概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)(浙大版)第二章課件PPT課件

1、 在上一章中，我們把隨機(jī)事件看作樣本空間在上一章中，我們把隨機(jī)事件看作樣本空間的子集；這一章里我們將引入隨機(jī)變量的概念，的子集；這一章里我們將引入隨機(jī)變量的概念，用隨機(jī)變量的取值來描述隨機(jī)事件。用隨機(jī)變量的取值來描述隨機(jī)事件。一、隨機(jī)變量一、隨機(jī)變量引例：引例：E1: 將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。將一枚硬幣連擲兩次，觀察正反面出現(xiàn)的情況。第1頁/共105頁e1=（正，正）（正，正） 2e2=（正，反）（正，反） 1e3=（反，正（反，正) 1e4=（反，反）（反，反） 0 令令X=“正面出現(xiàn)的次數(shù)正面出現(xiàn)的次數(shù)”，則則X是一個(gè)隨著試是一個(gè)隨著試驗(yàn)結(jié)果不同而取值不同的量，其對應(yīng)關(guān)系

2、如下：驗(yàn)結(jié)果不同而取值不同的量，其對應(yīng)關(guān)系如下：由上可知，對每一個(gè)樣本點(diǎn)由上可知，對每一個(gè)樣本點(diǎn)e，都有一個(gè)，都有一個(gè)X的取值的取值X(e)基本結(jié)果基本結(jié)果(e) 正面出現(xiàn)的次數(shù)正面出現(xiàn)的次數(shù)X(e)第2頁/共105頁與之對應(yīng)。與之對應(yīng)。我們把我們把X稱為定義在這個(gè)試驗(yàn)上的隨機(jī)變量。稱為定義在這個(gè)試驗(yàn)上的隨機(jī)變量。 E2：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)：擲一枚骰子，觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). 令令X=“正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)正面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)” E3：某產(chǎn)品的使用壽命：某產(chǎn)品的使用壽命X,X=0. 反面反面正面正面令令, 0, 1X E4：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的：擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，觀察正反面出現(xiàn)的情

3、況情況.第3頁/共105頁 一般地，對每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們都可以引入一般地，對每一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們都可以引入一個(gè)變量一個(gè)變量X，使得試驗(yàn)的每一個(gè)樣本點(diǎn)都有一個(gè)，使得試驗(yàn)的每一個(gè)樣本點(diǎn)都有一個(gè)X的取值的取值X(e)與之對應(yīng)，這樣與之對應(yīng)，這樣就得到隨機(jī)變量的概念就得到隨機(jī)變量的概念. 設(shè)設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，其樣本空間為S=e，在，在E上引入一個(gè)變量上引入一個(gè)變量X，如果對，如果對S中每一個(gè)樣本點(diǎn)中每一個(gè)樣本點(diǎn)e，都，都有有一個(gè)一個(gè)X的取值的取值X(e)與之對應(yīng)，我們就與之對應(yīng)，我們就稱稱X為定義為定義在隨機(jī)試驗(yàn)在隨機(jī)試驗(yàn)E的一個(gè)的一個(gè)隨機(jī)變量隨機(jī)變量. 第4頁/共10

4、5頁（2）引入隨機(jī)變量的目的：）引入隨機(jī)變量的目的：用隨機(jī)變量的取值范圍表示隨機(jī)事件，利用高等數(shù)用隨機(jī)變量的取值范圍表示隨機(jī)事件，利用高等數(shù)學(xué)的工具研究隨機(jī)現(xiàn)象。學(xué)的工具研究隨機(jī)現(xiàn)象。事件事件“正面至少出現(xiàn)一次正面至少出現(xiàn)一次”可表示為可表示為:“X1 1”；2、隨機(jī)變量的表示：隨機(jī)變量的表示：常用字母常用字母X,Y,Z，.表示表示; 例如：上例中，事件例如：上例中，事件“正面出現(xiàn)兩次正面出現(xiàn)兩次”可表示為可表示為:“0X2”表示事件表示事件“正面至少出現(xiàn)一次正面至少出現(xiàn)一次”?！癤=2” ；第5頁/共105頁例如：上例中例如：上例中P(X=2)=1/4； P(X)=3/4； P(0X 2)=

