線性代數(shù)3-1-齊次方程組ppt課件

1、3.2 3.2 齊次線性方程組齊次線性方程組3.1 3.1 齊次線性方程組齊次線性方程組一、齊次線性方程組的基本概念一、齊次線性方程組的基本概念000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa稱為稱為n元齊次線性方程組。元齊次線性方程組。mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211系數(shù)系數(shù)矩陣矩陣nxxxx21OAx 方程組的方程組的矩陣形式矩陣形式(1)(2)(1)、(2)、(3)給出了齊次線性方程組的三種不同的形式，給出了齊次線性方程組的三種不同的形式，它們表示同一個線性方程組，解是相同的。它們表示同一個線性方程組，解是相同的。0

2、.2211nnxxx(3)若把系數(shù)矩陣若把系數(shù)矩陣A看作列向量看作列向量 組成的矩陣，組成的矩陣，則方程組則方程組(1)可表示為向量組合的形式：可表示為向量組合的形式：n,.,21若若 方程組方程組 與與 是同解的。是同解的。BA 0Ax0Bx而且：而且：TOx)0 , 0 , 0(000是方程組的解是方程組的解, 稱為零解或平凡解。稱為零解或平凡解。若非零向量若非零向量Tnnaaaaaa),(2121是方程組的解，則稱為非零解，是方程組的解，則稱為非零解，也稱為非零解向量。也稱為非零解向量。問題：除了零解外，有沒有其它的解？問題：除了零解外，有沒有其它的解？ 在什么條件下有非零解？在什么條件

3、下有非零解？ 當(dāng)齊次方程有非零解時，如何求出全部的解？當(dāng)齊次方程有非零解時，如何求出全部的解？顯然：顯然： 為了研究齊次線性方程組解集合的結(jié)構(gòu)，我們?yōu)榱搜芯魁R次線性方程組解集合的結(jié)構(gòu)，我們先來討論這些解的性質(zhì)，給出基礎(chǔ)解系的概念。先來討論這些解的性質(zhì)，給出基礎(chǔ)解系的概念。性質(zhì)性質(zhì)1：齊次方程組的兩個解的和和仍是方程組的解。即：也是解向量。是解向量，則2121,性質(zhì)性質(zhì)2：也是解向量。是解向量，則k二、齊次線性方程組解的性質(zhì)二、齊次線性方程組解的性質(zhì)注意：注意： 本性質(zhì)對有限多個解也成立本性質(zhì)對有限多個解也成立 由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量由以上兩個性質(zhì)可知，方程組的全體解向量所組成的

4、集合所組成的集合 ，則，則V對于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)對于加法和數(shù)乘運(yùn)算是封閉的，因此構(gòu)成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的成一個向量空間，稱此向量空間為齊次線性方程組的解空間解空間OAV因此因此: : 若若 為為 的解，則的解，則 21 x,x0Ax1 122xkk 0 Ax也是也是 的解的解. .則方程組的全則方程組的全若齊次方程組的解空間若齊次方程組的解空間V存在一組基存在一組基,21s部解就是部解就是,2211sskkk這稱為方程組的通解或一般解這稱為方程組的通解或一般解由此可見，要求方程組的全部解，只需求出其解空間的基。由此可見，要求方程組的全部解，只需求出其解空間

5、的基。定義：定義：若齊次方程組的有限個解,21s滿足：線性無關(guān)；si,)(21方程組的任一解都可由)(ii線性表示；s,21則稱礎(chǔ)解系。是齊次方程組的一個基s,21sskkk2211 也就是說，我們將解空間的基稱為基礎(chǔ)解系，此時，通解就是基礎(chǔ)解系的線性也就是說，我們將解空間的基稱為基礎(chǔ)解系，此時，通解就是基礎(chǔ)解系的線性組合，即為：組合，即為： 由此可見，求方程組由此可見，求方程組(1)解的關(guān)鍵就是求其基礎(chǔ)解系，進(jìn)而就可求出通解。解的關(guān)鍵就是求其基礎(chǔ)解系，進(jìn)而就可求出通解。三、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法三、齊次線性方程組基礎(chǔ)解系的求法1.行最簡形矩陣行最簡形矩陣：mnmmnnaaaaaaaaa

