2022年必修二點(diǎn)直線平面知識(shí)點(diǎn)

1、學(xué)習(xí)好資料歡迎下載點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系一、直線與平面位置關(guān)系高考考試內(nèi)容及考試要求：考試內(nèi)容：1、平面及其基本性質(zhì)；2、平行直線；對(duì)應(yīng)邊分別平行的角；異面直線所成的角；異面直線的公垂線；異面直線的距離；3、直線和平面平行的判定與性質(zhì)；直線和平面垂直的判定與性質(zhì)；點(diǎn)到平面的距離；斜線在平面上的射影；直線和平面所成的角；三垂線定理及其逆定理；4、平行平面的判定與性質(zhì)；平行平面間的距離；二面角及其平面角；兩個(gè)平面垂直的判定與性質(zhì)；二、空間中的平行關(guān)系課標(biāo)要求：1平面的基本性質(zhì)與推論借助長(zhǎng)方體模型，在直觀認(rèn)識(shí)和理解空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間線、面位置關(guān)系的定義，并了解如下可以作為

2、推理依據(jù)的公理和定理：公理 1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)；公理 2：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面；公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線；公理 4：平行于同一條直線的兩條直線平行；定理：空間中如果兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。2空間中的平行關(guān)系以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面平行、垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；一個(gè)平面內(nèi)的兩條相

3、交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行；通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)該直線的任一個(gè)平面與此平面的交線與該直線平行；兩個(gè)平面平行，則任意一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交所得的交線相互平行；垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行要點(diǎn)精講：1平面的性質(zhì)（1）平面的兩個(gè)特征：無(wú)限延展平的（沒(méi)有厚度）無(wú)邊界（2）平面的畫(huà)法：通常畫(huà)平行四邊形來(lái)表示平面精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載（3）平面的表示：用一個(gè)小寫(xiě)的希臘字母、 、等表示，

4、如平面、平面；用表示平行四邊形的兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的字母表示，如平面ac 。2三公理三推論：公理 1：如果一條直線上有兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)。用符號(hào)表示：,al bl abl公理 2：經(jīng)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論一：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外的一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。推論二：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面。推論三：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面。公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線。用符號(hào)表示為：,pplpl且且3空間中兩直線位置關(guān)系: （1）空間兩條直線有且僅有三種位置關(guān)系：異面直線： 1）定義：不同在任何一

5、個(gè)平面內(nèi)的兩條直線異面直線（skew lines） ；2）判定定理：連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面內(nèi)不過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線。其圖形與符號(hào)語(yǔ)言如下：精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載注： 異面直線的畫(huà)法常用的有下列三種：異面直線所成的角：1）范圍：(0 ,90 ；2）作異面直線所成的角：平移法。如下圖，在空間任取一點(diǎn)o，過(guò) o 作, aa bb，則, a b所成的 角為異面直線a,b 所成的角。特別地，找異面直線所成的角時(shí)，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條

6、異面直線的特殊點(diǎn)（如線段中點(diǎn)，端點(diǎn)等）上，形成異面直線所成的角。（2）平行直線：在平面幾何中，平行于同一條直線的兩條直線互相平行，這個(gè)結(jié)論在空間也是成立的。公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。（平行線的傳遞公理） ，其符號(hào)表述：,ab bcac（3）定理（等角定理） ：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。4空間中直線與平面的位置關(guān)系（1）直線在平面內(nèi)（有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)）；（2）直線和平面相交（有且只有一個(gè)公共點(diǎn)）；（3）直線和平面平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）其中，直線與平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外。它們的圖形分別可表示為如下，符號(hào)分別可表示為,/ /aaa a。a

7、bababbabao精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行。符號(hào)表示為：,/ababa圖形表示為：線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行。符號(hào)表示為：/,/aabab。圖形表示為：5空間兩平面的位置關(guān)系有兩種：兩平面相交（有一條公共直線）、兩平面平行（沒(méi)有公共點(diǎn)）（1）兩平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面

8、平行，那么這兩個(gè)平面平行。符號(hào)表示為：,/ /,/ / /ababp ab推論：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線，那么這兩個(gè)平面互相平行。符號(hào)表示為：,/,/abp ababp abaa bb（2）兩平面平行的性質(zhì)定理：（1）如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面； （2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。注： 證明兩平面平行的方法：（1）利用定義證明。利用反證法，假設(shè)兩平面不平行，則它們必相交，再導(dǎo)出矛盾。（2）判定定理：一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為線面平行則面面平行

