自適應(yīng)第五章自校正控制(一)

1、第五章 自校正控制（一）概述： 控制對象 參數(shù)估計(jì)器控制器參數(shù)計(jì)算 控制器擾動自校正調(diào)節(jié)器自校正調(diào)節(jié)器結(jié)構(gòu)圖適用：結(jié)構(gòu)已知的離散隨機(jī)系統(tǒng)參數(shù)形式：未知而恒定 緩慢變化組成：參數(shù)估計(jì)器：( )( )u ky k根據(jù)、觀測序列估計(jì)對象控制器：( )y k修正參數(shù)性能指標(biāo)控制作用u(k)控制作用u(k)( )u k( )y k性能指標(biāo)形式： 最小方差（目標(biāo)函數(shù)）：系統(tǒng)的輸出方差達(dá)到最小。極點(diǎn)配置：保證實(shí)際的閉環(huán)系統(tǒng)的零極點(diǎn)收斂于一組期望的 零極點(diǎn)。參數(shù)估計(jì)方法： 遞推最小二乘法 極大似然法實(shí)際：最小方差+遞推最小二乘（Astrom、Wittermark）缺點(diǎn)：不適用于非最小相位。修正方案：控制加權(quán)（

2、Clark）和廣義最小方差自校正。5.1 最小方差自校正控制對象模型：111() ( )() ()() ( )A qy kB qu kmC qe k111()1nnA qa qa q 其中：11010()0nnB qbbqb qb111()1nnC qc qc q ( )0E e k2隨機(jī)序列e(k)為同分布、零均值，獨(dú)立隨機(jī)變量，其方差為(常數(shù)) ( ) ( )E e i e j22( ),E e iij ( ) ( )0,E e i E e jij11()()mqB qA q11()()C qA q( )x k( )u k( )y k( )e k最小方差自校正控制的基本思想：1,K、假定u

3、(k)0,根據(jù)在k時(shí)刻已測得的y(0),y(1),y(k)來預(yù)報(bào)(k+m)時(shí)刻的y(k+m Y ),即預(yù)報(bào)隨機(jī)擾動x(k+m)。(控制滯后m個采用周期，對輸出提前m步預(yù)報(bào)關(guān)鍵)2、根據(jù)預(yù)報(bào)輸出計(jì)算適當(dāng)?shù)目刂谱饔胾(k)，補(bǔ)償由隨機(jī)擾動在(k+m)時(shí)刻對輸出的影響。控制器最小方差控制圖一、最小方差預(yù)報(bào)律2、預(yù)報(bào)律是y(k),y(k-1), 的線性函數(shù)。提法：1、最優(yōu)性判據(jù)取穩(wěn)態(tài)預(yù)報(bào)的方差為最小。11()()A qC q-1已知：、B(q )、為穩(wěn)定多項(xiàng)式。11()()()()C qy kme kmA q( )0u k 令，得：11()()C qA q-1可展開成q 的無窮級數(shù)，右邊可展開成：線性

4、組合, (1)e k e(k+m),e(k+m-1), (0)ee(k),e(k-1),KY與獨(dú)立KY與不獨(dú)立KY其中：=y(k),y(k-1), ,y(0)11()1()C qA qKK、任務(wù)：把e(k+m)分解成與Y 獨(dú)立和與Y 不獨(dú)立兩部分。11111()()()()()mC qqE qD qA qA q令：11111()1mmD qd qdq 其中：（首1多項(xiàng)式）111011()nnE qee qeq （非首1多項(xiàng)式）1()1D qm：商，階。1()mqE q：余式。1()1E qn：階11212()1A qa qa q 舉例：設(shè)11212()1C qc qc q (2)n 12,()

5、mmD qq-1若用長除法求商和余式E(q )1212121211a qa qc qc q112121a qa q121122()()ca qca q111()ca q12311111211()()()ca qa ca qa ca q2322111211()()()caa caqa ca q1()(11D qm -111=1+(c -a )q階)21()q E q1122111211()()()()(11)E qcaa caa ca qn 階2111()() (2)(2)()q E qD qe ke kA qy(k+2)11(2)() (1)e kca e k11()( )()E qe kA

