2022年初中數(shù)學(xué)《相似三角形》教案

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載相似三角形一、知識(shí)概述(一)相似三角形1、對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形，叫做相似三角形溫馨提示：當(dāng)且僅當(dāng)一個(gè)三角形的三個(gè)角與另一個(gè)(或幾個(gè) )三角形的三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，且三條對(duì)應(yīng)邊的比相等時(shí)， 這兩個(gè) (或幾個(gè) )三角形叫做相似三角形，即定義中的兩個(gè)條件，缺一不可；相似三角形的特征：形狀一樣，但大小不一定相等；相似三角形的定義，可得相似三角形的基本性質(zhì)：對(duì)應(yīng)角相等， 對(duì)應(yīng)邊成比例， 其應(yīng)用廣泛2、相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比溫馨提示：全等三角形一定是相似三角形，其相似比k=1所以全等三角形是相似三角形的特例其區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例相似比具有順

2、序性例如 abc abc的對(duì)應(yīng)邊的比， 即相似比為k，則 abc abc 的相似比，當(dāng)且僅當(dāng)它們?nèi)葧r(shí)，才有k=k=1 相似比是一個(gè)重要概念，后繼學(xué)習(xí)時(shí)出現(xiàn)的頻率較高，其實(shí)質(zhì)它是將一個(gè)圖形放大或縮小的倍數(shù)，這一點(diǎn)借助相似三角形可觀察得出3、如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，那么這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形4、相似三角形的預(yù)備定理：如果一條直線(xiàn)平行于三角形的一條邊，且這條直線(xiàn)與原三角形的兩條邊 (或其延長(zhǎng)線(xiàn) )分別相交，那么所構(gòu)成的三角形與原三角形相似精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - -

3、- - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載溫馨提示：定理的基本圖形有三種情況，如圖其符號(hào)語(yǔ)言：debc， abc ade ；這個(gè)定理是用相似三角形定義推導(dǎo)出來(lái)的三角形相似的判定定理它不但本身有著廣泛的應(yīng)用，同時(shí)也是證明下節(jié)相似三角形三個(gè)判定定理的基礎(chǔ)，故把它稱(chēng)為“ 預(yù)備定理 ” ；有了預(yù)備定理后，在解題時(shí)不但要想到上一節(jié)“ 見(jiàn)平行，想比例 ” ，還要想到 “ 見(jiàn)平行，想相似 ” (二)相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理 (1)：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似判定定理 (2)：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似判定定理 (3)：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似溫馨提示：有平行線(xiàn)時(shí)，用上節(jié)學(xué)習(xí)的預(yù)

4、備定理；已有一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等(包括隱含的公共角或?qū)斀?時(shí)，可考慮利用判定定理（1）或判定定理（ 2）；已有兩邊對(duì)應(yīng)成比例時(shí)，可考慮利用判定定理2 或判定定理3但是，在選擇利用判定定理 2 時(shí)，一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等必須是成比例兩邊的夾角對(duì)應(yīng)相等2、直角三角形相似的判定：斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩直角三角形相似精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載溫馨提示：由于直角三角形有一個(gè)角為直角，因此， 在判定兩個(gè)直角三角形相似時(shí)，只需再找一對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，用判定定理1，或兩條直角邊對(duì)應(yīng)

5、成比例，用判定定理2，一般不用判定定理 3 判定兩個(gè)直角三角形相似；如圖是一個(gè)十分重要的相似三角形的基本圖形，圖中的三角形，可稱(chēng)為“ 母子相似三角形 ” ，其應(yīng)用較為廣泛如圖，可簡(jiǎn)單記為：在rtabc 中， cdab ，則 abc cbd acd (三)三角形的重心1、三角形三條中線(xiàn)的交點(diǎn)叫做三角形的重心2、三角形的重心與頂點(diǎn)的距離等于它與對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍二、重點(diǎn)難點(diǎn)疑點(diǎn)突破1、尋找相似三角形對(duì)應(yīng)元素的方法與技巧正確尋找相似三角形的對(duì)應(yīng)元素是分析與解決相似三角形問(wèn)題的一項(xiàng)基本功通常有以下幾種方法：(1)相似三角形有公共角或?qū)斀菚r(shí)，公共角或?qū)斀鞘亲蠲黠@的對(duì)應(yīng)角；相似三角形中最大的角 (或

