正態(tài)總體樣本均值和方差分布ppt課件

1、五、正態(tài)總體樣本均值和方差的分布五、正態(tài)總體樣本均值和方差的分布六、一些非正態(tài)總體樣本均值的分布六、一些非正態(tài)總體樣本均值的分布第第1.31.3節(jié)節(jié) 抽樣分布抽樣分布一、一、 分布分布 二、二、t t 分布分布 三、三、F F 分布分布四、概率分布的分位數(shù)四、概率分布的分位數(shù)2抽樣分布的定義抽樣分布的定義 統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的統(tǒng)計(jì)量既然是依賴于樣本的, ,而后者又是隨而后者又是隨機(jī)變量機(jī)變量, ,故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量故統(tǒng)計(jì)量也是隨機(jī)變量, ,因此就有一定的因此就有一定的分布分布. .稱這個(gè)分布為稱這個(gè)分布為“抽樣分布抽樣分布. . 也即抽樣分布也即抽樣分布就是統(tǒng)計(jì)量的分布就是統(tǒng)計(jì)量的分布.

2、 .抽樣分布抽樣分布 漸漸近近分分布布精精確確抽抽樣樣分分布布(小樣本問(wèn)題中運(yùn)用小樣本問(wèn)題中運(yùn)用)(大樣本問(wèn)題中運(yùn)用大樣本問(wèn)題中運(yùn)用)這一節(jié)這一節(jié), 我們來(lái)討論正態(tài)總體的抽樣分布我們來(lái)討論正態(tài)總體的抽樣分布.一、一、 分布分布首先回想以前學(xué)過(guò)的首先回想以前學(xué)過(guò)的5類分布族：類分布族： ( , ): 01,B n pp二二項(xiàng)項(xiàng)分分布布族族 ( ): 0,P泊泊松松分分布布族族 ( , ): -,U a bab 均均勻勻分分布布族族22 ( ,): -,0,N 正正態(tài)態(tài)分分布布族族 e( ): 0, 指指數(shù)數(shù)分分布布族族 本節(jié)將引見(jiàn)其他幾類分布族，它們將在數(shù)理統(tǒng)計(jì)本節(jié)將引見(jiàn)其他幾類分布族，它們將在

3、數(shù)理統(tǒng)計(jì)中起著重要的作用中起著重要的作用. 21. 函數(shù)函數(shù) 10( )e dxxx 函數(shù)的性質(zhì)：函數(shù)的性質(zhì)：(1)( ), （利利用用分分部部積積分分可可以以證證明明）(1)!, nn(1)(0)1, 1( ), 2 2. 分布補(bǔ)充內(nèi)容分布補(bǔ)充內(nèi)容 定義定義 X設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的分分布布函函數(shù)數(shù)為為e 10,( ; ,)( )0,0,xxxf xx ， ( ,),0,0 ( ,):0,0.XX 則則稱稱 服服從從 分分布布，記記為為其其中中為為參參數(shù)數(shù)， 分分布布族族常常記記為為3. 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1()(1)(2)()( )kkkkkkE X 注：指數(shù)分布為特殊

4、的注：指數(shù)分布為特殊的1( )( , )E 分分布布，即即其中其中222(), ()()()E XD XE XEX 證證1100()ee( )( )kkxkxE Xxxxxxdddd101()e( )( )ktkkkxtt 換換元元d dt t性質(zhì)性質(zhì)2(2(可加性可加性) )(,),1,2, ,jjjXjnX 若若而而且且間間相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則11(,),nnjjjjX4. 分布分布 2定義定義1.81.812,nXXX設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量相相互互獨(dú)獨(dú)立立且且同同服服從從0 1( , ),N標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量222212nnXXX 222( ).nnn自自由