6、A212222111211設(shè)設(shè) r(A) =r n ,且不妨設(shè)且不妨設(shè)A 中最左上角的中最左上角的 r 階子式不為零。則經(jīng)有限次行初等變換，階子式不為零。則經(jīng)有限次行初等變換，矩陣矩陣 A 化為：化為：0000000000100010001)(1)(221)(111rnrrrnrnAccccccI顯然：顯然：AIA 同解。與OxIOAxA行最簡形OxIA為：為：000)(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxcxcxxcxcxxcxcx)()()()(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxcxcxxcxcxxcxcxrxxx,21真未知量真未

7、知量nrrxxx,21自由未知量自由未知量rxxx,21nrrxxx,21由自由未知量由自由未知量惟一確定惟一確定:,21基為個向量，最簡單的一組其基含有構(gòu)成一向量空間，）（rnxxxVnrrrneee,21顯然：顯然：,00121nrrxxx?。喝。?010100rxxx21,12111rccc,22212rccc)()(2)( 1rnrrnrncccTrncccxxx0 , 0 , 1,12111211Trnrrnrnnrncccxxx1 , 0 , 0,)()(2)(121線性無關(guān)；rni,)(21線性表示。任一解都可由rnii,)(21解向量：解向量：就是一組基礎(chǔ)解系。是解空間的一組基

8、，也rn,21怎么證明？怎么證明？下面證明下面證明 是齊次線性方程組解空是齊次線性方程組解空間的一個基間的一個基rn, 21 100,010,001由于由于 個個 維向量維向量rn rn 線性無關(guān)，線性無關(guān)，所以所以 個個 維向量維向量 亦線性無關(guān)亦線性無關(guān).rn nrn, 21.,) 1 (21線性無關(guān)證明rn.,2)( 21線線性性表表示示可可由由證證明明解解空空間間的的任任一一解解都都rn .11方方程程組組的的一一個個解解為為上上述述設(shè)設(shè)Tnrrx ,rn的的線線性性組組合合再再作作 21rnnrr 2211由于由于 是是 的解的解 故故 也是也是 的的解解.rn, 210 Ax 0

9、Ax,. 下面來證明下面來證明1111100rrcc 1222010rrcc 1,001n rr n rncc rnnrr 2211 nrrrcc 211,Ax的的解解都都是是方方程程與與由由于于0 又又等等價價于于而而0 Ax11111,11,rn rnrrrr n rnxc xcxxc xcx ,都都是是此此方方程程組組的的解解與與所所以以 nrrrcc 211 nrrr 211由由.c,crr 11方程組方程組. 故故.rnnrr 2211即即 所以所以 是齊次線性方程組解空間的一個基，是齊次線性方程組解空間的一個基，也就是一組基礎(chǔ)解系也就是一組基礎(chǔ)解系.rn, 1說明說明解空間的基不是

10、唯一的解空間的基不是唯一的,但所含向量個數(shù)相但所含向量個數(shù)相 等，都等于等，都等于 n - r(A).kkkxrnrn 22112若若 是是 的基礎(chǔ)解系，則的基礎(chǔ)解系，則其其通解通解為為 rn, 210 Ax.,21是任意常數(shù)是任意常數(shù)其中其中rnkkk 3當(dāng)當(dāng)r(A)=n 時方程組只有零解故沒有基礎(chǔ)解時方程組只有零解故沒有基礎(chǔ)解系此時解空間只含一個零向量為系此時解空間只含一個零向量為0維向量空間維向量空間., , ,)( 1111221121RxVxrnnrArkkkkkkkkkrnrnrnrnrnrnrn解空間可表示為為任意實(shí)數(shù)其中方程組的解可表示為此時基礎(chǔ)解系個向量的方程組必有含時當(dāng)綜上

11、有：綜上有：。數(shù)為礎(chǔ)解系所含解向量的個則它有基礎(chǔ)解系，且基，的秩組的系數(shù)矩陣定理：若齊次線性方程rnnrArA)(必須牢記必須牢記：基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為基礎(chǔ)解系所含向量的個數(shù)為 未知數(shù)個數(shù)減系數(shù)矩陣的秩。未知數(shù)個數(shù)減系數(shù)矩陣的秩。rnrnkkk2211系。是解空間的一組基礎(chǔ)解rn,21 推論推論1：對齊次線性方程組對齊次線性方程組 ，有，有 若若 r(A)=n 則方程組有惟一零解則方程組有惟一零解; 若若 r(A)=rn ，則方程組有無數(shù)多解，其通解為，則方程組有無數(shù)多解，其通解為110m nnmAx 000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxa

12、xaxa推論推論2：n 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式為零。為零。110n nnnAx 例例1：求方程組的通解：求方程組的通解07403202321321321xxxxxxxxx解：解：174132121A310310121122rr000310121000310501000310501323135xxxx同解方程組為同解方程組為 , 13x3521xx基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為T) 1 , 3 , 5(1通解為通解為Tkk) 1 , 3 , 5(1例例1：求方程組的通解：求方程組的通解07403202321321321xxxxxx

13、xxx解：解：174132121A00031050133323135xxxxxx或者將同解方程組為或者將同解方程組為 , 13x135321xxx基礎(chǔ)解系為基礎(chǔ)解系為T) 1 , 3 , 5(1通解為通解為Tkk) 1 , 3 , 5(1例例2：求方程組的通解：求方程組的通解032030432143214321xxxxxxxxxxxx321131111111A210042001111000021001111000021001011同解方程組為同解方程組為,0142xx,0131xxT)0 , 0 , 1 , 1 (1T) 1 , 2 , 0 , 1 (2基礎(chǔ)解系為：基礎(chǔ)解系為：2211kk通解

14、為1x3x42xx 42x1021例例2：求方程組的通解：求方程組的通解321131111111A000021001011同解方程組為同解方程組為T)0 , 0 , 1 , 1 (1T) 1 , 2 , 0 , 1 (2基礎(chǔ)解系為：基礎(chǔ)解系為：2211kk通解為4443224212xxxxxxxxx例例3 3 求齊次線性方程組求齊次線性方程組 0377, 02352, 0432143214321xxxxxxxxxxxx的基礎(chǔ)解系與通解的基礎(chǔ)解系與通解.解解,0000747510737201137723521111 A對系數(shù)矩陣對系數(shù)矩陣 作初等行變換，變?yōu)樾凶詈喚刈鞒醯刃凶儞Q，變?yōu)樾凶詈喚仃嚕?/p>

15、有陣，有A .7475,7372432431xxxxxx 便便得得,100143 及及令令xx,7473757221 及及對對應(yīng)應(yīng)有有xx,107473,01757221 即得基礎(chǔ)解系即得基礎(chǔ)解系).,( ,10747301757221214321Rccccxxxx 并由此得到通解并由此得到通解例例4 4 解線性方程組解線性方程組 076530230553203454321543215432154321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解解 76513123115531234111A對系數(shù)矩陣施對系數(shù)矩陣施行初等行變換行初等行變換00000000001311021201 , 3, 5,

16、2rnnrAr即方程組有無窮多解，即方程組有無窮多解， 其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量其基礎(chǔ)解系中有三個線性無關(guān)的解向量.54325431322xxxxxxxx代入 26220262201311034111 543xxx令令, 010, 001. 100所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為所以原方程組的一個基礎(chǔ)解系為, 001121 故原方程組的通解為故原方程組的通解為.kkkx332211 .k,k,k為任意常數(shù)為任意常數(shù)其中其中321,xx 1221依依次次得得. 12, 31, 010312 . 100123 0)3() 1(30) 1(02)3(321321321xxxxxxxxx例例5

17、5 求求 使使 有非有非0 解，并求其通解。解，并求其通解。對于含參數(shù)的方程組：對于含參數(shù)的方程組：方法一：行列式法，利用行列式為方法一：行列式法，利用行列式為0求參數(shù)。求參數(shù)。方法二：初等變換法，利用矩陣方法二：初等變換法，利用矩陣A的秩小于的秩小于n求參數(shù)。求參數(shù)。例例6:nBrArOABnBA)()(,證明階方陣且為設(shè),OAB 證：),(, 2, 1nB設(shè)niOAi, 2 , 1,則的解向量，都是OAxn,2,1)(),(, 2, 1ArnrnnBrAr)()(1)(01)(1)()(nArnArnArnAr定理定理3.1.1不僅是齊次線性方程組求解的理論基礎(chǔ)，也可用于向量組線性相關(guān)性及不僅是齊次線性方程組求解的理論基礎(chǔ)，也可用于向量組線性相關(guān)性及矩陣秩的討論。矩陣秩的討論。例例7 7).()(ArAAr證明證證.,維維列列向向量量為為矩矩陣陣為為設(shè)設(shè)nxnmA ; 0)(, 0)(, 0 xAAAxAAxx即則有滿足若. 0, 0)()(, 0)(, 0)( AxAxAxxAAxxAAx從而推知即則滿足若,0)(0同解與綜上可知方程組xAAAx).()( ArAAr因此例例9:例例8:t,.,21設(shè)設(shè) 是是Ax=0的基礎(chǔ)解系，且的基礎(chǔ)解