，只要知道：如果高位上的數(shù)字不夠除，把它化成低位上的數(shù)字就可以繼續(xù)除下去。理解小數(shù)除法的豎式筆算的算法重點，是理解整數(shù)除法與小數(shù)除法的區(qū)別與聯(lián)系，從而在整數(shù)豎式筆算的基礎上，掌握小數(shù)除法的豎式筆算。引導學生反思，歸納

11、、概括它的計算法則。如，除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，商包含整數(shù)部分與小數(shù)部分。商的整數(shù)部分是除數(shù)除被除數(shù)的整數(shù)部分的結(jié)果（是已學過的整數(shù)除法），所以，商的小數(shù)點要與被除數(shù)的小數(shù)點對齊。商的小數(shù)部分是除數(shù)除余數(shù)部分所得的結(jié)果。計算的策略仍然沿襲整數(shù)除法的策略，即高位的數(shù)值不夠除時就化成低位的數(shù)值（需要時可以在被除數(shù)的小數(shù)后面補0），就可以繼續(xù)除下去，直至得到結(jié)果。 小數(shù)點的主要作用是指示小數(shù)中個位的位置。所以，除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法的豎式筆算，求出商的整數(shù)部分后，必須先添個小數(shù)點（與被除數(shù)的小數(shù)點對齊），再繼續(xù)求商的小數(shù)部分。值得注意是小數(shù)除法一個特有的現(xiàn)象：當被除數(shù)小于除數(shù)時，商的整數(shù)部分是0，在這種

12、情況下所得的商是一個純小數(shù)（大于0且小于1的小數(shù)）。本單元小數(shù)除法是以豎式除法為重點，為什么不探究其他更簡潔合理的算法呢？ 小數(shù)除法以豎式除法為重點，是因為從小數(shù)的豎式除法的探索中可以深刻地感悟到把未知轉(zhuǎn)化為已知的思維方式與擴展知識的學習方法：從整數(shù)除法拓展到除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法，再拓展到除數(shù)是小數(shù)的小數(shù)除法。在計算機時代，豎式筆算的應用價值雖然貶值了，但豎式筆算追求算法的程序化、標準化、機械化和自動化的算法化思想，卻深刻地影響人類本身，正是這種思想追求才導致上世紀計算機的創(chuàng)造發(fā)明，人類才能從繁瑣的計算任務中解放出來，去做計算機不可能做的事情。所以，豎式筆算的理論價值與文化價值是不可磨滅的。

13、從本單元也可以看到，因為豎式除法筆算，我們才可能如此直觀地發(fā)現(xiàn)無限循環(huán)小數(shù)的存在。在掌握小數(shù)除法豎式筆算的基礎上，在有條件的學校和班級，可以更上一層樓，鼓勵算法的靈活性和創(chuàng)造性，在發(fā)展數(shù)感上下功夫。2.第三單元“倍數(shù)與因數(shù)”“倍數(shù)與因數(shù)”是研究除0以外的自然數(shù)的關(guān)系與結(jié)構(gòu)的。本單元的編寫有下面兩個基本特點。 （1）重視直觀操作，發(fā)展抽象思維，促進數(shù)學理解如，利用百數(shù)表探索2，5或3的倍數(shù)特征，能強烈感覺2，5或3倍數(shù)的視覺模式，有助于規(guī)律的發(fā)現(xiàn)。用語言描述2，5或3的倍數(shù)特征，實際上就是提出數(shù)學命題。從百數(shù)表上歸納提出的2，5或3的倍數(shù)特征（命題），對于1-100的自然數(shù)而言是完全歸納，命題無

14、疑是正確的，但對于任意的正整數(shù)，命題的正確性還需要通過驗證。又如，“找因數(shù)”一課，先用小正方形拼擺長方形（或在方格紙上畫長方形）的方法找因數(shù)，長方形本身就是乘法的幾何直觀。因此。這種直觀操作有助于培養(yǎng)“找因數(shù)”的心理意象，把“找因數(shù)”具體操作的邏輯內(nèi)化為抽象的思維邏輯。然后，再擺脫直觀，探索直接用乘法或除法等數(shù)學方法找因數(shù)，促進思維從直觀水平向抽象水平發(fā)展。（2）重視培養(yǎng)提出問題與發(fā)現(xiàn)問題的能力探索規(guī)律的數(shù)學活動為發(fā)現(xiàn)問題與提出問題提供了機會。發(fā)現(xiàn)規(guī)律就是發(fā)現(xiàn)問題，用語言或符號把規(guī)律描述出來就是提出問題。上述已經(jīng)看到，探索5，2，3的倍數(shù)的特征的過程，就是發(fā)現(xiàn)問題提出問題（數(shù)學命題）的過程。在