9、。用符號(hào)表示是：ab，a ，b ，a，b，則 。（3）垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行。用符號(hào)表示是：a，a 則。（4）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面平行。/,/兩個(gè)平面平行的性質(zhì)有五條：（1）兩個(gè)平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任一直線必平行于另一個(gè)平面，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為：“面面平行，則線面平行” 。用符號(hào)表示是：，a ，則 a。（2）如果兩個(gè)平行平面同時(shí)與第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行，這個(gè)定理可簡(jiǎn)記為：“面面平行，則線線平行” 。用符號(hào)表示是：，=a，=b，則 ab。（3）一條直線垂直于兩平行平面中的一個(gè)平面，它也垂直于另一個(gè)平面。這個(gè)定理可用于證線面垂ab精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - -

10、- - - - - - - - - - - - 第 4 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載直。用符號(hào)表示是：， a，則 a 。（4）夾在兩個(gè)平行平面間的平行線段相等。（5）過(guò)平面外一點(diǎn)只有一個(gè)平面與已知平面平行。三、空間中的垂直關(guān)系課標(biāo)要求：以立體幾何的上述定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)、思辨論證，認(rèn)識(shí)和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定。通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則該直線與此平面垂直。 一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則兩個(gè)平面垂直。通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn)，歸納出以下性質(zhì)定理，并加以證明

11、：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。能運(yùn)用已獲得的結(jié)論證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題。要點(diǎn)精講：1線線垂直判斷線線垂直的方法：所成的角是直角，兩直線垂直；垂直于平行線中的一條，必垂直于另一條。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線垂直，那么它也和這條斜線的射影垂直。符號(hào)表示：注意：三垂線指pa，po，ao 都垂直 內(nèi)的直線 a 其實(shí)質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理要考慮a 的位置，并注意兩定理交替使用。2線面垂直定義：如果一條直線l 和

12、一個(gè)平面 相交，并且和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說(shuō)直線l 和平面 互相垂直。其中直線l 叫做平面的垂線， 平面叫做直線l 的垂面，直線與平面的交點(diǎn)叫做垂足。直線l 與平面 垂直記精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載作： l 。直線與平面垂直的判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直。直線和平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。3面面垂直兩個(gè)平面垂直的定義：相交成直二面角的兩個(gè)平面叫做互相垂直的平面。兩平面垂直的判定

13、定理：（線面垂直面面垂直）一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。兩平面垂直的性質(zhì)定理：（面面垂直線面垂直）兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直。附注： 垂直和平行涉及題目的解決方法須熟練掌握兩類相互轉(zhuǎn)化關(guān)系：四、空間中的夾角和距離（拓展）要點(diǎn)精講：1距離空間中的距離是立體幾何的重要內(nèi)容，其內(nèi)容主要包括：點(diǎn)點(diǎn)距，點(diǎn)線距，點(diǎn)面距，線線距，線面距，面面距。其中重點(diǎn)是點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距以及兩異面直線間的距離（1）兩條異面直線的距離兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長(zhǎng)度，叫做兩條異面直線的距離；求法：如果知道兩條異面直線的公垂線，那么就轉(zhuǎn)化成求公垂線段的長(zhǎng)

14、度。（2）點(diǎn)到平面的距離平面外一點(diǎn)p 在該平面上的射影為p，則線段pp的長(zhǎng)度就是點(diǎn)到平面的距離；求法：1“一找精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載二證三求”，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。2 等體積法。（3）直線與平面的距離：一條直線和一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離；（4）平行平面間的距離：兩個(gè)平行平面的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做兩個(gè)平行平面的距離。求距離的一般方法和步驟：應(yīng)用各種距離之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系和“平行移動(dòng)”的思想方法，把所求的距離轉(zhuǎn)

15、化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距或點(diǎn)面距求之，其一般步驟是：找出或作出表示有關(guān)距離的線段；證明它符合定義；歸到解某個(gè)三角形若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計(jì)算求之。異面直線上兩點(diǎn)間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為 ，它們的公垂線aa的長(zhǎng)度為d ，在 a 上有線段ae m ，b 上有線段af n ，那么2222cosefdmnmn（ “”符號(hào)由實(shí)際情況選定）2夾角空間中的各種角包括異面直線所成的角，直線與平面所成的角和二面角，要理解各種角的概念定義和取值范圍，其范圍依次為(0， 90、0， 90和0， 180。（1）兩條異面直線所成的角求法：1先通過(guò)其中一條直線或者兩條直線的平移

16、，找出這兩條異面直線所成的角，然后通過(guò)解三角形去求得；2 通過(guò)兩條異面直線的方向量所成的角來(lái)求得，但是注意到異面直線所成角得范圍是2,0(，向量所成的角范圍是,0，如果求出的是鈍角，要注意轉(zhuǎn)化成相應(yīng)的銳角。（2）直線和平面所成的角求法： “一找二證三求” ，三步都必須要清楚地寫(xiě)出來(lái)。除特殊位置外，主要是指平面的斜線與平面所成的角，根據(jù)定義采用“射影轉(zhuǎn)化法”。（3）二面角的度量是通過(guò)其平面角來(lái)實(shí)現(xiàn)的解決二面角的問(wèn)題往往是從作出其平面角的圖形入手，所以作二面角的平面角就成為解題的關(guān)鍵。通常的作法有： （）定義法； （）利用三垂線定理或逆定理；（）自空間一點(diǎn)作棱垂直的垂面，截二面角得兩條射線所成的角