6、q, (1)Ke kYe(k+m),e(k+m-1),線性組合，與獨(dú)立, (0)KeYe(k),e(k-1),線性組合，與不獨(dú)立分解后：111()()() ()()()mE qy kmD qe kmqe kmA qKY與獨(dú)立KY與不獨(dú)立11()( )0,( )( )()A qu ke ky kC q由模型得：11111()()()() ()( )()()E qA qy kmD qe kmy kA qC q111()() ()( )()E qD qe kmy kC q()y km kK令為基于觀測Y 對輸出y(k+m)的預(yù)報(bào)估計(jì)。()y km k是( )(1)y ky k 、 的線性函數(shù)。()k

7、m ky km k令預(yù)報(bào)誤差：y()=y(k+m)-2、任務(wù)：找到一個線性函數(shù)，使預(yù)報(bào)誤差的方差最小。2() km ky km k2Ey()=Ey(k+m)-1121()() ()( )() ()E qED qe kmy ky km kC q11221111()() () ( )() ()()2 () ()( )()()E qED qe kmEy ky km kC qE qE D qe kmy ky km kC q1() ()KD qe kmY-1-1E(q )與獨(dú)立，即與y(k)獨(dú)立。C(q )()y km kK為Y 線性組合。1() ()D qe km與y(k+m k)獨(dú)立。111()2

8、() () ( )()()E qE D qe km Ey ky km kC q后一項(xiàng)111()2() () ( )()()E qD qE e km Ey ky km kC q0121221() () () () ( )() ()E qE y km kED qe kmEy ky km kC q最小方差預(yù)報(bào)律：11()()( )()E qy km ky kC q1()() ()y km kD qe km最小預(yù)報(bào)誤差：最小預(yù)報(bào)誤差方差：212 () () () E y km kED qe km2222121(1)mddd1111()()()()mC qA qD qqE q代入恒等式：1212111c

9、caad-1-2-1-2-1-2-101q + q(q +q )(1+ q )+q (e +e q )聯(lián)立：111cad2112ca da0+e210a d1+e111dca21112()ca caa0e211()a ca 1e11212()11(2)A qaaccn -1-2-1-1-2舉例：設(shè)q +q C(q )=q + q 1101()1(11)(11)D qdmeen -1-1-1若m=2,令q階 E(q )=q階1()D q-1求解、E(q )的方法： 長除法。 令恒等式兩邊q-1各次冪的系數(shù)相等，聯(lián)立方程組。12111122111(cca da daa d -1-2-1-2-301

10、q + q+)q +(+e )q +(+e )q二、最小方差控制律提法：1、最優(yōu)性判據(jù)為輸出方差最小。2(1)(2)u ku k、容許控制律u(k)是y(k),y(k-1),和，的線性函數(shù)?？刂坪蛿_動共同作用：11111()()()()()mC qqE qD qA qA q 代入，得11111()()()() ()( )( )()()E qB qy kmD qe kme ku kA qA q111() ( )() ( )() ( )mA qy kqB qu kC qe k由模型得：代入，得：111111111()()()()()() ()( )( )( )()()()()mA qB qE qB

11、 qy kmD qe kmy kqu ku kC qC qA qA q1111()()()( )()()()B qC qy kmu ke kmA qA q1111()()( )( )( )()()mA qB qe ky kqu kC qC q111111111()()()()()() ()( )( )( )()()()()mA qB qE qB qy kmD qe kmy kqu ku kC qC qA qA q111111111()() ()()() () ( )( )()() ()()mB qB qE qE qD qe kmqu ky kA qC qA qC q111111()()()()