5、由度度為為 的的分分布布，記記為為這這里里的的自自由由度度是是指指.和和式式中中獨(dú)獨(dú)立立變變量量的的個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)定理定理1.61221 ,(0,1)nnniiXXXNYX設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)變變量量獨(dú)獨(dú)立立，同同服服從從分分布布，則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量的的概概率率分分布布密密度度為為12221e0( )2( )20nxnxxnf x其其它它211,(, )( )222 2nnn當(dāng)當(dāng) 則則，其其密密度度函函數(shù)數(shù)為為注注12221e0( )2( )20nxnxxnf x其其它它證證2iiXX以以為為例例，計(jì)計(jì)算算的的密密度度函函數(shù)數(shù)，221221( )ed2ixxiiXxFxP xxPxxxx212111112

6、2221( )11 12( )ee(, ),12 22( )2ixxXfxxx 2由由 分分布布性性質(zhì)質(zhì) 可可知知，21nniiYX21,( ).2 2nn .)(2圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如n 分分布布的的性性質(zhì)質(zhì)2 性質(zhì)性質(zhì)1 122222n( ),(),().nnnEnDn 若若則則證明證明),1, 0( NXi因?yàn)橐驗(yàn)? 1)()(2 iiXDXE所所以以2242)()()(iiiXEXEXD , 123 ., 2, 1ni niiXEE122)( 故故 niiXE12)(,n niiXDD122)( niiXD12)(.2n )(2分布的數(shù)學(xué)期望和方差分布的數(shù)學(xué)期望

7、和方差 性質(zhì)性質(zhì)2 2).(,),(),(2122221222122221221nnnn 則則立立獨(dú)獨(dú)并并且且設(shè)設(shè))(2分分布布的的可可加加性性 (此性質(zhì)可以推行到多個(gè)隨機(jī)變量的情形此性質(zhì)可以推行到多個(gè)隨機(jī)變量的情形).(,), 2, 1(),(21212222mmiiiiinnnmin 則則獨(dú)立獨(dú)立相互相互并且并且設(shè)設(shè)性質(zhì)性質(zhì)3 32( ),Xnx 設(shè)設(shè)則則對(duì)對(duì)任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)有有221limed22txnXnPxtn ( ,2 ).nXAN nn即即當(dāng)當(dāng) 充充分分大大時(shí)時(shí)，122111221 (),.,(1,2, ),)()(1,2, ).nniikiiiiTniikiiiXXXnNQXQ

8、QQQ iknXXXQQniknn 柯柯赫赫倫倫定定理理 設(shè)設(shè)是是 個(gè)個(gè)獨(dú)獨(dú)立立、同同服服從從標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布 (0,1)(0,1)的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量，記記若若 分分解解為為其其中中是是秩秩為為 的的關(guān)關(guān)于于（的的非非負(fù)負(fù)二二次次型型，則則相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且的的充充要要條條件件為為定理定理1.7 分布補(bǔ)充內(nèi)容，不講分布補(bǔ)充內(nèi)容，不講X若若隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的密密度度函函數(shù)數(shù)為為111010()(), ,( ) ( )( ; , ), ababxxxabf x a b 其其他他1. 分布的密度函數(shù)分布的密度函數(shù) 定義定義( ,),0,0 ( , ):0,0.XXaba bab則則

9、稱稱 服服從從 分分布布，記記為為其其中中為為參參數(shù)數(shù)， 分分布布族族常常記記為為 2. 分布的圖象特征分布的圖象特征 11 11,12.aabxab、圖圖象象呈呈單單峰峰狀狀，在在= =處處達(dá)達(dá)到到最最大大值值21 21,1211. ,22aabxabab、圖圖象象呈呈U U型型狀狀，在在= =處處達(dá)達(dá)到到最最小小值值時(shí)時(shí)， 分分布布稱稱為為反反正正弦弦分分布布。 O11,1ab1x1,1ab2x 31,1(0,1)(0,1),(1,1)(0,1).abUU 、時(shí)時(shí)， 分分布布就就是是上上的的均均勻勻分分布布，記記為為即即 41,1( , , )1,1( , , )abf x a babf