15、“找質(zhì)數(shù)”一課，先分別找出2-12的自然數(shù)的全部因數(shù)，并列表記錄。觀察這個表格，有什么發(fā)現(xiàn)？又一次提供了發(fā)現(xiàn)問題與提出問題的機會。這就是從大于等于2的自然數(shù)中，發(fā)現(xiàn)一種新的分類標準，并用語言描述這個分類標準。以是否只有1與本身兩個因數(shù)為分類標準，可以把大于等于2的自然數(shù)分成兩類：一類是有且只有1與它本身兩個因數(shù)的自然數(shù)，另一類是除了1與它本身兩個因數(shù)外，還有其他因數(shù)的自然數(shù)。前者叫質(zhì)數(shù)，后者叫合數(shù)。 為什么不把1歸到質(zhì)數(shù)這一類呢？如果規(guī)定1也是質(zhì)數(shù)，那么任意一個合數(shù)表示為它的質(zhì)因數(shù)的乘積的形式就不是唯一的；例如6=1×2×3，或者6=2×3。如果規(guī)定1不是質(zhì)數(shù)，那

16、么任意一個合數(shù)表示為它的質(zhì)因數(shù)的乘積的形式是唯一的（這就是“數(shù)論”著名的算術(shù)基本定理）。所以，規(guī)定1不是質(zhì)數(shù)，是建構(gòu)理論的需要。3. 第五單元“分數(shù)的意義”在三年級初步認識分數(shù)的基礎上，本單元在很多方面對分數(shù)的認識有了深化與發(fā)展。三年級已經(jīng)知道分數(shù)可以表示整體與部分之間的關(guān)系，這個整體可以是一個物體，也可以是許多物體組成的一個集合；知道借助面積模型或集合模型直觀地表示分數(shù)，并借助分數(shù)的面積模型可以比較簡單分數(shù)的大小。在這個基礎上，本單元在表示整體與部分之間關(guān)系方面，給分數(shù)的意義以明確的描述，即“把整體平均分成若干份份中的一份或幾份，可以用分數(shù)來表示”，進一步體會分數(shù)的相對性；通過“分數(shù)墻”認識

17、像，這樣的分數(shù)是分數(shù)單位，這些分數(shù)單位都是比1更小的計數(shù)單位。因此，分數(shù)可以視為對分數(shù)單位進行計數(shù)的結(jié)果，如3個是，5個是（或1），8個是（或1）等。在生活中，我們還會遇到“把5張餅平均分給4個人”的分餅問題。每人能分到多少張餅呢？一種分法是每人都分到其中每一張餅的，一共有5個，所以每人都分到張餅；另一種分法是每人先分到1張餅，再分得1張餅的，所以每人分到1張餅。由此可見，分數(shù)與分數(shù)1是同一個分數(shù)的不同形式。以分數(shù)的分子是否小于分母為分類標準，可以把分數(shù)分成真分數(shù)與假分數(shù)（帶分數(shù)）兩類。在第一學段認識的分數(shù)，主要是分子比分母小的真分數(shù)。分數(shù)可以作為除法的商的意義，是本單元最具有實質(zhì)性意義的發(fā)展

18、。在分數(shù)范圍內(nèi)除法（除數(shù)不為0）總是可以施行，即a÷b=（b0）。這個關(guān)系使我們很容易找到兩個整數(shù)（除數(shù)不為0）相除所得的商，如3÷7=，解決了整數(shù)除法不能解決的問題。此外，這個除法與分數(shù)的關(guān)系，不僅可以用于假分數(shù)與帶分數(shù)的相互轉(zhuǎn)化，還可以用于把分數(shù)化為小數(shù)形式。本單元還探究了“分數(shù)基本性質(zhì)”，即“分數(shù)的分子和分母同乘或除以一個不為0的數(shù)，分數(shù)的大小不變”。根據(jù)分數(shù)的基本性質(zhì)，以是否是相等分數(shù)為分類標準，可以把分數(shù)分成無窮多個等價類。比如，=，其中、等，都是同一個分數(shù)的不同形式，它們的主要區(qū)別是分數(shù)單位不同。分數(shù)的基本性質(zhì)也為分數(shù)的通分與約分提供了理論根據(jù)。通分可以把異分母

19、分數(shù)轉(zhuǎn)化為同分母分數(shù)，從而可以解決異分母分數(shù)比較大小的問題；約分則可以把分數(shù)化為最簡分數(shù)。通分與約分是五年級下冊學習分數(shù)的四則運算必備的基本技能。（二）圖形與幾何1.第二單元“軸對稱與平移” 本單元“軸對稱與平移”是在三年級認識“圖形的運動”的基礎上，對“軸對稱與平移“進行再認識的。三年級是通過折紙、剪紙等具體操作，認識軸對稱圖形及其對稱軸的；三年級的平移是實物（棋子、鉛筆、三角尺）在方格紙上進行左右或上下方向的平移。 本單元是通過觀察、操作等活動，進一步認識軸對稱圖形及其對稱軸。能在方格紙上畫出軸對稱圖形的對稱軸；并進一步認識軸對稱圖形的特征：軸對稱圖形的任意一對對稱點與對稱軸之間的方格數(shù)相

