2022年數(shù)學(xué)解題技巧解析幾何新題型

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載第七講解析幾何新題型【考點透視】一直線和圓的方程1理解直線的斜率的概念，掌握過兩點的直線的斜率公式，掌握直線方程的點斜式、兩點式、一般式，并能根據(jù)條件熟練地求出直線方程2掌握兩條直線平行與垂直的條件，兩條直線所成的角和點到直線的距離公式，能夠根據(jù)直線的方程判斷兩條直線的位置關(guān)系3了解二元一次不等式表示平面區(qū)域4了解線性規(guī)劃的意義，并會簡單的應(yīng)用5了解解析幾何的基本思想，了解坐標(biāo)法6掌握圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和一般方程，了解參數(shù)方程的概念，理解圓的參數(shù)方程二圓錐曲線方程1掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單幾何性質(zhì)2掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的簡單幾何性質(zhì)3掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方

2、程和拋物線的簡單幾何性質(zhì)4了解圓錐曲線的初步應(yīng)用【例題解析】考點 1.求參數(shù)的值求參數(shù)的值是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,構(gòu)造方程解之. 例 1若拋物線22ypx的焦點與橢圓22162xy的右焦點重合，則p的值為（）a2b2c4d4考查意圖 : 本題主要考查拋物線、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線、橢圓的基本幾何性質(zhì). 解答過程：橢圓22162xy的右焦點為 (2,0) ，所以拋物線22ypx的焦點為 (2,0) ，則4p，故選 d. 考點 2. 求線段的長求線段的長也是高考題中的常見題型之一,其解法為從曲線的性質(zhì)入手,找出點的坐標(biāo),利用距離公式解之 . 例 2已知拋物線y-x2+3

3、 上存在關(guān)于直線x+y=0 對稱的相異兩點a、b，則 |ab| 等于精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載a.3 b.4 c.32d.42考查意圖 : 本題主要考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系和距離公式的應(yīng)用. 解：設(shè)直線ab的方程為yxb，由22123301yxxxbxxyxb，進(jìn)而可求出ab的中點11(,)22mb，又由11(,)22mb在直線0 xy上可求出1b，220 xx，由弦長公式可求出221 114( 2)3 2ab故選 c 例 3如圖，把橢圓2212516x

4、y的長軸ab分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于1234567,p p p p p p p七個點，f是橢圓的一個焦點，則1234567pfpfpfpfpfpfpf_. 考查意圖 : 本題主要考查橢圓的性質(zhì)和距離公式的靈活應(yīng)用.解答過程：由橢圓2212516xy的方程知225,5.aa12345677277535.2apfpfpfpfpfpfpfa故填 35. 考點 3. 曲線的離心率曲線的離心率是高考題中的熱點題型之一,其解法為充分利用: (1)橢圓的 離心率 eac(0,1) ( e 越大則橢圓越扁); (2) 雙曲線的 離心率 eac (1, ) (e 越大則雙曲線開口越大

5、). 結(jié)合有關(guān)知識來解題. 例 4已知雙曲線的離心率為2，焦點是( 4,0)，(4,0)，則雙曲線方程為a221412xyb221124xyc221106xyd221610 xy考查意圖 :本題主要考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念. 解答過程：2,4,ceca所以22,12.ab故選 (a). 小結(jié) : 對雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的離心率以及焦點等基本概念，要注意認(rèn)真掌握.尤其精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載對雙曲線的焦點位置和雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程

6、中分母大小關(guān)系要認(rèn)真體會. 例 5已知雙曲線9322yx,則雙曲線右支上的點p 到右焦點的距離與點p 到右準(zhǔn)線的距離之比等于（）a. 2b.332c. 2 d.4 考查意圖 : 本題主要考查雙曲線的性質(zhì)和離心率 eac(1, ) 的有關(guān)知識的應(yīng)用能力.解答過程：依題意可知3293,322baca考點 4.求最大 (小)值求最大 (小 )值, 是高考題中的熱點題型之一.其解法為轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題或利用不等式求最大 (小)值 :特別是 ,一些題目還需要應(yīng)用曲線的幾何意義來解答. 例 6 已知拋物線y2=4x,過點 p(4,0) 的直線與拋物線相交于a(x1,y1),b(x2,y2)兩點，則 y12