10、x a b、時(shí)時(shí)，嚴(yán)嚴(yán)格格單單減減函函數(shù)數(shù)；時(shí)時(shí)，嚴(yán)嚴(yán)格格單單增增函函數(shù)數(shù)。O11,1ab1,1abO11,1ab1,1ab1,1ab3. 分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1() ()()( ) ()(1)(1) ()(1)(1)kakabE Xaabka aakab ababk2,() (1)aabEXDXababab其其中中性質(zhì)性質(zhì)2 2( ,1),( ,1)( , )XXaYba bXY 設(shè)設(shè)且且獨(dú)獨(dú)立立，則則性質(zhì)性質(zhì)3 3221212(),()(,)22nnXXnYnXY 設(shè)設(shè)且且獨(dú)獨(dú)立立，則則二、二、t t分布族分布族1. t分布分布 定義定義1.9 20 1( , ),( ),X

11、NYnXY設(shè)設(shè)且且 與與 相相互互獨(dú)獨(dú)立立，則則稱稱隨隨機(jī)機(jī)變變量量XTY n ( )ntTt nT服服從從自自由由度度為為 的的 分分布布，記記為為，隨隨機(jī)機(jī)變變量量 亦亦T稱稱為為 變變量量t 分布又稱學(xué)生氏分布又稱學(xué)生氏(Student)分布分布.學(xué)生氏學(xué)生氏定理定理1.8 T變變量量的的分分布布密密度度函函數(shù)數(shù)為為 12212( )1,2nnxf xxnnn證證此問(wèn)題可以利用商的概率密度計(jì)算公式計(jì)算此問(wèn)題可以利用商的概率密度計(jì)算公式計(jì)算.YZn首首先先計(jì)計(jì)算算的的分分布布函函數(shù)數(shù)22( )()ZYYFzPzP YnzFnzn2. t分布的密度函數(shù)分布的密度函數(shù)因此因此22212212(

12、 )()()2( ; )1e0.2( )2ZYYnnznnfzFnzFnznzf x nn zzn再由商的概率密度計(jì)算公式可得再由商的概率密度計(jì)算公式可得( , )|( )()dTZXfx nz fz fzxz222z-122201211eed22( )2nnzxnnzn zzn222()2102ed2( )2nzn xnnnzzn1212212021e d()2 ( )(1)2nunzuuunxnxnn（令令1221()2(1) ( )2nnxnnn因此定理因此定理1.8成立。成立。3. t分布的圖象特征分布的圖象特征 圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如t.0對(duì)稱的對(duì)稱的顯然圖形是

13、關(guān)于顯然圖形是關(guān)于 t當(dāng)當(dāng)n充分大時(shí)充分大時(shí), 其圖其圖形類似于規(guī)范正態(tài)形類似于規(guī)范正態(tài)變量概率密度的圖變量概率密度的圖形形.221lim( , )e,2xnf x n因因?yàn)闉?)1 , 0(分分布布分分布布近近似似于于足足夠夠大大時(shí)時(shí)所所以以當(dāng)當(dāng)Ntn.)1 , 0(,分分布布相相差差很很大大分分布布與與但但對(duì)對(duì)于于較較小小的的Ntn利用利用Stirling公式公式1!2, 012nnnnnnn een 可以證明可以證明112lim22nnnn利用重要極限可以證明利用重要極限可以證明2122-2lim 1enxnxn因此因此221lim( , )e,2xnf x n4. t分布的性質(zhì)分布的性

14、質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 10, ,2.2nEXDXnn性質(zhì)性質(zhì)2 21t 自自由由度度為為 的的 分分布布稱稱為為柯柯西西分分布布，其其密密度度函函數(shù)數(shù)為為21( ), (1)f xxx 此分布的數(shù)學(xué)期望不存在此分布的數(shù)學(xué)期望不存在.三、三、F F分布分布定義定義1.101. F分布分布 2212112212 (),(),/,(,)/,(,).XnYnX nFnnY nFFF nn設(shè)設(shè)且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立 則則隨隨機(jī)機(jī)變變量量服服從從自自由由度度為為的的分分布布 記記為為 12nn其其中中為為第第一一自自由由度度，為為第第二二自自由由度度2. F分布的密度函數(shù)分布的密度函數(shù) F隨隨機(jī)機(jī)變變量量 的的分

