函數(shù)的單調(diào)性87946

1、2.1 .32.1 .3函數(shù)的簡單性質(zhì)函數(shù)的簡單性質(zhì)(1)(1)-函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性如圖如圖(課本課本34頁圖頁圖2113)，是氣溫，是氣溫 關(guān)于時間關(guān)于時間t的函數(shù)，記的函數(shù)，記為為 f (t)，觀察這個函數(shù)的圖象，說出氣溫在哪些時間段內(nèi)是逐，觀察這個函數(shù)的圖象，說出氣溫在哪些時間段內(nèi)是逐漸升高的或是下降的？漸升高的或是下降的？ 問題：怎樣用數(shù)學語言刻畫問題：怎樣用數(shù)學語言刻畫“隨時間的增大氣溫逐漸升高隨時間的增大氣溫逐漸升高 ”這一特征？這一特征？y隨隨x的增大而增大的增大而增大情境問題：情境問題：t/ c246810o- -2t/小時84121620246210141822xx1(

2、x0 )在一碗水中，加入一定量的鹽，鹽加得越多就越在一碗水中，加入一定量的鹽，鹽加得越多就越咸設(shè)水的質(zhì)量為咸設(shè)水的質(zhì)量為1，鹽的質(zhì)量為，鹽的質(zhì)量為x，鹽水的濃度為，鹽水的濃度為y，則則y與與x之間的函數(shù)關(guān)系是之間的函數(shù)關(guān)系是 y 問題問題一：怎樣用數(shù)學語言刻畫一：怎樣用數(shù)學語言刻畫“鹽加得越多就越鹽加得越多就越咸咸”這一特征這一特征？問題二：函數(shù)的解析式能反映出這個特征嗎？問題二：函數(shù)的解析式能反映出這個特征嗎？y隨隨x的增大而增大的增大而增大情境問題：情境問題：數(shù)學建構(gòu)：數(shù)學建構(gòu)：問題問題1 如圖，觀察一次函數(shù)如圖，觀察一次函數(shù)f（x）x和二次函和二次函數(shù)數(shù)f（x）x2的圖象，說說隨著的圖象

3、，說說隨著x的增大，圖象的增大，圖象的升降情況的升降情況 函數(shù)函數(shù)f（x）x的圖象由左到右是上升的；函數(shù)的圖象由左到右是上升的；函數(shù)f（x）x2的圖象在的圖象在y軸左側(cè)是下降的，在軸左側(cè)是下降的，在y軸右側(cè)是上升的軸右側(cè)是上升的yoxxyoxy2xyooxyx( )f x2xy從下列變化，你能得出什么結(jié)論？從下列變化，你能得出什么結(jié)論？oxyx( )f x2xy從下列變化，你能得出什么結(jié)論？從下列變化，你能得出什么結(jié)論？oxyx( )f x2xy從下列變化，你能得出什么結(jié)論？從下列變化，你能得出什么結(jié)論？oxyx( )f x2xy從下列變化，你能得出什么結(jié)論？從下列變化，你能得出什么結(jié)論？ox

4、yx( )f x2xy從下列變化，你能得出什么結(jié)論？從下列變化，你能得出什么結(jié)論？oxyx( )f x2xy從下列變化，你能得出什么結(jié)論？從下列變化，你能得出什么結(jié)論？ox( )f xxy2xy從下列變化，你能得出什么結(jié)論？從下列變化，你能得出什么結(jié)論？,21xx在給定區(qū)間上任取21xx )f(x)f(x21oxy) x( fy如何用如何用x與與 f(x)來描述上升或下降的圖象？來描述上升或下降的圖象？)x( f11x21xx )f(x)f(x21)x( f1)x ( f2) x ( fyoxy1x2x)x ( f22x數(shù)學建構(gòu)數(shù)學建構(gòu)：單調(diào)性定義：單調(diào)性定義一般地，設(shè)函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y y