7、+y22的最小值是 . 考查意圖 : 本題主要考查直線與拋物線的位置關(guān)系，以及利用不等式求最大(小)值的方法 .解:設(shè)過點 p(4,0) 的直線為224 ,8164 ,yk xkxxx122222222122284160,8414416 232.k xkxkkyyxxkk故填 32. 考點 5 圓錐曲線的基本概念和性質(zhì)圓錐曲線第一定義中的限制條件、圓錐曲線第二定義的統(tǒng)一性，都是考試的重點內(nèi)容，要能夠熟練運用；常用的解題技巧要熟記于心. 例 7在平面直角坐標(biāo)系xoy 中,已知圓心在第二象限、半徑為 22的圓 c 與直線 y=x 相切于坐標(biāo)原點 o.橢圓9222yax=1 與圓 c 的一個交點到橢

8、圓兩焦點的距離之和為10. （1）求圓 c 的方程；（2）試探究圓c 上是否存在異于原點的點q，使 q 到橢圓右焦點f 的距離等于線段of的長 .若存在，請求出點q 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 考查目的 本小題主要考查直線、橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運算的能力和解決問題的能力精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載解答過程 (1) 設(shè)圓 c 的圓心為(m, n) 則,222,mnn解得2,2.mn所求的圓的方程為22(2)(2)8xy(

9、2) 由已知可得210a，5a橢圓的方程為221259xy, 右焦點為f( 4, 0) ; 假設(shè)存在q 點22 2 cos ,22 2sin使qfof, 22222 cos4222 sin4整理得si n3 c os22， 代入22sincos1得:210cos12 2cos70, 122812222cos11010因此不存在符合題意的q 點. 例 8如圖 ,曲線 g 的方程為)0(22yxy.以原點為圓心，以)0(tt為半徑的圓分別與曲線g 和 y 軸的正半軸相交于a 與點 b. 直線 ab 與 x 軸相交于點c. （）求點a 的橫坐標(biāo)a 與點c 的橫坐標(biāo) c 的關(guān)系式；（）設(shè)曲線g 上點

10、d 的橫坐標(biāo)為2a,求證：直線cd 的斜率為定值 . 考查目的 本小題綜合考查平面解析幾何知識，主要涉及平面直角坐標(biāo)素中的兩點間距離公式、直線的方程與斜率、拋物線上的點與曲線方程的關(guān)系，考查運算能力與思維能力，綜合分析問題的能力. 解答過程 （i）由題意知，).2,(aaa因為.2,|22taatoa所以由于.2,02aatt故有（1）由點 b（0， t） ， c（ c，0）的坐標(biāo)知，直線bc 的方程為.1tycx又因點 a 在直線 bc 上，故有, 12taca將（ 1）代入上式，得, 1)2(2aaaca解得)2(22aac. 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - -

11、 - - - - - - 第 4 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載（ii）因為)2(22(aad，所以直線cd 的斜率為1)2(2)2(2) )2(22(2)2(22)2(2aaaaaacaakcd，所以直線 cd 的斜率為定值. 例 9已知橢圓2222xye :1(ab0)ab，ab 是它的一條弦，m(2,1)是弦 ab 的中點，若以點m(2,1)為焦點，橢圓 e 的右準(zhǔn)線為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線c 和直線 ab 交于點n(4,1)，若橢圓離心率e 和雙曲線離心率1e之間滿足1ee1，求：（1）橢圓 e 的離心率；（2）雙曲線c 的方程 . 解答過程：（ 1）設(shè)

12、 a、b 坐標(biāo)分別為1122a(x ,y ),b(x , y )，則221122xy1ab，222222xy1ab，二式相減得：21212ab21212yy(xx )bkxx(yy )a2mn22b1( 1)k1a24，所以2222a2b2(ac )，22a2c ，則c2ea2；（2）橢圓 e 的右準(zhǔn)線為22a(2c)x2ccc，雙曲線的離心率11e2e，設(shè)p(x, y)是雙曲線上任一點，則：22(x2)(y1)|pm |2|x2c| x2c |，兩端平方且將n(4,1)代入得：c1或c3，當(dāng)c1時，雙曲線方程為：22(x2)(y1)0，不合題意，舍去；當(dāng)c3時，雙曲線方程為：22(x10)(