5、3/4；隨機(jī)變量的取值具有一定的概率隨機(jī)變量的取值具有一定的概率：(4)隨機(jī)變量的類型：隨機(jī)變量的類型： 這兩種類型的隨機(jī)變量因其取值方式的不同這兩種類型的隨機(jī)變量因其取值方式的不同各有特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)注意它們各自的特點(diǎn)及描述方各有特點(diǎn)，學(xué)習(xí)時(shí)注意它們各自的特點(diǎn)及描述方式的不同。式的不同。具有隨機(jī)性具有隨機(jī)性:在一次試驗(yàn)之前不知道它取哪一個(gè)在一次試驗(yàn)之前不知道它取哪一個(gè)值，但事先知道它全部可能的取值。值，但事先知道它全部可能的取值。 隨機(jī)變量的特點(diǎn)隨機(jī)變量的特點(diǎn):離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量離散型與連續(xù)型隨機(jī)變量。第6頁/共105頁 例例1（用隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件）用隨機(jī)變量的取值表示隨機(jī)事件）一

6、報(bào)童一報(bào)童賣報(bào)，每份報(bào)賣報(bào)，每份報(bào)0.50元元, 其成本為其成本為0.30元。元。 報(bào)館每天給報(bào)館每天給報(bào)童報(bào)童1000份報(bào)紙，并規(guī)定賣不出的報(bào)紙不得退回。份報(bào)紙，并規(guī)定賣不出的報(bào)紙不得退回。解：分析解：分析報(bào)童賠錢報(bào)童賠錢 賣出報(bào)紙的錢不夠成本賣出報(bào)紙的錢不夠成本當(dāng)當(dāng) 0.50 X1000 0.3時(shí)，報(bào)童賠錢時(shí)，報(bào)童賠錢. 故故報(bào)童賠錢報(bào)童賠錢 X 600 令令X=“報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)”試將試將“報(bào)童賠錢報(bào)童賠錢”這一事件用這一事件用X的取值表的取值表示出來。示出來。第7頁/共105頁（1）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量X可能取哪些值？可能取哪些值？（2）隨機(jī)變量）隨機(jī)變量X取

7、某個(gè)值的概率是多大？取某個(gè)值的概率是多大？3、隨機(jī)變量的概率分布、隨機(jī)變量的概率分布引入隨機(jī)變量后引入隨機(jī)變量后, 上述說法相應(yīng)變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑荷鲜稣f法相應(yīng)變?yōu)橄铝斜硎龇绞剑簩τ谝粋€(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們關(guān)心下列兩件事情：對于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們關(guān)心下列兩件事情： （1）試驗(yàn)會(huì)發(fā)生一些什么事件？）試驗(yàn)會(huì)發(fā)生一些什么事件？（2）每個(gè)事件發(fā)生的概率是多大？）每個(gè)事件發(fā)生的概率是多大？第8頁/共105頁 對一個(gè)隨機(jī)變量對一個(gè)隨機(jī)變量X，若給出了以上兩條，我們，若給出了以上兩條，我們就說給出了就說給出了隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的概率分布的概率分布(也稱分布律）。也稱分布律）。 這一章我們的中心任務(wù)是學(xué)習(xí)這一章我們的

8、中心任務(wù)是學(xué)習(xí)離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布與連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布.第9頁/共105頁2 離散型隨機(jī)變量及其分布第10頁/共105頁 如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X X所有可能的取值是有限個(gè)或無所有可能的取值是有限個(gè)或無窮可列個(gè)，則窮可列個(gè)，則稱稱X X為離散型隨機(jī)變量。為離散型隨機(jī)變量。一、一、離散型隨機(jī)變量的離散型隨機(jī)變量的2.離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量的分布律的分布律 要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律，必須要掌握一個(gè)離散型隨機(jī)變量的分布律，必須且只需知道以下兩點(diǎn)：且只需知道以下兩點(diǎn)： (1) X所有可能的取值所有可能的取值: :(2)(2)X取每個(gè)值時(shí)的概率取每

9、個(gè)值時(shí)的概率:, 3 , 2 , 1,)(,21 kpxXPxxxXkkk第11頁/共105頁稱稱 (1) 式為式為離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量X X的分布律的分布律.)1(, 3 , 2 , 1)( kpxXPkk離散型離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量X的分布律可用公式法和表格的分布律可用公式法和表格法描述。法描述。1)1)公式法公式法:2)2) 表格法表格法:, 3 , 2 , 1)( kpxXPkk21kpppxxX21第12頁/共105頁X012pk1/42/41/4 例例1：將一枚硬幣連擲兩次，求將一枚硬幣連擲兩次，求“正面出現(xiàn)的次正面出現(xiàn)的次數(shù)數(shù)X ”的分布律。的分布律。解：解：在此試驗(yàn)中，