15、分布布密密度度函函數(shù)數(shù)為為定理定理1.9121121122211122221,0( )220, nnnFnnnnnn xxxfxnnnn其其它它證明證明12,XYUVUVnn 令令且且與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立，其其分分布布密密度度函函數(shù)數(shù)分分別別為為1111211221202200e ( )() nnnunUnuunfxu 2222212222202200e ( )() nnnvnVnvvnfxv 利用兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量商的概率密度函數(shù)計(jì)算公式可得利用兩個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量商的概率密度函數(shù)計(jì)算公式可得( )|()( )dFUVfxvfxv fvv 1211221222111222220122222()()

16、eed() ()nnnnnnxvvnnn nv xvvvnn 1211212122211122220122222ed() ()nnnnnn x nvnnn nxvvnn 1211212121222211220121222222ed() ()nnnnnnnwnnn nxwwn xnnn 121222 , ddn xnwwvvwn xn （換換元元）12112121222212121212222222()() ()nnnnnnnn nxnnn xnnn 1121211-222111222()2 1 0,() ()220 nnnnnnnnnxxxnnnn其其它它12(,),1.9F n n這這就就是

17、是的的概概率率密密度度函函數(shù)數(shù) 由由此此證證明明定定理理圖圖分布的概率密度曲線如分布的概率密度曲線如F根據(jù)定義可知根據(jù)定義可知,).,(1),(1221nnFFnnFF則則若若3. F分布的幾何特征分布的幾何特征 4. F分布的性質(zhì)分布的性質(zhì) 性質(zhì)性質(zhì)1 1222221222122, (2), 22(2)(,4.(2) (4)nE FnnnnnD Fnn nn（ ）性質(zhì)性質(zhì)2 212211(,),(,).FF nnF nnF若若則則性質(zhì)性質(zhì)3 32( ),(1, ).Tt nTFn若若則則定理定理1.102120,( ,)nXXXN設(shè)設(shè)相相互互獨(dú)獨(dú)立立，且且同同服服從從121 2(, , ),

18、)TinQ ikXXX 分分布布，是是關(guān)關(guān)于于( (的的秩秩( (即即自自in由由度度）為為 的的非非負(fù)負(fù)二二次次型型，且且2121nkiiQQQX 12knnnn 那么那么(,)iiijijjjQ nFF n nQn 意義：在方差分析中有重要作用意義：在方差分析中有重要作用例例1 12122211,( ,)11()1/nnniiiiXXXNXXSXXnnXSn 設(shè)設(shè)均均服服從從，且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立，設(shè)設(shè)，試試求求的的分分布布. . 解解),1 , 0(/NnX ),1()1(222 nSn 且兩者獨(dú)立且兩者獨(dú)立, 由由 定義定義1.9可知可知22(1)(1)/XXnSnnSn ).1( n

19、t重點(diǎn)：利用三種分布定義做題重點(diǎn)：利用三種分布定義做題則則統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量來(lái)來(lái)自自總總體體設(shè)設(shè)), 0(,24321NXXXX?的的分分布布為為242321XXXXT)1 , 0(2),2 , 0(221221NXXNXX 于是于是于于是是獨(dú)獨(dú)立立同同分分布布于于與與),1 , 0(2423NXX 解解)2(2224223 XX 例例2122223421.92 (2)2XXtXX 由由定定義義可可知知)(2242321tXXXX即即例例3 32115(0,2 )XXN 設(shè)設(shè)， ，服服從從且且相相互互獨(dú)獨(dú)立立，試試求求隨隨機(jī)機(jī)變變量量222222110111522(10),(5)22XXXX 解解

20、且且 相相 互互 獨(dú)獨(dú) 立立 ， 所所 以以1102222)1115(10,5).2(XXFXX11022221115105()/()/XXYXX 110222211152()XXYXX的的概概率率分分布布四四 概率分布的分位數(shù)概率分布的分位數(shù)011.11(),.XxP XxxX 定定義義對(duì)對(duì)于于總總體體和和給給定定的的若若存存在在使使則則稱稱為為的的分分布布的的上上側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù)1. 定義定義2. 常用分布的上側(cè)分位數(shù)記號(hào)常用分布的上側(cè)分位數(shù)記號(hào) 分布分布 N(0,1) t(n)F(n1,n2) 記號(hào)記號(hào))(2n u)(2n )(nt ),(21nnF 3. 查表法查表法(1) 假設(shè)假設(shè)X

