高等數(shù)學(xué)課件D13函數(shù)的極限

1、 第一章 一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限一、自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限第三節(jié), )(xfy 對0)1(xx 0)2(xx0)3(xxx)4(x)5(x)6(自變量變化過程的六種形式:二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限本節(jié)內(nèi)容本節(jié)內(nèi)容 :函數(shù)的極限 定義定義1 . 設(shè)函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x的某去心鄰域內(nèi)有定義 ,0,0當(dāng)00 xx時(shí), 有 axf)(則稱常數(shù) a 為函數(shù))(xf當(dāng)0 xx 時(shí)的極限,axfxx)(lim0或)()(0 xxaxf當(dāng)即,0,0當(dāng)),(0 xux時(shí), 有若記作 axf)(axfxx)(lim0極限存在函數(shù)局部有界(p36定理2) 這表

2、明: aa幾何解釋幾何解釋:oax0 xy)(xfy 例例1. 證明)(lim0為常數(shù)cccxx證證:axf)(cc 0故,0對任意的,0當(dāng)00 xx時(shí) , 0cc因此ccxx0lim總有例例2. 證明1)12(lim1xx證證:axf)(1) 12(x12x欲使,0取,2則當(dāng)10 x時(shí), 必有1) 12()(xaxf因此,)( axf只要,21x1)12(lim1xx例例3. 證明211lim21xxx證證:axf)(2112xx21 x故,0取,當(dāng)10 x時(shí), 必有2112xx因此211lim21xxx1 x例例4. 證明: 當(dāng)00 x證證:axf)(0 xx 001xxx欲使,0且. 0

3、 x而0 x可用0 xx因此,)( axf只要,00 xxx00limxxxx.lim00 xxxx時(shí)00 xxxx故取,min00 xx則當(dāng)00 xx時(shí),00 xxx保證 .必有ox0 xx3. 左極限與右極限左極限與右極限左極限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( axf右極限 :)(0 xfaxfxx)(lim0,0,0當(dāng)),(00 xxx時(shí), 有.)( axf定理定理 3 .axfxx)(lim0axfxfxxxx)(lim)(lim00( p39 題*11 )例例5. 給定函數(shù)0,10,00, 1)(xxxxxxf討論 0 x時(shí))(xf的極

4、限是否存在 . 解解: 利用定理 3 .因?yàn)?(lim0 xfx) 1(lim0 xx1)(lim0 xfx) 1(lim0 xx1顯然, )0()0( ff所以)(lim0 xfx不存在 .xyo11 xy11 xyxxaaoxy)(xfy a定義定義2 . 設(shè)函數(shù)xxf當(dāng))(大于某一正數(shù)時(shí)有定義,若,0x,)(,axfxx有時(shí)當(dāng)則稱常數(shù)時(shí)的極限,axfx)(lim)()(xaxf當(dāng)或幾何解釋幾何解釋:axfa)(xxxx或記作直線 y = a 為曲線)(xfy 的水平漸近線 .,0 xxf當(dāng))(a 為函數(shù)二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限二、自變量趨于無窮大時(shí)函數(shù)的極限例例6. 證明. 01

5、limxx證證:01xx1取,1x,時(shí)當(dāng)xx 01x因此01limxx注注:就有故,0欲使,01x只要,1x.10的水平漸近線為xyyoxyxy1oxyx1x11xxgxxf11)(,1)(直線 y = a 仍是曲線 y = f (x) 的漸近線 .兩種特殊情況兩種特殊情況 :axfx)(lim,0,0x當(dāng)xx 時(shí), 有 axf)(axfx)(lim,0,0x當(dāng)xx時(shí), 有 axf)(幾何意義幾何意義 :例如，都有水平漸近線;0yxxxgxf21)(,21)(都有水平漸近線. 1y又如，oxyx21x21定理定理1 . 存在，那么這極限唯一0lim( )xxf x定理定理2 . 如果0, 使得

6、當(dāng)00 xx時(shí), 有( )f xm，那么存在常數(shù) m0和若axfxx)(lim02. 保號性定理保號性定理定理定理3 . 若,)(lim0axfxx且 a 0 ,),(0時(shí)使當(dāng)xux. 0)(xf)0)(xf證證: 已知,)(lim0axfxx即,0, ),(0 xu當(dāng)時(shí), 有.)(axfa當(dāng) a 0 時(shí), 取正數(shù),a則在對應(yīng)的鄰域上. 0)(xf( 0)(a則存在( a 0 ),(0 xu),(0 xux),(0 xu)0(aa0 x0 xax0 xy)(xfy o先看書上證明先看書上證明axfa)(:0a:0a若取,2a則在對應(yīng)的鄰域上 若,0)(lim0axfxx則存在使當(dāng)時(shí), 有.2)(axf定理定理3 :23)(2axfa2)(23axfa),(0 xu, ),(0 xu),(0 xux分析分析:aa0 x0 xax0 xy)(xfy o推論推論. 若在0 x的某去心鄰域內(nèi)0)(xf)0)(xf, 且 ,)(lim0axfxx則. 0a)0(a證證: 用反證法.則由定理 3,0 x的某去心鄰域 , 使在該鄰域內(nèi),0)(xf與已知所以假設(shè)不真, .0a(同樣可證0)(xf的情形)思考: 若定理 2 中的條件改為, 0)(xf是否必有?0a不能不能! 0lim20 xx存在