10、所有可能的結(jié)果有：在此試驗(yàn)中，所有可能的結(jié)果有：e1=（正，正）；（正，正）；e2=（正，反）；（正，反）；e3=（反，正（反，正) ；e4=（反，反）。（反，反）。于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)于是，正面出現(xiàn)的次數(shù)X ”的分布律：的分布律：第13頁/共105頁圖形表示第14頁/共105頁第15頁/共105頁程序x=0, 1, 2;pk=1/4,2/4,1/4;figure(color,w)plot(x,pk,r.,MarkerSize,31)ylim(0 0.6)xlim(0,2.3)text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2)

11、, num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(color,w)plot(x,pk,r.,MarkerSize,31)hold onplot(x,pk,r-.)ylim(0 0.6)hold offxlim(0,2.3)text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21);

12、figure(color,w)bar(x,pk,0.1,r)ylim(0 0.6)text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21);xlim(0,2.3)text(x(2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21); figure(color,w)stem(x,pk,r.,MarkerSize,31)ylim(0 0.6)xlim(0,2.3)text(x(1),pk(1), num2str(pk(1),FontSize,21);text(x(

13、2),pk(2), num2str(pk(2),FontSize,21);text(x(3),pk(3), num2str(pk(3),FontSize,21);第16頁/共105頁離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì)離散型隨機(jī)變量分布律的性質(zhì) 例例: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為：1)2, 3 , 2 , 1,0) 1kkkpkp.10, 2 , 1,10)( kakXP試求常數(shù)試求常數(shù)a. 11101apkk解：由第17頁/共105頁為常數(shù)。為常數(shù)。0,.,2 , 1 , 0,!)( kkakXPk例例3: 設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為：xkkekx 0!提示：提示：

14、試求常數(shù)試求常數(shù)a.0001,!.kkkkkkpaaaekkae解解：由由得得，第18頁/共105頁練習(xí)練習(xí):設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：的分布律為：,3,2, 1,)32( kbkXpk試確定常數(shù)試確定常數(shù)b.解：由分布律的性質(zhì)，有解：由分布律的性質(zhì)，有 11)32()(kkkbkXP1213232 bb21 b第19頁/共105頁297. 003. 03 X所有可能的取值為：所有可能的取值為：0，1，2，3；取到正品；取到次品令A(yù)A97. 0)(,03. 0)( APAP則：則：)()0(AAAPXP )()1(AAAAAAAAAPXP 設(shè)有產(chǎn)品設(shè)有產(chǎn)品100件，其中件，其中3件是次

15、品。從中有放回件是次品。從中有放回地任取地任取3件，求件，求“取得次品件數(shù)取得次品件數(shù)X ”的分布律。的分布律。211397. 003. 0 C397. 0 30397. 0C 第20頁/共105頁3 , 2 , 1 , 0,97. 003. 0)(33 kCkXPkkk97. 003. 03297. 003. 0223 C33303. 0C)()2(AAAAAAAAAPXP 這個(gè)分布其實(shí)就是將要介紹二項(xiàng)分布。我們先來這個(gè)分布其實(shí)就是將要介紹二項(xiàng)分布。我們先來看一個(gè)重要的試驗(yàn)看一個(gè)重要的試驗(yàn)伯努利（伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)。）試驗(yàn)。303. 0)()3(AAAPXP第21頁/共105頁

16、(1)n(1)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)1、伯努利（、伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)）試驗(yàn)將試驗(yàn)將試驗(yàn)E重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行n次次,若各次試驗(yàn)的結(jié)果互若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響不影響,則稱這則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的. (2)n重重努利試驗(yàn)努利試驗(yàn)滿足下列條件的試驗(yàn)稱為伯努利（滿足下列條件的試驗(yàn)稱為伯努利（Bernoulli）試驗(yàn)）試驗(yàn):每次試驗(yàn)都在相同的條件下每次試驗(yàn)都在相同的條件下重復(fù)重復(fù)進(jìn)行；進(jìn)行；第22頁/共105頁 每次試驗(yàn)只有每次試驗(yàn)只有兩個(gè)兩個(gè)可能的結(jié)果可能的結(jié)果:A及及 每次試驗(yàn)的結(jié)果相互每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立。獨(dú)立。nkppCkXPknkkn,.,2 , 1

