《線性代數(shù)》電子教程4(矩陣的定義及運算)

1、1線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 電子教案之四2主要內容主要內容第四講第四講 矩陣及其運算矩陣及其運算v矩陣的概念；矩陣的概念；v零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特零矩陣、對角矩陣、單位矩陣、對稱矩陣等特 殊矩陣；殊矩陣；v矩陣的線性運算（矩陣的加法及矩陣與數(shù)的乘矩陣的線性運算（矩陣的加法及矩陣與數(shù)的乘 法）、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉置、方陣法）、矩陣與矩陣的乘法、矩陣的轉置、方陣 的行列式以及他們的運算規(guī)律的行列式以及他們的運算規(guī)律.基本要求基本要求v理解矩陣的概念，知道零矩陣、對角矩陣、單理解矩陣的概念，知道零矩陣、對角矩陣、單 位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；位矩陣、對稱矩陣等特殊矩陣；v熟

2、練掌握矩陣的運算及其運算規(guī)律熟練掌握矩陣的運算及其運算規(guī)律.3一、矩陣的定義與記號一、矩陣的定義與記號第一節(jié)第一節(jié) 矩陣矩陣1.定義定義 由由 個數(shù)個數(shù)nm ), 2 , 1;, 2 , 1(njmiaij 排成的排成的 行行 列的數(shù)表列的數(shù)表mnmnmmnnaaaaaaaaa212222111211稱為稱為 行行 列矩陣列矩陣，簡稱，簡稱 矩陣矩陣.mnnm 為表示這為表示這個數(shù)表是一個整體，總是加一個括弧，并用大寫黑個數(shù)表是一個整體，總是加一個括弧，并用大寫黑體字母表示它，記作體字母表示它，記作4 mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211這這 個數(shù)稱為個數(shù)稱為矩陣矩陣 的元

3、素的元素，簡稱為元，數(shù)，簡稱為元，數(shù) 位于矩陣的第位于矩陣的第 行第行第 列，稱為矩陣的列，稱為矩陣的 元元.nm Aijaij),(ji以以數(shù)數(shù) 為為 元的矩陣可簡記作元的矩陣可簡記作 或或 .ija),(ji)(ijanmija )(nm 矩陣矩陣 也記作也記作A.nmA 注意注意（1）矩陣的記號是在數(shù)表外加上括弧，與行列式）矩陣的記號是在數(shù)表外加上括弧，與行列式的記號（在數(shù)表外加上雙豎線）是不同的，這是兩的記號（在數(shù)表外加上雙豎線）是不同的，這是兩個不同的概念，注意區(qū)別個不同的概念，注意區(qū)別.（2）矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定相等）矩陣的行數(shù)和列數(shù)不一定相等.5二、小結二、小結v在線性代數(shù)里，

4、矩陣是一個主要工具，也是在線性代數(shù)里，矩陣是一個主要工具，也是 一個主要的研究對象一個主要的研究對象.v1850年由西爾維斯特（年由西爾維斯特（Sylvester）首先提出矩陣首先提出矩陣 的概念的概念v矩陣的應用十分廣泛：自然科學、工程技術、社矩陣的應用十分廣泛：自然科學、工程技術、社 會科學等許多領域。如在觀測、導航、機器人的會科學等許多領域。如在觀測、導航、機器人的 位移、化學分子結構的穩(wěn)定性分析、密碼通訊、位移、化學分子結構的穩(wěn)定性分析、密碼通訊、 模糊識別，以及計算機層析模糊識別，以及計算機層析X射線照相術等方面，射線照相術等方面， 都有廣泛的應用都有廣泛的應用v1858年卡萊（年卡

5、萊（A. Cayley）建立了矩陣運算規(guī)則建立了矩陣運算規(guī)則6一、矩陣的加減法一、矩陣的加減法第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的運算矩陣的運算1. 定義定義 兩個兩個同為同為 的矩陣相加（減）后得一的矩陣相加（減）后得一 矩陣，其元素為兩矩陣矩陣，其元素為兩矩陣對應元素對應元素的和（差）的和（差）.nm nm ,)(nmijaA ,)(nmijbB nmijijbaBA )(nmijijbaBA )(特別注意特別注意只有兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才只有兩個矩陣是同型矩陣時，這兩個矩陣才能進行加（減）法能進行加（減）法.7例如例如 102526151522,102030121720BA BA 4232