20、同（即對稱點到對稱軸的距離相等）。根據(jù)軸對稱圖形的這個特征，能在方格紙上補全一個簡單的軸對稱圖形，能畫出一個圖形關(guān)于一條直線對稱的圖形。通過觀察、操作等活動，在方格紙上認識圖形的平移，探究簡單圖形在方格紙上平移的特征：圖形按水平或垂直方向平移幾格，圖形的任意一點都按相同的方向平移相同的距離。根據(jù)圖形平移的這個特征，能在方格紙上畫出圖形平移后的圖形。 能從軸對稱和平移的角度欣賞生活中美麗的圖案，并運用它們在方格紙設計簡單的圖案。 2.第四單元“多邊形的面積”“多邊形的面積”這個單元是在三年級初步認識圖形面積，知道方格紙是度量圖形面積的基本策略，了解面積單位（1cm2，1dm2，1m2）及其關(guān)系，

21、知道長方形與正方形面積計算公式的基礎上，進一步探索平行四邊形、三角形與梯形的面積。 平面圖形面積的度量有兩種基本的策略：一是用工具（如方格紙）度量，一是用公式度量。公式度量需要像長方形或正方形那樣，先推導出計算面積的公式，進而根據(jù)面積公式度量圖形有關(guān)要素的長度，再代入公式計算出面積。任何平面圖形的面積都可以用工具度量，但不是所有的圖形都可以用公式度量。本單元的重點不是工具度量，而是探索公式度量。經(jīng)歷探索平行四邊形的面積公式的過程：用方格紙度量出一個平行四邊形的面積；探索所得的面積與確定這個平行四邊形的要素（兩邊以及一邊上的高）之間有什么關(guān)系，猜想平行四邊形的面積=底×高；驗證：任意的

22、平行四邊形都可以用割補法轉(zhuǎn)化為長方形，轉(zhuǎn)化前后圖形的面積不變；長方形的長是原平行四邊形的底，長方形的寬是原平行四邊形底上的高，因此，推出平行四邊形的面積=底×高。進而，推導三角形和梯形的面積公式，關(guān)鍵是如何把三角形或梯形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學過的圖形（即已經(jīng)推導出面積公式的圖形）。因此，在推導圖形面積的過程，也是探究圖形之間的聯(lián)系，發(fā)展空間觀念的過程。3.第六單元 “組合圖形的面積”“組合圖形的面積”單元與“多邊形的面積”單元有密切的聯(lián)系。 “多邊形的面積”單元主要是推導圖形的面積公式，推導的關(guān)鍵是把多邊形轉(zhuǎn)化為已學過的圖形（已有面積公式的圖形）?！敖M合圖形的面積”是探究求組合圖形或不規(guī)則圖形

23、面積的方法，關(guān)鍵也是把組合圖形或不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為已知圖形，應用已知圖形的面積公式求解。所以，這兩個單元解決問題的基本思路是一脈相承。 多邊形與組合圖形之間沒有明確的分界。梯形是多邊形，但梯形也可以視為組合圖形。所以，組合圖形不下定義，在解決問題的過程中，可以體驗把圖形視為組合圖形是一種解決問題的策略。 至于組合圖形是由那些基本圖形組合而成，可以仁者見仁，智者見智，與學習者個人的圖形經(jīng)驗有關(guān)。探究“組合圖形的面積”，就是要積累這方面的圖形經(jīng)驗。教學時，要注意轉(zhuǎn)化方法本身的合理性與簡潔性?！疤剿骰顒樱撼砷L的腳印”是探索不規(guī)則圖形的面積，有兩種方法可以選擇：一種方法是用方格紙度量，用方格紙度量的實質(zhì)是把腳印轉(zhuǎn)化成一個由方格組成的組合圖形，并用這個組合圖形的面積近似地表示腳印的面積。另一種方法可以在有腳印的方格紙上畫一個規(guī)則圖形，如梯形，計算出它的面積來近似地表示腳印的面積。（三）統(tǒng)計與概率1.第七單元“可能性”在四年級上冊學習“可能性”的基礎上，本單元進一步學習“可能性”。四年級的“可能性”是在具體情境中，通過實例感受簡單的隨機現(xiàn)象；通過試驗、游戲等，感受隨機現(xiàn)象結(jié)果發(fā)生的可能性有大有小，能夠?qū)σ恍┖唵蔚碾S機現(xiàn)象發(fā)生