17、 , 0,)1()( 若用若用X表示表示n重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù), 則則n次試驗(yàn)中事件次試驗(yàn)中事件A發(fā)生發(fā)生k次的概率為：次的概率為： 證明：證明：在在n重伯努利試驗(yàn)中，事件重伯努利試驗(yàn)中，事件A在前在前k次出次出現(xiàn)，而在后現(xiàn)，而在后n-k次不出現(xiàn)的概率為次不出現(xiàn)的概率為: 若滿足上述條件的試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行若滿足上述條件的試驗(yàn)重復(fù)進(jìn)行n次次,則稱這則稱這一串試驗(yàn)為一串試驗(yàn)為n重伯努利重伯努利(Bernoulii)試驗(yàn)。試驗(yàn)。.)(pAPA 且且第23頁/共105頁knkknppCkXP )1()(., 2 , 1 , 0nkknkknkppAAAAAAP )1(

18、)(_ 而事件而事件A在在n次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生k次的方式為：次的方式為：knC 所所以以為為二二項(xiàng)項(xiàng)展展開開式式中中的的一一項(xiàng)項(xiàng)而而由由于于,)1(, 1)1()1(0knkknnknknkknppCppppC :,記記作作的的二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布服服從從參參數(shù)數(shù)為為稱稱pnX),(pnBX第24頁/共105頁 用用X表示表示n重重Bernoulli試驗(yàn)中事件試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次發(fā)生的次數(shù)，數(shù)， ，則，則X的分布律為的分布律為:;.,2,1 ,0)1(nkppCkXPknkkn 此時(shí)此時(shí)稱稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為n,p的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布,記為記為 XB(n,p). 將將 一枚均勻的骰子擲一

19、枚均勻的骰子擲4次，求次，求3次擲出次擲出5點(diǎn)點(diǎn)pAP )(且且第25頁/共105頁 解：解：令令A(yù)=“擲出擲出5 5點(diǎn)點(diǎn)”，點(diǎn)點(diǎn)”“擲擲不不出出5 A65)(,61)( APAP且且)61,4( bX32456561)3(334 CXP第26頁/共105頁程序和結(jié)果x = 0:4;y = binopdf(x,4,1/6);figure(color,w)plot(x,y,r.,MarkerSize,31)figure(color,w)bar(x,y,0.1,r)pxequal3=y(4)第27頁/共105頁例例2 2： 設(shè)有設(shè)有8080臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互獨(dú)臺(tái)同類型設(shè)備，各臺(tái)工作是相互

20、獨(dú)立的，發(fā)生故障的概率都是立的，發(fā)生故障的概率都是0.010.01，且一臺(tái)設(shè)備，且一臺(tái)設(shè)備的故障能有一個(gè)人處理。的故障能有一個(gè)人處理。考慮兩種配備維修工人的方法，考慮兩種配備維修工人的方法， 其一是由其一是由4 4個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)個(gè)人維護(hù)，每人負(fù)責(zé)2020臺(tái)；臺(tái)； 其二是由其二是由3 3個(gè)人共同維護(hù)個(gè)人共同維護(hù)8080臺(tái)。臺(tái)。 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小。維修的概率的大小。第28頁/共105頁1,2,3,420iXA ii解：以 記“第一人維護(hù)的20臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)”。 以表示事件“第 人維護(hù)的臺(tái)中發(fā)生故障不能

21、及時(shí)維修”，則知80臺(tái)中發(fā)生故障不按第一種方法。 能及時(shí)維修的 概率為：123412P AAAAP AP X20,0.01 ,Xb而故有：1021kP XP Xk 12020010.010.990.0169kkkkC 12340.0169P AAAA即有：80,80,0.01 ,80YYb按第二種以 記臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故障的臺(tái)數(shù)，此時(shí)故臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修方法。的概率為： 380800410.010.990.0087kkkkP YC 第29頁/共105頁例例3 3：某人騎了自行車從學(xué)校到火車站，一路 上 要經(jīng)過3個(gè)獨(dú)立的交通燈，設(shè)各燈工作獨(dú) 立，且設(shè)各燈為紅燈的概率為p，0p1， 以Y表

22、示一路上遇到紅燈的次數(shù)。(1)求Y的概率分布律；(2)求恰好遇到2次紅燈的概率。 (3, )Ybp 331 ()(1), 0,1,2,3kkkP YkC ppk 2232 (2)(1)P YC pp 解：這是三重伯努利試驗(yàn)第30頁/共105頁例例4 4：某人獨(dú)立射擊n次，設(shè)每次命中率為p， 0p0為一常數(shù)，為一常數(shù)，n是任意正整數(shù)。設(shè)是任意正整數(shù)。設(shè)npn=, , 則對任一固定的非負(fù)整數(shù)則對任一固定的非負(fù)整數(shù)k，有，有 考慮到直接計(jì)算上式較麻煩，當(dāng)考慮到直接計(jì)算上式較麻煩，當(dāng)n很大很大p很小時(shí)，很小時(shí)，有下列近似計(jì)算公式：有下列近似計(jì)算公式：1、 第34頁/共105頁故故證明：設(shè)證明：設(shè),np