6、27 054322BA20455682. 矩陣的加減法矩陣的加減法_運算規(guī)則運算規(guī)則交換律交換律：ABBA 結合律結合律：)()(CBACBA 設矩陣設矩陣 記記),(ijaA )(ijaA A 稱為矩陣稱為矩陣 的的負矩陣負矩陣.A)( BABA AOAAO OAAAA )( 9二、矩陣與數(shù)的乘法（矩陣的數(shù)乘）二、矩陣與數(shù)的乘法（矩陣的數(shù)乘）1. 定義定義nmijaA )(nmijkakA )( mnmmnnkakakakakakakakaka212222111211 階矩陣階矩陣 與一個數(shù)與一個數(shù) 相乘后得一相乘后得一 矩陣，其元素為原矩陣對應元素乘以這個數(shù)矩陣，其元素為原矩陣對應元素乘以

7、這個數(shù).nm knm A記作記作.AkkA或或說明說明AaAij )()1(矩陣矩陣 的負矩陣；的負矩陣；A )(ijkkE 純量矩陣純量矩陣. 10例如例如 AB4 102030121720A4 80 68 484080120112.矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘_運算規(guī)則運算規(guī)則)()(AA AAA )( BABA )( AA 1 OA 0 說明說明 矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘合起來，統(tǒng)稱為矩陣的加法與矩陣的數(shù)乘合起來，統(tǒng)稱為 矩陣的線性運算矩陣的線性運算.12三、矩陣與矩陣的乘法（矩陣的乘法）三、矩陣與矩陣的乘法（矩陣的乘法）1.概念的引入概念的引入某家電公司向三個商店發(fā)送四種產品的數(shù)量如下表某家電公

8、司向三個商店發(fā)送四種產品的數(shù)量如下表空調空調冰箱冰箱29彩電彩電 25彩電彩電甲商店甲商店30205020乙商店乙商店07100丙商店丙商店50405050 505040500107020502030A13 這四種產品的售價（單位：百元）及重量（單位：這四種產品的售價（單位：百元）及重量（單位：千克）如下千克）如下售價售價重量重量空調空調3040冰箱冰箱163029彩電彩電223025彩電彩電1820 2018302230164030B問：該公司向每個商店出售產品的總售價及總重量問：該公司向每個商店出售產品的總售價及總重量分別是多少？分別是多少？14 C甲商店甲商店乙商店乙商店丙商店丙商店售價

9、售價 重量重量1820225016203030 26802020305030204030 3700332 51041405700AB 505040500107020502030A 2018302230164030B152.定義定義.ABC 定義如下：定義如下：,)(smijaA ,)(nsijbB 若若,)(nmijcABC 則則其中其中sjisjijiijbababac 2211.1 skkjikba設設 是一個是一個 矩陣，矩陣，Asm B是一個是一個ns 矩矩陣，陣， 與與 的乘積是一個的乘積是一個 矩陣矩陣 ，記作，記作ABCnm ), 2 , 1;, 2 , 1(njmi 說明：說明

10、： 的的 元元 就是就是 的第的第 行元素與行元素與 的的第第 列元素對應乘積之和列元素對應乘積之和.C),(jiijcABij16特別注意特別注意_乘積不可交換乘積不可交換 可乘的前提是可乘的前提是 的的列列數(shù)等于數(shù)等于 的的行行數(shù)數(shù).ABAB 乘積乘積一般一般不可以交換，不可以交換，AB1） 為為 矩陣，但矩陣，但 無意義；無意義；,3112 BAAB32 BA2）,2332 BAAB為為和和BA均有意義，但均有意義，但AB2階矩陣，階矩陣，BA為為3階矩陣，不相等；階矩陣，不相等；3） 010111010201010111010101若若,BAAB 則稱矩陣則稱矩陣 乘積可交換乘積可交換

11、.BA、17例題例題例例5 求矩陣求矩陣與與的乘積的乘積 20121301A 431102311014B.AB解解 析：析： 是是 矩陣，矩陣， 是是 矩陣，矩陣， 的列數(shù)等的列數(shù)等于于 的行數(shù)，所以矩陣的行數(shù)，所以矩陣 與與 可以相乘可以相乘.A42 B34 AABB AB32 20121301 43110231101418例題例題例例5 求矩陣求矩陣與與的乘積的乘積 20121301A 431102311014B.AB解解 析：析： 是是 矩陣，矩陣， 是是 矩陣，矩陣， 的列數(shù)等的列數(shù)等于于 的行數(shù)，所以矩陣的行數(shù)，所以矩陣 與與 可以相乘可以相乘.A42 B34 AABB AB32 9