5、f f( (x x) )的定義域為的定義域為a a，區(qū)間，區(qū)間i i a a如果對于如果對于區(qū)間區(qū)間i內(nèi)內(nèi)的的任意任意兩個值兩個值x1，x2，當，當x1x2時，都有時，都有f(x1)f(x2)，那么就說，那么就說yf(x)在區(qū)間在區(qū)間i上是上是單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù)， i稱為稱為yf(x)的的單調(diào)增區(qū)間單調(diào)增區(qū)間如果對于如果對于區(qū)間區(qū)間i內(nèi)內(nèi)的的任意任意兩個值兩個值x1，x2，當，當x1x2時，都有時，都有f(x1)f(x2)，那么就說那么就說yf(x)在區(qū)間在區(qū)間i上是上是單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù)， i稱為稱為yf(x)的的單調(diào)減區(qū)間單調(diào)減區(qū)間數(shù)學建構(gòu)：定義剖析數(shù)學建構(gòu)：定義剖析（1 1）函數(shù)單調(diào)

6、性的幾何特征：在單調(diào)區(qū)間上，）函數(shù)單調(diào)性的幾何特征：在單調(diào)區(qū)間上，增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。增函數(shù)的圖象是上升的，減函數(shù)的圖象是下降的。函數(shù)圖象從左到右逐漸上升函數(shù)圖象從左到右逐漸上升函數(shù)圖象從左到右逐漸下降。函數(shù)圖象從左到右逐漸下降。遞減遞減 遞增遞增數(shù)學建構(gòu)：定義剖析數(shù)學建構(gòu)：定義剖析（2）函數(shù)單調(diào)性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個函數(shù)單調(diào)性是針對某一個區(qū)間而言的，是一個局部性質(zhì)。局部性質(zhì)。 有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的；有些函數(shù)有些函數(shù)在整個定義域內(nèi)是單調(diào)的；有些函數(shù)在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，在部分區(qū)間在定義域內(nèi)的部分區(qū)間上是增函數(shù)，在部分區(qū)間上是減函數(shù)；有些函數(shù)

7、是非單調(diào)函數(shù)，如常數(shù)函上是減函數(shù)；有些函數(shù)是非單調(diào)函數(shù)，如常數(shù)函數(shù)。數(shù)。數(shù)學建構(gòu)：定義剖析數(shù)學建構(gòu)：定義剖析 函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在一個單調(diào)區(qū)間上的函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在一個單調(diào)區(qū)間上的“整體整體”性質(zhì)，性質(zhì)，x1x2具有任意性，不能用特殊值代替具有任意性，不能用特殊值代替（3）x1,x2的任意性的任意性數(shù)學應(yīng)用：數(shù)學應(yīng)用：例例1 1、如果、如果定義域為定義域為a a的函數(shù)的函數(shù)yf(x)的圖象的圖象如圖所示如圖所示針對圖形，指出哪些函數(shù)是針對圖形，指出哪些函數(shù)是a上的上的單調(diào)增函數(shù)，單調(diào)增函數(shù)，哪些函數(shù)是哪些函數(shù)是a上的上的單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù)xyoxyoxyoxyo(1)(2)(3)(4)數(shù)學

8、應(yīng)用：數(shù)學應(yīng)用：（1）二次函數(shù)）二次函數(shù)yx22x1在對稱軸的左側(cè)，在對稱軸的左側(cè)，y隨隨x的增大而減小的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)，在對稱軸的右側(cè)，y隨隨x的增大而增大的增大而增大xyo在區(qū)間在區(qū)間( ，1)上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間(1， )上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增在區(qū)間在區(qū)間( ，1)上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間(1， )上是增函數(shù)上是增函數(shù)二次函數(shù)二次函數(shù)yx22x1的減區(qū)間是的減區(qū)間是( ，1)，增區(qū)，增區(qū)間是間是(1， )例例2.求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：xyo（2）反比例）反比例函數(shù)函數(shù)y在第一象限，在第一象限，y隨隨x的增大而減小，的增大而減小，