13、y1)32，即為所求 . 小結(jié)： （1） “點差法”是處理弦的中點與斜率問題的常用方法；（2）求解圓錐曲線時，若有焦點、準(zhǔn)線，則通常會用到第二定義. 考點 6 利用向量求曲線方程和解決相關(guān)問題利用向量給出題設(shè)條件，可以將復(fù)雜的題設(shè)簡單化，便于理解和計算. 典型例題：例 10雙曲線c 與橢圓22184xy有相同的焦點，直線y=x3為 c 的一條漸近線. (1)求雙曲線c 的方程；精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載(2)過點 p(0,4) 的直線l， 交雙曲線 c 于

14、a,b 兩點，交 x 軸于 q 點 （q 點與 c 的頂點不重合） .當(dāng)12pqqaqb，且3821時，求 q 點的坐標(biāo) . 考查意圖 : 本題考查利用直線、橢圓、雙曲線和平面向量等知識綜合解題的能力,以及運用數(shù)形結(jié)合思想 ,方程和轉(zhuǎn)化的思想解決問題的能力. 解答過程：（）設(shè)雙曲線方程為22221xyab, 由橢圓22184xy,求得兩焦點為( 2,0),(2,0)，對于雙曲線:2c c，又3yx為雙曲線c的一條漸近線3ba解得221,3ab，雙曲線c的方程為2213yx（）解法一：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零. 設(shè)l的方程：114,(,)ykxa xy，22(,)b xy,則4(,0

15、)qk. 1pqqa,11144(, 4)(,)xykk. 111111114444()44xkkxkkyy11(,)a x y在雙曲線c上，2121111616()10k. 222211161632160.3kk2221116(16)32160.3kk同理有：2222216(16)32160.3kk若2160,k則直線l過頂點，不合題意.2160,k12,是二次方程22216(16)32160.3kxxk的兩根 . 122328163k,24k，此時0,2k. 所求q的坐標(biāo)為( 2,0). 解法二：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - -

16、 - - - - - - - 第 6 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載設(shè)l的方程，11224,(,),(,)ykxa xyb xy，則4(,0)qk. 1pqqa，q分pa的比為1. 由定比分點坐標(biāo)公式得1111111111144(1)14401xxkkyy下同解法一解法三：由題意知直線l的斜率k存在且不等于零設(shè)l的方程：11224,(,),(,)ykxa xyb xy，則4(,0)qk. 12pqqaqb，111222444(, 4)(,)(,)xyxykkk. 11224yy，114y，224y，又1283，121123yy,即12123()2yyy y

17、. 將4ykx代入2213yx得222(3)244830kyyk. 230k，否則l與漸近線平行. 212122224483,33kyyy ykk. 222244833233kkk.2k( 2,0)q. 解法四： 由題意知直線l 得斜率 k 存在且不等于零，設(shè)l的方程：4ykx，1122(,),(,)a x yb xy,則4(,0)qk1pqqa,11144(, 4)(,)xykk. 1114444kkxxk.同理1244kx. 1212448443kxkx. 即2121225 ()80k x xk xx. （*）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

18、- - 第 7 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載又22413ykxyx消去 y 得22(3)8190kxkx. 當(dāng)230k時，則直線l 與雙曲線得漸近線平行，不合題意，230k. 由韋達(dá)定理有：12212283193kxxkx xk代入（ *）式得24,2kk. 所求 q 點的坐標(biāo)為( 2,0). 例 11設(shè)動點 p 到點 a(l，0)和 b(1，0)的距離分別為d1和 d2，apb 2 ,且存在常數(shù) (01,使得 d1d2 sin2（1）證明：動點p 的軌跡 c 為雙曲線，并求出c 的方程；（2）過點 b 作直線交雙曲線c 的右支于m、n 兩點 ,試確定