6、最小的角 )一定是對(duì)應(yīng)角；相似三角形中，一對(duì)相等的角是對(duì)應(yīng)角，對(duì)應(yīng)角所對(duì)的邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)角的夾邊是對(duì)應(yīng)邊；(2)相似三角形中， 一對(duì)最長(zhǎng)的邊 (或最短的邊 )一定是對(duì)應(yīng)邊； 對(duì)應(yīng)邊所對(duì)的角是對(duì)應(yīng)角；對(duì)應(yīng)邊所夾的角是對(duì)應(yīng)角2、常見(jiàn)的相似三角形的基本圖形：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載學(xué)習(xí)三角形相似的判定，要與三角形全等的判定相比較，把證明三角形全等的思想方法遷移到相似三角形中來(lái)；對(duì)一些出現(xiàn)頻率較高的圖形，要善于歸納和記憶；對(duì)相似三角形的判定思路要善于總結(jié)，形成一

7、整套完整的判定方法如：(1) “平行線(xiàn)型 ” 相似三角形， 基本圖形見(jiàn)上節(jié)圖“ 見(jiàn)平行， 想相似 ” 是解這類(lèi)題的基本思路；(2) “相交線(xiàn)型 ” 相似三角形，如上圖其中各圖中都有一個(gè)公共角或?qū)斀恰?見(jiàn)一對(duì)等角，找另一對(duì)等角或夾等角的兩邊成比例” 是解這類(lèi)題的基本思路；(3) “旋轉(zhuǎn)型 ” 相似三角形，如圖若圖中1= 2， b=d(或 c=e)，則 ade abc ，該圖可看成把第一個(gè)圖中的ade 繞點(diǎn) a 旋轉(zhuǎn)某一角度而形成的溫馨提示：從基本圖形入手能較順利地找到解決問(wèn)題的思路和方法，能幫助我們盡快地找到添加的輔助線(xiàn)以上 “ 平行線(xiàn)型 ” 是常見(jiàn)的，這類(lèi)相似三角形的對(duì)應(yīng)元素有較明顯的順序，

8、“ 相交線(xiàn)型” 識(shí)圖較困難，解題時(shí)要注意從復(fù)雜圖形中分解或添加輔助線(xiàn)構(gòu)造出基本圖形精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載三、解題方法技巧點(diǎn)撥1、尋找相似三角形的個(gè)數(shù)例 1、(吉林 )將兩塊完全相同的等腰直角三角形擺成如圖的樣子，假設(shè)圖形中所有點(diǎn)、線(xiàn)都在同一平面內(nèi)，回答下列問(wèn)題：(1)圖中共有多少個(gè)三角形？把它們一一寫(xiě)出來(lái)；(2)圖中有相似 (不包括全等 )三角形嗎？如果有，就把它們一一寫(xiě)出來(lái)分析：(1)在 abc 內(nèi)，有五個(gè)三角形，加上abc 與 afg ，共有七個(gè)三角

9、形(2)這是依據(jù)相似三角形判定定理來(lái)解決的計(jì)數(shù)問(wèn)題由于“ 不包括全等 ” ，圖中還剩五個(gè)非直角三角形，考慮到題設(shè)中兩個(gè)三角形擺放的隨意性，1 不一定等于2，而 b=c=45 ， 3、 4 都為鈍角，又排除abd 與 ace 相似，還剩三個(gè)三角形，這三個(gè)三角形相似解：(1)共有七個(gè)三角形，它們是abd 、 abe 、 ade 、 adc 、 aec 、 abc 與afg (2)有相似三角形，它們是abe dae ， dae dca ， abe dca( 或 abe dae dca) 點(diǎn)撥：解決這類(lèi)計(jì)數(shù)問(wèn)題，一定要依據(jù)圖形與定理，全面、 周密思考， 做到不重不漏，這類(lèi)題有利于發(fā)散思維的培養(yǎng)和創(chuàng)新意

