量子力學(xué)知識點(diǎn)小結(jié)

1、第一章玻爾的量子化條件，索末菲的量子化條件。黑體：能吸收射到其上的全部輻射的物體，這種物體就稱為絕對黑體，簡稱黑體。普朗克量子假說：表述1：對于一定頻率的輻射，物體只能以h為能量單位吸收或發(fā)射電磁輻射。表述2：物體吸收或發(fā)射電磁輻射時，只能以量子的方式進(jìn)行，每個量子的能量為：=h。表述3：物體吸收或發(fā)射電磁輻射時，只能以能量的整數(shù)倍來實(shí)現(xiàn)，即，2，3，。光電效應(yīng)：光照射到金屬上，有電子從金屬上逸出的現(xiàn)象。這種電子稱之為光電子。光電效應(yīng)有兩個突出的特點(diǎn)： 存在臨界頻率0 ：只有當(dāng)光的頻率大于一定值v0 時，才有光電子發(fā)射出來。若光頻率小于該值時，則不論光強(qiáng)度多大，照射時間多長，都沒有光電子產(chǎn)生。

2、 光電子的能量只與光的頻率有關(guān)，與光的強(qiáng)度無關(guān)。光的強(qiáng)度只決定光電子數(shù)目的多少。愛因斯坦光量子假說：光(電磁輻射)不僅在發(fā)射和吸收時以能量E= h的微粒形式出現(xiàn)，而且以這種形式在空間以光速 C 傳播，這種粒子叫做光量子，或光子。愛因斯坦方程光電效應(yīng)機(jī)理： 當(dāng)光射到金屬表面上時，能量為 E= h 的光子立刻被電子所吸收，電子把這能量的一部分用來克服金屬表面對它的吸引，另一部分就是電子離開金屬表面后的動能。解釋光電效應(yīng)的兩個典型特點(diǎn)：存在臨界頻率v0：由上式明顯看出，當(dāng)h- W0 0時，即0 = W0 / h時，電子不能脫出金屬表面，從而沒有光電子產(chǎn)生。 光電子動能只決定于光子的頻率：上

3、式表明光電子的能量只與光的頻率有關(guān)，而與光的強(qiáng)度無關(guān)?？灯疹D效應(yīng)：高頻率的X射線被輕元素如白蠟、石墨中的電子散射后出現(xiàn)的效應(yīng)?？灯疹D效應(yīng)的實(shí)驗(yàn)規(guī)律： 散射光中，除了原來X光的波長外，增加了一個新的波長為'的X光，且' >；波長增量=-隨散射角增大而增大。量子現(xiàn)象凡是普朗克常數(shù)h在其中起重要作用的現(xiàn)象光具有微粒和波動的雙重性質(zhì)，這種性質(zhì)稱為光的波粒二象性與運(yùn)動粒子相聯(lián)系的波稱為德布羅意波或物質(zhì)波。光譜線：光經(jīng)過一系列光學(xué)透鏡及棱鏡后，會在底片上留下若干條線，每個線條就是一條光譜線。所有光譜線的總和稱為光譜。線狀光譜：原子光譜是由一條條斷續(xù)的光譜線構(gòu)成的。21.標(biāo)識線狀光譜：

4、對于確定的原子，在各種激發(fā)條件下得到的光譜總是完全一樣的，也就是說，可以表征原子特征的線狀光譜。第二章量子力學(xué)中，原子的軌道半徑的含義。波函數(shù)的物理意義：某時刻t在空間某一點(diǎn)(x,y,z)波函數(shù)模的平方與該時刻t該地點(diǎn)(x,y,z)附近單位體積內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度(通常稱為幾率)dw(x,y,z,t)成正比。按照這種解釋，描寫粒子的波是幾率波。 波函數(shù)的特性：波函數(shù)乘上一個常數(shù)后，并不改變在空間各點(diǎn)找到粒子的幾率，即不改變波函數(shù)所描寫的狀態(tài)。波函數(shù)的歸一化條件 態(tài)疊加原理：若體系具有一系列不同的可能狀態(tài)1，2，n，則這些可能狀態(tài)的任意線性組合，也一定是該體系的一個可能的狀態(tài)。也可以說，當(dāng)體系處