19、的范圍 , 使omon 0,其中點 o 為坐標(biāo)原點考查目的 本小題主要考查直線、雙曲線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進(jìn)行推理運算的能力和解決問題的能力解答過程 解法 1： （1）在pab中，2ab，即222121222cos 2ddd d，2212124()4sinddd d，即2121244sin2 12ddd d（常數(shù)），點p的軌跡c是以ab，為焦點，實軸長22 1a的雙曲線方程為：2211xy（2）設(shè)11()m xy，22()n xy，當(dāng) mn 垂直于x軸時，mn的方程為1x，(11)m，(11)n ，在雙曲線上即2111511012，因為01，所以512當(dāng)mn不垂直于x

20、軸時，設(shè)mn的方程為(1)yk x精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載由2211(1)xyyk x得：2222(1)2(1)(1)()0kxk xk，由題意知：2(1)0k，所以21222(1)(1)kxxk，2122(1)()(1)kx xk于是：22212122(1)(1)(1)ky ykxxk因為0onom，且mn，在雙曲線右支上，所以2121222122212(1)0(1)5121011231001x xy ykxxkx x由知，51223解法 2： （1）同

21、解法1 （2）設(shè)11()m xy，22()n xy，mn的中點為00()e xy，當(dāng)121xx時，221101mb，因為 01，所以512；當(dāng)12xx時，002222212111111yxkyxyxmn又001mnbeykkx所以22000(1) yxx；由2mon得222002mnxy，由第二定義得2212()222mne xxa22000111(1)211xxx所以222000(1)2(1)(1)yxx于是由22000222000(1),(1)2(1)(1) ,yxxyxx得20(1).23x因為01x，所以2(1)123，又01，解得：51223由知51223考點 7 利用向量處理圓錐曲

22、線中的最值問題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載cbaoyx利用向量的數(shù)量積構(gòu)造出等式或函數(shù)關(guān)系，再利用函數(shù)求最值的方法求最值，要比只利用解析幾何知識建立等量關(guān)系容易. 例 12設(shè)橢圓e 的中心在坐標(biāo)原點o，焦點在x 軸上，離心率為33，過點 c( 1,0) 的直線交橢圓 e 于 a、b 兩點， 且 ca2bc，求當(dāng)aob的面積達(dá)到最大值時直線和橢圓e 的方程.解答過程：因為橢圓的離心率為33，故可設(shè)橢圓方程為222x3yt(t0) ，直線方程為myx1，由222x

23、3ytmyx1得：22(2m3)y4my2t0，設(shè)1122a(x ,y ), b(x ,y )，則1224myy2m3又 ca2bc，故1122(x1,y )2( 1x ,y )，即12y2y由得：128my2m3，224my2m3，則aob1221ms| yy |6 |22m366322| m|m|，當(dāng)23m2，即6m2時，aob 面積取最大值，此時2122222t32my y2m3(2m3)，即t10，所以，直線方程為6xy102，橢圓方程為222x3y10. 小結(jié)：利用向量的數(shù)量積構(gòu)造等量關(guān)系要比利用圓錐曲線的性質(zhì)構(gòu)造等量關(guān)系容易. 例 13已知pa(x5, y)，pb(x5, y)，且

24、| pa | pb |6，求| 2x3y12|的最大值和最小值 . 解答過程：設(shè)p(x, y)，a(5,0)，b(5,0)，因為 |pa | pb|6，且|ab |256，所以，動點p 的軌跡是以a、b 為焦點，長軸長為6 的橢圓，橢圓方程為22xy194，令x3cos ,y2sin，則|2x3y12 |62 cos()12|4，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載當(dāng)cos()14時，| 2x3y12|取最大值126 2，當(dāng)cos()14時，|2x3y12 |取最小

