投影與直觀圖直觀圖

1、北師大必修北師大必修2 2 1.2投影與直投影與直 觀觀 圖圖知識(shí)探究（一）：知識(shí)探究（一）：中心投影與平行投影中心投影與平行投影 1. 1.光是直線傳播的，一個(gè)不透明物體光是直線傳播的，一個(gè)不透明物體在光的照射下，在物體后面的屏幕上會(huì)在光的照射下，在物體后面的屏幕上會(huì)留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做留下這個(gè)物體的影子，這種現(xiàn)象叫做投投影影. .其中的光線叫做其中的光線叫做投影線投影線，留下物體影，留下物體影子的屏幕叫做子的屏幕叫做投影面投影面. . 2. 2.我們把光由一點(diǎn)向外散射形成的我們把光由一點(diǎn)向外散射形成的投影叫做投影叫做中心投影中心投影，把在一束平行光，把在一束平行光線照射下形成的

2、投影叫做線照射下形成的投影叫做平行投影平行投影. .AAAADCBADCBADCB中心中心投影投影ADCB平行投影平行投影中心中心投影投影ADCB中心中心投影投影平行投影平行投影ADCB平行投影平行投影中心中心投影投影ADCB平行投影平行投影中心中心投影投影ADCB平行投影平行投影中心中心投影投影ADCB平行投影平行投影正投影正投影中心中心投影投影ADCB平行投影平行投影正投影正投影中心中心投影投影ADCB平行投影平行投影正投影正投影中心中心投影投影ADCB平行投影平行投影斜投影斜投影正投影正投影中心中心投影投影在平行投影中，投影線正對(duì)著投影面叫做在平行投影中，投影線正對(duì)著投影面叫做正投影正投

3、影，否則叫做否則叫做斜投影斜投影平行投影與中心投影有什么區(qū)別？平行投影與中心投影有什么區(qū)別？平行投影的投射線都互相平行，中心投影平行投影的投射線都互相平行，中心投影的投射線是由同一點(diǎn)出發(fā)的的投射線是由同一點(diǎn)出發(fā)的 繪畫(huà)時(shí)經(jīng)常使用中心投影，但繪畫(huà)時(shí)經(jīng)常使用中心投影，但立體幾何中很少使用中心投影原立體幾何中很少使用中心投影原理來(lái)畫(huà)圖。常用平行投影來(lái)畫(huà)圖。理來(lái)畫(huà)圖。常用平行投影來(lái)畫(huà)圖。一、平行投影一、平行投影1)點(diǎn)的平行投影：點(diǎn)的平行投影：已知圖形已知圖形F，直線，直線l與平面與平面相交，過(guò)相交，過(guò)F上任一點(diǎn)上任一點(diǎn)M作直作直線線l平行于平行于l，交平面，交平面于點(diǎn)于點(diǎn)M，則，則M叫做點(diǎn)叫做點(diǎn)M在平

4、面在平面內(nèi)關(guān)于直線內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影的平行投影.（2）圖形的平行投影：如果圖形）圖形的平行投影：如果圖形F上的所上的所有點(diǎn)在平面有點(diǎn)在平面內(nèi)關(guān)于直線內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影構(gòu)成的平行投影構(gòu)成圖形圖形F，則，則F叫做圖形叫做圖形F在在內(nèi)關(guān)于直線內(nèi)關(guān)于直線l的平行投影，平面的平行投影，平面叫做投射面，叫做投射面，l叫做投叫做投射線。射線。探究一：?jiǎn)栴}:1.如圖，把一根直的細(xì)鐵絲(記為線段AB)放在三個(gè)不同位置:(1)鐵絲平行于投射面;按如圖所示投射線，指出其平行投影，線段與它的投影的大小關(guān)系為 .(2)鐵絲傾斜于投射面，按如圖所示投射線，指出其平行投影，線段與它的投影的大小關(guān)系為 . (3)鐵絲

5、垂直于射影面(鐵絲不一定要與投射面有公共點(diǎn))，按如圖所示投射線，指出其平行投影. 平行于投射面的正方形在平行投影下的投影形狀完全不變，相當(dāng)于把正方形在平行光線下“平移”到了地面 平行于投射面的正方形的平行投影是什么？探究二：探究二：2太陽(yáng)光線（可看成平行的）照進(jìn)窗戶上，在地面形成什么圖形？ 二：平行投影的性質(zhì)：二：平行投影的性質(zhì)： 當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平當(dāng)圖形中的直線或線段不平行于投射線時(shí)，平行投影都具有以下性質(zhì)：行投影都具有以下性質(zhì)：1直線或線段的平行投影仍是直線或線段的平行投影仍是直線或線段直線或線段;2. 平行直線的平行投影是平行直線的平行投影是平行或重合平行或重合的直