12、 20121301 43110231101419例題例題例例5 求矩陣求矩陣與與的乘積的乘積 20121301A 431102311014B.AB解解 析：析： 是是 矩陣，矩陣， 是是 矩陣，矩陣， 的列數(shù)等的列數(shù)等于于 的行數(shù)，所以矩陣的行數(shù)，所以矩陣 與與 可以相乘可以相乘.A42 B34 AABB AB32 92 431102311014 2012130120例題例題例例5 求矩陣求矩陣與與的乘積的乘積 20121301A 431102311014B.AB解解 析：析： 是是 矩陣，矩陣， 是是 矩陣，矩陣， 的列數(shù)等的列數(shù)等于于 的行數(shù)，所以矩陣的行數(shù)，所以矩陣 與與 可以相乘可以相

13、乘.A42 B34 AABB AB32 92 1 9911 20121301 43110231101421例例6 求矩陣求矩陣與與的乘積的乘積 及及 2142A 6342BAB.BA解解 AB 2142 6342 16 32 816 BA 6342 2142 0 00 0說明說明 此例不僅表明矩陣的乘法不滿足交換律，而此例不僅表明矩陣的乘法不滿足交換律，而且還表明矩陣的乘法不滿足消去律，即且還表明矩陣的乘法不滿足消去律，即1）若若, 0 AB, 0 A且且不能推出不能推出;0 B2）若若, 0)( YXA, 0 A且且不能推出不能推出.YX 22矩陣的乘法矩陣的乘法_運算規(guī)則運算規(guī)則 )()(

14、BCABCA CABAACB )(為數(shù)為數(shù) ),()()(BABAAB ,)(ACABCBA ,nmAEAAEAnm 矩陣矩陣對任意對任意 .AEAEA 或簡寫成或簡寫成 純量矩陣與方陣的乘積純量矩陣與方陣的乘積 )()()()(kEAEAkkAEAkAkEnnnnn 說明說明 第五條規(guī)則表明，純量矩陣與方陣都是第五條規(guī)則表明，純量矩陣與方陣都是可交換的可交換的23方陣的冪方陣的冪定義定義設是階方陣，定義設是階方陣，定義AnAA 1112AAA 11AAAkk 說明說明 此定義表明，此定義表明， 就是就是 個個 連乘，并且顯然，連乘，并且顯然，只有方陣，它的冪才有意義只有方陣，它的冪才有意義.

15、kAkA運算規(guī)則運算規(guī)則為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中klklkAAA kllkAA )( 特別注意特別注意 kAB)(kkBA一般來說，一般來說， 與與 不相等不相等.24方陣的多項式方陣的多項式設設mmaaaa 2210)(稱為稱為方陣方陣 的的 次多項式次多項式.)(A Am 為數(shù)為數(shù) 的的 次多次多項式，記項式，記 m同一個方陣的兩個矩陣多項式是可交換的：同一個方陣的兩個矩陣多項式是可交換的：設設 是是 的兩個多項式，則的兩個多項式，則)()(AgAf、A)()()()(AfAgAgAf mmAaAaAaEaA 2210)( 由此可知，方陣的多項式可以像數(shù)的多項式一樣由此可知，方陣的多項式可

16、以像數(shù)的多項式一樣分解因式分解因式. 如如EAAAf32)(2 )(3(EAEA 25)()(2BABABA BBAABA)()( 22BABBAA )()(2BABABA BBAABA)()( 22BABBAA BBAABABABA)()()( 22BABBAA 說明說明 當當 與與 可交換時，有類似與數(shù)的乘法公式可交換時，有類似與數(shù)的乘法公式.AB 與與 為同階方陣：為同階方陣：AB265. 行矩陣與列矩陣的乘積行矩陣與列矩陣的乘積 nnbbbaaa2121),( 設設iniinnbabababa 12211 nnaaabbb,2121 則則 nnnnnnababababababababa