25、值126 2. 小結(jié)：利用橢圓的參數(shù)方程，可以將復(fù)雜的代數(shù)運算化為簡單的三角運算. 考點 8 利用向量處理圓錐曲線中的取值范圍問題解析幾何中求變量的范圍，一般情況下最終都轉(zhuǎn)化成方程是否有解或轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題 . 例 14 （2006 年福建卷）已知橢圓2212xy的左焦點為f，o 為坐標(biāo)原點 . （i）求過點o、f，并且與橢圓的左準(zhǔn)線l相切的圓的方程；（ii）設(shè)過點f 且不與坐標(biāo)軸垂直的直線交橢圓于a、b 兩點，線段 ab 的垂直平分線與x軸交于點g，求點 g 橫坐標(biāo)的取值范圍. 考查意圖 :本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解

26、題能力. 解答過程：（ i）222,1,1,( 1,0), :2.abcflx圓過點 o、f，圓心 m 在直線12x上. 設(shè)1(, ),2mt則圓半徑13()( 2).22r由,omr得2213(),22t解得2.t所求圓的方程為2219()(2).24xy（ii）設(shè)直線ab 的方程為(1)(0),yk xk代入221,2xy整理得2222(12)4220.kxk xk直線 ab 過橢圓的左焦點f，方程有兩個不等實根. 記1122(,),(,),a x yb xyab中點00(,),n xy則21224,21kxxkab的垂直平分線ng 的方程為001().yyxxkxylgabfo精品學(xué)習(xí)資

27、料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載fepdbaoyx令0,y得222002222211.21212124210,0,2ggkkkxxkykkkkkx點 g 橫坐標(biāo)的取值范圍為1(,0).2例 15已知雙曲線c：2222xy1(a0,b0)ab，b 是右頂點， f 是右焦點，點a 在 x 軸正半軸上，且滿足| oa |,| ob |,| of |成等比數(shù)列，過f 作雙曲線c 在第一、三象限的漸近線的垂線l，垂足為p，（1）求證： pa oppa fp；（2）若l與雙曲線c 的

28、左、 右兩支分別相交于點d,e ，求雙曲線c 的離心率e 的取值范圍 . 解答過程：（ 1）因|oa |,| ob |,| of |成等比數(shù)列，故22|ob |a|oa |c| of|，即2aa(,0)c，直線l：ay(xc)b，由2ay(xc)aabbp(,)bccyxa，故：22abaabbabpa(0,),op(,),fp(,)ccccc，則：222a bpa oppa fpc，即pa oppa fp；（或pa (opfp)pa (pfpo)pa of0，即pa oppa fp）（2）由44422222222222222ay(xc)aaa c(b)x2cx(a b )0bbbbb xa

29、ya b，由4222212422a c(a b )bx x0abb得：4422222babcaae2e2.（或由dfdokkabba22222bcaae2e2）小結(jié)： 向量的數(shù)量積在構(gòu)造等量關(guān)系中的作用舉足輕重，而要運用數(shù)量積，必須先恰當(dāng)?shù)厍缶穼W(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 12 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載出各個點的坐標(biāo). 例 16已知a(x,0)，b(1,y)，(a3b)(a3b)，（ 1）求點p(x, y)的軌跡 c 的方程；（ 2）若直線ykxm(m0)與曲線 c 交于 a、b 兩點，d(

30、0,1)，且|ad | |bd |，試求 m 的取值范圍 . 解答過程：（ 1）a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，a3b(x,0)3(1,y)(x3,3y)，因(a3b)(a3b)，故(a3b) (a3b)0，即22(x3,3y) (x3,3y)x3y30，故 p 點的軌跡方程為22xy13. （2）由22ykxmx3y3得：222(13k )x6kmx3m30，設(shè)1122a(x ,y ), b(x ,y )，a、b 的中點為00m(x,y )則22222(6km)4(13k )( 3m3)12(m13k )0，1226kmxx13k，1202xx3kmx213k，002mykxm1

31、3k，即 a、b 的中點為223kmm(,)13k13k，則線段 ab 的垂直平分線為：22m13kmy()(x)13kk13k，將d(0,1)的坐標(biāo)代入，化簡得：24m3k1，則由222m13k04m3k1得：2m4m0，解之得m0或m4，又24m3k11，所以1m4，故 m 的取值范圍是1(,0)(4,)4. 小結(jié)：求變量的范圍，要注意式子的隱含條件，否則會產(chǎn)生增根現(xiàn)象. 考點 9 利用向量處理圓錐曲線中的存在性問題精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 13 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載pqcba