12、()()mB qC qE qqC qA qA q第二項(xiàng)系數(shù)111()()()B qD qC q111111()()()()() ()( )( )()()E qB qD qy kmD qe kmy ku kC qC q(預(yù)測模型方程)2 () ()E y kmy km(假定輸出量設(shè)定值為零，則為的方差)111212211()()()()() () ( )( ) ()()E qB qD qE ykmED qe kmEy ku kC qC q111111()()()2 () ()( )( )()()E qB qD qE D qe kmy ku kC qC q求容許控制律使輸出方差最小：1112122

13、11()()()()() () ( )( ) ()()E qB qD qE ykmED qe kmEy ku kC qC q111111()()()2 () ()( )( )()()E qB qD qE D qe kmy ku kC qC q最小方差控制律（令第二項(xiàng)為0）：111()( )( )()()E qu ky kB qD q 輸出量的最小方差：22222121()(1)mE ykmddd控制誤差：1()()() ()y kmy kmD qe km11()(1)(1)me kmd e kmde k注意：輸出控制誤差等于其預(yù)報(bào)誤差。最小方差控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖11()()mqB qA q11()

14、()C qA q( )x k( )u k( )y k( )e k111()()()E qB qD q例：已知某動態(tài)系統(tǒng)可用以下差分方程描述：111() ( )() ()() ( )A qy kB qu kmC qe k112()1 1.70.2A qqq 其中：11()10.5B qq 112()1 1.50.9C qqq ( )(0,1)e kN為白噪聲序列分別求傳輸延時(shí)m=1，m=2時(shí)的最小方差控制律、輸出控制誤差和輸出最小方差。解： m=1時(shí)11()10()_D qmD q ：階，首1，則11():11()_E qnE q 階，非首1，設(shè)1111()()()()mC qA qD qqE

15、q恒等式：121211011 1.50.9(1 1.70.7)()qqqqqee q 1101ee q得方程組：01.51.7e 10.90.7e0_e 1_e 3.20.2最小方差控制律：111()( )( )()()E qu ky kB qD q 輸出量的最小方差：22( )1E yk輸出控制誤差：1( )() ( )( )y kD qe ke k113.20.2( )10.5qy kq 差分方程描述：( )0.5 (1)3.2 ( )0.2 (1)u ku ky ky k m=2時(shí)111()11()D qmD qq 1：階，首1，設(shè)1+d11101():11()E qnE qee q 階

16、，非首1，設(shè)1111()()()()mC qA qD qqE q恒等式：12121211011 1.50.9(1 1.70.7)(1)()qqqqd qqeeq 得方程組：11.51.7d100.90.71.7de110.70de05.64e 12.24e 13.2d ？最小方差控制律：111()( )( )()()E qu ky kB qD q 輸出量的最小方差：22221( )(1)13.211.24E ykd 輸出控制誤差：11( )() ( )(13.2) ( )y kD qe kqe k1125.642.24( )13.71.6qy kqq 差分方程：( )3.7 (1) 1.6 (

17、2)5.64 ( )2.24 (1)u ku ku ky ky k ( )3.2 (1)e ke k三、最小方差控制實(shí)質(zhì)1( )()( )y kW qe k傳函：1111111()()()()1()()()mC qA qB qE qqA qB qD q11111()()()()()mC qD qA qD qqE q111()()()C qD qC q1()D q1()B qhurwitz實(shí)質(zhì)：用控制器的極點(diǎn)對消對象的零點(diǎn)（要求：對象分子為）。1()B q缺點(diǎn)：對象分子多項(xiàng)式不穩(wěn)定（非最小相位）不能用此法。四、非最小相位系統(tǒng)的控制問題1()()()B q-1+-1-11、對進(jìn)行因子分解，令B(q