17、b21222121211127四、矩陣的轉置四、矩陣的轉置1. 定義定義 把矩陣把矩陣 的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣，的行換成同序數(shù)的列得到一個新矩陣，叫做叫做 的轉置矩陣，記作的轉置矩陣，記作 .即即ATAA,)(nmijaA 若若,)(mnijTbA 則則其中其中,jiijab ., 2 , 1;, 2 , 1mjni 例如例如則的轉置矩陣為則的轉置矩陣為23 TA021113 設矩陣設矩陣,113021 A282. 對稱矩陣對稱矩陣n設設 為為 階方陣，如果滿足階方陣，如果滿足 ，即，即nijaA)( AAT njiaajiij, 2 , 1, 那么那么 稱為對稱矩陣，簡稱對稱陣稱為

18、對稱矩陣，簡稱對稱陣.A例如例如AAT 對稱陣的特點是：對稱陣的特點是：它的元素以對角線為對稱軸，它的元素以對角線為對稱軸，對應相等對應相等.,5682603783102704 A293. 矩陣的轉置矩陣的轉置_運算規(guī)則運算規(guī)則 AATT )(TTTBABA )( 為數(shù)為數(shù)kkAkATT,)( TTTABAB )( 30例例8 已知已知,231102 A 102324171B求求.)(TAB解法解法1 AB 231102 102324171 0143 17 13 10 TAB)( 1031314170解法解法2 TTAB 131027241 213012 1031314170此例驗證了矩陣此例

19、驗證了矩陣的轉置運算規(guī)則的轉置運算規(guī)則4 TAB)(31五、方陣的行列式五、方陣的行列式1. 定義定義由由 階方陣階方陣 的元素所構成的行列式（各元素的位的元素所構成的行列式（各元素的位置不變），稱為置不變），稱為方陣方陣 的行列式的行列式，記作，記作 或或nAAA.det A特別注意特別注意方陣與行列式是兩個不同的概念，方陣是一個方陣與行列式是兩個不同的概念，方陣是一個數(shù)數(shù)表表，而行列式則是一個，而行列式則是一個數(shù)數(shù).方陣與它的行列式又是緊密相關的，行列式是方方陣與它的行列式又是緊密相關的，行列式是方陣確定的一個數(shù)，所以行列式可看作方陣的函數(shù)；陣確定的一個數(shù)，所以行列式可看作方陣的函數(shù)；同時

20、，行列式是方陣特性的重要標志同時，行列式是方陣特性的重要標志.322. 由由 確定確定 _運算規(guī)則運算規(guī)則AAdet;AAT ;,為數(shù)為數(shù) AAn .,同階方陣同階方陣與與BABAAB 證明證明注意注意222112121111222112121111222221211212111122211211222112112222212112121111bbbabaaabababababababbbbaaaababababa BABA )1nijkakA)( 但但nnnAkkA )2)3BAAB 但但BABAAB 332. 2. 有關概念有關概念實矩陣與復矩陣：實矩陣與復矩陣： 元素是實數(shù)的矩陣稱為元素

21、是實數(shù)的矩陣稱為實矩陣實矩陣，元素是復數(shù)的矩陣稱為元素是復數(shù)的矩陣稱為復矩陣復矩陣；除特別說明外，都；除特別說明外，都指實矩陣指實矩陣.行矩陣（行向量）：行矩陣（行向量）：只有一行的矩陣，記作只有一行的矩陣，記作),(21naaaA 列矩陣（列向量）：列矩陣（列向量）： 只有一列的矩陣，記作只有一列的矩陣，記作 mbbbB21 矩陣矩陣n 1 矩陣矩陣1 m34方陣：方陣： 行數(shù)與列數(shù)都等于行數(shù)與列數(shù)都等于 的矩陣稱為的矩陣稱為 階矩陣階矩陣或或 階方陣階方陣.nnnn階矩陣階矩陣 也記作也記作A.nA同型矩陣同型矩陣: 兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時，兩個矩陣的行數(shù)相等、列數(shù)也相等時， 就稱它們是就稱它們是同型矩陣同型矩陣.矩陣相等：矩陣相等： 如果如果 與與 是是同型矩陣同型矩陣，并且它們的對應元素相等，即并且它們的對應元素相等，即)(ijaA )(ijbB ), 2 , 1;, 2 , 1(njmibaijij 那么就稱那么就稱矩陣矩陣 與矩陣與矩陣 相等相等，記作，記作AB.BA 35三、幾個特殊矩陣三、幾個特殊矩陣單位矩陣（單位陣）：從左上角到右下角的直線單位矩陣（單位陣）：從左上角到右下角的直線 100010001)(ijE （叫做（主）對角線）上的