5、于態(tài)時，體系部分地處于態(tài)1，2，n中。波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件：單值性，有限性和連續(xù)性，波函數(shù)歸一化。定態(tài)：微觀體系處于具有確定的能量值的狀態(tài)稱為定態(tài)。定態(tài)波函數(shù)：描述定態(tài)的波函數(shù)稱為定態(tài)波函數(shù)。定態(tài)的性質(zhì)：由定態(tài)波函數(shù)給出的幾率密度不隨時間改變。粒子幾率流密度不隨時間改變。任何不顯含時間變量的力學(xué)量的平均值不隨時間改變。本征方程、本征值和本征波函數(shù)：在量子力學(xué)中，若一個算符作用在一個波函數(shù)上，等于一個常數(shù)乘以該波函數(shù)，則稱此方程為該算符的本征方程。常數(shù)fn為該算符的第n個本征值。波函數(shù)n為fn相應(yīng)的本征波函數(shù)。束縛態(tài)：在無窮遠(yuǎn)處為零的波函數(shù)所描述的狀態(tài)?；鶓B(tài)：體系能量最低的態(tài)。宇稱：在一維問題中，凡

6、波函數(shù)(x)為x的偶函數(shù)的態(tài)稱為偶(正)宇稱態(tài)；凡波函數(shù)(x)為x的奇函數(shù)的態(tài)稱為奇(負(fù))宇稱態(tài)。在一維空間內(nèi)運(yùn)動的粒子的勢能為(2x2)/2， 是常數(shù)，這種粒子構(gòu)成的體系稱為線性諧振子。 線性諧振子的能級為：透射系數(shù)：透射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比。反射系數(shù)：反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比。隧道效應(yīng)：粒子在能量E小于勢壘高度時仍能貫穿勢壘的現(xiàn)象。16量子力學(xué)的波函數(shù)與經(jīng)典的波場有何本質(zhì)性的區(qū)別？答: 量子力學(xué)的波函數(shù)是一種概率波，沒有直接可測的物理意義，它的模方表示概率，才有可測的意義；經(jīng)典的波場代表一種物理場，有直接可測的物理意義。17什么是量子力學(xué)中的定態(tài)？它有什么特征？

7、答：定態(tài)是一種特殊狀態(tài)即能量本征態(tài)，在定態(tài)下，一切顯含時間的力學(xué)量（不管是否為守恒量）的平均值和幾率分布都不隨時間改變，粒子在空間的幾率密度和幾率流密度也不隨時間改變。第三章算符: 作用在一個函數(shù)上得出另一個函數(shù)的運(yùn)算符號，量子力學(xué)中的算符是作用在波函數(shù)上的運(yùn)算符號。厄密算符的定義：如果算符滿足下列等式，則稱為厄密算符。式中和為任意波函數(shù)，x代表所有的變量，積分范圍是所有變量變化的整個區(qū)域。 推論：量子力學(xué)中表示力學(xué)量的算符都是厄密算符。厄密算符的性質(zhì)：厄密算符的本征值必是實(shí)數(shù)。厄密算符的屬于不同本征值的兩個本征函數(shù)相互正交。簡并：對應(yīng)于一個本征值有一個以上本征函數(shù)的情況。 簡并度：對應(yīng)于同一