18、 )=B qB q解決方案：1()B q-分子有部分零點(diǎn)在單位圓外（不穩(wěn)定）()+-1B q：零點(diǎn)在單位圓內(nèi)的因子。()-1B q：零點(diǎn)在單位圓外的因子。()-1導(dǎo)出一個不包含B q在內(nèi)的控制律，使輸出方差有一個局部最小值。2、加權(quán)最小方差方案（廣義最小方差控制）222E yE yu性能指標(biāo)由最小改為最小。其中： 為加權(quán)系數(shù)22()( )E ykmuk即J=111111()()()()() ()( )( )()()E qB qD qy kmD qe kmy ku kC qC q其中：(預(yù)測模型)代入展開推導(dǎo)，得加權(quán)最小方差控制律：11110()( )( )()()()E qu ky kB qD

19、 qC qb 1101()()( )()( )()B qD qbu ku kC q其中：常數(shù)0注意：時(shí)轉(zhuǎn)化成一般最小方差控制律。加權(quán)最小方差控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖11()()mqB qA q11()()C qA q( )x k( )u k( )y k( )e k11110()()()()E qB qD qC qb閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：1111110() ()10 ()()() ()mqE qB qB qD qC qA qb11111110() ()()() ()() ()0mA qB qD qC qA qqE qB qb1111()()()()mA qD qC qqE q代入得：11111110() ()

20、()() ()() ()0mmB qC qqE qC qA qqE qB qb1110() ()()0C qB qA qb1110() ()()0C qB qA qb110() ()0C qB q如令，得一般最小方差控制律閉環(huán)特征方程：。1()B q比較： 有不穩(wěn)定零點(diǎn)，用最小方差控制律，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。 加權(quán)方案，看出根軌跡參數(shù)。110 ()()B qA qb零點(diǎn)10:()B q零點(diǎn)。1:()A q 零點(diǎn)。1:()A q向零點(diǎn)趨近。 適當(dāng)選擇，可使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。五、最小方差自校正調(diào)節(jié)器對象參數(shù)未知（遞推最小二乘）參數(shù)估計(jì)模型選擇不同顯式隱式最小方差自校正調(diào)節(jié)器1、顯式最小方差自校正調(diào)節(jié)器對象

21、模型：111() ( )() ()() ( )A qy kB qu kmC qe k111()1nnA qa qa q 其中：11010()0nnB qbbqb qb111()1nnC qc qc q 計(jì)算步驟：1. 采樣新觀測值y(k)和u(k)。1n0n1n2. 用遞推最小二乘法估計(jì)控制對象的參數(shù)a , ,a ;b , ,b ;c , ,c 。T12n01n1n=a a a b b b c c（未知參數(shù)向量）T(k-1)=-y(k-1) -y(k-2) -y(k-n) u(k-m) u(k-m-1) u(k-m-n) e(k-1) e(k-n)（觀測數(shù)據(jù)向量）111111()() ()()

22、()()mC qA qD qqE qD qE q3. 由恒等式計(jì)算和的系數(shù)。( )k(1)k( ) ( )(1) (1)TK ky kkk（遞推公式）( )(1)( )(1) (1)TP kP kK kkP k1( )(1) (1)1(1) (1) (1)TK kP kkkP kk（加權(quán)矩陣）0(0)(0)()PI初值：，為足夠大的正數(shù)111()4.( )( )( )()()E qu ky ku kB qD q 由計(jì)算最優(yōu)控制。 當(dāng)采樣次數(shù)加1，即將kk+1,重復(fù)上述計(jì)算步驟。 控制對象 參數(shù)估計(jì)器( )u k( )y k( )e k111()()()E qB qD q11()()D qE q

23、、最小方差自校正調(diào)節(jié)器圖遞推最小二乘最小方差2、隱式最小方差自校正調(diào)節(jié)器不必辨識對象參數(shù)，直接辨識預(yù)測模型方程參數(shù)。預(yù)測模型方程：111111()()()()( )( )() ()()()E qB qD qy kmy ku kD qe kmC qC q1()() ()kmD qe km令1110111()()nnE qqqC q 11110111()()()n mn mB qD qqqC q 011011()( )(1)(1)( )(1)(1)()nn my kmy ky ky knu ku ku knmkm0將參數(shù)固定，則：011121Tnn mT(k)=y(k) y(k-1) y(k-n+