9、在第三象限，在第三象限，y隨隨x的增大而減小的增大而減小在區(qū)間在區(qū)間(0， )上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間( ，0)上也單調(diào)遞減上也單調(diào)遞減數(shù)學應(yīng)用：數(shù)學應(yīng)用：在區(qū)間在區(qū)間(0， )上是減函數(shù)，在區(qū)間上是減函數(shù)，在區(qū)間( ，0)上也是減函數(shù)上也是減函數(shù)函數(shù)函數(shù)y 的減區(qū)間是的減區(qū)間是( ，0)和和(0，+ )注：注：函數(shù)函數(shù)y 的減區(qū)間不能表示為的減區(qū)間不能表示為( ，0)(0，+ )6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 -1 -1 -2-2 -3-3 -4-4-6-4-2-22 2468-3-33 31 1-2-2-1-1-2-2-1-1的單調(diào)區(qū)間）求函數(shù)（例11)3.(11)

10、2.(11. 3xyxyxyxy16 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 -1 -1 -2-2 -3-3 -4-4-6-4-2-22 2468-3-33 31 1-2-2-1-1-2-2-1-1的單調(diào)區(qū)間）求函數(shù)（例11)3.(11)2.(11. 3xyxyxyxy111xy6 5 5 4 4 3 3 2 2 1 1 -1 -1 -2-2 -3-3 -4-4-6-4-2-22 2468-3-33 31 1-2-2-1-1-2-2-1-1的單調(diào)區(qū)間）求函數(shù)（例11)3.(11)2.(11. 3xyxyxyxy111xy11xy可以發(fā)現(xiàn)，上下平移可以發(fā)現(xiàn)，上下平移, ,單調(diào)區(qū)間不變單調(diào)區(qū)間不變

11、. .它們的單它們的單調(diào)減區(qū)間為調(diào)減區(qū)間為(-,0)(-,0)和和(0,+)(0,+)思考：左右平移會改變函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？試比思考：左右平移會改變函數(shù)的單調(diào)區(qū)間嗎？試比較較 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間11)3.(11)2.(11xyxyxy）（你發(fā)現(xiàn)了嗎？你發(fā)現(xiàn)了嗎？注意：注意：1）單調(diào)區(qū)間和定義域的關(guān)系）單調(diào)區(qū)間和定義域的關(guān)系2 2）函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言）函數(shù)的單調(diào)性是對某一個區(qū)間而言的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值的，對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，是唯一確定的常數(shù)，因而沒有增減變化，所以不存在單調(diào)性問題。所以不存在單調(diào)性問題。3 3）在區(qū)間的端點

12、處若有定義，可開可）在區(qū)間的端點處若有定義，可開可閉，但在整個定義域內(nèi)要完整。閉，但在整個定義域內(nèi)要完整。數(shù)學應(yīng)用：單調(diào)性的證明23)( xxf例例4、證明函數(shù)、證明函數(shù)21,xx21xx 021xxx03)( 3)23()23()()(212121xxxxxxfxfy23)( xxf。證明：設(shè)證明：設(shè)是是r上的任意兩個實數(shù)，且上的任意兩個實數(shù)，且，則，則，所以，所以，在在r r上是增函數(shù)。上是增函數(shù)。 在在r上上是增函數(shù)。是增函數(shù)。數(shù)學應(yīng)用：單調(diào)性的證明例例5、求證：函數(shù)求證：函數(shù) 在區(qū)在區(qū)間（間（-，0）上是單調(diào)增函數(shù)。）上是單調(diào)增函數(shù)。11)(xxf利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟：利用定義證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： 任意取值：即設(shè)任意取值：即設(shè)x1、x2是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值是該區(qū)間內(nèi)的任意兩個值，且，且x1x2，則，則 因為因為x(-1,1)，所以，所以x