8、個本征值的本征函數(shù)的數(shù)目。氫原子的電離態(tài)：氫原子中的電子脫離原子的束縛，成為自由電子的狀態(tài)。電離能：電離態(tài)與基態(tài)能量之差氫原子中在半徑r到r+dr的球殼內(nèi)找到電子的概率是： 在方向(，)附近立體角d內(nèi)的概率是：兩函數(shù)1和2正交的條件是：式中積分是對變量變化的全部區(qū)域進(jìn)行的，則稱函數(shù)1和2相互正交。正交歸一系：滿足正交條件的歸一化本征函數(shù)k或l。 厄密算符本征波函數(shù)的完全性：如果n(r)是厄密算符的正交歸一本征波函數(shù)，n是本征值，則任一波函數(shù)(r)可以按n(r)展開為級數(shù)的性質(zhì)?；蛘哒fn(r)組成完全系。算符與力學(xué)量的關(guān)系：當(dāng)體系處于算符的本征態(tài)時，力學(xué)量F有確定值，這個值就是算符在態(tài)中的本征值

9、。力學(xué)量在一般的狀態(tài)中沒有確定的數(shù)值，而有一系列的可能值，這些可能值就是表示這個力學(xué)量的算符的本征值。每個可能值都以確定的幾率出現(xiàn)。算符對易關(guān)系： 。可對易算符：如果，則稱算符與是可對易的；不對易算符：如果，則稱算符與是不對易的。兩力學(xué)量同時有確定值的條件：定理1：如果兩個算符有一組共同本征函數(shù)n，而且n組成完全系，則算符對易。 定理2：如果兩個算符對易，則這兩個算符有組成完全系的共同本征函數(shù)。 測不準(zhǔn)關(guān)系：當(dāng)兩個算符不對易時，它們不能同時有確定值，量子力學(xué)中力學(xué)量運(yùn)動守恒定律形式是： 量子力學(xué)中的能量守恒定律形式是：空間反演：把一個波函數(shù)的所有坐標(biāo)自變量改變符號(如rr)的運(yùn)算。宇稱算符：表

10、示空間反演運(yùn)算的算符。宇稱守恒：體系狀態(tài)的宇稱不隨時間改變。16.相關(guān)關(guān)系式：, 第四章基底：設(shè) e1, e2, e3 為線性無關(guān)的三個向量，空間內(nèi)任何向量 v 必是e1, e2, e3 的線性組合，則e1, e2, e3 稱為空間的基底。正交規(guī)范基底：若基底的向量互相垂直，且每一向量的長度等于1，這樣的基底叫做正交規(guī)范基底。希耳伯特空間：如果把本征波函數(shù)m看成類似于幾何學(xué)中的一個矢量(這就是波函數(shù)有時稱為態(tài)矢量或態(tài)矢的原因)，則波函數(shù)的集合m構(gòu)成的一個線性空間。表象：量子力學(xué)中，態(tài)和力學(xué)量的具體表示方式。第五章1.斯塔克效應(yīng)：在外電場中，原子光譜產(chǎn)生分裂的現(xiàn)象。2.分別寫出非簡并態(tài)的一級、二

11、級能量修正表達(dá)式。3.周期微擾產(chǎn)生躍遷的條件是：，說明只有當(dāng)外界微擾含有頻率時，體系才能從態(tài)躍遷到態(tài)，這時體系吸收或發(fā)射的能量是，這表明周期微擾產(chǎn)生的躍遷是一個共振躍遷。4.光的吸收現(xiàn)象：在光的照射下，原子可能吸收光的能量由較低的能級躍遷到較高的能級的現(xiàn)象。5.原子的受激輻射(躍遷)現(xiàn)象：在光的照射下，原子從較高的能級躍遷到較低的能級而放出光的現(xiàn)象。6.原子的自發(fā)輻射(躍遷)現(xiàn)象：在無光照射時，處于激發(fā)態(tài)的原子躍遷到較低能級而發(fā)光的現(xiàn)象。7.自發(fā)發(fā)射系數(shù)：表示原子在單位時間內(nèi)，由能級自發(fā)躍遷到能級，并發(fā)射出能量為的光子的幾率。8.受激發(fā)射系數(shù)：作用于原子的光波在頻率范圍內(nèi)的能量密度是，則在單位