10、識(shí)的形成；有興趣的同學(xué)可繼續(xù)探索一下本題中bd 、de、ec 三條線(xiàn)段有何關(guān)系？精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載2、畫(huà)符合要求的相似三角形例 2、(上海 )在大小為 4 4的正方形方格中，abc 的頂點(diǎn) a、b、c 在單位正方形的頂點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出一個(gè)a1b1c1，使得 a1b1c1 abc( 相似比不為1)，且點(diǎn) a1、 b1、c1都在單位正方形的頂點(diǎn)上（1）（2）分析：設(shè)單位正方形的邊長(zhǎng)為1，則 abc 的三邊為，從而根據(jù)相似三角形判定定理2 或 3 可畫(huà)a

11、1b1c1，易得點(diǎn)撥： 在 4 4 的正方形方格中，滿(mǎn)足題設(shè)的a1b1c1只能畫(huà)出以上三個(gè)，若正方形方格數(shù)不加限制，則和abc 相似且不全等的三角形可以畫(huà)無(wú)數(shù)個(gè)3、相似三角形的判定例 3、(1)如圖， o 是 abc 內(nèi)任一點(diǎn)， d、e、f 分別是 oa、ob、oc 的中點(diǎn)，求證：def abc ；(2)如圖，正方形abcd 中， e 是 bc 的中點(diǎn)， df=3cf，寫(xiě)出圖中所有相似三角形，并證明精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載分析：(1)根據(jù)題設(shè)， 觀察圖形易

12、見(jiàn)， de、ef、fd 分別是 aob 、boc 、coa 的中位線(xiàn)，利用三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)可證def 與 abc 的三邊對(duì)應(yīng)成比例；(2)由于正方形的四條邊相等，且be=ce ，df=3cf，設(shè)出正方形邊長(zhǎng)后，圖中所有線(xiàn)段都能求出，故可從三邊是否成比例判定哪些三角形相似點(diǎn)撥： 第 (1)題，若點(diǎn)o 在 abc 外，其他條件不變，結(jié)論仍成立；第 (2)題也可用判定定理2，先證 abe ecf，得出 aef=90 后，再證其中任意三角形與 aef 相似，顯然，以上證法較簡(jiǎn)便4、直角三角形相似的判定例 4、求證：若一個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高與另一個(gè)直角三角形的一條直角邊和斜邊上的高成比

13、例，那么這兩個(gè)直角三角形相似精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載已知：如圖，rtabc 和 rtabc中， c=c=90， cd、cd分別是兩個(gè)三角形斜邊上的高，且cdcd=acac求證： abc abc分析：判定直角三角形相似的方法除使用一般三角形的判定方法外，還可使用“ 斜邊和一直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似” 這一定理證明abc abc，只要再證一銳角對(duì)應(yīng)相等即可證明：cd、cd分別是 abc 、 abc的高， acd 、 acd是直角三角形5、三角形重心問(wèn)

14、題例 5、已知 abc 的重心 g 到 bc 邊上的距離為5，那么 bc 邊上的高為 () 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載a5b12 c10d15 解析：因?yàn)?g 為 abc 的重心，所以dgda=1 3，因?yàn)?gebc，afbc ，所以 geaf，所以 geaf=dg da=1 3，因?yàn)?ge=5，所以 af=15 6、相似三角形的綜合運(yùn)用例 6、如圖， cd 是 rtabc 斜邊 ab 上的中線(xiàn)，過(guò)點(diǎn)d 垂直于 ab 的直線(xiàn)交 bc 于 e，交ac 延長(zhǎng)線(xiàn)于

15、f求證： (1)adf edb ； (2)cd2=de df分析：(1)adf 與 edb 都是直角三角形，要證它們相似，只要再找一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等即可；(2)注意到 cd 是斜邊 ab 的中線(xiàn)， ad=bd=cd ，由結(jié)論 (1)不難得出結(jié)論(2)證明：(1)dfab， adf= bde=90 ，又 f a=b a， f=b，adf edb(2)由(1)得， ad bd=de df又 cd 是 rtabc 斜邊上的中線(xiàn)，ad=bd=cd 故 cd2=de df精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - -

16、- - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載點(diǎn)撥： 本題綜合考查了直角三角形的性質(zhì)與相似三角形的判定等這是一道階梯型問(wèn)題，第(2)題根據(jù) (1)得出有關(guān)比例式，然后使用“ 等線(xiàn)代換 ” 使問(wèn)題簡(jiǎn)捷獲證其實(shí)第(2)題也可這樣思考： 把它轉(zhuǎn)化為比例式，證明這三條線(xiàn)段所在的cde fdc請(qǐng)同學(xué)們完成這一證明例 7、如圖， ad 是 abc 的角平分線(xiàn)， bead 于 e， cfad 于 f求證：分析：待證式中的四條線(xiàn)段不是在兩個(gè)三角形中，無(wú)法直接根據(jù)兩個(gè)三角形相似得出，需要插入一個(gè) “ 中間比 ” ，由題設(shè)易證 abe acf ，bde cdf， 從中不難找到這個(gè)中間比證明：ad 是 abc 的角平分線(xiàn)，1=2bea

17、d ，cfad ， 3=4=90 ， abe acf，點(diǎn)撥： 當(dāng)無(wú)法直接由兩個(gè)三角形相似得出結(jié)論中的比例式時(shí)，一般可尋找“ 中間比 ”幫忙；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載例 8、如圖，在正方形abcd 中， m、n 分別是 ab、bc 上的點(diǎn)， bm=bn ，bpmc 于點(diǎn)p求證： (1)pbn pcd；(2)pnpd分析：要證 pnpd，即證 dpn=90 ，由已知 bpc=90 ，而 bpc 與 dpn 有公共部分cpn，因此只要證明4=5 即可這就必須先

18、證明出結(jié)論(1)在 pbn 與 pcd 中，易證 1=3，以下只要證明夾1、 3 的兩邊對(duì)應(yīng)成比例證明：(1)在正方形 abcd 中， abcd， abc=90 bpmc， pbm pcb點(diǎn)撥：要注意觀察出圖中存在的“ 母子相似三角形” 基本圖形， 從而充分利用它得出1=2 及 pbm pcb 等重要結(jié)論精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁(yè)，共 13 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載一、本章的兩套定理第一套（比例的有關(guān)性質(zhì)） ：涉及概念：第四比例項(xiàng)比例中項(xiàng)比的前項(xiàng)、后項(xiàng)，比的內(nèi)項(xiàng)、外項(xiàng)黃金分割等。二、有關(guān)知識(shí)

19、點(diǎn)：1.相似三角形定義：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形。2.相似三角形的表示方法：用符號(hào)“”表示，讀作“相似于”。3.相似三角形的相似比：相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比。4.相似三角形的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線(xiàn)和其他兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）相交，所截成的三角形與原三角形相似。5.相似三角形的判定定理：(1)三角形相似的判定方法與全等的判定方法的聯(lián)系列表如下：類(lèi)型斜三角形直角三角形全等三角形的判定sassssaas （asa）hl相似三角形的判定兩 邊 對(duì) 應(yīng)成 比 例 夾角相等三 邊 對(duì) 應(yīng)成比例兩 角 對(duì) 應(yīng)相等一條直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)成比例從表中可以看出只要將全等三角

20、形判定定理中的“對(duì)應(yīng)邊相等”的條件改為“對(duì)應(yīng)邊成比例”就可得到相似三角形的判定定理，這就是我們數(shù)學(xué)中的用類(lèi)比的方法，在舊知識(shí)的基礎(chǔ)上找出新知識(shí)并從中探究新知識(shí)掌握的方法。6.直角三角形相似：(1)直角三角形被斜邊上的高分成兩個(gè)直角三角形和原三角形相似。(2)如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似。7.相似三角形的性質(zhì)定理：(1)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等。(2)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例。(3)相似三角形的對(duì)應(yīng)高線(xiàn)的比， 對(duì)應(yīng)中線(xiàn)的比和對(duì)應(yīng)角平分線(xiàn)的比都等于相cdabdbcaacbd或合比性質(zhì)：ddcbbabcaddcba（比例基本定理）bandbmca