24、1) u(k-1) u(k-n-m+1)( )()Tkkm0()( )y kmu k遞推最小二乘估計(jì)公式：01( )u k ( ) ( )Tkk最小方差控制：( )(1)( )(1) (1)TP kP kK kkP k1( )(1) (1)1(1) (1) (1)TK kP kkkP kk(1)k( )k0( ) ()( )K ky kmu k( ) ( )Tkk計(jì)算步驟：1. 采樣新觀測值y(k+m)。2. 用遞推最小二乘法估計(jì)參數(shù) (k)。3.( )u k計(jì)算最小方差控制。當(dāng)采樣次數(shù)加1， 即將kk+1,重復(fù)上述計(jì)算步驟。( )()Tkkm0()( )y kmu k5.3 廣義最小方差自校

25、正控制器最小方差自校正調(diào)節(jié)器特點(diǎn)：r1. 參考輸入y (t)=0y(t)設(shè)定值=0。2. 控制信號u(t)無限制。跟蹤問題要求：rr1. y(t)跟蹤y (t)(y (t)0)。2. 對控制信號u(t)加一定的限制。提出廣義最小方差自校正控制（D.W.Clark）對象模型：111() ( )() ( )() ( )mA qy kqB qu kC qe k111()1nnA qa qa q 其中：1101()nnB qbbqb q111()1nnC qc qc q 11212 () ()()( )() ( ) rJEqy kmqy kqu k 指標(biāo)函數(shù)：11212 () ()()( )() (

26、) rJEqy kmqy kqu k 指標(biāo)函數(shù)：(JJuuu要求：尋求使J最小的u(t)(=0,)0)1()1n -1-1-n式中：qq +q01()n-1-1-nqq +q01()n-1-1-nqq +q（加權(quán)多項(xiàng)式）預(yù)測模型：111111()()()()( )( )() ()()()E qB qD qy kmy ku kD qe kmC qC q(Ju代入，令=0,推得：k)( )( )( )( )0rEEy kBDu kCy kC u k00b其中： ( )( )( )( )0rEy kBDu kCy kC u k( )( )( )rCy kEy ku kCBD最優(yōu)控制：( )( )Ju

27、 ku k2200可證明)=2(b +)0最優(yōu)控制時(shí)J最小。mqBACA( )x k( )u k( )y k()ek1CBD CEry+-廣義最小方差自校正控制器結(jié)構(gòu)圖一、閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性：1( )( )( )1111mrmmqBCCCBDAAy ky ke kqBqBEECBDACBDA 化簡得：( )() ( )( )()mrmqCBy kC CBD e ky kCBD AqB E ( )() ( )( )()mrmqCBy kC CBD e ky kCBD AqB E ()mB ADqEBC ( )() ( )( )()mrqCBy kC CBD e ky kC AB 閉環(huán)特征方程：()0

28、C AB 穩(wěn)定要求：-11. C穩(wěn)定(其零點(diǎn)在復(fù)平面單位圓內(nèi)， q1)。 2. =0C B=0；若B不穩(wěn)定，系統(tǒng)不穩(wěn)定。3. 合理選擇 、 ，可保證穩(wěn)定。111111()() ()()()()mC qA qD qqE qD qE q3. 由恒等式計(jì)算和的系數(shù)。( )( )4.( )( )rCy kEy ku ku kCBD 由計(jì)算最優(yōu)控制。 當(dāng)采樣次數(shù)加1，即將kk+1,重復(fù)上述計(jì)算步驟。1. 采樣新觀測值y(k)和u(k)。2. 用遞推最小二乘法估計(jì)控制對象的參數(shù)。二、廣義最小方差自校正控制算法顯式計(jì)算步驟（辨識對象參數(shù)）：隱式（直接辨識控制器參數(shù)）例：設(shè)系統(tǒng)差分方程為：111() ( )() ( )() ( )mA qy kqB