23、n knkknnnknnnk )1()1()1()1(! ennkn）時(shí)，（時(shí)，（當(dāng)當(dāng)對固定的對固定的-1,knkknnknknnnkknnnppC )1()(!)1()1()1( !)1(limkeppCkknnknknn !)1(limkeppCkknnknknn 第35頁/共105頁若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X所有可能的取值為所有可能的取值為0,1,2, 而而取每個(gè)值的概率為取每個(gè)值的概率為:.2,1 ,0,! kekkXPk 則稱則稱X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的的泊松分布泊松分布(Poisson),記為記為 :1) 泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系：這兩個(gè)分布的泊松分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系：這兩個(gè)分布的X

24、 ( ).說明說明：第36頁/共105頁數(shù)學(xué)模型都是數(shù)學(xué)模型都是Bernoulli概型。概型。Poisson分布分布是二項(xiàng)分布當(dāng)是二項(xiàng)分布當(dāng)n很大很大p 很小時(shí)的近似計(jì)算。很小時(shí)的近似計(jì)算。20,0.05, 1, kn kkknnpeC ppnpk二項(xiàng)分布與泊松分布有以下近 公 式 似：當(dāng)時(shí)其中！第37頁/共105頁程序?qū)Ρ瘸绦驅(qū)Ρ炔此煞植寂c二項(xiàng)分布泊松分布與二項(xiàng)分布 poisspdf(k, Lambda) （a) n=20; p=0.04; (b) n=8; p=0.4; 第38頁/共105頁上兩圖程序代碼figure(color,w)n=20;p=0.04;x = 0:n;y = bino

25、pdf(x,n,p);plot(x,y,r, LineWidth,3)xlim(0,n)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);hold onplot(x,z,g-., LineWidth,3)hold offlegend(二項(xiàng)分布:n=20,p=0.04,lambda=n*p=0.8) figure(color,w)n=8;p=0.4;x = 0:n;y = binopdf(x,n,p);plot(x,y,r, LineWidth,3)xlim(0,n)lama=n*p;z=poisspdf(x,lama);hold onplot(x,z,g-., LineWidth,3)h

26、old offlegend(二項(xiàng)分布:n=8,p=0.4,lambda=n*p=3.2) 第39頁/共105頁上述例上述例2的解答：的解答：53003000(5)0.010.99kkkkP XC 5030030099. 001. 0)5(kkkkCXP求解求解3503!kkek0.9161查查表表300 0.013np3、 Poisson分布的應(yīng)用分布的應(yīng)用第40頁/共105頁分別用binopdf(x,n,p)和poisspdf(k, Lambda)函數(shù)編程解上一題 n=300; p=0.01; n1=5; x = 0:n1; y = binopdf(x,n,p); binosum=sum(y

27、) lama=n*p; z=poisspdf(x,lama); Poissonsum=sum(z)第41頁/共105頁分別用binocdf(x,n,p)和poisscdf(k, Lambda)函數(shù)編程解上一題 n=300; p=0.01; n1=5; y = binocdf(n1,n,p) % binosum=sum(y) lama=n*p; z=poisscdf(n1,lama) % Poissonsum=sum(z)第42頁/共105頁 X 0 1 pk 1-p p 一個(gè)只有兩個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，都可以一個(gè)只有兩個(gè)結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，都可以用（用（0）分布來描述。如新生嬰兒的性別，）分布來描述。

28、如新生嬰兒的性別，打靶中與不中等等。打靶中與不中等等。即即X的分布律為：的分布律為：1, 0,)1 ()(, 1),(1kppkXPnpnBXkk則中，若在二項(xiàng)分布則稱則稱X服從（服從（0 ）分布。）分布。第43頁/共105頁作業(yè)題P55：2、4、7、11、12、15第44頁/共105頁3 3 隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量的分布函數(shù)引例：設(shè)引例：設(shè)X=“擲一顆骰子時(shí)擲出的點(diǎn)數(shù)擲一顆骰子時(shí)擲出的點(diǎn)數(shù)”，記，記PX1= F(1）PX2= F(2）PX3= F(3）一般地：對任意的實(shí)數(shù)一般地：對任意的實(shí)數(shù)記記, x)()(xFxXP 我們把我們把 稱為稱為)(xF第45頁/共105頁設(shè)設(shè)X X為一隨機(jī)