12、時間內(nèi)，原子由能級受激躍遷到能級、并發(fā)射出能量為的光子的幾率是。9.吸收系數(shù)：原子由低能級躍遷到高能級、并吸收能量為的光子的幾率是。第七章斯特恩-革拉赫實(shí)驗(yàn)證明電子存在自旋理由。塞曼效應(yīng)：在外磁場中，每一條光譜線劈裂成一組相鄰譜線的現(xiàn)象。簡單(正常)塞曼效應(yīng)：無外磁場時的一條光譜線，在磁場中將分裂為三條光譜線。產(chǎn)生的條件是：當(dāng)外磁場足夠大時，自旋和軌道運(yùn)動間相互作用可以忽略。復(fù)雜(反常)塞曼效應(yīng)：無外磁場時的一條光譜線，在磁場中將分裂為更多條光譜線。產(chǎn)生的條件是：在弱外磁場中，必須考慮自旋和軌道運(yùn)動間相互作用。兩個電子自旋角動量耦合的自旋總角動量S：，所以兩個電子自旋角動量耦合的自旋總角動量只

13、能有兩個可能值。兩個電子軌道角動量耦合的軌道總角動量L：對于兩個電子，就有幾個可能的軌道總角動量。電子自旋角動量與軌道角動量耦合為一個總角動量J1：每個電子只有兩個J1值。LS耦合總角動量J：jj耦合總角動量J：價電子：原子最外層的電子。原子的化學(xué)性質(zhì)以及光譜特性都決定于價電子。內(nèi)層電子：原子中除價電子外的剩余電子。原子實(shí)：原子核與內(nèi)層電子組成一個完整而穩(wěn)固的結(jié)構(gòu)。電子組態(tài)：價電子所處的各種狀態(tài)。原子態(tài)：原子中電子體系的狀態(tài)。原子態(tài)符號：用來描述原子狀態(tài)的符號。原子態(tài)符號規(guī)則：用軌道總量子數(shù)l、自旋總量子數(shù)s和總角動量量子數(shù)j表示軌道總量子數(shù)l=0,1,2,···

14、，對應(yīng)的原子態(tài)符號為S,P,D,F,H,I,K,L,···原子態(tài)符號左上角的數(shù)碼表示重數(shù)，大小為2s +1,表示能級的個數(shù)。原子態(tài)符號右下角是j值 ，表示能級對應(yīng)的j值 。形式為：光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)：用分辨率足夠高的儀器觀察類氫原子的光譜線，會發(fā)現(xiàn)每一條光譜線并不是簡單的一條線，而是由二條或三條線組成的結(jié)構(gòu)，這種結(jié)構(gòu)稱為光譜的精細(xì)結(jié)構(gòu)。原子態(tài)能級的排序(洪特定則)： (1)從同一電子組態(tài)形成的、具有相同L值的能級中，那重數(shù)最高的，即S值最大的能級位置最低； (2)從同一電子組態(tài)形成的、具有不同L值的能級中，那具有最大L值的位置最低。輻射躍遷的普用選擇定則：1、選擇定則

15、：原子光譜表明，原子中電子的躍遷僅發(fā)生在滿足一定條件的狀態(tài)之間，這些條件稱為選擇定則。2、原子的宇稱：如果原子中各電子的l量子數(shù)相加，得到偶數(shù)，則原子處于偶宇稱狀態(tài)；如果是奇數(shù)，則原子處于奇宇稱狀態(tài)。3、普遍的選擇定則：躍遷只能發(fā)生在不同宇稱的狀態(tài)間，偶宇稱到奇宇稱，或奇宇稱到偶宇稱。電子能否有躍遷首先要考慮這一條，然后按照耦合類型再有以下定則。LS耦合選擇定則：，要求單一態(tài)電子只能躍遷到單一態(tài)，三重態(tài)電子只能躍遷到三重態(tài)。 ，當(dāng)時，要考慮宇稱奇偶性改變的要求。 ，的躍遷是禁止的。jj耦合選擇定則：，的躍遷是禁止的。全同粒子：質(zhì)量、電荷、自旋等固有性質(zhì)完全相同微觀粒子。全同粒子的特性：全同粒子