21、的分布密度關(guān)于的分布密度關(guān)于y軸對(duì)稱，那么軸對(duì)稱，那么 xx 1 1 xyO x x特例：特例： uuN 1)1 , 0()1：)()(:)()21ntntnt ：正正態(tài)態(tài)分分布布的的上上側(cè)側(cè)分分位位數(shù)數(shù) u)1滿足滿足分位數(shù)分位數(shù)則其上側(cè)則其上側(cè)服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布設(shè)設(shè) uNX),1 , 0( )(uuXP 11xeuXPuxd2122 1)(u即即.2,的的值值可可查查得得由由附附表表給給定定 u050.u附表附表2-12-10250.u根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性知根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性知. uu1,645. 1 ,96. 1 附表附表2-22-2 1)(u0.950.975)05.

22、0( )025. 0( .)()(d)()(, 10,)(分位點(diǎn)分位點(diǎn)分布的上分布的上為為的點(diǎn)的點(diǎn)稱滿足條件稱滿足條件對(duì)于給定的對(duì)于給定的 ntnttthnttPnt .分位點(diǎn)的值分位點(diǎn)的值得上得上可以通過(guò)查表求可以通過(guò)查表求 由分布的對(duì)稱性知由分布的對(duì)稱性知).()(1ntnt .)(,45 untn 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)2) T分布的上側(cè)分位數(shù)分布的上側(cè)分位數(shù))10(05. 0t附表附表3-1,8125. 1 )15(025. 0t.1315. 2 附表附表3-2在在Matlab中求解中求解(2) 假設(shè)假設(shè)X的分布密度無(wú)對(duì)稱性，的分布密度無(wú)對(duì)稱性，:)()12n 460時(shí)時(shí)，可可查查表表當(dāng)當(dāng) n.)(

23、)(d)()(, 10,22)(222分布的上側(cè)分位數(shù)分布的上側(cè)分位數(shù)為為的點(diǎn)的點(diǎn)稱滿足稱滿足對(duì)于給定的正數(shù)對(duì)于給定的正數(shù)nnyypnPn )8(2025. 0 )10(2975. 0 )25(21 . 0 附表附表4-14-1(表表4只詳列到只詳列到 n=60 為止為止).,535.17 ,247. 3 附表附表4-24-2.382.34 附表附表4-34-3.2)(,2分位點(diǎn)分位點(diǎn)是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上其中其中充分大時(shí)充分大時(shí)當(dāng)當(dāng) uunnnn 例如：例如：64. 12401201202120)120(05. 0205. 0 u . 5 .145 費(fèi)歇資料費(fèi)歇資料費(fèi)歇費(fèi)歇(R

24、.A.Fisher)公式：公式：.2)(602 unnnn 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng))12, 9(105. 0F ：),()221nnF . 851 . 0,05. 0,025. 0,01. 0可可直直接接查查表表等等，對(duì)對(duì)于于 此外，還可利用關(guān)系此外，還可利用關(guān)系.),(1),(12211nnFnnF .1 FF 求求得得由由)9 , 21(59 . 0F如如：8 . 21 .357. 0 0 0530 14.(,)F.31. 2 附表附表 50 0258 7.( , )F附表附表 8,90. 4 .),(1),(12211nnFnnF 證證),(1 211nnFFP 所所以以 ),(11211nnFFP

25、 ),(111211nnFFP ,),(111211 nnFFP ),(21nnFF因因?yàn)闉?),(11 211 nnFFP故故),(1 12nnFF因因?yàn)闉?),(1 12 nnFFP所所以以, ),(),(11221-1nnFnnF 比比較較后后得得.),(1),(12211nnFnnF 即即五、正態(tài)總體樣本均值和方差的分布五、正態(tài)總體樣本均值和方差的分布1. 單個(gè)總體樣本均值的分布單個(gè)總體樣本均值的分布21221 2,),( ,)(, , )niXXXXNin 設(shè)設(shè)來(lái)來(lái)自自正正態(tài)態(tài)總總體體N N( ( , ,的的樣樣本本 即即定理定理1.112211112(,).,.nnniiiiiii