29、變量為一隨機(jī)變量, , 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù), ,稱稱為為定義域?yàn)椋憾x域?yàn)椋褐涤驗(yàn)椋褐涤驗(yàn)椋簒)()(xXPxF xa函數(shù)函數(shù)F(a)的值等于的值等于X的取值落入?yún)^(qū)間的取值落入?yún)^(qū)間(-,a內(nèi)的概率值。如何求？內(nèi)的概率值。如何求？),( x1 , 0)( xF第46頁/共105頁第47頁/共105頁 3）)()()()()()2(aFbFaXPbXPbXaP )()()1(bFbXP 0（ab)(1)(1)()3(bFbXPbXP )(xF)(xF第48頁/共105頁()( )( )P aXbF bF a()P aXb( )( )()F bF aP Xa()P aXb( )( )()()F b

30、F aP XaP Xb()P aXb( )( )()F bF aP Xb ； 0 0 01 0 0 aFaXaFbFbXaaFaXaFbFbXaaFaFaXaFbFbXaPPPPPP第49頁/共105頁例例1：已知隨機(jī)變量已知隨機(jī)變量X的分布律為的分布律為: X 0 1 2 pk 1/4 2/4 1/4)23()23()1( : XPF解解),(),()2( xxF求求.23)(處的值處的值在在 xxF.),(并作圖并作圖xF(1)求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù)(2)求求X的分布函數(shù)的分布函數(shù)43)1()0( XPXP0)()(0 xXPxFx時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)?shù)?0頁/共105頁)()(10 xXPx

31、Fx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))()(21xXPxFx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))()(2xXPxFx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng) 2, 121, 4/310, 4/ 10, 0)(xxxxxF41) 0( XP43) 1() 0( XPXP1) 2() 1() 0( XPXPXP第51頁/共105頁P(yáng)(0 x 1)=F(1)-F(0)=? P(0 x 1)=F(1)-F(0)+P(x=0) =3/4-1/4+1/4 =3/4第52頁/共105頁 是右連續(xù)函數(shù)，即是右連續(xù)函數(shù)，即0)(lim)( xFFx是一個(gè)單調(diào)不減函數(shù)是一個(gè)單調(diào)不減函數(shù)且且, 1)(0)2( xF)() 1 (xF)()3(xF1)(lim)( xFFx)()(li

32、m0 xFxFxx 第53頁/共105頁 試說明試說明F(x)能否作為某個(gè)隨機(jī)變量能否作為某個(gè)隨機(jī)變量X的的分布函數(shù)分布函數(shù)其他, 00,sin)(xxxF例例1：設(shè)有函數(shù)設(shè)有函數(shù)第54頁/共105頁求求: (1) 常數(shù)常數(shù)A，B的值；的值； (2) P(0X1)例例2：設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：xBarctgxAxF,)( 1)(0)()1(FF由性質(zhì)由性質(zhì)解：解： 1)2(0)2( BABA 121BA)0()1()10()2(FFXP 41 第55頁/共105頁0,10,0)()(xxxxxFC例例3:下列函數(shù)中可作為隨機(jī)變量分布函數(shù)的是下列函數(shù)中可作為隨機(jī)變量分

33、布函數(shù)的是 ( )arctgxxFBxxFA2143)()(11)()(212)()(arctgxxFD10)()(FA 說明：021)()(FB 12)()(FD ) 0()(lim)1)(, 0)()()(00FxFiiiFFiixFiCx單增為正確答案易證C第56頁/共105頁4 連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度定義： 對于隨機(jī)變量X的分布函數(shù) 若存在 非負(fù)的函數(shù) 使對于任意實(shí)數(shù) 有： ( ),f x()( )( )xP XxF xf t dt( ),F x, x( )f x其中 稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度概率密度。 則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量， 連續(xù)型隨機(jī)變量的取值充滿一個(gè)區(qū)間，對這連續(xù)