32、xyo存在性問題， 其一般解法是先假設(shè)命題存在，用待定系數(shù)法設(shè)出所求的曲線方程或點的坐標(biāo)，再根據(jù)合理的推理，若能推出題設(shè)中的系數(shù)，則存在性成立，否則，不成立. 例 17已知 a,b,c 是長軸長為4 的橢圓上的三點，點a 是長軸的一個頂點，bc 過橢圓的中心 o，且ac bc0，| bc|2 |ac |，（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上的兩點p,q 使pcq的平分線垂直于oa ，是否總存在實數(shù)，使得pq ab？請說明理由；解答過程：（ 1）以 o 為原點， oa 所在直線為x 軸建立平面直角坐標(biāo)系，則a(2,0)，設(shè)橢圓方程為222xy14b，不妨設(shè) c 在 x 軸上方，由橢圓的對稱性，|

33、bc | 2 | ac |2|oc |ac | | oc |，又ac bc0acoc，即 oca為等腰直角三角形，由a(2,0)得：c(1,1)，代入橢圓方程得：24b3，即，橢圓方程為22x3y144；（2）假設(shè)總存在實數(shù)，使得pq ab，即ab/ pq，由c(1,1)得b(1, 1)，則ab0( 1)1k2( 1)3，若設(shè) cp ：yk(x1)1，則 cq ：yk(x1)1，由22222x3y1(13k )x6k(k1)x3k6k1044yk(x1)1，由c(1,1)得x1是方程222(13k )x6k(k1)x3k6k10的一個根，由韋達(dá)定理得：2pp23k6k1xx113k，以k代 k

34、 得2q23k6k1x13k，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 14 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載故pqpqpqpqpqyyk(xx )2k1kxxxx3，故ab/ pq，即總存在實數(shù)，使得pq ab. 評注：此題考察了坐標(biāo)系的建立、待定系數(shù)法、橢圓的對稱性、向量的垂直、向量的共線及探索性問題的處理方法等，是一道很好的綜合題. 考點 10 利用向量處理直線與圓錐曲線的關(guān)系問題直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般情況下， 是把直線的方程和曲線的方程組成方程組，進(jìn)一步來判斷方程組的解的情況，但要注意判別式的

35、使用和題設(shè)中變量的范圍. 例 18設(shè) g、m 分別是abc的重心和外心，a(0,a)，b(0,a)(a0)，且gmab，（ 1）求點 c 的軌跡方程；（ 2）是否存在直線m ，使m 過點(a, 0)并且與點c的軌跡交于p、 q 兩點，且op oq0？若存在，求出直線m 的方程；若不存在，請說明理由. 解答過程：（ 1）設(shè)c(x, y)，則xyg(,)3 3，因為gmab，所以gm/ ab，則xm(,0)3，由 m 為abc的外心，則|ma | |mc |，即2222xx()a(x)y33，整理得：2222xy1(x0)3aa；（2）假設(shè)直線m 存在，設(shè)方程為yk(xa)，由2222yk(xa)

36、xy1(x0)3aa得：22222(13k )x6k ax3a (k1)0，設(shè)1122p(x ,y ),q(x,y )，則21226k axx13k，221223a (k1)x x13k，22212121212y yk ( xa) ( xa )k x xa ( xx )a 2222k a13k，由op oq0得：1212x xy y0，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 15 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載即2222223a (k1)2k a013k13k，解之得k3，又點(a,0)在橢圓的內(nèi)部，直線

37、m 過點(a,0)，故存在直線m，其方程為y3(xa). 小結(jié)：（1）解答存在性的探索問題，一般思路是先假設(shè)命題存在，再推出合理或不合理的結(jié)果，然后做出正確的判斷；（ 2）直線和圓錐曲線的關(guān)系問題，一般最終都轉(zhuǎn)化成直線的方程和圓錐曲線的方程所組成的方程組的求解問題. 【專題訓(xùn)練與高考預(yù)測】一、選擇題1如果雙曲線經(jīng)過點(6,3)，且它的兩條漸近線方程是1yx3，那么雙曲線方程是（）a22xy1369b22xy1819c22xy19d22xy11832已知橢圓2222xy13m5n和雙曲線2222xy12m3n有公共的焦點，那么雙曲線的的漸近線方程為（）a.15xy2b. 15yx2c. 3xy4