26、nUa XNaaa aa 則則它它們們的的任任一一確確定定的的線線性性函函數(shù)數(shù)其其中中為為不不全全為為零零的的常常數(shù)數(shù)111()()nnniiiiiiiiEa Xa E Xa 222111()()nnniiiiiiiiDa Xa D Xa22111(,)nnniiiiiiia XNaa 121,nniiiXXXa X 由由于于獨(dú)獨(dú)立立且且均均為為正正態(tài)態(tài)變變量量故故他他們們的的線線性性函函數(shù)數(shù)仍仍為為正正態(tài)態(tài)變變量量 又又證證所以所以11 2(, , )iainXn 特特別別當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，可可以以得得到到 的的分分布布20 1( ,)( , )XXNNnn 或或2122 ,( ,),nXXXNX

27、S 設(shè)設(shè)是是總總體體的的樣樣本本分分別別是是樣樣本本均均值值和和樣樣本本方方差差 則則有有2. 單個(gè)總體樣本方差的分布單個(gè)總體樣本方差的分布定理定理1.12222222211*()(1)();(2)().nnnnnSnSnXSS 與與或或獨(dú)獨(dú)立立注注),1(2 n 自在度減少一個(gè)自在度減少一個(gè)!2222111()nniinSXX 減少一個(gè)自在度的緣由：減少一個(gè)自在度的緣由：.),2 , 1(不相互獨(dú)立不相互獨(dú)立niXXi 現(xiàn)實(shí)上，它們?cè)獾揭粋€(gè)條件的約束：現(xiàn)實(shí)上，它們?cè)獾揭粋€(gè)條件的約束： niiXX1 niiXnX1)(1 niiXnX1. 001 證證21.8 由由于于需需要要證證明明其其服服

28、從從分分布布，因因而而由由定定義義可可知知，需需要要構(gòu)構(gòu)造造標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)正正態(tài)態(tài)分分布布的的平平方方和和，222211()()nnniiiinSXXXX 2 21 122211()()()nniiiiXXXXn 0 1,( , ),iiiiXXXYYNY 令令則則因此因此22222211()nnniiiinSYnYYnY 111111(,)niiZYYnYnnnn 令令構(gòu)造正交矩陣構(gòu)造正交矩陣T使得使得,2122212111nnnnnnnntttTttt 120(,),(),cov(,)cov(,)cov( ,)nnZZ ZZTYE ZZ ZTY TYTY Y TTTI 設(shè)設(shè)則則因此因此22221

29、211()()nnniiinSYnYZ TT ZZ 22222111121()()()nnniiiiiZ ZZZZZn 又由于又由于1XYZn 22.nnSX由由此此可可以以看看到到， 與與相相互互獨(dú)獨(dú)立立則有則有樣本方差樣本方差分別是樣本均值和修正分別是樣本均值和修正的樣本的樣本是總體是總體設(shè)設(shè),),(),(2*221nnSXNXXX 證證),1 , 0(/NnXU ),1()1(222* nSnVn 且兩者獨(dú)立且兩者獨(dú)立, 由由 t 分布的定義知分布的定義知1 nVU).1( nt定理定理1.131/* nSXnSXTnn ).1( nt)1()1(/22* nSnnXn T3. 單個(gè)總體

30、修正樣本均方差的分布單個(gè)總體修正樣本均方差的分布4. 兩個(gè)正態(tài)總體樣本均值差的分布兩個(gè)正態(tài)總體樣本均值差的分布定理定理1.14.相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與YX),(121nXXX樣樣本本總體總體X和和Y，那么，那么分分別別來(lái)來(lái)自自與與),(221nYYY),()1(22212121nnNYX )1 , 0(/)()(22212121NnnYX 或或221212(,),(,),XNY N 設(shè)設(shè)總總體體),2(11)()(212121 nntnnSYXTw 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)22221)2( 122211222212112*()(),.nnwwwnSnSSSSnn 其其中中221212.nnSS 和和分分別別是