6、線；的直線；3平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行于投射面的線段，它的投影與這條線段平行且等長(zhǎng)平行且等長(zhǎng)；4與投射面平行的平面圖形，它的投影與投射面平行的平面圖形，它的投影與這個(gè)圖形與這個(gè)圖形全等全等；5在同一直線或平行直線上，兩條線段在同一直線或平行直線上，兩條線段平行投影長(zhǎng)度的比平行投影長(zhǎng)度的比等于等于這兩條線段長(zhǎng)度這兩條線段長(zhǎng)度的比。的比。2. 兩條不平行的直線，其平行投影不可能兩條不平行的直線，其平行投影不可能是（是（ ）（A）兩條平行線）兩條平行線. （B）一點(diǎn)和一條直線）一點(diǎn)和一條直線 （C）兩條相交直線）兩條相交直線 （D）兩個(gè)點(diǎn)）兩個(gè)點(diǎn)A1. 直線的平行投影可能是（直線的

7、平行投影可能是（ ） （A）點(diǎn)）點(diǎn) （B）線段）線段 （C）射線）射線 （D）曲線）曲線D例例1：下列說(shuō)法正確的是：下列說(shuō)法正確的是_ 直線或線段的平行投影仍為直線或線段直線或線段的平行投影仍為直線或線段與投射面平行的平面圖形，其投影與這個(gè)圖與投射面平行的平面圖形，其投影與這個(gè)圖形一定全等形一定全等平行四邊形的平行投影可能是矩形平行四邊形的平行投影可能是矩形兩平行直線的平行投影一定平行兩平行直線的平行投影一定平行如果一條長(zhǎng)為如果一條長(zhǎng)為2米的線段，其平行投影為米的線段，其平行投影為1米，米，則長(zhǎng)為則長(zhǎng)為10米的線段，其平行投影的長(zhǎng)為米的線段，其平行投影的長(zhǎng)為5米米 2. 將一個(gè)水平放置的平面圖

8、形將一個(gè)水平放置的平面圖形 畫(huà)在紙上畫(huà)在紙上,怎樣畫(huà)才有立體感呢怎樣畫(huà)才有立體感呢?1.如何將一個(gè)直立放置的平面圖形畫(huà)在紙上如何將一個(gè)直立放置的平面圖形畫(huà)在紙上?(立體圖形立體圖形)想一想想一想感受立體圖感受立體圖 1.太陽(yáng)光線太陽(yáng)光線(假定太陽(yáng)光線是平行的假定太陽(yáng)光線是平行的)把一個(gè)長(zhǎng)方形把一個(gè)長(zhǎng)方形形狀的窗框投射到地板上，變成了什么圖形？形狀的窗框投射到地板上，變成了什么圖形？ 問(wèn)題提出問(wèn)題提出影子與窗戶影子與窗戶之間有區(qū)別嗎？之間有區(qū)別嗎？1. 窗框的投影圖形與原窗框圖比較，哪些幾何關(guān)系或幾窗框的投影圖形與原窗框圖比較，哪些幾何關(guān)系或幾何量發(fā)生了變化？哪些沒(méi)有發(fā)生變化？何量發(fā)生了變化？哪

9、些沒(méi)有發(fā)生變化？BAMABMPP問(wèn)題提出問(wèn)題提出直觀圖直觀圖平面圖平面圖直觀圖直觀圖: : 表示空間圖形的平面圖形，表示空間圖形的平面圖形， 叫做空間圖形的叫做空間圖形的直觀圖直觀圖. .如何畫(huà)空間圖形的直觀圖如何畫(huà)空間圖形的直觀圖?斜二測(cè)畫(huà)法斜二測(cè)畫(huà)法歸納總結(jié)歸納總結(jié)（1）在已知圖形中取互相垂直的）在已知圖形中取互相垂直的x軸和軸和y軸，兩軸相交于軸，兩軸相交于o點(diǎn)畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的點(diǎn)畫(huà)直觀圖時(shí)，把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)的x軸、軸、y軸，使軸，使 ，它確定的平面表示水平平面。，它確定的平面表示水平平面。（2）已知圖形中平行于）已知圖形中平行于x軸或軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫(huà)軸的線段，在直觀

10、圖中分別畫(huà)成平行于成平行于x軸或軸或y軸的線段軸的線段（3）已知圖形中平行于）已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不軸的線段，在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變；平行于變；平行于y軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半軸的線段，長(zhǎng)度為原來(lái)的一半斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：斜二測(cè)畫(huà)法的步驟：x Oy=45135或小結(jié)：小結(jié)：“橫同，縱半，橫同，縱半， 平行性不變平行性不變”045 例例1 畫(huà)水平放置邊長(zhǎng)為畫(huà)水平放置邊長(zhǎng)為2cm的正三角形的直觀圖的正三角形的直觀圖 例題解析例題解析 例例1 畫(huà)水平放置邊長(zhǎng)為畫(huà)水平放置邊長(zhǎng)為2cm的正三角形的直觀圖的正三角形的直觀圖 例題解析例題解析OCAB:畫(huà)法如下,ABC第一步在已