16、具有不可區(qū)分性，只有當(dāng)全同粒子的波函數(shù)完全不重疊時，才是可以區(qū)分的。21.全同性原理: 在全同粒子所組成的體系中，兩全同粒子相互代換不引起物理狀態(tài)的改變。22.對稱波函數(shù)：設(shè)qi表示第i個粒子的坐標(biāo)和自旋，(q1,qi,qj,t)表示體系的波函數(shù)。如果兩粒子互換后波函數(shù)不變，則是q的對稱波函數(shù)。23.反對稱波函數(shù)：設(shè)qi表示第i個粒子的坐標(biāo)和自旋，(q1,qi,qj,t)表示體系的波函數(shù)。如果兩粒子互換后波函數(shù)變號，則是q的反對稱波函數(shù)。24.對稱性守恒原理：描寫全同粒子體系狀態(tài)的波函數(shù)只能是對稱的或反對稱的，它們的對稱性不隨時間改變。如果體系在某一時刻處于對稱(反對稱)的狀態(tài)，則它將永遠(yuǎn)處于

17、對稱(反對稱)的狀態(tài)上。25.費(fèi)密子：自旋為或奇數(shù)倍的全同粒子。費(fèi)密子的特點(diǎn)：組成體系的波函數(shù)是反對稱的，服從費(fèi)密狄拉克統(tǒng)計。26.玻色子：自旋為零、或整數(shù)倍的全同粒子。玻色子的特點(diǎn)：組成體系的波函數(shù)是對稱的，服從玻色愛因斯坦統(tǒng)計。27.交換簡并：由全同粒子相互交換而產(chǎn)生的簡并。28.泡利不相容原理：不能有兩個或兩個以上的費(fèi)密子處于同一狀態(tài)。29.交換能的出現(xiàn)，是由于全同粒子的波函數(shù)必須是對稱波函數(shù)或反對稱波函數(shù)的緣故。30.交換能J與交換密度有關(guān)，其大小決定于兩個電子波函數(shù)重疊的程度。重疊程度越大，交換能就越大。31.LS耦合引起的精細(xì)結(jié)構(gòu)分析。如n=3能級中，有一個p電子和d電子所引起的能

18、級差別(原子態(tài))。32. 對氫原子，不考慮電子的自旋，能級的簡并度，考慮自旋但不考慮自旋與軌道角動量的耦合時，能級的簡并度，如再考慮自旋與軌道角動量的耦合，能級的簡并度。33. 反常塞曼效應(yīng)的特點(diǎn)，引起的原因。(堿金屬原子能級偶數(shù)分裂；光譜線偶數(shù)條；分裂能級間距與能級有關(guān)；由于電子具有自旋。)量子力學(xué)期末試題及答案一一、（20分）已知?dú)湓釉跁r處于狀態(tài) 其中，為該氫原子的第個能量本征態(tài)。求能量及自旋分量的取值概率與平均值，寫出時的波函數(shù)。 解 已知?dú)湓拥谋菊髦禐?， （1）將時的波函數(shù)寫成矩陣形式 （2）利用歸一化條件 （3）于是，歸一化后的波函數(shù)為 （4）能量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為

19、 （5）能量平均值為 （6）自旋分量的可能取值為，相應(yīng)的取值幾率為 （7）自旋分量的平均值為 （8） 時的波函數(shù) （9）二. （20分） 質(zhì)量為的粒子在如下一維勢阱中運(yùn)動 若已知該粒子在此勢阱中有一個能量的狀態(tài)，試確定此勢阱的寬度。解 對于的情況，三個區(qū)域中的波函數(shù)分別為 （1）其中， （2）利用波函數(shù)再處的連接條件知，。在處，利用波函數(shù)及其一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的條件 （3）得到 （4）于是有 （5）此即能量滿足的超越方程。當(dāng)時，由于 （6）故 （7）最后得到勢阱的寬度 （8）三、（20分） 證明如下關(guān)系式（1）任意角動量算符滿足 。證明 對分量有同理可知，對與分量亦有相應(yīng)的結(jié)果，故欲證之式成立。投影