31、是來(lái)來(lái)自自兩兩個(gè)個(gè)總總體體樣樣本本的的修修正正樣樣本本方方差差),(221221nnNYX 212111)()( nnYXU ),1 , 0( N121121211*() (),nnSn 由由222222211*()(),nnSn 分布的可加性知分布的可加性知故由故由且它們相互獨(dú)立且它們相互獨(dú)立2, 證證 由定理由定理1.11及定理及定理1.12，知，知121121*()nnSV 222221*()nnS ),2(212 nn 分分布布的的定定義義按按相相互互獨(dú)獨(dú)立立與與由由于于tVU,)2/(21 nnVUT212111)()(nnSYXw ).2(21 nnt定理定理1.15.相相互互獨(dú)獨(dú)

32、立立與與YX),(121nXXX樣樣本本總體總體X和和Y，那么，那么分分別別來(lái)來(lái)自自與與),(221nYYY221212(,),(,),XNY N 設(shè)設(shè)總總體體12221112222211*/(,);/nnSFF nnS 5. 兩個(gè)正態(tài)總體樣本方差商的分布兩個(gè)正態(tài)總體樣本方差商的分布證證1211212111*()(),nnSn 2222222211*()(),nnSn 122212* , , nnSS由由假假設(shè)設(shè)獨(dú)獨(dú)立立 分布的定義知分布的定義知?jiǎng)t由則由F122211212221111111*222()() *(,1),()()nnnSnSF nnnn12221112222211*/(,).

33、/nnSFF nnS即即六、一些非正態(tài)總體樣本均值的分布六、一些非正態(tài)總體樣本均值的分布1. 問(wèn)題的提出問(wèn)題的提出 抽樣分布的準(zhǔn)確分布可以歸屬到計(jì)算隨機(jī)變量抽樣分布的準(zhǔn)確分布可以歸屬到計(jì)算隨機(jī)變量或隨機(jī)向量函數(shù)的分布，但是從關(guān)于隨機(jī)變量或隨或隨機(jī)向量函數(shù)的分布，但是從關(guān)于隨機(jī)變量或隨機(jī)向量函數(shù)的分布引見(jiàn)中可以看到計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，機(jī)向量函數(shù)的分布引見(jiàn)中可以看到計(jì)算相當(dāng)復(fù)雜，因此對(duì)于普通總體情形下的抽樣分布的計(jì)算幾乎無(wú)因此對(duì)于普通總體情形下的抽樣分布的計(jì)算幾乎無(wú)法完成，因此對(duì)于普通情形，我們一方面可以思索法完成，因此對(duì)于普通情形，我們一方面可以思索特殊總體情形下的抽樣準(zhǔn)確分布，另一方面思索大特殊總體

34、情形下的抽樣準(zhǔn)確分布，另一方面思索大樣本情形下抽樣分布的漸近分布。樣本情形下抽樣分布的漸近分布。2. 特殊情形下抽樣分布特殊情形下抽樣分布 的準(zhǔn)確分布的準(zhǔn)確分布例例4(p26例例1.14)12(, ),.nXB m pXXXX 設(shè)設(shè)總總體體來(lái)來(lái)自自總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本，試試求求 的的分分布布解解由二項(xiàng)分布的可加性可知由二項(xiàng)分布的可加性可知1(, )niinXXB nm p 因此因此1()nmkknm kkP XP nXkCppn 例例5(p26例例1.15)12( ),.nXPXXXX 設(shè)設(shè)總總體體來(lái)來(lái)自自總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本，試試求求 的的分分布布解解由泊松分布的可加性可知由