11、知的正三角形中,.ABxCOy取所在的直線為 軸 取對(duì)稱(chēng)軸為 軸0, 45 .xyx O y畫(huà)對(duì)應(yīng)的軸、軸 使 , , 1/ 2.xO AOA O BOByO COC 第二步在 軸上取在 軸上取例例1.畫(huà)水平放置的正三角形的直觀圖畫(huà)水平放置的正三角形的直觀圖. , , .AC B CA B CABC第三步連結(jié)所得的三角形就是正三角形的直觀圖應(yīng)用舉例應(yīng)用舉例: :畫(huà)出水平放置的直角梯形的直觀圖畫(huà)出水平放置的直角梯形的直觀圖xyCABCDxyABDOABCDEF/OOxGHy/x/y/D/H/G/A/B/C/E/F/A/B/C/E/F/D例題解析例題解析例例2 畫(huà)水平放置的正六邊形的直觀圖畫(huà)水平放

12、置的正六邊形的直觀圖.探究五畫(huà)空間幾何體的直觀圖，和平面圖形比較，空間幾何體多了一個(gè)“高”：（1）z軸在已知圖形和直觀圖中位置是否改變？（2）在已知圖形中與z軸平行的線段在直觀圖中平行關(guān)系是否改變？（3）在已知圖形中與z軸平行的線段的長(zhǎng)度在直觀圖中是否改變？例例3 畫(huà)正五棱錐的直觀圖畫(huà)正五棱錐的直觀圖.OxyABCDEFGHOxy例題解析例題解析/x/yABCD/z/A/D/C/BABC/A/D/C/BD例例4 畫(huà)棱長(zhǎng)為畫(huà)棱長(zhǎng)為2cm的正方體的直觀圖的正方體的直觀圖.例題解析例題解析1 1：下列說(shuō)法是否正確？：下列說(shuō)法是否正確？ (1)水平放置的正方形的直觀圖可能是梯形水平放置的正方形的直觀圖

13、可能是梯形.(2) 兩條相交直線的直觀圖可能平行兩條相交直線的直觀圖可能平行. (3) 互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然互互相垂直的兩條直線的直觀圖仍然互相垂直相垂直.（）（）（）(4) 等腰三角形的水平放置的直觀圖仍等腰三角形的水平放置的直觀圖仍是等腰三角形是等腰三角形.（）課內(nèi)練習(xí)課內(nèi)練習(xí) ( ) A. B. C. D.如圖，直觀圖所示的平面圖形是任意四邊形直角梯形任意梯形等腰梯形oxyDCBAB例題解析例題解析例例5oxyCBAC( ) A. B. C. D.2 2：如如圖圖，直直觀觀圖圖所所示示的的平平面面圖圖形形是是任任意意三三角角形形銳銳角角三三角角形形直直角角三三角角形形鈍鈍角角三

14、三角角形形課內(nèi)練習(xí)課內(nèi)練習(xí)( ) A . B . C . D .3 3 ： 如如 圖圖 ， 直直 觀觀 圖圖 所所 示示 的的 平平 面面 圖圖 形形 是是正正 三三 角角 形形銳銳 角角 三三 角角 形形鈍鈍 角角 三三 角角 形形直直 角角 三三 角角 形形DoxyCBA課內(nèi)練習(xí)課內(nèi)練習(xí)（1）先作一個(gè)正三角形 （2）然后以BC所在直線為x軸，以BC邊上的高為y軸建立坐標(biāo)系，畫(huà)對(duì)應(yīng)的x、y軸，使夾角為45畫(huà)直觀圖時(shí)與x軸平行的線段長(zhǎng)度保持不變，與y軸平行的線段程度變?yōu)樵瓉?lái)的一半 由直觀圖恢復(fù)到平面圖形的步驟：由直觀圖恢復(fù)到平面圖形的步驟：42原圖形直觀圖SS結(jié)論：結(jié)論：如圖ABC是水平放置的ABC的直觀圖，則在ABC的三邊及中線AD中，最長(zhǎng)的線段是（ ）AC當(dāng)堂檢測(cè)總結(jié)1. 平行投影的性質(zhì)平行投影的性質(zhì);3.坐標(biāo)系的選取是畫(huà)直觀圖的關(guān)坐標(biāo)系的選取是畫(huà)直觀圖的關(guān)鍵，選取不同的坐標(biāo)系，畫(huà)出的鍵，選取不同的坐標(biāo)系，畫(huà)出的直觀圖可能不一樣直觀圖可能不一樣.2.斜二測(cè)畫(huà)法步驟斜二測(cè)畫(huà)法步驟 (1)平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法平面圖形的斜二測(cè)畫(huà)法, (2)簡(jiǎn)單幾何體的斜二測(cè)畫(huà)法；簡(jiǎn)單幾何體的斜二測(cè)畫(huà)法；平面圖形的直觀圖畫(huà)法平面圖形的