38、d. 3yx43已知12f,f為橢圓2222xy1(ab0)ab的焦點， m 為橢圓上一點，1mf垂直于 x 軸，且12fmf60，則橢圓的離心率為（）a.12b.22c.33d.324二次曲線22xy14m，當(dāng)m 2, 1時，該曲線的離心率e 的取值范圍是（）a.23,22b. 35,22c.56,22d. 36,225直線 m 的方程為 ykx1，雙曲線c 的方程為22xy1，若直線m 與雙曲線c 的右支相交于不重合的兩點，則實數(shù)k 的取值范圍是（）a.(2,2)b.(1,2)c.2,2)d.1,2)6已知圓的方程為22xy4，若拋物線過點a(1,0)，b(1,0)，且以圓的切線為準(zhǔn)線，則

39、拋物線的焦點的軌跡方程為（）精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 16 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載f2f1a2a1pnmoyxa. 22xy1(y0)34b. 22xy1(y0)43c. 22xy1(x0)34d. 22xy1(x0)43二、填空題7 已 知p 是 以1f、2f為 焦 點 的 橢 圓)0( 12222babyax上 一 點 ， 若021pfpf21tan21fpf，則橢圓的離心率為_ . 8已知橢圓x2+2y2=12 ，a 是 x 軸正方向上的一定點，若過點a，斜率為1 的直線被橢圓

40、截得的弦長為3134，點 a 的坐標(biāo)是 _ . 9p 是橢圓22xy143上的點，12f ,f是橢圓的左右焦點，設(shè)12|pf | |pf |k，則 k 的最大值與最小值之差是_ . 10給出下列命題：圓22(x2)(y1)1關(guān)于點 m(1,2)對稱的圓的方程是22(x3)(y3)1；雙曲線22xy1169右支上一點p 到左準(zhǔn)線的距離為18， 那么該點到右焦點的距離為292；頂點在原點，對稱軸是坐標(biāo)軸，且經(jīng)過點( 4,3)的拋物線方程只能是29yx4； p、q 是橢圓22x4y16上的兩個動點，o 為原點，直線op,oq 的斜率之積為14，則22|op|oq | 等于定值20 . 把你認(rèn)為正確的

41、命題的序號填在橫線上_ . 三、解答題11已知兩點a(2,0)，b(2,0)，動點 p 在 y 軸上的射影為q，2pa pb2pq ，（ 1）求動點p 的軌跡 e 的方程；（ 2）設(shè)直線 m 過點 a，斜率為 k，當(dāng)0k1時，曲線 e 的上支上有且僅有一點c 到直線 m 的距離為2，試求 k 的值及此時點c 的坐標(biāo) . 12 如圖，1f ( 3,0) ，2f (3,0) 是雙曲線c 的兩焦點， 直線4x3是雙曲線 c 的右準(zhǔn)線，12a ,a是雙曲線c 的兩個頂點，點p 是雙曲線c 右支上異于2a的一動點，直線1a p、2a p交雙曲線 c 的右準(zhǔn)線分別于m,n 兩點，精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d

42、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 17 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載bamqethpoyxfqoyx（1）求雙曲線c 的方程；（2）求證：12fm f n是定值 . 13已知ofq的面積為s，且of fq1，建立如圖所示坐標(biāo)系，（1）若1s2，| of|2，求直線fq 的方程；（2）設(shè)|of|c(c2)，3sc4，若以 o 為中心， f 為焦點的橢圓過點q，求當(dāng)|oq |取得最小值時的橢圓方程. 14已知點h(3,0)，點 p 在 y 軸上，點q 在 x 軸的正半軸上，點m 在直線 pq 上，且滿足hp pm0，3pmmq