34、型隨機(jī)變量的取值充滿一個(gè)區(qū)間，對這種類型的隨機(jī)變量不能象離散型的那樣用種類型的隨機(jī)變量不能象離散型的那樣用分分布律布律描述，而是用描述，而是用概率密度概率密度描述。描述。第57頁/共105頁 與物理學(xué)中的質(zhì)量線密度的定義相類似()( )P xXxxf xx00()( )()( )( )xxF xxF xP xXxxf xF xlimlimxx( )f x 的性質(zhì)：1) ( )0f x +2) ( )1f x dx2112211221 () ( ) ( )( )xxxx xxP xXxf t dtF xF x3) 對于任意的實(shí)數(shù) ，4) ( ) ( )( )f xx F xf x在連續(xù)點(diǎn) ，(

35、)f x即在的連續(xù)點(diǎn)( )f xXx表示 落在點(diǎn) 附近的概率的多少( )yf x1面積為1x2x12 P xXx第58頁/共105頁5）連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量X取任一實(shí)數(shù)的概率值取任一實(shí)數(shù)的概率值為零為零.)(0)(:為任一實(shí)數(shù)即aaXP注意注意: 5)表明求表明求連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量落在一個(gè)落在一個(gè)區(qū)間上的概率值時(shí)，不必考慮區(qū)間端點(diǎn)的區(qū)間上的概率值時(shí)，不必考慮區(qū)間端點(diǎn)的情況。即情況。即)()()(bXaPbXaPbXaP第59頁/共105頁隨機(jī)變量的分布函數(shù)、分布律、密度函數(shù)有什么聯(lián)系和區(qū)別？ 區(qū)別區(qū)別：分布函數(shù)數(shù)描述隨隨機(jī)變變量的取值規(guī)值規(guī)律，隨隨機(jī)變變量可以是離散型的，也可

36、以是連續(xù)連續(xù)型的；分布律只能描述離散型隨隨機(jī)變變量的取值規(guī)值規(guī)律；密度函數(shù)數(shù)只能描述連續(xù)連續(xù)型隨隨機(jī)變變量的取值規(guī)值規(guī)律。 聯(lián)聯(lián)系：()( )discrete random variableskP XxF x： ( )( )continuous random variablesf xF x：第60頁/共105頁例例1、已知連續(xù)型隨機(jī)變量已知連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為：的分布函數(shù)為：1, 110,0, 0)(2xxxxxF求求(1) P(0. 3 X 0為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為的指數(shù)指數(shù)分布分布。記為 0( )0 0 xexf xx( )XE1 0( )0 0 xexF xx 00(|)P X

37、tt Xt00()()P XttP Xt001()1()tF tteF t()P Xt X具有如下的無記憶性：第69頁/共105頁 正態(tài)分布定義：設(shè)X的概率密度為其中 為常數(shù)，稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布(Gauss分布)，記為可以驗(yàn)算：22()21( ) 2xf xex，2( ,)XN ( )1f x dx+ ( )f x dx22 tIedt記2212xttedt令2212tedt22()22xyIedxdy22200rdredr2I( )1f x dx2, 2, 第70頁/共105頁稱為位置參數(shù)(決定對稱軸位置) 為尺度參數(shù)(決定曲線分散性)max21 ( )12 ( )23 ( )0(

38、,)xf xxfflimf xXN 關(guān)于對稱0 f x1x550.51.0 f xx1.50.7980.3990.2660第71頁/共105頁X的取值呈中間多，兩頭少，對稱的特性。 當(dāng)固定時(shí)，越大，曲線的峰越低，落在附近的概率越小，取值就越分散， 是反映X的取值分散性的一個(gè)指標(biāo)。 在自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象中，大量隨機(jī)變量服從或近似服從正態(tài)分布。第72頁/共105頁 (0 1) ZNZ記， ，稱 服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 221 2xZxe的概率密度：221 ( )2txZxedt的分布函數(shù)： 1xx( )yx( )x()x0yxxx第73頁/共105頁) 1 , 0(, ),(2NXNX則定理：若XZ證明

39、：設(shè)則則Z的分布函數(shù)為的分布函數(shù)為:）（xZPxF)(）（xXPxXP一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化第74頁/共105頁)(xxtdte222)(21xzZzdet2221令) 1 , 0( NX即：第75頁/共105頁重要結(jié)論：)() 1 (xXPxF)()()2(1221xFxFxXxP)()(12xx) 1 , 0(),(2NXNX則若)(xXP)(x第76頁/共105頁 例：2( ,)XN ()() (1)( 1)2 (1) 10.6826P XPX (2 )2 (2) 10.9544P X (3 )2 (3) 10.9974P X 查書后附表99.74%3268.26%23