17、，俗稱垂面法此外，當(dāng)作二面角的平面角有困難時(shí)，可用射影面積法解之，cosss，其中 s 為斜面面積，s為射影面積， 為斜面與射影面所成的二面角。3等角定理如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等。推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等。附注： 空間的角和距離是空間圖形中最基本的數(shù)量關(guān)系，空間的角主要研究射影以及與射影有關(guān)的定理、精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載空間兩直線所成的角、直線和

18、平面所成的角、以及二面角和二面角的平面角等。解這類問(wèn)題的基本思路是把空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題去解決。1空間的角，是對(duì)由點(diǎn)、直線、平面所組成的空間圖形中各種元素間的位置關(guān)系進(jìn)行定量分析的一個(gè)重要概念，由它們的定義，可得其取值范圍，如兩異面直線所成的角 (0，2)，直線與平面所成的角 0,2，二面角的大小，可用它們的平面角來(lái)度量，其平面角 (0，)。對(duì)于空間角的計(jì)算，總是通過(guò)一定的手段將其轉(zhuǎn)化為一個(gè)平面內(nèi)的角，并把它置于一個(gè)平面圖形，而且是一個(gè)三角形的內(nèi)角來(lái)解決，而這種轉(zhuǎn)化就是利用直線與平面的平行與垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此求這些角的過(guò)程也是直線、平面的平行與垂直的重要應(yīng)用通過(guò)空間角的計(jì)算和應(yīng)用進(jìn)一步培養(yǎng)運(yùn)

19、算能力、邏輯推理能力及空間想象能力（1）求異面直線所成的角，一般是平移轉(zhuǎn)化法。方法一是在異面直線中的一條直線上選擇“特殊點(diǎn)”，作另一條直線的平行線；或過(guò)空間任一點(diǎn)分別作兩異面直線的平行線，這樣就作出了兩異面直線所成的角，構(gòu)造一個(gè)含的三角形，解三角形即可。方法二是補(bǔ)形法：將空間圖形補(bǔ)成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角。（2）求直線與平面所成的角，一般先確定直線與平面的交點(diǎn)（斜足），然后在直線上取一點(diǎn)（除斜足外）作平面的垂線，再連接垂足和斜足（即得直接在平面內(nèi)的射影），最后解由垂線、斜線、射影所組成的直角三角形，求出直線與平面所成的角。（3）求二面角，一般有直接法和間接法兩

20、種。所謂直接法求二面角，就是作出二面角的平面角來(lái)解。其中有棱二面角作平面角的方法通常有：根據(jù)定義作二面角的平面角；垂面法作二面角的平面角；利用三垂線定理及其逆定理作二面角的平面角；無(wú)棱二面角先作出棱后同上進(jìn)行。間接法主要是投影法：即在一個(gè)平面上的圖形面積為s， 它在另一個(gè)平面上的投影面積為s， 這兩個(gè)平面的夾角為 ， 則 s=scos 。如求異面直線所成的角常用平移法（轉(zhuǎn)化為相交直線）；求直線與平面所成的角常利用射影轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角；而求二面角l 的平面角（記作）通常有以下幾種方法：(1) 根據(jù)定義；(2) 過(guò)棱 l 上任一點(diǎn)o 作棱 l 的垂面，設(shè) oa， ob，則 aob (圖 1)

21、；(3) 利用三垂線定理或逆定理，過(guò)一個(gè)半平面內(nèi)一點(diǎn) a，分別作另一個(gè)平面的垂線 ab(垂足為 b),或棱 l 的垂線 ac(垂足為 c)，連結(jié) ac，則 acb或 acb (圖 2)；(4) 設(shè) a 為平面外任一點(diǎn)， ab，垂足為b，ac ，垂足為c，則 bac 或 bac (圖3)；(5) 利用面積射影定理，設(shè)平面內(nèi)的平面圖形f 的面積為s，f 在平面內(nèi)的射影圖形的面積為s，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁(yè)，共 9 頁(yè) - - - - - - - - -學(xué)習(xí)好資料歡迎下載則 cos ss. 2空間的距離問(wèn)題，主要是求空間兩點(diǎn)之間、點(diǎn)到直線、點(diǎn)到平面、兩條異面直線之間（限于給出公垂線段的） 、平面和它的平行直線、以及兩個(gè)平行平面之間的距離。求距離的一