43、2，（1）當(dāng)點 p 在 y 軸上移動時，求點m 的軌跡 c；（2）過點t( 1,0)作直線m 與軌跡c 交于 a、b 兩點，若在x 軸上存在一點0e(x ,0)，使得abe為等邊三角形，求0 x的值 . 15已知橢圓)0(12222babyax的長、短軸端點分別為a、 b，從此橢圓上一點m 向 x軸作垂線，恰好通過橢圓的左焦點1f，向量 ab與om是共線向量 （1）求橢圓的離心率e；（2）設(shè) q 是橢圓上任意一點，1f、2f分別是左、右焦點，求21qff的取值范圍；16已知兩點 m（ -1，0） ，n（1，0）且點 p 使npnmpnpmmnmp,成公差小于零的等差數(shù)列，（）點 p 的軌跡是什

44、么曲線？（）若點p 坐標(biāo)為),(00yx，為pnpm 與的夾角，求tan【參考答案】精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 18 頁，共 23 頁 - - - - - - - - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載一. 1 c .提示，設(shè)雙曲線方程為11(xy)(xy)33，將點(6,3)代入求出即可 . 2 d .因為雙曲線的焦點在 x軸上，故橢圓焦點為22( 3m5n ,0) ，雙 曲線焦點為22(2m3n ,0)， 由22223m5 n2 m3n得| m |2 2 |n |， 所 以 ， 雙 曲 線 的 漸 近 線 為6 |n |3yx2| m|4 .

45、 3c .設(shè)1| mf | d，則2| mf |2d，12|ff |3d，1212|ff |c2c3d3ea2a|mf |mf |d2d3 . 4.c . 曲線為雙曲線，且512，故選 c；或用2a4，2bm來計算 . 5b .將兩方程組成方程組，利用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系建立不等式組. 6b .數(shù)形結(jié)合，利用梯形中位線和橢圓的定義. 二.7解： 設(shè) c 為為橢圓半焦距，021pfpf，21pfpf . 又21tan21fpf212)2(122122221pfpfapfpfcpfpf解得：255()93,cceaa選 d8 解： 設(shè) a（x0，0） （x00） ，則直線l的方程為 y=x-x0

46、，設(shè)直線l與橢圓相交于p（x1，y1） ，q（x2、 y2） ，由y=x-x0 可得 3x2-4x0 x+2x02-12=0 ，x2+2y2=12 34021xxx，31222021xxx，則20202021221212363234889164)(|xxxxxxxxx|13144212xxx，即202363223144xx02=4，又 x00， x0=2， a（2，0） 91；22212k|pf | | pf |(aex)(aex)ae x . 10 . 精品學(xué)習(xí)資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 19 頁，共 23 頁 - - - - - -

47、- - -學(xué)習(xí)必備歡迎下載三. 11解（1）設(shè)動點 p 的坐標(biāo)為(x, y)，則點q(0, y)，pq(x,0)，pa(2x,y)，pb(2x,y)，22pa pbx2y，因為2pa pb2pq，所以222x2y2x，即動點 p 的軌跡方程為：22yx2；（2）設(shè)直線 m：yk(x2)(0k1)，依題意，點c 在與直線m 平行，且與m 之間的距離為2的直線上，設(shè)此直線為1m : ykxb，由2|2kb|2k1，即2b2 2kb2，把ykxb代入22yx2，整理得：222(k1)x2kbx(b2)0，則22224k b4(k1)(b2)0，即22b2k2，由得：2 5k5，10b5，此時，由方程

48、組222 510yxc(22,10)55yx2 . 12解： （1）依題意得：c3，2a4c3，所以a2，2b5，所求雙曲線c 的方程為22xy145；（2）設(shè)00p(x ,y )，11m(x ,y )，22n(x ,y )，則1a ( 2,0)，2a (2,0)，100a p(x2,y )，200a p(x2,y )，1110a m(,y )3，222a n(,y )3，因為1a p與1a m共線，故01010(x2)yy3，01010yy3(x2)， 同理：0202yy3(x2)，則1113fm(,y )3，225f n(,y )3，所以12fm f n1265y y9202020y6599(x4)20205(x4)206541099(x4) . 13解： （1）因為|of | 2，則f(2 ,0)，of(2,0)，設(shè)00q(x