20、算符是一個厄米算符，其中，是任意正交歸一的完備本征函數(shù)系。證明 在任意的兩個狀態(tài)與之下，投影算符的矩陣元為 而投影算符的共軛算符的矩陣元為 顯然，兩者的矩陣元是相同的，由與的任意性可知投影算符是厄米算符。利用證明，其中，為任意正交歸一完備本征函數(shù)系。證明 四、（20分） 在與表象中，在軌道角動量量子數(shù)的子空間中，分別計算算符、與的矩陣元，進(jìn)而求出它們的本征值與相應(yīng)的本征矢。解 在與表象下，當(dāng)軌道角動量量子數(shù)時，顯然，算符、與皆為三維矩陣。由于在自身表象中，故是對角矩陣，且其對角元為相應(yīng)的本征值，于是有 （1）相應(yīng)的本征解為 （2）對于算符、而言，需要用到升降算符，即 （3）而 （4）當(dāng)時，顯然

21、，算符、的對角元皆為零，并且， （5）只有當(dāng)量子數(shù)相差時矩陣元才不為零，即 （6）于是得到算符、的矩陣形式如下 （7）滿足的本征方程為 （8）相應(yīng)的久期方程為 （9）將其化為 （10）得到三個本征值分別為 （11）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 （12）滿足的本征方程為 （13）相應(yīng)的久期方程為 （14）將其化為 （15）得到三個本征值分別為 （16）將它們分別代回本征方程，得到相應(yīng)的本征矢為 （17）五、（20分） 由兩個質(zhì)量皆為、角頻率皆為的線諧振子構(gòu)成的體系，加上微擾項(xiàng)（分別為兩個線諧振子的坐標(biāo)）后，用微擾論求體系基態(tài)能量至二級修正、第二激發(fā)態(tài)能量至一級修正。 提示： 線諧振

22、子基底之下坐標(biāo)算符的矩陣元為 式中， 。解 體系的哈密頓算符為 （1）其中 （2）已知的解為 （3）其中 （4）將前三個能量與波函數(shù)具體寫出來 （5） 對于基態(tài)而言，體系無簡并。利用公式 （6）可知 （7）顯然，求和號中不為零的矩陣元只有 （8）于是得到基態(tài)能量的二級修正為 （9）第二激發(fā)態(tài)為三度簡并，能量一級修正滿足的久期方程為 （10）其中 （11）將上式代入（10）式得到 （12）整理之，滿足 （13）于是得到第二激發(fā)態(tài)能量的一級修正為 （14）量子力學(xué)期末試題及答案二一、填空題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1、A,B兩束光，A的波長，B的波長，請問哪束光的能量更高？ A .

23、2、微觀粒子的波函數(shù)應(yīng)滿足的三個標(biāo)準(zhǔn)條件是 單值性，連續(xù)性，有限性 .3、一粒子的波函數(shù)，請問該粒子是否處在動量的本征態(tài)？ 否.4、粒子穿過方勢壘，請問透射系數(shù)隨著勢壘的加高減小還是增大？減小.5、假如兩力學(xué)量算符具有共同的本征函數(shù)，則此這個算符是否對易？對易.6、對易關(guān)系，.7、已知,則.8、算符在其自身表象中的表示是否為對角矩陣？ 是 .9、已知泡利算符分量，sx, sy的矩陣表達(dá)式分別為，. 10、寫出氧原子（原子序數(shù)）的電子排布:.二、解答題（本大題共6小題，共70分）1、一粒子在一維勢場中運(yùn)動，求粒子的能級和對應(yīng)的波函數(shù)。解：一位無限深勢阱中，定態(tài)薛定諤方程 （1） （2分） 在阱外，,，若波函數(shù), 由(1)式得, 這是沒有意義的。因此, 在阱外必有。 （2分） 在阱內(nèi), ,令,由 (1)式得 .