40、95.44%第77頁/共105頁 例：一批鋼材(線材)長度(1)若=100，=2，求這批鋼材長度小于97.8cm的概率；(2)若=100，要使這批鋼材的長度至少有90%落在區(qū)間(97,103)內(nèi)，問至多取何值？2() ( ,)X cmN (97.8)P X 解：(1)97.8 100()21(1.1) 1 0.86430.1357查附表= 9710390%PX(2) 令：103 10097 1003 ()()2 () 190% 即3()0.9531.6451.8237第78頁/共105頁 例：設(shè)某地區(qū)男子身高(1) 從該地區(qū)隨機(jī)找一男子測身高，求他的身高大于175cm的概率；(2) 若從中隨機(jī)

41、找5個(gè)男子測身高,問至少有一人身高大于175cm的概率是多少？恰有一人身高大于175cm的概率為多少？2()(169.7,4.1 )X cmN (175)P X 解： (1) 5175(5, ), 0.0985cmbpp(2) 設(shè) 人中有Y人身高大于，則Y其中175 169.71()4.1 1(1.293) 1 0.90150.0985 查表5(1)1(0)1 (1)0.4045P YP Yp 1145(1)(1)0.3253P YC pp第79頁/共105頁mu=169.7;sigma=4.1;plarge175=1-normcdf(175,mu,sigma)plargeless1=1-bi

42、nopdf(0,5,plarge175)plargeequal1=binopdf(1,5,plarge175) plarge175 = 0.09806037254757plargeequal1 = 0.32446915435455第80頁/共105頁編程畫出幾個(gè)正態(tài)分布的概率密度和分布函數(shù)曲線mu=10;sigma=3;x=(mu-3.1*sigma):0.1:(mu+3.1*sigma);y1=normpdf(x,mu,sigma);y2=normcdf(x,mu,sigma);figure(color,w)plot(x,y1,r,LineWidth,3)legend(Normal prob

43、ability density function (pdf)mu=10 sigma=3)figure(color,w)plot(x,y2,g,LineWidth,3)legend(Normal cumulative distribution function (cdf)mu=10 sigma=3)第81頁/共105頁第82頁/共105頁) 10()(zXP.分位點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上的點(diǎn)z標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上 分位點(diǎn)分位點(diǎn) 1）定義：）定義：設(shè)設(shè)XN（0，1），稱滿足），稱滿足z陰影部分面陰影部分面積為積為第83頁/共105頁001.0005.005.0)3()2()1 (zzz例例

44、5：求求95. 005. 01)(05. 0 z解：57. 2005. 0z同理得645. 105. 0z查表得10. 3001. 0z第84頁/共105頁編程計(jì)算例5的結(jié)果 X=norminv(p,mu,sigma) %p為累積概率值，mu為均值，sigma為標(biāo)準(zhǔn)差，X為臨界值，滿足：p=PXx。 因?yàn)槔?是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，所以mu0，sigma=1. P1，所以當(dāng)分別取0.05, 0.005, 0.001時(shí)候，對應(yīng)的上分位點(diǎn)的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值分別為0.95，0.995, 0.999第85頁/共105頁mu=0;sigma=1;z0_05=norminv(1-0.05,mu,sigma)z0

45、_005=norminv(1-0.005,mu,sigma)z0_001=norminv(1-0.001,mu,sigma)z0_05 =1.64485362695147z0_005 =2.57582930354890z0_001 =3.09023230616782第86頁/共105頁作業(yè)題P57：17、19、20、21(1)、25、26第87頁/共105頁補(bǔ)充：實(shí)際應(yīng)用中，如何求信號的概率分布率第88頁/共105頁1、采樣第89頁/共105頁2、統(tǒng)計(jì)直方圖第90頁/共105頁3、頻率直方圖概率分布率第91頁/共105頁求二維信號（圖像）的灰度概率分布第92頁/共105頁頻率直方圖概率分布率第93頁/共105頁5 隨機(jī)變量的函數(shù)分布問題：已知隨機(jī)變量X的概率分布， 且已知Y=g(X)，求Y的概率分布。第94頁/共105頁一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1. X離散離散,:)(21kyyyXgY離散離散 )()(kkyXgPyYP )(關(guān)關(guān)鍵鍵反反解解GX )(GXP miiixxxG,21 如如加法加法使使 對應(yīng)的對應(yīng)的X的那些可能值的那些可能值,其概率之和其概率之和kyXg )(第95頁/共105頁(1)先求出先求出Y的分布函數(shù)與的分布函數(shù)與X的分布函數(shù)之間的關(guān)系：的分布函數(shù)之間的關(guān)系：)()Y()(yXgPy