35、泊松分布的可加性可知1()niinXXP n 因此因此0 1 2()e, , ,!knknP XP nXkknk 例例6(p27例例1.16)12( ),.nXeXXXX 設(shè)設(shè)總總體體 服服從從參參數(shù)數(shù)為為 的的指指數(shù)數(shù)分分布布來(lái)來(lái)自自總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本，試試求求的的分分布布解解 由于指數(shù)分布是由于指數(shù)分布是 (1, )，因此由其可加性可知，因此由其可加性可知1( , )niiYnXXn 因此因此10( )e, ,( )nnxYfxxxn 故故( )()()TXfxfnx nx 10()e, ,( )nnn xnxxn 3. 普通情形下樣本均值的漸近分布普通情形下樣本均值的漸近分布定

36、理定理1.16120(),nXD XXXXnX 設(shè)設(shè)總總體體 的的分分布布是是任任意意的的，但但具具有有有有限限方方差差來(lái)來(lái)自自總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，樣樣本本均均值值 有有0 1( , )LXEXYNDX n 即即( )( )nYFxx 證證由林德貝格列維中心極限定理可知由林德貝格列維中心極限定理可知1110 1()( , )()nniiLiiniiXEXNDX 因此因此10 1()()( , )()()/niLiXnE XXE XNnD XD Xn 例例7(p27例例1.17)121 ( , ),.nXBpXXXX 設(shè)設(shè)總總體體來(lái)來(lái)自自總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本，試試求

37、求 的的漸漸近近分分布布解解由例由例1.14可知，其準(zhǔn)確分布為可知，其準(zhǔn)確分布為1()nkkn kkP XP nXkC ppn 由定理由定理1.16可知，其漸近分布為正態(tài)分布可知，其漸近分布為正態(tài)分布1 ()(,)( ,)DXppXAN EXAN pnn 4. 普通情形下樣本方差的漸近分布普通情形下樣本方差的漸近分布定理定理1.17244122*(),nnXE XvXXXnS 設(shè)設(shè)總總體體 的的分分布布是是任任意意的的，其其均均值值為為，方方差差為為，且且具具有有有有限限四四階階中中心心矩矩來(lái)來(lái)自自總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，樣樣本本的的修修正正方方差差有有22440 1*(

38、, )LnSYNvn （）2244*(,)nSANvn 即即（）定理定理1.182120,nXXXXn 設(shè)設(shè)總總體體 的的分分布布是是任任意意的的，其其均均值值為為，且且有有有有限限方方差差，來(lái)來(lái)自自總總體體的的一一個(gè)個(gè)樣樣本本 則則當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，有有20 1( , )LnXYNSn 定理定理1.17與定理與定理1.18證明有點(diǎn)復(fù)雜，因此省略，證明有點(diǎn)復(fù)雜，因此省略，可以參閱其他參考書?？梢詤㈤喥渌麉⒖紩?。2( ,)nXANSn即即附表附表2-12-1規(guī)范正態(tài)分布表規(guī)范正態(tài)分布表z01234567890.01.01.41.51

39、.60.50000.53980.57930.61790.65540.69150.72570.75800.78810.81590.84130.86430.88490.90320.91920.93320.94520.50400.54380.58320.62170.65910.69500.72910.76110.79100.81860.84380.86650.88690.90490.92070.93450.94630.50800.54780.58710.62550.66280.69850.73240.76420.79390.82120.84610.86860.88880.90660.92220.93

40、570.94740.51200.55170.59100.62930.66640.70190.73570.76730.79670.82380.84850.87080.89070.90820.92360.93700.94840.51600.55570.59480.63310.67000.70540.73890.77030.79950.82640.85080.87290.89250.90990.92510.93820.94950.51990.55960.59870.63680.67360.70880.74220.77340.80230.82890.85310.87490.89440.91150.92

41、650.93940.95050.52390.56360.60260.64060.67720.71230.74540.77640.80510.83150.85540.87700.89620.91310.92780.94060.95150.52790.56750.60640.64430.68080.71570.74860.77940.80780.83400.85770.87900.89800.91470.92920.94180.95250.53190.57140.61030.64800.68440.71900.75170.78230.81060.83650.85990.88100.89970.91620.93060.94300.95350.53590.57530.61410.65170.68790.72240.75490.78520.81330.83890.86210.88300.90150.91770.93190.94410.95451.645附表附表4-14-1=50.0250.010.005123456789101112